2025-2026学年高二数学寒假巩固练习十 等差数列及其前n项和

高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习十 等差数列及其前n项和【解析】 一、单选题 1．在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（    ） A．10 B．11 C．12或13 D．13 【答案】C 【解析】因为在等差数列中， 所以， 所以，又因为，所以可知等差数列为递减数列，且前12项为正，第13项以后均为负， 所以当取最大值时，或13． 故选：C． 2．已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为等差数列与的前项和分别为，且， 所以设， 所以. 故选：D 3．已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【解析】因为数列均为等差数列，可得， 且，又由，可得． 因此. 故选：A． 4．公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为,所以, 因为公差不为零,,所以，B正确，A错误， 取,则,此时,C,D均不正确, 故选：B. 5．设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 【答案】A 【解析】由，得，即，所以数列为递增的等差数列. 因为，所以，即， 则，，所以当且时，； 当且时，.因此，有最小值，且最小值为. 故选：A. 6.记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 【答案】A 【解析】因为， 所以， 两式相减可得. 由，，解得， 所以，满足上式，故， 所以 . 故选：A 7．设数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．可能为等差数列 B．一定为等比数列 C．使得 D．的最小值为 【答案】B 【解析】首先由题意，由， 得时，， 相减得，，也适合， 所以，数列是等比数列，不是等差数列，A错，B正确； ，所以不存在，使得，C错； ，．当且仅当，即时，等号成立， 但，因此取不到．D错误， 故选：B． 8.设数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．成等差数列，公差为 C．当且仅当时，取得最大值 D．时，的最大值为33 【答案】D 【解析】因为， 所以数列是以为公差，32为首项的等差数列， 所以，所以， 所以当时，， 所以， 因为，所以， 对于A，因为，所以是以为公差的等差数列，所以A错误， 对于B，因为，所以， 所以， 因为，所以成等差数列，公差为，所以B错误， 对于C，，对称轴为， 因为，所以当或时，取得最大值，所以C错误， 对于D，由，得，且，所以的最大值为33，所以D正确， 故选：D 二、多选题 9．已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，，则 C．数列可以是等差数列 D．数列可以是等比数列 【答案】BC 【解析】若，当时，，解得，故A错； 若，，当时，，解得，当时，，解得， ......，根据递推关系可知，当为奇数，即时，，故B正确； 若，则成立，故数列可以是等差数列，即C正确； 若数列是等比数列，假设公比为，则由， 得，两式相除得，， 即，解得，不符合题意，则假设不成立，故D错. 故选：BC 10．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（    ） A． B． C．当时，是的最大值 D．当时，是的最小值 【答案】ACD 【解析】因为，，成等比数列，所以，即， 整理得，因为，所以， 所以，则，故A正确、B错误； 当时单调递减，此时， 所以当或时取得最大值，即，故C正确； 当时单调递增，此时， 所以当或时取得最小值，即，故D正确； 故选：ACD 11．已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B． C． D．为奇数时， 【答案】ABD 【解析】由，则，两式作差，得， ，当为奇数，是首项为1，公差为3的等差数列，即； ，当为偶数，是首项为2，公差为3的等差数列，即； 所以，A对， ，B对； ，C错； 为奇数时，，D对. 故选：ABD 三、填空题 12.已知是等差数列，且，，则 . A．15 B．26 C．28 D．32 【答案】28 【解析】设公差为，若，则，不满足题意，所以， 则， 则， 所以， 故，解得， 故. 故答案为：28. 13．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则______． 【答案】 【解析】依题意，在数列中，， 当时，，满足上式， 因此，，数列的前项和为， 则， 所以. 故答案为： 14．已知等差数列的前n项和为，公差d为奇数，且同时满足：①存在最大值；②；③．则数列的一个通项公式可以为______．（写出满足题意的一个通项公式） 【答案】（答案不唯一） 【解析】由得，即． 因为数列是等差数列，所以由等差数列的性质可知． 设等差数列的公差为d，则，． 因为存在最大值，所以公差，又因为d为奇数且， 故可取．当时，，； 当时，，； 当时，，. 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若，求m的值． 【答案】(1)an=2n+3;(2)10. 【解析】（1）设的公差为d，因为，所以，解得， 又，所以． 所以． （2）因为， 所以， 由，解得，所以． 16．已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列． (1)求； (2)设，若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1);(2) 【解析】（1）由题意得，，，…， 数列是以为首项，公差的等差数列， ， ，，，…，， 将所有上式累加可得，． 又也满足上式，． （2）由（1）得，，则， 恒成立，， 恒成立，， 即的取值范围是． 17．记为数列的前项和． (1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列； ①数列是等差数列； ② (2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【解析】（1）选择条件①：， ， 两式相减可得， 即，， 两式相减可得， 化简可得， ，数列是等差数列． 选择条件②：设数列的首项为，公差为， 则， 故， 当时，， 当时，，， 又．数列是等差数列． （2）数列是等差数列，且公差， ．， 故 ． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $高二寒假作业 2025-2026学年第一学期高二寒假巩固练习十 等差数列及其前n项和 一、单选题 1．在等差数列中，已知，且，则当取最大值时，（    ） A．10 B．11 C．12或13 D．13 2．已知等差数列与的前项和分别为，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．已知数列均为等差数列，其前项和分别为，满足，则（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 4．公差不为零的等差数列中，，则下列各式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．设为等差数列的前n项和，且，都有，若，则（    ） A．的最小值是 B．的最小值是 C．的最大值是 D．的最大值是 6.记数列的前项和为，若，则（    ） A．590 B．602 C．630 D．650 7．设数列的前项和为，且满足，则下列说法正确的是（    ） A．可能为等差数列 B．一定为等比数列 C．使得 D．的最小值为 8.设数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．成等差数列，公差为 C．当且仅当时，取得最大值 D．时，的最大值为33 二、多选题 9．已知数列对任意的整数，都有，则下列说法中正确的有（    ） A．若，则 B．若，，则 C．数列可以是等差数列 D．数列可以是等比数列 10．已知等差数列的公差为，前项和为，且，成等比数列，则（    ） A． B． C．当时，是的最大值 D．当时，是的最小值 11．已知数列的前项和为，且，，，则（    ） A． B． C． D．为奇数时， 三、填空题 12.已知是等差数列，且，，则 . A．15 B．26 C．28 D．32 13．南宋的数学家杨辉“善于把已知形状、大小的几何图形的求面积、体积的连续量问题转化为离散量的垛积问题”，在他的专著《详解九章算法·商功》中，杨辉将堆垛与相应立体图形作类比，推导出了三角垛、方垛、刍童垛等的公式，例如三角垛指的是如图顶层放1个，第二层放3个，第三层放6个，第四层放10个第n层放个物体堆成的堆垛，则______． 14．已知等差数列的前n项和为，公差d为奇数，且同时满足：①存在最大值；②；③．则数列的一个通项公式可以为______．（写出满足题意的一个通项公式） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．记等差数列的前n项和为，已知，． (1)求的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，若，求m的值． 16．已知数列满足：，，，从第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列． (1)求； (2)设，若恒成立，求的取值范围． 17．记为数列的前项和． (1)从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列； ①数列是等差数列； ② (2)若数列为等差数列，且，，求数列的前项和． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $