25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册 -

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根的概念，通过复习方程定义与一元一次方程等旧知，结合矩形铁皮制方盒等实际问题引出新方程，观察共同特点抽象概念，搭建新旧知识过渡支架。 其亮点是以实际情境培养数学眼光，对比辨析发展数学思维，规范形式强化数学语言。如矩形铁皮问题引导列方程抽象概念，随堂练习辨析方程类型。助力学生联系实际理解概念，方便教师结构化教学。

25.1 一元二次方程的概念 第二十五章 一元二次方程 学习目标 1.会设未知数，列一元二次方程. 2.了解一元二次方程及其根的概念. 3.能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数． 复习回顾 1.下列哪些式子是方程？ 2+6=8 2x+3 5x+6=22 x+3y=8 x−5<18 × 没有未知数 × 代数式 √ √ × 不等式 √ 2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫作方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程（组）及分式方程，其中前两种方程是整式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 只含一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫作一元一次方程. 探索新知 问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 x cm，则盒底的长为（100 − 2x）cm，宽为（50 − 2x）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 图1 图2 3600 cm2 100 cm 50 cm (100−2x)(50−2x) = 3600. 整理并化简，得 x2−75x+350 = 0. ① 问题2：要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间比赛1场）. 根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛. 组织者应邀请多少支球队参赛？ 解：设应邀请 x 支球队参赛，根据题意可列得方程 整理并化简，得 x2−x−56 = 0. ② 问题3：在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为 5 m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ A B C 解：设雕像腰部以下的身长 BC 为 x m，根据题意可列得方程 x2 = 5(5−x). 整理并化简，得 x2+5x−25 = 0. ③ 观察与思考 方程①②③都不是一元一次方程.那么这几个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ x2−75x+350 = 0 ① x2−x−56 = 0 ② x2+5x−25 = 0 ③ 特点： 1.都是整式方程； 2.只含一个未知数； 3.未知数的最高次数是2. 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 知识要点 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 ax2+bx+c = 0（a ≠ 0） ax2 a bx b c 想一想：为什么一般形式中 ax2+bx+c = 0 要规定 a≠0？b、c可以为0吗？ 当a=0时 bx+c=0 一元一次方程 当a≠0，b=0时 ax2+c=0 一元二次方程 当a≠0，c=0时 ax2+bx=0 一元二次方程 当a≠0，b=c=0时 ax2=0 一元二次方程 总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数. 提示：提示判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. ② 牛刀小试 一元一次方程与一元二次方程的区别与联系 一元一次方程 一元二次方程 一般式 ax+b=0（a≠0） ax2+bx+c=0（a≠0） 相同点 整式方程，只含有一个未知数 不同点 未知数最高次数是1 未知数最高次数是2 例 将方程 3x(x–1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2–3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2–8x–10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 牛刀小试 下列哪些数是一元二次方程 x2–4x+3=0 的解？为什么？ – 1，0，1，2，3. √ √ 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解（又叫作根）. 随堂练习 2.一元二次方程 3x2=5x 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，–5 D. 5，0 B C 3.关于x的方程(a–1)x2+4x–3=0是一元二次方程， 则（ ） A. a>1 B. a=1 C. a≠1 D. a≥0 4.已知关于 x 的方程 xk–1–2x+3=0 是一元二次方程，则k=______. C 3 5.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： 【选自教材第3页 练习 第1题】 （1）5x2–1 = 4x； （2）4x2=81； 解：一般形式：5x2–4x–1=0 二次项系数：5 一次项系数：–4 常数项：–1 解：一般形式：4x2–81=0 二次项系数：4 一次项系数：0 常数项：–81 （3）4x(x+2)=25； （4）(3x–2)(x+1)=8x–3. 解：一般形式：4x2+8x–25=0 二次项系数：4 一次项系数：8 常数项：–25 解：一般形式：3x2–7x+1=0 二次项系数：3 一次项系数：–7 常数项：1 6.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； 【选自教材第3页 练习 第2题】 解：设正方形的边长为 x，列得方程 4x2=25，化为一般形式为 4x2–25=0. （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； 解：设矩形的长为 x，列得方程 x(x–2)=100， 化为一般形式为 x2–2x–100=0. （3）把长为 1m 的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 解：设较短木条的长为 x，列得方程 x·1=(1–x)2，化为一般形式为 x2–3x+1=0. 课堂小结 一元二次方程 概念 一般形式 ax2+bx+c=0（a≠0） 是整式方程； 只含一个未知数； 未知数的最高次数是2. a 二次项系数 b 一次项系数 c 常数项 $