专题25.2（2） 公式法解一元二次方程 讲义 2026--2027学年人教版九年级数学上册

人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题25.2（2） 一元二次方程解法——公式法 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1用公式法解方程 题型2 不解方程判断根的情况 题型3 已知根的情况求参数 题型4 证明根的情况 1. 能借助配方法完整推导求根公式，熟记公式与判别式； 2. 熟练运用公式法规范求解任意一元二次方程； 3. 会用判别式速判断方程实数根的个数； 4. 能结合含参数方程，利用判别式求字母取值范围。 知识点讲解 1.求根公式的推导 1. 求根公式推导依据 对一般形式 用配方法全程推导，最终得到求根公式： 2. 根的判别式 记 ，决定实数根情况： · ：方程有两个不相等实数根 · ：方程有两个相等实数根 · 3. 4. 题型归纳 题型1 公式法解方程 【例1】阅读教材完成下列问题： 用配方法解方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0） 解：移项，得___________________， 二次项系数化为1，得___________________， 配方___________________， 方程左边写成平方式___________________， ∵a≠0，∴4a2 0，有以下三种情况： （1）当b2-4ac>0时， _____________； _____________； （2）当b2-4ac=0时， _____________； （3）b2-4ac<0时，方程根的情况为 _____________； 【答案】ax2＋bx=-c，x2+x=﹣，x2+x+（）2=﹣+（）2，（x+）2=，>，（1），；（2）；（3）方程没有实数根 【解析】略 【例2】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：， ， 代入求根公式，得， ，； （2）将方程化为一般形式，得， ， ， 代入求根公式，得， ，； （3）， ， 代入求根公式，得：， ． : 【变式练习】 1．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【详解】（1）解：， ， ∴， 即，； （2）解：， ， ∴， 即，； （3）解：， ， ∴ 即，． （4）解：， ， ∴， 即，． 2．解方程：（用公式法） 【详解】解：， ∵， ∴， ∴， ∴． 3．用公式法解方程：． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 4．嘉嘉解一元二次方程的过程如下： 解：…① ，，，…② …③ 方程无实数根．…④ (1)嘉嘉解方程的方法是 ，他的求解过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误； （2） 整理得，， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 题型2 不解方程判别一元二次方程根的情况 【例1】不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【详解】（1）解：整理， 可得：， ， 原方程没有实数根； （2）解：整理， ， ， 原方程没有实数根； （3）解：整理， 可得：， ， 原方程有两个不相等的实数根． 方法点睛： 先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断． 【变式练习】 1. 用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： (1)． (2)． (3)． (4)． 【详解】（1）解：，，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （2），，， ， ∴方程有两个不相等的实数根． （3）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程有两个相等的实数根． （4）解：方程可变形为， ，，， ， ∴方程没有实数根． 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【详解】解：将原方程整理为一般式得 ， 这里 ，，， 计算判别式得 ， ∵ ， ∴ 该一元二次方程没有实数根 3．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【详解】解：关于x的一元二次方程中， ∵二次项系数为1，一次项系数为，常数项为， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．以下一元二次方程中有两个相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【详解】解：A. 方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B. 方程中，， ， 方程有两个相等的实数根，符合题意； C. 方程中，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D. 方程中，， ， 方程没有实数根，不符合题意． 5．已知关于x的一元二次方程，该方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【详解】解：∵对于一元二次方程，其中，，， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根． 题型3 已知一元二次方程根的情况求参数 【例1】已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，试求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个实数根，利用一元二次方程根的判别式得到关于c的不等式求解即可得到c的取值范围； （2）根据方程根的定义，得到a、b满足的关系式，代入y的表达式化简，再结合c的取值范围即可求出y的取值范围． 【详解】（1）解∶∵关于的方程有两个实数根，， ∴， 整理得， 解得． （2）解：∵关于的方程有两个实数根，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即的取值范围为． 【例2】已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 【详解】（1）解：判别式且， 解得且； （2）解：根据题意得，k为最小正整数， 则， 方程为 解得，． 易错点睛： 1.一元二次方程有两个实数根的前提条件是a; 2.一元二次方程有两个实数根包含”两根相等”与”两根不等”两种情况，所以△. 【变式练习】 1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【详解】解：关于的一元二次方程，有两个不相等的实数根，其中，，， ， ． 2．已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴． 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， 即， 解得， ∴m的取值范围是． （2）解：由（1）知，m的取值范围是． ∴符合条件的最大整数， ∴一元二次方程化为， 此时， ∴， ∴或， ∴当m为符合条件的最大整数时，方程的根为或． 4．关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴ ， ∴， ∴， ∵是一元二次方程， ∴， 综上所述，的取值范围为且． 题型4 证明一元二次方程根的情况 【例1】关于的方程． (1)求证：不论为何实数，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴原方程总有两个实数根； （2）解：∵该方程的一个根为， ∴， 解得． 【例2】已知 的两边的长恰好是关于的方程的两个实数根，第三边的长为． (1)求证： (2)当是多少时，是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵的长是关于的方程的两个实数根， ∴ ， ∴关于的方程有两个不相等的实数根， ∴． （2）解：由（1）可知，关于的方程有两个不相等的实数根，即，的第三边的长为， ∴当时，是等腰三角形，即方程的一个根， ∴，整理得，， ∴， ∴，， ∴当或时，是等腰三角形． 【变式练习】 1. 已知关于 x 的方程． (1)求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； (2)若是该方程的一个根，求 k 的值 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）把代入，得， 解得． 2.2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 【详解】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求m的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 【详解】（1）∵方程的一个根为3， ∴将代入方程中，得到： 解得： （2）∵关于x的一元二次方程中， ， ， ∴该方程总有两个不相等的实数根； 4．已知关于x的方程的两根不相等，且a、b、c为的三边长．求证：不是等边三角形． 【详解】解：原方程整理得． ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴， 假设为等边三角形，则， 那么，矛盾， ∴不是等边三角形． 5．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 【详解】（1）证明：， ∵，即， ∴无论取任何实数，方程总有实数根． （2）当腰长为4时，把代入， 得，， 解得； 方程化为， 则其另一个解为， 此时的周长为． 当底边长为4时，则方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，此时方程化为， 即, 解得：， 此时的周长为． 综上所述，的周长为11或10． 过关练习 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】由一元二次方程可知，，，计算判别式，然后与比较即可得到结论． 【详解】解：由一元二次方程可知，，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 2．若关于的方程没有实数根，则的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】先根据方程无实根求出的取值范围，再结合选项得出答案． 【详解】解：∵关于的方程没有实数根， ∴根的判别式， 即， 解得：， 选项中只有D选项的满足． 3．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】分和两种情况讨论，利用一元二次方程根的判别式求解，即可得到的取值范围． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当时，原方程为，解得，方程有实数根，符合题意； ②当时，原方程是一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴根的判别式， 解得， 即此时的范围为且； 综合两种情况，可得的取值范围是． 4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（     ） A．4 B． C． D．3 【答案】D 【分析】先根据根的判别式得到：，再将代数式变形后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 5．下列方程中，有两个相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当时，一元二次方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解： A． 方程，，，， ， 方程没有实数根，不符合题意． B． 方程，，，， ， 方程有两个相等的实数根，符合题意． C． 方程，，，， ， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． D． 方程，，，， ， 方程没有实数根，不符合题意． 6．“河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】先根据给定的“洛书积”运算规则列出关于的方程，整理为一元二次方程的一般形式，再通过根的判别式判断根的情况即可． 【详解】解：∵ 运算规则为，方程为， ∴ 将，代入运算规则得 ， 展开并整理得， ∴ ∵ ∴该方程有两个不相等的实数根． 7．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数值是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，方程无实数根时判别式小于0． 列出不等式求解k的取值范围，即可得到k的最小整数值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程没有实数根， ∴， 化简得， 解得， ∴k的最小整数值是2． 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，结合二次根式被开方数非负求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为二次根式， ∴ ， 解得：， ∴ 实数的取值范围是． 9．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．以上都不对 【答案】C 【分析】先计算判别式的值，再根据判别式的符号确定根的情况． 【详解】∵对于一元二次方程，，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 10．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 二、填空题 11．若方程有两个实数根，则n的取值范围为__________． 【答案】 【详解】解：由已知，， 解得，． 12．关于的方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 【答案】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式等于，据此列出关于的方程，求解即可得到的值. 【详解】解：方程 中， ，，， 方程有两个相等的实数根， ， 即 ， ∴ ， 解得 . 13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是_____．（写出一个即可） 【答案】0（答案不唯一） 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且， ∴m的值可以是0（不唯一）． 14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的个数与判别式的关系，列出不等式求解即可． 【详解】解：由题意得，方程 是关于的一元二次方程，且有两个不相等的实数根， 因此根的判别式满足 其中，，， 代入得： ． 解得． 15．若一元二次方程有实数根，请写一个符合题意的的值______． 【答案】（答案不唯一，即可） 【分析】先根据根的判别式，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根，，，， ∴， 解得， ∴的值可以为（答案不唯一，即可） 16．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 【答案】 【分析】首先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根得到根的判别式，联立计算即可求出的值． 【详解】解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根 ， ， 其中，， ，代入得 ， 解得，满足． 17．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数是________． 【答案】3 【分析】根据一元二次方程根与判别式的关系，可得判别式小于，据此求出的取值范围，即可得到的最小整数值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 化简得， 解得， ∴的最小整数值为． 18．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 【答案】且 【分析】方程有两个实数根说明该方程为一元二次方程，需满足二次项系数不为零，且根的判别式大于等于零，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵ 方程 有两个实数根， ∴， 解得：且． ∴的取值范围是且． 三、解答题 19．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】利用公式法对所给一元二次方程分别进行求解即可． 【详解】（1）解：， 化为一般形式：， ， 则， 所以，． （2）解：， ， 则， 所以． 20．运算能力用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握公式法是关键．按照公式法解一元二次方程的步骤解方程即可． 【详解】（1）解： 这里，，． ∵， ∴，∴，． （2）解： 这里，，． ∵， ∴， ∴，． （3）解： 这里，，． ∵， ∴， ∴． 21．解一元二次方程： (1) ； (2)； (3)（用配方法解）； (4)（用公式法解）． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，理解一元二次方程解法是解答关键. （1）（2）利用开方法来求解； （3）先配方，再利用开方法求解； （4）先求出，判断根的情况，再利用求根公式求解. 【详解】（1）解：原方程移项得， 开平方得. （2）解：原方程开平方得， 解得. （3）解：移项得 配方得， 即 开平方得 解得. （4）解：由原方程可得， 则， 方程有两个不相等的实数根， ， . 22．解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解： 解得：， （2）解： 解得：， （3）解： 解得：， （4）解： 解得：， 23．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)当时，该方程有两个不相等的实数根，当时，该方程有两个相等的实数根； (2)有，所有的值为：，， 【分析】（1）整理方程为一般形式，再利用根的判别式的值的情况讨论即可． （2）当时，可得， 求解，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：， 方程化为一般式：， ∴， ∴当时，该方程有两个不相等的实数根， 当时，该方程有两个相等的实数根； （2）解：当时，，方程有两个不相等的实数根， ∵， 解得：， ∵这两个根都是不大于的正整数， ∴，， 解得． 又∵这两个根都是正整数， 为的倍数， 的值为，，． 24．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1) 见解析 (2)1或3 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． 【详解】（1）证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 25．已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10 【分析】（1）先计算，即可得出结论； （2）分两种情况：当4为腰长时，或当4为底边时，分别求出结论即可； 【详解】（1）证明：∵ ， ∴无论k为何值，方程总有两个实数根． （2）解：①当4为腰长时，则方程必有一个根为4， ∴． ∴． ∴方程为：． ∴或． ∴等腰三角形的三边为：4，4，2． ∴周长为：； ②当4为底边时，则方程有2个相同的实数根， ∴． ∴． ∴方程为：，解得：， ∵， ∴不满足三角形三边关系． 故当k为2.5时，是等腰三角形，的周长为10． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教版 九上讲义（目标导航+知识点剖析+例题讲解+变式训练+过关检测） 专题25.2（2） 一元二次方程解法——公式法 知识点导航 题型导航 目标导航 题型1用公式法解方程 题型2 不解方程判断根的情况 题型3 已知根的情况求参数 题型4 证明根的情况 1. 能借助配方法完整推导求根公式，熟记公式与判别式； 2. 熟练运用公式法规范求解任意一元二次方程； 3. 会用判别式速判断方程实数根的个数； 4. 能结合含参数方程，利用判别式求字母取值范围。 知识点讲解 1.求根公式的推导 1. 求根公式推导依据 对一般形式 用配方法全程推导，最终得到求根公式： 2. 根的判别式 记 ，决定实数根情况： · ：方程有两个不相等实数根 · ：方程有两个相等实数根 · 3. 4. 题型归纳 题型1 公式法解方程 【例1】阅读教材完成下列问题： 用配方法解方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0） 解：移项，得___________________， 二次项系数化为1，得___________________， 配方___________________， 方程左边写成平方式___________________， ∵a≠0，∴4a2 0，有以下三种情况： （1）当b2-4ac>0时， _____________； _____________； （2）当b2-4ac=0时， _____________； （3）b2-4ac<0时，方程根的情况为 _____________； 【例2】用公式法解下列方程： (1)； (2)； (3)． : 【变式练习】 1．用公式法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．解方程：（用公式法） 3．用公式法解方程：． 4．嘉嘉解一元二次方程的过程如下： 解：…① ，，，…② …③ 方程无实数根．…④ (1)嘉嘉解方程的方法是 ，他的求解过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 题型2 不解方程判别一元二次方程根的情况 【例1】不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 方法点睛： 先把方程整理成一元二次方程的一般形式，再利用根的判别式进行判断． 【变式练习】 1. 用根的判别式判断下列方程根的情况（不用求方程的根）： (1)． (2)． (3)． (4)． 2．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 3．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．以下一元二次方程中有两个相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 5．已知关于x的一元二次方程，该方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 题型3 已知一元二次方程根的情况求参数 【例1】已知关于的方程有两个实数根，． (1)求的取值范围； (2)若，试求的取值范围． 【例2】已知关于x 的一元二次方程 有两个不相等的实数根． (1)求k 的取值范围； (2)若k 为符合条件的最小正整数，求该方程的根． 易错点睛： 1.一元二次方程有两个实数根的前提条件是a; 2.一元二次方程有两个实数根包含”两根相等”与”两根不等”两种情况，所以△. 【变式练习】 1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 2．已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围． 3．已知关于x的一元二次方程有两个实数根． (1)求m的取值范围． (2)若m为符合条件的最大整数，求此时方程的根． 4．关于的方程有两个不相等的实数根，求的取值范围． 题型4 证明一元二次方程根的情况 【例1】关于的方程． (1)求证：不论为何实数，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值． 【例2】已知 的两边的长恰好是关于的方程的两个实数根，第三边的长为． (1)求证： (2)当是多少时，是等腰三角形． 【变式练习】 1. 已知关于 x 的方程． (1)求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； (2)若是该方程的一个根，求 k 的值 2.2．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 3．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程的一个根为3，求m的值； (2)求证：方程总有两个不相等的实数根． 4．已知关于x的方程的两根不相等，且a、b、c为的三边长．求证：不是等边三角形． 5．已知关于x的方程． (1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根； (2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长． 过关练习 一、单选题 1．一元二次方程的根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 2．若关于的方程没有实数根，则的值可以是（     ） A． B．0 C．1 D．2 3．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 4．关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（     ） A．4 B． C． D．3 5．下列方程中，有两个相等实数根的是（     ） A． B． C． D． 6．“河图洛书”是中华文明的源头之一，蕴含了古人的数学智慧，我们定义一种新的运算“洛书积”：对于两个实数a和b，其“洛书积”记为，运算规则为．例如：．则关于x的方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 7．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数值是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 8．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 9．一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．以上都不对 10．对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（     ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 二、填空题 11．若方程有两个实数根，则n的取值范围为__________． 12．关于的方程有两个相等的实数根，则的值是__________． 13．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可以是_____．（写出一个即可） 14．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是____________． 15．若一元二次方程有实数根，请写一个符合题意的的值______． 16．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 17．如果关于的一元二次方程没有实数根，那么的最小整数是________． 18．已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是_____． 三、解答题 19．用公式法解下列方程： (1)； (2)． 20．运算能力用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 21．解一元二次方程： (1) ； (2)； (3)（用配方法解）； (4)（用公式法解）． 22．解方程： (1) ； (2)； (3)； (4)． 23．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)当时，方程是否有两个不相等的实数根？若有，设这两个根都是不大于的正整数，求出满足条件的所有的值；若没有，请说明理由． 24．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 25．已知的一条边长为4，另两边的长恰好是关于x的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论k为何值，方程总有两个实数根； (2)当k为何值时，是等腰三角形，并求的周长． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $