4.1 投影课时1（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦投影的概念、三要素及平行投影与中心投影的分类区别，通过窗框影子、皮影等生活实例导入，衔接平面几何知识，搭建三维立体几何入门的学习支架。 其亮点是结合路灯下影子变化等情境，用对比表格、易错点汇总结构化呈现知识，培养学生几何直观与空间观念，例题引导用数学思维推理投影规律，助力学生理解概念，教师可直接使用系统内容提升教学效率。

北师大版数学9年级上册精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月4日 4.1 投影课时1 第四章 投影与视图 4.1 投影（课时1）同步讲义与习题 本章为《视图与投影》开篇内容，是初中几何图形变换与空间几何的基础，脱离平面几何，进入三维立体几何入门。本节课重点掌握投影、平行投影、中心投影的概念与区别，是中考选择、填空高频基础考点，难度低、分值稳。 一、核心知识点精讲 1. 投影的基本概念 定义：一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影。 三要素：光源、物体、投影面。 影子是生活中最常见的投影现象，所有投影问题均围绕「光线照射」的规律展开。 2. 投影的两大分类（本节课核心） 根据光源的不同，投影分为：平行投影和中心投影。 （1）平行投影 定义：由平行光线形成的投影叫做平行投影。 常见光源：太阳光、月光（自然平行光线）。 核心特征： - 光线互相平行； - 同一时刻，不同物体的影子方向相同； - 同一时刻，物体高度与影长成正比（相似三角形原理）。 （2）中心投影 定义：由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影。 常见光源：路灯、台灯、手电筒、探照灯（点光源）。 核心特征： - 光线汇聚于一个点（点光源）； - 物体距离光源越近，影子越短；距离光源越远，影子越长； - 不同物体影子方向不一定相同； - 影长与物高不成固定正比。 3. 平行投影 vs 中心投影（对比速记） 对比项目 平行投影 中心投影 光源类型 平行光线（太阳光） 点光源（灯光） 光线特点 互相平行 交于一点 影子方向 同一时刻全部相同 可不同 物高与影长 成正比（可计算） 无固定正比 4. 特殊平行投影（铺垫下节课） 当平行光线垂直照射投影面时，形成的投影叫做正投影，是后续画三视图的基础。 二、经典例题精讲 例1 概念辨析（必考选择题） 下列属于中心投影的是（ ） A. 阳光下的树影 B. 月光下的人影 C. 路灯下的影子 D. 正午旗杆影子 解析：太阳光、月光为平行光线，属于平行投影；路灯为点光源，属于中心投影。 答案：C 例2 性质判断 同一时刻，两根高矮不同的小树，影子方向相同、物高影长成正比，该投影为________投影。 答案：平行 例3 生活现象分析 夜晚人从路灯下走远，影子逐渐变长，该现象属于________投影。 解析：路灯是点光源，符合中心投影特点。 答案：中心 三、高频易错点汇总 - 混淆光源：太阳、月亮→平行投影；灯光、手电→中心投影； - 误以为所有投影物高和影长都成正比（只有平行投影满足）； - 中心投影中，物体移动影子长短变化规律记反（远长近短）； - 无法通过影子方向判断投影类型（同向必为平行投影）。 四、同步练习题 （一）选择题（每题4分，共20分） 1. 下列光线所形成的投影是平行投影的是（ ） A. 手电筒光线 B. 太阳光 C. 台灯光线 D. 路灯光线 2. 中心投影的光线特点是（ ） A. 互相平行 B. 交于一点 C. 互相垂直 D. 无规律 3. 同一时刻阳光下，小明影子比小红长，则（ ） A. 小明更高 B. 小红更高 C. 两人一样高 D. 无法判断 4. 人靠近路灯时，影子变化为（ ） A. 变长 B. 变短 C. 不变 D. 先长后短 5. 下列说法正确的是（ ） A. 平行投影光线相交 B. 中心投影光线平行 C. 平行投影物高影长成正比 D. 所有投影都成正比 （二）填空题（每空3分，共30分） 1. 投影分为________投影和________投影。 2. 太阳光形成的投影是________投影，路灯形成的是________投影。 3. 平行投影的光线是________的，中心投影的光线是________的。 4. 同一时刻平行投影中，物体越高，影子越________。 5. 点光源形成的投影叫做________投影。 （三）解答题（共50分） 1.（16分）简述平行投影与中心投影的两个核心区别。 2.（16分）为什么阳光下高矮不同的树，影子方向一致且高度和影长成比例？ 3.（18分）夜晚行走在路灯下，远离路灯时影子如何变化？请说明原因。 五、参考答案与详细解析 （一）选择题 1.B 解析：太阳光为平行光线，属于平行投影。 2.B 解析：中心投影由点光源发出，光线交于一点。 3.A 解析：平行投影物高与影长成正比，影子越长物体越高。 4.B 解析：靠近点光源，影子变短；远离变长。 5.C 解析：平行投影物高影长成正比，其余选项概念错误。 （二）填空题 1. 平行；中心 2. 平行；中心 3. 互相平行；交于一点 4. 长 5. 中心 （三）解答题 1. 答：①光线不同：平行投影光线互相平行，中心投影光线交于一点；②比例不同：平行投影物高与影长成正比，中心投影无固定比例关系。 2. 答：太阳光属于平行光线，是平行投影。同一时刻平行光线照射下，所有物体的光线倾斜角度相同，因此影子方向一致，且根据相似三角形原理，物体高度与影长比值固定，成正比例关系。 3. 答：影子会逐渐变长。原因：路灯是点光源，属于中心投影；人远离光源时，光线倾斜角度变大，投射在地面的影子范围变大，因此影子变长。 六、课时小结 1. 两大投影：平行投影（太阳光）、中心投影（灯光）； 2. 核心区分：光线平行 vs 光线共点； 3. 唯一比例：只有平行投影满足物高影长成正比； 4. 中心投影规律：近短远长，方向不固定。 1. 了解投影和中心投影的概念，会画物体在不同光线下的投影，会根据投影判断光源的位置。 2.了解物体在灯光下的影子的不同特征以及不同时刻、不同位置影子的变化情况。 学习目标 2 在日常生活中，我们可以看到各种各样的影子。 比如，太阳光照射在玻璃窗框、长椅等物体上时，会在墙壁或地面上留下影子；皮影和手影则是灯光照射形成的影子。 窗框的影子 长椅的影子 皮影 手影 思考：影子与物体联系密切，在数学中影子是物体的什么呢？ 3 投影：物体在光的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象。 影子所在的平面称为投影面。 形成投影的三大条件： 光(光源)； 物体(在光源与投影面之间)； 投影面。 知识点 投影与中心投影 知识点 投影与中心投影 问题 取一些长度不同的小棒和三角形、矩形纸片，用手电筒(或台灯)等照射这些小棒和纸片，观察它们的影子。 (1)固定手电筒(或台灯)，改变小棒或纸片的摆放位置和方向，影子分别发生了什么变化? 解：它们的影子的大小和形状一般会发生相应的变化。 知识点 投影与中心投影 问题 (2)固定小棒或纸片，改变手电筒(或台灯)的摆放位置和照射方向，影子分别发生了什么变化? 解：它们的影子的大小和形状一般会发生相应的变化。 中心投影：手电筒、路灯和台灯的光可以看成是从一个点发出的，这样的光所形成的投影称为中心投影。 中心投影的投影线相交于一点，这一点称为投影中心。 知识点 投影与中心投影 确定图中路灯灯泡所在的位置。 解：如图，过一根木杆的顶端及本杆影子的顶端画一条直线，再过另一根木杆的顶端及本杆影子的顶端画一条直线，两线相交于点O。点O就是路灯灯泡所在的位置。 例1 知识点 投影与中心投影 O 中心投影的特征： 同一时刻，点光源、物体上的点及其影子上的对应点在同一直线上。 根据同一点光源下的两个不同物体及它们的影子，可以确定点光源所在的位置。 知识点 投影与中心投影 如图，一个广场中央有一盏路灯。 (1)身高相同的两个人在这盏路灯下的影子一定一样长吗?如果不一定，那么什么情况下他们的影子一样长? 解：身高相同的两个人在这盏路灯下的影子不一定一样长。当他们到这盏路灯的距离相等时，他们的影子一样长。 知识点 投影与中心投影 如图，一个广场中央有一盏路灯。 (2)身高不同的两个人在这盏路灯下的影子有可能一样长吗?与同伴进行交流。 解：可能。身高不同的两人，只要高个子离路灯近些，矮个子离路灯远些，通过调整两者到路灯的距离，就能让他们的影子长度相等。 知识点 投影与中心投影 如图，一个广场中央有一盏路灯。 (3)一个人在路灯下影子的长短与什么因素有关? 解：一个人在路灯下影子的长短和这个人的身高和离路灯的距离有关。 身高越高(或越低)，影子越长(或越短)；离路灯越近(或越远)，影子越短(或越长)。 知识点 投影与中心投影 思考：随着这些因素的变化，影子是如何变化的? 中心投影的特征： (1)等高的物体垂直于地面放置时，在灯光的照射下，离点光源越近，物体的影子越短，离点光源越远，物体的影子越长。 (2)等长的物体平行于地面放置时，在灯光的照射下，离点光源越近，物体的影子越长，离点光源越远，物体的影子越短，但不会比物体本身短。 知识点 投影与中心投影 跟踪训练 如图，晚上小亮在路灯下散步，在小亮由A处径直走到B处这一过程中，他在地上的影子( )。 A.逐渐变短 B.先变短后变长 C.先变长后变短 D.逐渐变长 B A B 知识点 投影与中心投影 1.下列光线形成的投影不是中心投影的是( )。 A.太阳光线 C.手电筒的光线 B.台灯的光线 D.路灯的光线 A 知识点1 投影与中心投影 1. 下列现象是物体的投影的是( ) B A. 小明看到镜子里的自己 B. 灯光下猫咪映在墙上的影子 C. 自行车行驶过后车轮留下的痕迹 D. 掉在地上的树叶 2. 下列现象属于中心投影的有( ) ①小孔成像；②皮影戏；③手影；④放电影. D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 考试考法 16 知识点2 影长或光源的确定 3. 一幢4层的楼房只有一个房间亮着灯，一棵小树和一根电 线杆在窗口灯光下的影子如图所示，则亮着灯的房间是 ( ) B A. 1号房间 B. 2号房间 C. 3号房间 D. 4号房间 返回 考试考法 17 4. 如图，在路灯下，小华的身高用线段 表 示，他在地面上的影子用线段 表示，小玉的身高用线段 表示，路灯灯泡在线段 上.请你确定灯泡所在的位置， 并画出小玉在灯光下形成的影子. 考试考法 18 【解】如图所示，点 为灯泡 位置，线段 为小玉在灯光 下形成的影子. 返回 考试考法 知识点3 中心投影的影长及计算 （第5题） 5. 如图，球吊在空中，当发光的手电筒 由远及近向该球靠拢时，落在竖直墙面上 的球影子会( ) C A. 先变大后变小 B. 逐渐变小 C. 逐渐变大 D. 先变小后变大 返回 考试考法 20 6. [2026金华金东区期末] 如图，小树在路灯 的照射下形 成投影.若树高，树影 ，树与路灯的水 平距离，则路灯的高度 为( ) D （第6题） A. B. C. D. 返回 考试考法 21 （第7题） 7. 如图，在直角坐标系中，点 是一个光源.木杆 两端的坐标分别 为,，则木杆在 轴上的投影长 为( ) B A. 7 B. 6 C. 5 D. 3 考试考法 22 【点拨】延长,分别交轴于， , 作轴于，交的延长线于 ，如 图. ，,, , ,, . 易得轴, , ,即. .故选B. 返回 考试考法 23 （第8题） 8. 如图，小亮居住的小区内有一条笔 直的小路，小路的正中间有一盏路灯， 晚上小亮由处径直走到 处，他在灯 光照射下的影长与行走的路程 之间的 B A. B. C. D. 变化关系用图象刻画出来，大致是 ( ) 考试考法 24 物体在光的照射下，会在地面或其他平面上留下它的影子，这就是投影现象 性质：在中心投影下，点光源、物体上的点及它在影子上的对应点在同一条直线上； 特征：等高的物体垂直于地面放置时，离点光源越远(近) ，物体的影子越长(短) 投影 投影 中心投影 概念：从一个点(点光源)发出的光所形成的投影 课堂小结 $