第二章 一元二次方程 章末总结（课件） 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件系统梳理一元二次方程的概念、解法、根与系数关系及实际应用，以概念导入，通过解法步骤分解、例题示范构建知识脉络，为学生提供从基础到应用的学习支架。 其亮点在于融合转化、降次等思想方法，通过“新定义”问题、几何动点等实例，培养学生抽象能力、推理意识和模型观念。采用解法对比、步骤化示范的教学方法，学生能提升解题逻辑与应用能力，教师可直接利用结构化内容提高教学效率。

第二章 一元二次方程 章末小结 一元二次方程 概念 解法 根与系数的关系 实际应用 转化思想 特殊到一般 降次思想 建模思想 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解法 两根之和 两根之积 知识点1 一元二次方程的概念 只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成 ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程。 注意：①都是整式方程， ②只含有一个未知数， ③未知数的最高次数是2。 知识点1 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式： ax²+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)。 ax2 + bx + c = 0 二次项系数 二次项 一次项系数 一次项 常数项 等号右边为0 若关于x的方程(m+1)xm²+1+2mx-3=0是一元二次方程，求m的值。 解：根据题意，得m²+1=2，解得m=1或m=-1。 因为二次项系数m+1≠0， 即m≠-1， 所以m=1。 知识点1 一元二次方程的概念 例1 知识点2 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。 判断一个数是不是方程的解：分别将这个数代入方程的两边并计算，若结果相等，则此数是方程的解，否则不是。 例2 “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力。定义：方程cx²+bx+a=0是一元二次方程ax²+bx+c=0的倒方程，其中a，b，c为常数(a≠0， c≠0) 。 根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程-4x²+3x+1=0的倒方程是 。 (2)若m是一元二次方程-6x²+x+1=0的倒方程的一个实数根， 求m³+m²-6m+2026的值。 解：(2)由题意可知方程-6x²+x+1=0的倒方程为x²+x-6=0。 因为m是方程x²+x-6=0的一个实数根， 所以m²+m-6=0， 所以m³+m²-6m+2026=m(m²+m-6)+2026=2026。 知识点2 一元二次方程的解 x²+3x-4=0 知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 从实际问题中抽象出一元二次方程的一般步骤： (1)审——审清题意，找出已知量与未知量之间的等量关系； (2)设——设出合适的未知数； (3)列——列出一元二次方程，并化为一般形式。 知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 估算一元二次方程ax²+bx+c=0的解(或近似解)： (1)先通过试值确定方程解的大致范围； (2)在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把m代入方程使得am²+bm+c<0，把n代入方程使得an²+bn+c>0，那么方程的解就在m与n之间。 (3)在m与n之间再取值，重复步骤(2)，可得到更加接近方程的解的数值。 “夹逼法” 有一根长为7.2m的木料，做成如图所示的窗框(宽<高)，当窗框的宽为多少时，这个窗户的面积为2m²?(精确到0.01，不考虑木料加工时的损耗和中间木框所占的面积) 解：设窗框的宽为x m， 则窗框的高为 m。 根据题意，得x·=2。 整理，得15x²-36x+20=0。 列表估算方程的解： 例3 知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … 1.5 1.6 15x²-36x+20 3.8 2.15 0.8 -0.25 -1 … -0.25 0.8 由表格，知0.8<x<0.9或1.5<x<1.6。 由宽<高，得x< ， ∴x<1.44，∴1.5<x<1.6不合题意，舍去。 继续列表计算： ∴0.87<x<0.88。当x=0.875时，15x²-36x+20≈-0.016， ∴0.87<x<0.875，∴x≈0.87。 因此，当窗框的宽约为0.87m时，这个窗户的面积为2m²。 知识点3 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 0.85 0.86 0.87 0.88 15x²-36x+20 0.237 5 0.134 0.033 5 -0.064 x 0.6 0.7 0.8 0.9 1 … 1.5 1.6 15x²-36x+20 3.8 2.15 0.8 -0.25 -1 … -0.25 0.8 知识点4 用直接开平方法解一元二次方程 利用平方根的意义，直接开平方求一元二次方程的解的方法叫作直接开平方法。 理论依据：平方根的意义。 适用范围：能转化为x²=n或(x+m)²=n(n≥0)的形式的方程。 根的表示： 对于方程x²=n，当n≥0时，x1=，x2=-。 对于方程(x+m)²=n，当n≥0时，x1=-m，x2=--m。 知识点5 用配方法解一元二次方程 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 配方法解方程的关键：在形如a的两边同时加一次项系数一半的平方，即 知识点5 用配方法解一元二次方程 利用配方法解一元二次方程的一般步骤： 一化：化二次项系数为1。 二配：配方，使原方程变为(x+m)²-n=0的形式。 三移：移项，使方程变为(x+m)²=n的形式。 四开：如果n≥0，就可以左右两边同时开平方，得x+m=±。 五解：方程的根为x=-m±。如果是解决实际问题，那么还要注意判断结果是否符合实际问题。 已知2x²+y²+4x-6y+11=0，x，y为实数，求xy的值。 解：2x²+y²+4x-6y+11=0， (2x²+4x)+(y²-6y)+11=0， 2(x²+2x)+(y²-6y)+11=0， 2(x²+2x+1-1)+(y²-6y+9-9)+11=0， 2(x²+2x+1)-2+(y²-6y+9)-9+11=0， 2(x+1)²+(y-3)²=0。 ∵(x+1)²≥0，(y-3)²≥0， ∴x+1=0，y-3=0， ∴x=-1，y=3， ∴xy=(-1)³=-1。 例4 知识点5 用配方法解一元二次方程 知识点6 用公式法解一元二次方程 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 一元二次方程的求根公式： 对于一元二次方程ax²+bx+c=0，当b²-4ac≥0时，它的根是 = 知识点6 用公式法解一元二次方程 用公式法解一元二次方程的一般步骤： 一化：将一元二次方程化为ax²+bx+c=0。 二定：确定a，b，c的值。 三算：计算b²-4ac的值。 四解：若b²-4ac≥0，则将a，b，c的值代入求根公式=。 知识点6 用公式法解一元二次方程 根的判别式： b²-4ac叫作一元二次方程ax²+bx+c=0的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示。 Δ>0，方程有两个不相等的实数根。 Δ=0，方程有两个相等的实数根。 Δ<0，方程没有实数根。 已知关于x的方程(m+1)x²+2mx+m-3=0有实数根。求m的取值范围。 解：关于x的方程(m+1)x²+2mx+m-3=0有实数根，分两种情况讨论： ①当m+1=0且2m≠0，即m=-1时，原方程是一元一次方程， 此时原方程为-2x-4=0，必有实数根； ②当m+1≠0 时，原方程是一元二次方程， Δ=b²-4ac=(2m)²-4×(m+1)×(m-3)=8m+12≥0， 解得m≥-且m≠-1。 综上可知，当m≥-时，方程(m+1)x²+2mx+m-3=0有实数根。 例5 知识点6 用公式法解一元二次方程 知识点7 用因式分解法解一元二次方程 当一元二次方程的一边为0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程求解。这种解一元二次方程的方法称为因式分解法。 一般步骤： (1)移项：将方程的右边化为0； (2)化积：将方程的左边分解为两个一次因式的乘积； (3)转化：令每个一次因式都为0，转化为两个一元一次方程； (4)求解：解这两个一元一次方程，它们的解都是原方程的解。 知识点7 用因式分解法解一元二次方程   配方法 （直接开平方法） 公式法 因式分解法 各自 特点 共性 将一元二次方程转化为(x+m)²=n的形式；是解一元二次方程的通法。 是配方法的一般 化，将a，b，c直接代入求根公式求解；是解一元二次方程的通法。 将一元二次方程转化为两个一元一次方程来解，只能求特殊形式的方程。 都进行了恒等变形；都运用了转化思想，即将一元二次方程转化为一次方程或可直接求解的形式，即“降次”。 知识点7 用因式分解法解一元二次方程 一元二次方程的解法选择思路： 1.一般地，当一元二次方程一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法； 2.若常数项为0 (ax2+bx=0)，应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，不然选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单。 用适当的方法解下列方程： (1) 4(x+1)2-25=0； (2) (x-2)2=4x-2x2； (3) x2-x-1=0； (4) 2x²-5x+1=0。 解：(1)移项，得4(x+1)²=25。 两边同时除以4， 得 (x+1)²= 。 两边开平方，得 x+1=±， 所以x1=，x2=-。 例6 知识点7 用因式分解法解一元二次方程 (2)原方程可变形为(x-2)²+2x(x-2)=0。 因式分解，得(x-2)(x-2+2x)=0， 所以x-2=0， 或3x-2=0， 所以x1=2，x2= 。 用适当的方法解下列方程： (1) 4(x+1)2-25=0； (2) (x-2)2=4x-2x2； (3) x2-x-1=0； (4) 2x²-5x+1=0。 解：(3)二次项系数化为1，得x2-2x-2=0。 配方，得x²-2x+1-1-2=0， 即( x-1)²-3=0。 移项，得(x-1)²=3。 两边开平方，得x-1=±， 所以x1=1+， x2=1-。 例6 知识点7 用因式分解法解一元二次方程 (4)这里a=2，b=-5，c=1。 因为Δ=(-5)²-4×2×1=17>0， 所以x== 所以：x1= ，x2=。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 如果x1，x2是一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根，那么ax²+bx+c=a(x-x1)(x-x2)。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 一元二次方程的根与系数的关系： 如果一元二次方程ax²+bx+c=0有两个实数根x1，x2，那么 ， 。 注意 应用根与系数的关系时要满足： (1)方程必须是一元二次方程(即a≠0)，且一定要化为一般形式； (2)方程必须有实数根，即b²-4ac≥0。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 根与系数关系的常见的变形： ①； ②； = 求与方程的根有关的代数式的值时，一般先将所求的代数式化成含两根之和，两根之积的形式，再整体代入。 已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x-m=0的两个实数根，其中x1=1，则x2= 。 -3 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 例7 已知关于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²-2=0。 (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值。 (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-x2)²+m²=21，求m的值。 解：(1)根据题意，得Δ=(2m+1)²-4(m²-2)≥0， 解得m≥-， ∴m的最小整数值为-2。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 例8 已知关于x的一元二次方程x²+(2m+1)x+m²-2=0。 (1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值。 (2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1-x2)²+m²=21，求m的值。 解：(2)根据题意，得x1+x2=-(2m+1)，x1x2=m²-2。 ∵(x1-x2)²+m²=21， ∴(x1+x2)²-4x1x2+m²=21， ∴[-(2m+1)]²-4(m²-2)+m²=21。 整理，得m²+4m-12=0， 解得m1=2，m2=-6. ∵m≥-， ∴m的值为2。 知识点8 一元二次方程的根与系数的关系 例8 知识点9 一元二次方程的应用 数学问题( 一元二次方程) 实际问题 实际问题的解 抽象 寻找等量关系 数学问题的解 (一元二次方程的解) 解方程 解释 验证 知识点9 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题的一般步骤： (1)审：审清题意，找出等量关系； (2)设：设出未知数，用所设的未知数表示其他量； (3)列：列一元二次方程； (4)解：解一元二次方程； (5)验：检验所求的解是否符合题意，确定未知数的值； (6)答：作答。 知识点9 一元二次方程的应用 常见问题： 平均增长率(降低率)问题： a(1±x)n=b， x为平均增长(或降低)百分率， a是增长(或降低)前的量， b是增长(或降低)n次后的量。 几何图形面积问题：根据题意设出未知数，并用含该未知数的代数式表示相关线段，利用图形的面积公式列方程求解; 当涉及不规则图形时，可采用割补法(即利用图形面积的和差关系)或者通过平移、旋转转化为规则图形进行求解； 若问题中涉及直角三角形，则通常借助勾股定理列方程求解。 知识点9 一元二次方程的应用 常见问题： 商品销售问题：单件利润=售价-成本； 总销量=原销量±因售价变化增减的销量； 总利润=单件利润×总销量。 几何图形中的动点问题：解决此类问题主要从两方面入手: 一是审清题意，明确动点的起点、终点、路线、速度等; 二是用含时间t的代数式正确表示有关线段的长; 进而表示相关图形的面积，再根据题中给出的等量关系列出方程求解。 如图，在矩形ABCD中，AB=10 cm，AD=8 cm， 点P从点A出发 沿AB以2 cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1 cm/s 的速度向终点C运动，当点P，Q 中有一个点到达终点后另一个点也停止运动。 (1)几秒后，点P，D间的距离是点P，Q间的距离的2倍? 知识点9 一元二次方程的应用 例9 解：(1)设t s后，点P，D间的距离是点P，Q间的距离的2倍， 则AP=2t cm，BP=(10-2t)cm，BQ=t cm。 ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A=∠B=90°。 在Rt△APD中，PD²=AP²+AD²。 在Rt△PBQ中，PQ²=BP²+ BQ²。 ∵PD=2PQ，∴PD²=4PQ²， ∴(2t)²+8²=4[(10-2t)²+t²]， 即t²-10t+21=0， 解得t1=3，t2=7。 ∵10-2t≥0，∴t≤5，∴t=3。 答：3s后，点P，D间的距离是点P，Q间的距离的2倍。 知识点9 一元二次方程的应用 如图，在矩形ABCD中，AB=10cm，AD=8cm， 点P从点A出发 沿AB以2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以1cm/s 的速度向终点C运动，当点P，Q 中有一个点到达终点后另一个点也停止运动。 (2)几秒后，△DPQ的面积是24cm²? 知识点9 一元二次方程的应用 例9 (2)设x s后，△DPQ的面积是24cm²。 由题意，×8×2x+(10-2x)·x+(8-x)×10=10×8-24。 整理，得x²-8x+16=0。 解得x1=x2=4。 易知x=4满足题意。 答：4s后，△DPQ的面积是24cm²。 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元。 (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率。 解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x。 根据题意列方程，得125(1-x)2=80。 解得x1=0.2=20%，x2=1.8(不符合题意，舍去)。 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%。 知识点9 一元二次方程的应用 例10 某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元。 (2)2024年该超市用不超过7 800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品。 (2)设购进y件甲种商品，则购进(100-y)件乙种商品。 根据题意列不等式，得(125-25×2)y+80(100-y)≤7 800。 解得y≥40，所以y的最小值为40。 答：最少购进40件甲种商品。 知识点9 一元二次方程的应用 例10 $