2.2 平方根与立方根 同步练习2026-2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学同步练，聚焦平方根与立方根，通过基础巩固、思维拓展、延伸探究三层设计，实现从概念理解到综合应用再到创新探究的知识进阶，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固提优|算术平方根、平方根、立方根的定义与基本运算|以选择、填空为主，直接考查概念辨析（如49的算术平方根）和简单计算，夯实基础| |思维拓展提优|性质应用、实际情境问题、跨知识点整合|结合生活情境（如服务器散热计算）、规律探究（如数值转换器），培养推理能力与应用意识| |延伸探究提优|复杂问题解决、数学文化与创新思维|设置“完美组合数”“魔方棱长计算”等探究题，渗透数学文化，发展创新意识与模型观念|

2.2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 基础巩固提优 1.49的算术平方根是( ). A. 7 B. ±7 C. D. 2.4的算术平方根是 . 3.已知a 的算术平方根是3，b的算术平方根是4，求a+b的算术平方根. 思维拓展提优 4.已知 那么 的值为 . 5.一个自然数的算术平方根为a(a>1)，则与这个自然数相邻的两个自然数的算术平方根为 . 6.若 为整数，x为正整数，则x 的值是 7.有一个数值转换器，原理如图所示.当输入x 的值为4时，输出y的值为 8.计算: 9.在人工智能数据中心中，服务器芯片的导线散热性能是核心技术指标.电流通过导线时会产生热量，电流I(单位：A)、导线电阻R(单位：Ω)、通电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J)满足 (1)若导线电阻为5Ω，电流为 A,则1s时间导线产生的热量是多少? (2)若导线电阻为5Ω，1s时间导线产生的热量为80J，则电流I的值是多少? 延伸探究提优 10.小明打算用一块面积为900 的正方形木板，沿着边的方向裁出一个面积为588 的长方形桌面，并且其长宽之比为4：3，你认为能做到吗?如果能，计算出桌面的长和宽；如果不能，请说明理由. 第2课时 平方根 基础巩固提优 1.“ 的平方根是 的数学表达式是( ). A. B. C. D. 2.≪九章算术≫第四章“少广”中的“开方术”特指开平方运算.将2 开平方，结果是( ). A. B. 2² C. D. 3.若实数x 没有平方根，则x可以是( ). A. - 1 B. 0 C. 1.1 D.2 4.若 则a 是( ). A. - 3 B. ±3 C. 3 D. 9 5.(1)36 的平方根是 , 的平方根是 ， 的平方根是 ， 的平方根是 . (2)一个数的平方等于它本身，那么这个数是 ；一个数的平方根等于它本身，那么这个数是 . 6.(2026·河南周口西华期末)若 则a 的值为 7.(2026·山东烟台期末)若一个正数的两个平方根为a+1和2a-13,则这个数是 . 8.已知3a-1的算术平方根是 ,2是3a+b-1的平方根，求a+2b的平方根. 思维拓展提优 9.(2026·河南驻马店泌阳期末改编)数a 在数轴上的位置如图所示，下列各数中，有平方根的是( ). A. a B. - a D. a³ 10.若 与 6x³y”的和是单项式,则(m+n)³的平方根为( ). A. 4 B. 8 C.±4 D. ±8 11.下列有关平方根的叙述，正确的个数是( ).①如果a 存在平方根，那么a>0；②如果a 没有平方根，那么a<0；③若a>0, 则a是x的一个平方根；④任何数的平方是非负数，因而任何数的平方根也是非负数；⑤任何一个非负数的平方根都不大于这个数. A. 1 B. 2 C.3 D.4 12.如果 0)，那么称x为a 的四次方根，一个正数a的四次方根有两个，它们互为相反数，记为 若 则m= . 13.已知 根据此规律 14.求满足下列各式的x的值： 15.(2026·广东佛山南海区十校联考期中)我们知道，负数没有算术平方根，但对于三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“完美组合数”.例如:-9,-4,-1这三个数， 其结果6，3，2 都是整数，所以-1，-4，-9这三个数称为“完美组合数”. (1)根据题意，直接写出一组“完美组合数”为 (不重复题目中出现的完美组合数)； (2)若三个数-3,m,-12是“完美组合数”,其中有两个数乘积的算术平方根为12，求m的值. 16.全球气候变暖世界气象组织发布的《2025年全球气候状况报告》表明全球进入气候紧急状态，全球气候变暖导致一些冰川融化并消失.在冰川消失12年后，一种低等植物苔藓就开始在岩石上生长.每一个苔藓都会长成近似圆形，苔藓的直径和其生长年限，近似地满足如下的关系式：d=7× 其中d 代表苔藓的直径，单位是厘米；t代表冰川消失的时间，单位是年. (1)计算冰川消失16年后苔藓的直径. (2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米，问冰川约是在多少年前消失的? 延伸探究提优 挑战自我，激发创新 17. (1)求 的值，对于任意实数a， 等于多少? (2)求 的值，对于任意非负实数a， 等于什么? (3)比较(1)(2)的结果，把你的发现用式子表示出来. (4)根据上面发现的规律，求 的算术平方根. 第3课时 立方根 基础巩固提优 1.(2026·福建三明期末)-0.027的立方根是( ). A. ±0.3 B. - 0.3 C. 0.3 D.不存在 2.(2025·河北唐山曹妃甸区期中)下列说法中，正确的是( ). A.一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B.一个非零数的立方根与这个数同号 C.如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D.一个数的立方根是非负数 3.(2026·上海黄浦区期中)有这样一道题目：“已知 求x 的值.”甲、乙二人的说法如下，则下列判断正确的是( ). 甲：x的值是1； 乙：甲考虑的不全面，x还有另一个值. A.甲说的对，x的值就是1 B.乙说的对，x的另一个值是2 C.乙说的对，x的另一个值是-1 D.两人都不对，x应有3个不同的值 4.计算: 5.求下列各式的值： 思维拓展提优 6.如图，某港口有一个体积为27 m³的正方体集装箱，为存放更多的货物，现准备将其改造为一个体积为216 m³ 的正方体集装箱，改造后正方体的棱长是原来正方体棱长的( ). A. 2倍 B. 3倍 C. 6倍 D. 9倍 7.如图，有一个数值转换器，流程如下：当输入x的值为64时，输出y的值是( ). A. 2 B. 2 C. D. 8.已知x为实数，且 则 的平方根为 9.若 则 10.已知 则a 的值为 . 11.已知是m+3的算术平方根， 是n-2的立方根，求M-N 的平方根. 学科网（北京）股份有限公司 12.如图(1)，这是一个3 阶魔方，由三层完全相同的27个小立方体组成，体积为27. (1)求出这个魔方的棱长； (2)图中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分的面积及其边长； (3)在图(2)的4×4方格中画一个面积为10的正方形，并将数轴补充完整，然后用圆规在数轴上表示实数 13.当a+b=0时, 也成立，若将a 看成a³的立方根，b看成b³的立方根，我们能否得出这样的结论： 若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数. (1)试举一个例子来判断上述猜测结论是否成立； (2)若 与 互为相反数，求1- 的值. 延伸探究提优 14.数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题：求59 319 的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙.你知道怎样迅速地求出计算结果吗?请你按下面的步骤试一试. 第一步： 且1000<59319<1000000, ，即59319的立方根是一个两位数. 第二步:∵59 319 的个位数字是 9,而 729,∴能确定 的个位数字是9. 第三步：如果划除59 319 后面的三位数，得到数59,而27<59<64, 可得 ∴59 319 的立方根的十位数字是3. ∴59319的立方根是39. 根据上面的材料解答下面的问题： (1)填空：1728的立方根是一个 位数，其个位数字是 ； (2)仿照上面的方法求157 464 的立方根a,并验证a是157464的立方根. 2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 1. A 2.2 3.因为a 的算术平方根是3，b的算术平方根是4， 所以 所以a+b=25,所以a+b的算术平方根为5. 解后反思 本题考查算术平方根的知识，掌握算术平方根的定义是解题的关键. 4.1 [解析]∵ +2+|y-1|=0,∴x+2=0,y-1=0,∴x=-2,y=1, 归纳总结 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可. 和 [解析]由题意可知该自然数为a²，∴该自然数相邻的两个自然数为 和 和 的算术平方根为 和 解后反思 本题考查算术平方根，解题的关键是求出该自然数的表达式，本题属于基础题型. 6.4或7或8 [解析]∵8-x≥0,x为正整数, ∴1≤x≤8且x为整数. 为整数， 或1或2, ∴当 时,x=8;当 时,x=7;当 时,x=4.综上所述，x的值是4或7或8. 7. [解析]x=4时，它的算术平方根2.因为2是有理数，所以取2的算术平方根 , 是无理数，所以 8.原式=-8+8+2=2. 故产生的热量为30 J. (2)把R=5Ω,t=1s,Q=80J代入( 得 ∵I>0,∴I= =4(A). 故电流I的值为4 A. 10.能做到.理由如下： 设桌面的长和宽分别为4x cm和3x cm. 根据题意,得4x·3x=588,. ∵x>0, ∴4x=4×7=28,3x=3×7=21. 因为面积900cm² 的正方形木板的边长为30cm,28<30,所以能够裁出一个面积为588cm²，且长宽之比为4：3的长方形桌面，桌面的长和宽分别为28cm和21cm. 第2课时 平 方 根 1. A[解析]根据平方根的定义，得数学表达式是 故选 A. 归纳总结 对于两个实数a，b，若满足 那么a 就叫作b的平方根，据此求解即可. 2. D 3. A 4. B 5.(1)±6 ± ±2 ± (2)0或1 0 知识拓展 一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根；一个正数的止的平方根叫作它的算术平方根. 6.25 [解析]· ∴a=25. 解后反思 根据算术平方根的定义求出a 即可. 7.25 [解析]∵一个正数的两个平方根为a+1和2a-13,∴a+1=-(2a-13),解得a=4, 则这个正数为( 思路引导 根据平方根的性质，一个正数的两个平方根互为相反数，由此列出方程求解. 8.∵3a-1的算术平方根是 ,∴3a-1=2,∴a=1. ∵2是3a+b-1的平方根, ∴3a+b-1=4,∴3×1+b-1=4, ∴b=2,∴a+2b=1+2×2=5, ∴a+2b的平方根是 9. B [解析]由题意可知a<0,∴-a>0, ∴只有B选项是正数，有平方根，A，C，D均错误.故选 B. 解题关键 本题主要考查了平方根的性质，掌握其性质是解题的关键. 10. D[解析]因为两个单项式的和还是单项式，则原单项式是同类项,故m=3,n=1,所以( 则它的平方根为±8.故选 D. 11. A 12.±10 [解析] 关键提醒 本题考查了四次方根的定义.关键是求四次方根时，注意正数的四次方根有2个. 14.(1)(x-4)²=4,x-4=±2,x=6或2. 或-6. 15.(1)-16,-25,-36(答案不唯一) [解析] ∴-16,-25,-36 是一组“完美组合数”. (2)由题意可得这三个数中有两个数的乘积为 ∵这三个数互不相等,且144=(-12)×(-12), ∴只能是-3·m=144,∴m=-48. 思路引导 (1)根据题意可知，只要三个负数的绝对值都是一个完全平方数即可满足这三个数是一组“完美组合数”，据此求解即可； (2)根据算术平方根的定义可得这三个数中有两个数的乘积为144，再根据这三个数互不相同可得-3·m=144，据此可得答案. 16.(1)当t=16时, (厘米)，∴冰川消失16年后苔藓的直径为14厘米. (2)当d=35厘米时, ∴t-12=25,解得t=37.故如果测得一些苔藓的直径是35 厘米，那么冰川约是在37年前消失的. 即 对“a”没有条件限制. ∵a≥0,∴(√a)²=a,即( 只有“a≥0”才成立. (3)若a>0,则 若a=0,则 若a<0,则 的算术平方根是 关键提醒 本题考查了算术平方根的应用，注意：当a≥0时, 当a<0 时, 没有意义. 第3课时 立 方 根 1. B [解析]: ∴-0.027的立方根是-0.3.故选 B. 归纳总结 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a 的立方根，由此即可得到答案. 2. B[解析]A.一个数的立方根有1个，故该选项不符合题意；B.一个非零数的立方根与这个数同号，故该选项符合题意；C.负数有立方根，但负数没有平方根，故该选项不符合题意；D.正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0，故该选项不符合题意.故选 B. 3. D [解析] ∴x-1=±1或x-1=0.当x-1=1时,x=2;当x-1=-1时,x=0; 当x-1=0时,x=1. 即x有3个不同的值，故两人说法都不对.故选D. 4.3 6. A[解析]根据题意可知改造前集装箱的棱长为 3(m)，改造后集装箱的棱长为 ∵6÷3=2, ∴棱长应变为原来的2倍.故选 A. 关键提醒 先根据立方根分别求出体积为27m³的正方体的棱长和体积为216m³的正方体的棱长，然后作除法即可得出结论. 7. C [解析]当输入x的值为64时, 是有理数， 是有理数， 是无理数，输出，即. 故选 C.8.3和-3 [解析]∵x为实数,且 ∴x-3=2x+1,解得x=-4, 归纳总结 根据立方根和已知得出x-3=2x+1，求出x，再求出. ，最后根据平方根的定义求解即可. 9.4 [解析]∵ =8,∴x=64,则 解题关键 此题主要考查了算术平方根、立方根，正确得出x的值是解题的关键. 10.±1或0或: [解析]因为 所以1- 或 或 解得a=±1或0或: 11. 是m+3的算术平方根， ∴m-4=2,解得m=6,. 是n-2的立方根， ∴2m-4n+3=3,即12-4n+3=3,解得n=3, ∴M-N=3-1=2, ∴M-N的平方根是 12.(1)∵27个小立方体的体积为27, ∴一个小立方体的体积为1， ∴一个小立方体的棱长为 ∴这个魔方的棱长为3. (2)∵阴影部分的面积为 ∴正方形ABCD的边长为 (3)(答案不唯一)如图，正方形OABC 为所求作，以点O为原点，建立如图所示的数轴，以点O 为圆心、OC 的长为半径画弧，交数轴上一点 D，则点 D 表示的数为 ∵正方形OABC 的面积为 ∴正方形的边长 ∴点 D 表示的数为 归纳总结 本题主要考查了立方根的应用、算术平方根的应用、数轴上点的特征，解题的关键是数形结合，熟练掌握割补法求图形的面积. 13.(1)因为2+(-2)=0,且 有8+(-8)=0，所以结论成立，即“若两个数的立方根互为相反数，则这两个数也互为相反数”是成立的.(答案不唯一) (2)由(1)验证的结果知,1-2x+3x-5=0,所以x=4,所以 14.(1)两 2 [解析]∵1000<1728<1000000, 是一个两位数. 个位数字是2. ,且1000<157 464<1000000,∴157464的立方根是两位数. ∵157464的个位数字是4,而 ∴能确定 的个位数字是4. 根据157464的个位数推断立方根的个位数字 如果划除157464后面的三位数,得到数157,而125<157<216, ∴157464的立方根的十位数字是5. ∴157464的立方根是a=54. 验证： ∴a是157464的立方根. 第4课时 估算与用计算器开方 1. A [解析]∵1<2<4,. 即 的值在1和2之间.故选 A. 2. C [解析]∵1<3<4,. ∴a=0,b=1.故选C. 解题关键 本题考查了无理数的估算，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数是解题的关键. 3. C 4.< > < < [解析]( 归纳总结 1.用计算器求算术平方根或立方根时，计算器显示的数值，许多都是近似值，要根据题目要求的精确度确定结果；2.用不同型号的计算器进行开平方运算时，按键顺序可能有所不同，要根据计算器的使用说明来选择按键顺序. 6. C[解析]由题意知，第1步结果为 第2步结果为 第3步结果为 第4步结果为 第5步结果为 第6步结果为 第7步结果为 …, ∴运算的结果以25,0.04,0.2,0.04,25,5六个数为周期循环. ∵2026÷6=337……4, ∴第2026步之后显示的结果为0.04.故选C. 7.> [解析]∵∠C=90°,BC=3,BD=AC=1, ∵在△ABD中,AD+BD>AB, 8.3(答案不唯一)[解析] ，a为整数，∴a可以是3(答案不唯一). 9.4 44 444 44…4 80个4 10.-47 [解析]: 17=-47. 11.16.39 [解析] 1.639=16.39. 根据这些数据猜想得到 12.(1)25 (2)方法1: 方法2： 即 设 其中0<x<1,则 即 当0<x<1时,可忽略x²,所以33≈25+10x,解得x≈0.8,即 (任选一种方法即可) 13.(1)设这块长方形荒地的宽为 xm，则长为2xm，根据题意,得2x·x=400000, ∵x>0,∴x= ，∴这块地的宽为 ∴在误差小于10m时,它的宽大约是440m或450m. 解题关键 本题考查算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义，会估算是解题的关键. 14.(1)设 其中0<t<1, ∵t² 比较小,将t²忽略不计,∴67≈81-18t, (2)用①的形式得出的 的近似值的精确度更高.理由如下： ∵8.18×8.18=66.912 4,8.19×8.19=67.076 1, ∴用①的形式得出的 的近似值的精确度更高. $