2.2 平方根 课时同步训练 2026-2027学年北师大数学八年级上册

**基本信息** 本同步练聚焦北师大八年级上册“平方根”课时，以“概念理解-性质应用-综合建模”为路径，分层设计基础巩固与能力提升题，适配新授课知识内化与核心素养培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|平方根定义、表示方法、性质|选择/填空题（如1-16题）强化概念辨析，培养抽象能力与符号意识| |提升层|开平方运算、与算术平方根的区别|解答题（如12、24题）深化性质应用，发展推理意识与运算能力| |综合层|解方程及实际应用|情境题（如28题建筑支架问题）构建数学模型，体现应用意识与几何直观|

2026－2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数 2 平方根与立方根 第2课时 平方根 ▌课时目标 1. 理解平方根的定义，掌握正数有两个互为相反数的平方根、0的平方根是0、负数没有平方根的性质，会用正确表示非负数的平方根。 2. 能清晰区分平方根与算术平方根的异同，理解开平方与平方运算的互逆关系，熟练求出完全平方数的平方根。 3. 能利用平方根的概念解形如的一元二次方程，初步体会方程思想在代数运算中的应用。 ▌课时目录 知识点01：平方根的定义 知识点02：平方根的表示方法 知识点03：平方根的性质 知识点04：开平方运算的概念 知识点05：平方根与算术平方根的区别与联系 知识点06：求一个数的平方根 知识点07：利用平方根的概念解方程 ▌知识点01：平方根的定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。其中a叫做被开方数，被开方数必须是非负数（），否则不存在实数x满足。 例如：因为，所以±3是9的平方根；因为0²＝0，所以0是0的平方根。 1．（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方根的定义，先判断表示形式，再验证计算结果．即正数的平方根表示为，是算术平方根，是立方根． 【详解】解：64的平方根需表示为，A、C、D均不符合该形式． ∵， ∴，选项B正确． 2．（25-26七年级下·四川凉山·期末）若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义得到，，则可求出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵2026的两个平方根是和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若a，b是2026的两个平方根（），则______． 【答案】 【分析】本题考查平方根的性质，代数式求值，熟练掌握平方根的性质是解题关键. 先根据平方根的性质可得，，从而可得，再代入计算即可. 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ， ， ． 4．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如果，是2026的两个平方根，那么__________． 【答案】 【分析】根据平方根的性质可知，一个正数的两个平方根互为相反数，由此可得与的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：，是的两个平方根， ，， ． ▌知识点02：平方根的表示方法 非负数a的平方根记作，读作“正负根号a”。其中“”是根号，a是被开方数，表示a的算术平方根（非负的平方根）。 例如：9的平方根记作，计算得；的平方根记作，计算得。 注意：是一个整体，不能遗漏“±”号，否则仅表示算术平方根。 5．（25-26七年级下·北京丰台·期末）16的平方根为（     ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 【答案】D 【分析】根据平方根的定义即可解答． 【详解】解：， 的平方根为． 6．（2026·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的值小于6 B．是4的平方根 C．的算术平方根是 D． 【答案】B 【分析】根据无理数大小估算，平方根与算术平方根的概念，逐一判断选项即可． 【详解】解：A：由，可得，故A错误，不符合题意； B：，故是4的平方根，B正确，符合题意； C、，故的算术平方根是3，C错误，不符合题意； D、，D错误，不符合题意． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知是9的平方根，则的值是__________． 【答案】1或 【分析】根据平方根的定义得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：的平方根是，是的平方根， 或， 解得：或． 8．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）5的平方根是__________． 【答案】 【详解】根据平方根的定义，若，则称为的平方根，正数有两个平方根，且互为相反数． 因为， 所以的平方根是． ▌知识点03：平方根的性质 平方根具有如下性质： 1. 正数有两个互为相反数的平方根； 2. 0的平方根是0（仅有1个）； 3. 负数没有平方根。这是因为任意实数的平方都是非负数，所以负数不可能是一个实数的平方，因此不存在负的平方根。 例如：5和－5是25的两个平方根，互为相反数；－4没有平方根。 9．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则m的值是（    ） A． B．4 C． D．9 【答案】B 【分析】利用“一个正数的两个不同平方根互为相反数”列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根分别是和， ∴ ， 整理得， 解得． 10．（25-26七年级下·河南三门峡·期中）若一个正数的平方根分别是与，则为________． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可列方程求得的值． 【详解】解：一个正数的平方根分别是与， ， 解得． 11．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如果的平方根是a和b，那么_______． 【答案】600 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，整体代入求值即可． 【详解】解：∵的平方根是a和b， ∴， ∴． 12．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数x的两个不相等的平方根分别是和． (1)求x的值． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)15 【分析】根据平方根得出，求出，求出的值，根据立方根得出关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】（1）解：因为x的两个不相等的平方根分别是和， 所以， 解得， 所以． （2）解：因为， 所以， 所以， 所以． ▌知识点04：开平方运算的概念 求一个数a的平方根的运算叫做开平方，开平方运算是平方运算的逆运算。平方运算是已知底数求幂，开平方运算是已知幂求底数。 例如：因为(±4)²＝16，所以±4是16的平方根，这一过程就是开平方；反之，计算4²＝16是平方运算。开平方运算的前提是被开方数。 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）25的平方根是（     ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】平方根的定义，若，则是的平方根． 【详解】解：， 的平方根是． 14．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）若一个数的一个平方根是2026，则它的另一个平方根为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根的基本性质，一个正数的两个平方根互为相反数，利用该性质可直接求解． 【详解】∵ 一个正数的两个平方根互为相反数， 这个数的一个平方根是， ∴ 它的另一个平方根是． 15．（25-26七年级下·河南许昌·期末）的平方根是________． 【答案】 【分析】先计算乘方得到运算结果，再根据平方根的定义求出最终结果． 【详解】解：， ∴的平方根是． 16．（25-26七年级下·四川广安·期末）如果，则的平方根是_________． 【答案】 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，求出，的值．代入代数式计算出结果后，再求该结果的平方根即可． 【详解】解：由题意可得，， ， ∴，， 解得，． 将，代入得：． ， 的平方根是． ▌知识点05：平方根与算术平方根的区别与联系 区别： 1. 定义不同：算术平方根是正数x满足，平方根是满足的所有数x； 2. 个数不同：正数有且只有1个算术平方根，有2个互为相反数的平方根；0的算术平方根和平方根都是0；负数既没有算术平方根也没有平方根； 3. 表示方法不同：算术平方根记作，平方根记作。 联系： 1. 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中非负的那一个； 2. 两者的被开方数都要求； 3. 若，则a的平方根可以表示为，其中是算术平方根。 17．（25-26七年级下·青海西宁·期末）若实数没有平方根，则可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵实数没有平方根, ∴. 故选项中只有满足条件. 18．（25-26七年级下·四川南充·期末）下列各数中，没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“负数没有平方根”，判断各选项数值的正负性即可得到结果. 【详解】解：根据平方根的性质：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根， ∵ ，，， ∴ 只有是负数，因此没有平方根. 19．（25-26八年级下·重庆·期末）计算：____________． 【答案】 【详解】解：． 20．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________． 【答案】121 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数的性质，列出一元一次方程求解，再计算得到这个正数． 【详解】解： 一个正数的两个平方根互为相反数， ， 合并同类项得 ， 解得 ， 将代入得其中一个平方根为 ， 因此这个正数为 ▌知识点06：求一个数的平方根 求非负数a的平方根的步骤： 1. 先判断a≥0，若a＜0则直接说明没有平方根； 2. 求出a的算术平方根； 3. 在算术平方根前添加“±”号，即得a的平方根。 对于非完全平方数，可保留根号形式，如2的平方根是。 21．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先计算出的结果，再根据平方根的定义求出结果的平方根即可，需注意区分原式结果和原式结果的平方根两个概念． 【详解】解：， ， ， 又， 的平方根是， 即的平方根是． 22．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）正数的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】若，则叫做的平方根． 【详解】解：正数的平方根是． 23．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）13的平方根是___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴13的平方根是． 24．（25-26七年级下·广东湛江·期末）已知．求的平方根． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，，解得，．           ． 的平方根为， 的平方根为． ▌知识点07：利用平方根的概念解方程 对于形如（）的一元一次方程，根据平方根的定义，方程的解为。若a＜0，则方程无实数解。 解题步骤： 1. 将方程整理为的形式； 2. 判断a的符号，若则开平方求解，若a＜0则无解。 25．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）已知，则x的值为______________． 【答案】 【详解】解： 解得． 26．（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知，则的值为________________． 【答案】5或 【详解】解：∵， ∴， 当时，解得， 当时，解得， 综上所述，x的值为或． 27．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． 【答案】 【分析】先展开原式得到二次三项式，再根据完全平方式的结构特征列方程，求解方程即可得到常数的值． 【详解】解：∵， 又∵代数式是完全平方式， ∴一次项系数一半的平方等于常数项，可得：， 整理得：， 解得． 28．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． (1)求初始状态下的水平距离的长． (2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为，进而根据勾股定理求解即可； （2）先求出和的长度，进而运用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：设初始状态下的水平距离为，则斜梁的长为． ， 为直角三角形， 解得， 答：初始状态下的水平距离的长为； （2）解：由于斜梁的长度比水平距离多， ∴斜梁的长为， 由题意得，降低后竖直高度为． 在中，， 解得． ∴斜梁底部移动距离为， 答：斜梁落点C向外移动了． ▌课时训练 一、选择题 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 【答案】A 【分析】根据平方根的定义，负数没有平方根，非负数（0和正数）才有平方根，据此解答即可． 【详解】解：∵负数没有平方根， ∴四个选项中只有没有平方根． 2．（2026·河南漯河·模拟预测）下列各数属于无理数的是（     ） A． B． C． D．3.1415926 【答案】A 【详解】解：A、是无限不循环小数，属于无理数； B、是整数，属于有理数； C、是分数，属于有理数； D、3．1415926是有限小数，属于有理数． 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 【答案】C 【分析】本题主要考查整式乘法和平方根概念，解题的关键是求出k和p的值． 将左边多项式展开后与右边对应项系数比较，确定k和p的值，再计算的平方根即可． 【详解】解： ， ， 的平方根为， 故答案为： C． 4．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 二、填空题 5．（25-26七年级下·广东湛江·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，则是______________． 【答案】 【分析】根据一个正数有两个平方根，并且它们互为相反数得出，即可求出的值． 【详解】解：根据题意得：， 解得． 6．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质以及平方根的定义．直接利用非负数的性质得出x，y的值，进而利用平方根的定义得出答案． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， 解得：，， 则， 故的平方根为：． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·河南安阳·期中）的平方根是______． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的性质化简已知式子，再根据平方根的定义计算最终结果．解题时需注意审题，不要混淆化简结果与待求的平方根． 【详解】解：， 的平方根是． 8．（25-26七年级下·河北雄安·期中）一个正数的两个不同的平方根是与，则的值为______． 【答案】 【分析】如果一个数的平方等于，即，那么叫做的平方根或二次方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，的平方根是，负数没有平方根． 【详解】解：根据题意，得． 解方程，得． 所以． 所以． 三、解答题 9．（25-26七年级下·山东青岛·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)如图，用个长为、宽为的小长方形可以围成一个大正方形，由此可以得到等式为：________． (2)已知，求代数式的值； (3)如图，正方形和正方形如图放置，已知两个正方形的边长之和为，阴影部分的面积为，则的长为_______． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）大正方形的面积等于中间一个小正方形的面积与四个小长方形的面积之和，据此解答即可； （2）根据，和（1）的等式求出的值，再利用平方根的性质求解即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，先得出和的值，再结合（1）的等式和平方根的性质计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，大正方形的面积等于中间一个小正方形的面积与四个小长方形的面积之和， 由此可以得到等式为：． （2）解：∵， ∴ ， 利用平方根的性质得：． （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，则， ∵两个正方形的边长之和为， ∴， 如图，连接， ∴阴影部分的面积为， ∵阴影部分的面积为， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∴的长为3． 10．（25-26七年级下·云南昆明·期末）阅读下段材料： 若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得． ，都是有理数， ，也是有理数． 是无理数， ，， ，． 根据阅读材料，解决以下问题： 若，都是有理数，且，求的值． 【答案】 【分析】仿照材料给出的方法，将原等式拆分为有理数部分和含的无理数部分，利用有理数和无理数的性质，令两部分分别等于0，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ，都是有理数， ，都是有理数 ， 是无理数， ， 解得或， 当，时，， 当，时， ， 综上所述，的值为． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026－2027学年度北师大数学八年级上册课时同步训练 第二章 实数 2 平方根与立方根 第2课时 平方根 ▌课时目标 1. 理解平方根的定义，掌握正数有两个互为相反数的平方根、0的平方根是0、负数没有平方根的性质，会用正确表示非负数的平方根。 2. 能清晰区分平方根与算术平方根的异同，理解开平方与平方运算的互逆关系，熟练求出完全平方数的平方根。 3. 能利用平方根的概念解形如的一元二次方程，初步体会方程思想在代数运算中的应用。 ▌课时目录 知识点01：平方根的定义 知识点02：平方根的表示方法 知识点03：平方根的性质 知识点04：开平方运算的概念 知识点05：平方根与算术平方根的区别与联系 知识点06：求一个数的平方根 知识点07：利用平方根的概念解方程 ▌知识点01：平方根的定义 一般地，如果一个数x的平方等于a，即，那么这个数x就叫做a的平方根（也叫二次方根）。其中a叫做被开方数，被开方数必须是非负数（），否则不存在实数x满足。 例如：因为，所以±3是9的平方根；因为0²＝0，所以0是0的平方根。 1．（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列式子能正确表示并计算“64的平方根”的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川凉山·期末）若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期末）若a，b是2026的两个平方根（），则______． 4．（25-26八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）如果，是2026的两个平方根，那么__________． ▌知识点02：平方根的表示方法 非负数a的平方根记作，读作“正负根号a”。其中“”是根号，a是被开方数，表示a的算术平方根（非负的平方根）。 例如：9的平方根记作，计算得；的平方根记作，计算得。 注意：是一个整体，不能遗漏“±”号，否则仅表示算术平方根。 5．（25-26七年级下·北京丰台·期末）16的平方根为（     ） A．2 B．±2 C．4 D．±4 6．（2026·陕西西安·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．的值小于6 B．是4的平方根 C．的算术平方根是 D． 7．（25-26七年级下·山东济南·期末）已知是9的平方根，则的值是__________． 8．（24-25八年级上·广东佛山·阶段检测）5的平方根是__________． ▌知识点03：平方根的性质 平方根具有如下性质： 1. 正数有两个互为相反数的平方根； 2. 0的平方根是0（仅有1个）； 3. 负数没有平方根。这是因为任意实数的平方都是非负数，所以负数不可能是一个实数的平方，因此不存在负的平方根。 例如：5和－5是25的两个平方根，互为相反数；－4没有平方根。 9．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）若一个正数的两个不同的平方根分别是和，则m的值是（    ） A． B．4 C． D．9 10．（25-26七年级下·河南三门峡·期中）若一个正数的平方根分别是与，则为________． 11．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如果的平方根是a和b，那么_______． 12．（25-26七年级下·安徽蚌埠·期中）已知一个正数x的两个不相等的平方根分别是和． (1)求x的值． (2)若，求的值． ▌知识点04：开平方运算的概念 求一个数a的平方根的运算叫做开平方，开平方运算是平方运算的逆运算。平方运算是已知底数求幂，开平方运算是已知幂求底数。 例如：因为(±4)²＝16，所以±4是16的平方根，这一过程就是开平方；反之，计算4²＝16是平方运算。开平方运算的前提是被开方数。 13．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）25的平方根是（     ） A． B．5 C． D． 14．（25-26七年级下·甘肃陇南·期末）若一个数的一个平方根是2026，则它的另一个平方根为（     ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·河南许昌·期末）的平方根是________． 16．（25-26七年级下·四川广安·期末）如果，则的平方根是_________． ▌知识点05：平方根与算术平方根的区别与联系 区别： 1. 定义不同：算术平方根是正数x满足，平方根是满足的所有数x； 2. 个数不同：正数有且只有1个算术平方根，有2个互为相反数的平方根；0的算术平方根和平方根都是0；负数既没有算术平方根也没有平方根； 3. 表示方法不同：算术平方根记作，平方根记作。 联系： 1. 平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中非负的那一个； 2. 两者的被开方数都要求； 3. 若，则a的平方根可以表示为，其中是算术平方根。 17．（25-26七年级下·青海西宁·期末）若实数没有平方根，则可以是（     ） A． B． C． D． 18．（25-26七年级下·四川南充·期末）下列各数中，没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级下·重庆·期末）计算：____________． 20．（25-26七年级下·福建福州·期末）已知一个正数的两个平方根分别是和，则这个正数是__________． ▌知识点06：求一个数的平方根 求非负数a的平方根的步骤： 1. 先判断a≥0，若a＜0则直接说明没有平方根； 2. 求出a的算术平方根； 3. 在算术平方根前添加“±”号，即得a的平方根。 对于非完全平方数，可保留根号形式，如2的平方根是。 21．（25-26八年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根是（     ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·湖北孝感·期末）正数的平方根是（     ） A． B． C． D． 23．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）13的平方根是___________． 24．（25-26七年级下·广东湛江·期末）已知．求的平方根． ▌知识点07：利用平方根的概念解方程 对于形如（）的一元一次方程，根据平方根的定义，方程的解为。若a＜0，则方程无实数解。 解题步骤： 1. 将方程整理为的形式； 2. 判断a的符号，若则开平方求解，若a＜0则无解。 25．（25-26七年级下·甘肃平凉·期末）已知，则x的值为______________． 26．（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知，则的值为________________． 27．（25-26七年级下·广东深圳·期末）如果代数式是一个完全平方式，则常数的值是_____________． 28．（25-26八年级下·河北保定·期末）如图，这是建筑工人搭建的临时施工支架，竖直立柱垂直地面于点A，斜梁为斜边．初始时立柱顶端B离地面的距离，斜梁的长度比水平距离多．立柱位置不动，斜梁长度保持不变，现将立柱顶端竖直向下降低至点D． (1)求初始状态下的水平距离的长． (2)当立柱顶端竖直向下降低至点D时，求斜梁落点C在水平方向向外移动的距离．（结果保留根号） ▌课时训练 一、选择题 1．（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列各数没有平方根的是（    ） A． B．0 C．7 D．16 2．（2026·河南漯河·模拟预测）下列各数属于无理数的是（     ） A． B． C． D．3.1415926 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段检测）若，则的平方根为（   ） A．7 B． C． D．49 4．（25-26七年级下·贵州黔西南·期末）已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 二、填空题 5．（25-26七年级下·广东湛江·期末）若一个正数的两个平方根分别是和，则是______________． 6．（23-24七年级下·山东滨州·期末）若x，y为实数，且与互为相反数，则的平方根为__________． 7．（25-26七年级下·河南安阳·期中）的平方根是______． 8．（25-26七年级下·河北雄安·期中）一个正数的两个不同的平方根是与，则的值为______． 三、解答题 9．（25-26七年级下·山东青岛·期末）《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部数学巨著，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． (1)如图，用个长为、宽为的小长方形可以围成一个大正方形，由此可以得到等式为：________． (2)已知，求代数式的值； (3)如图，正方形和正方形如图放置，已知两个正方形的边长之和为，阴影部分的面积为，则的长为_______． 10．（25-26七年级下·云南昆明·期末）阅读下段材料： 若，都是有理数，且，求，的值． 由题意，可得． ，都是有理数， ，也是有理数． 是无理数， ，， ，． 根据阅读材料，解决以下问题： 若，都是有理数，且，求的值． / 学科网（北京）股份有限公司 $