4.1 线段、射线、直线 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 4.1线段、射线、直线 知识归纳与题型总结 考点01 直线 1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成，两点确定一条直线． 2. 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写两字母来表示． 3. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点． 4. 直线没有端点，没有长度，不可度量．“延长直线”的说法是错误的． 考向01 直线相交的交点个数问题 【例1】下列说法中不正确的是（　　） A．过两点有且只有一条直线 B．直线上任意两点都可以表示这条直线 C．两条直线相交只有一个交点 D．三条直线相交，共有三个交点 考向02 点与线的位置关系 【例2】下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 考向03 两点确定一条直线 【例3】生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【对点1】平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【对点2】如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【对点3】2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 考点02 射线 1. 与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示． 2. 射线只有一个端点，没有长度，不可度量．如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”． 考向01 直线，射线，线段的数量问题 【例1】如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 考向02 直线，射线，线段的联系与区别 【例2】如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 考向03 画出直线，射线，线段 【例3】如图，已知四点，，，，请解答下列问题： (1)画直线，射线，线段，； (2)连接并延长线段到点，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)我们不用测量就可以判断出线段与的长之和大于线段的长，理由是___________． 【对点1】在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 【对点2】下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 【对点3】已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 考点03 线段 1. 线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示．下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a． 2. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． 3. 线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段FE 或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 5. 线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较． 6. 点和直线的位置关系：点在直线上或点在直线外，也可以说成直线经过点或直线不经过点． 7. 线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算． 8. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点．如图，若点O是线段AB的中点，则有AO＝BO＝AB．反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO＝BO＝AB，那么点O为线段AB的中点． 9. 线段的n等分点：若线段上（n－1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n－1）个点为这条线段的n等分点． 考向01 线段的应用 【例1】往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 考向02 线段的和与差 【例2】如图，已知点是线段上的点，． (1)求的长； (2)若点是的中点，求的长． 考向03 线段中点的有关计算 【例3】如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 考向04 线段n等分点的有关计算 【例4】如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 考向05 线段之间的数量关系 【例5】如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 考向06 与线段有关的动点问题 【例6】已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 考向07 两点之间线段最短 【例7】贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 考向08 两点间的距离 【例8】若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 考向09 最短路径问题 【例9】作图题：如图，已知直线和直线外三点、、，请按下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线； (3)在直线上确定点，使得最小． 考向10 作线段（尺规作图） 【例10】如图，已知三点A，B，C，请按照下列语句作图．（尺规作图，保留作图痕迹） (1)作直线，射线； (2)连接并延长到D，使得． 【对点1】2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【对点2】如图，已知，点C在线段上，，点D是线段的中点，则线段的长度为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【对点3】如图，已知、两点把线段分成三部分，为的中点，，求和的长． 【对点4】如图，已知线段a，b． (1)尺规作图：作线段，使，反向延长线段到点C，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，，．若D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点，求线段的长． 【对点5】已知线段，延长至点，使是线段的中点，如果，那么的长为______． 【对点6】如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【对点7】从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【对点8】如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 【对点9】如图， 在正方形中， ，P 是对角线上一个动点，连接，，过点 P向P点右侧作的垂线交射线于点，连接． (1)如图1， 求证： ； (2)如图2，连接，在点P 从点A 向点 C 运动过程中，求 周长的最小值． 【对点10】如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 1、 选择题 1．已知线段，下列说法能确定点为线段中点的是（   ） ①；②；③；④ A．①③④ B．②③④ C．②④ D．② 2．若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 3．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 4．将一个圆进行切割，切痕为直线，要求切痕都两两相交，且任何三条切痕都不相交于同一点．如图1，若切1刀，能把圆分成2块；如图2，若切2刀，最多能把圆分成4块；如图3，若切3刀，最多能把圆分成7块．若切12刀，最多能把圆分成（     ） A．78块 B．79块 C．80块 D．81块 5．已知A、B、C在同一条直线上，线段，，则线段等于（     ）． A． B． C．或 D．不能确定 6．下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．如图所示的数轴，O为原点，且点O，C，B分别为线段中点，若A点表示的数为，则点D表示的数为（     ） A．9 B．6 C．3 D．1 8．如图，，D为的中点，，则的长是（     ） A． B． C． D． 9．如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 10．如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，点C是线段上的点，点D是线段的中点，，若与的长度比为，则线段的长是____________． 12．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 13．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 14．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 15．把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点，使，将绳子从点处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为________． 3、 解答题 16．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 17．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 18．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． 19．在一条直线上顺次取，，三点，已知，点是线段的中点，且，求的长． 20．如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 4.1线段、射线、直线 知识归纳与题型总结 考点01 直线 1. 直线的基本事实：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成，两点确定一条直线． 2. 直线可以用表示直线上任意两点的大写字母来表示，且字母不分顺序，也可以用一个小写字母来表示，但不能用两个小写字母或一个大写字母或一大写一小写两字母来表示． 3. 当两条不同的直线有一个公共点时，就称这两条直线相交，这个公共点叫作它们的交点． 4. 直线没有端点，没有长度，不可度量．“延长直线”的说法是错误的． 考向01 直线相交的交点个数问题 【例1】下列说法中不正确的是（　　） A．过两点有且只有一条直线 B．直线上任意两点都可以表示这条直线 C．两条直线相交只有一个交点 D．三条直线相交，共有三个交点 【答案】D 【详解】解： A、“过两点有且只有一条直线”是直线的基本公理，原说法正确，不符合题意； B、直线的表示方法为可用直线上任意两个点表示直线，原说法正确，不符合题意； C、不重合的两条直线相交时只有一个交点，原说法正确，不符合题意； D、三条直线相交时，交点个数可能为1个（三条直线交于一点）、2个（两条直线平行，第三条与它们相交）、3个（三条直线两两相交且不交于同一点），原说法错误，符合题意． 考向02 点与线的位置关系 【例2】下列几何图形与相应语言描述不相符的是（     ）． A．如图乙所示，直线与直线交于点 B．如图甲所示，直线不经过点 C．如图丁所示，线段与射线一定相交 D．如图丙所示，点在线段上 【答案】D 【分析】根据射线，线段，直线的定义对各选项进行判断作答即可． 【详解】A、B、C选项描述均正确，故不符合题意， D选项描述不正确，应为“如图丙所示，点在直线上”，故符合题意． 考向03 两点确定一条直线 【例3】生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（     ） A．均用两点之间线段最短来解释 B．均用经过两点有且只有一条直线来解释 C．现象用两点之间线段最短来解释，现象用经过两点有且只有一条直线来解释 D．现象用经过两点有且只有一条直线来解释，现象用两点之间线段最短来解释 【答案】D 【详解】解：现象：木板上弹墨线，可用“两点确定一条直线”来解释； 现象：把弯曲的河道改直，可以缩短航程可用“两点之间线段最短”来解释， 故选：D． 【对点1】平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有个交点，则______． 【答案】 【详解】解：平面内五条直线两两相交，最多有个交点，最少有1个交点， ． 【对点2】如图所示的正方形网格的格点中，与点P，Q在同一条直线上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】D 【详解】解：由图可知：与点P，Q在同一条直线上的是点D． 【对点3】2026年，中国获得了国际射联射击世界杯的举办权，自40年前许海峰在亚运会上射落4枚金牌后，射击逐渐成为中国队的优势项目，射击时，确保缺口、准星、目标三点一线即可命中目标．如图，设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是（     ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．两点确定一条直线 D．以上说法都不对 【答案】C 【分析】根据直线的性质（两点确定一条直线）可得答案． 【详解】解：设计枪械时，瞄准部件仅需缺口和准星即可，其原理是两点确定一条直线． 考点02 射线 1. 与直线的表示类似，射线也可以用表示端点和射线上另一个点的两个大写字母来表示，也可以用一个小写字母来表示． 2. 射线只有一个端点，没有长度，不可度量．如下图，“延长射线AB”的说法是错误的，但可以说“反向延长射线AB”． 考向01 直线，射线，线段的数量问题 【例1】如图，以点B为一个端点的线段共有_________条． 【答案】 3 【分析】根据线段的定义解答即可． 【详解】解：以点B为端点的线段有，共有3条． 考向02 直线，射线，线段的联系与区别 【例2】如图，下列说法正确的是（     ） A．射线和射线是同一条射线 B．直线和直线不是同一条直线 C．线段和线段不是同一条线段 D．点在线段的延长线上 【答案】A 【分析】根据直线、射线、线段的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、射线和射线是同一条射线，说法正确，符合题意； B、直线和直线是同一条直线，该选项说法错误，不符合题意； C、线段和线段是同一条线段，该选项说法错误，不符合题意； D、点在线段的反向延长线上，该选项说法错误，不符合题意． 考向03 画出直线，射线，线段 【例3】如图，已知四点，，，，请解答下列问题： (1)画直线，射线，线段，； (2)连接并延长线段到点，使得（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (3)我们不用测量就可以判断出线段与的长之和大于线段的长，理由是___________． 【答案】(1) (2) (3)两点之间，线段最短 【分析】（1）根据直线(无端点，向两方无限延伸)、射线(一个端点，向一方无限延伸)、线段(两个端点，有固定长度)的定义，分别画出指定图形即可． （2）要构造，只需在的延长线上利用圆规截取和等长线段即可完成尺规作图． （3）观察、、三点的位置，通过“两点之间线段最短”的基本事实，对比折线与线段的长度得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：根据“两点之间，线段最短”：是连接、的线段，而是从到再到的折线，折线长度大于线段长度，故． 【对点1】在如图所示的图形中，共有 _____条线段，以B为端点的线段有 _____． 【答案】 10 4条 【详解】解：如图所示的图形中，共有线段10条，分别是，，，，，，，，，， 以B为端点的线段有4条，分别是，，，． 【对点2】下列说法中正确的是（     ） A．直线相交于点 B．点P在直线的延长线上 C．射线和射线是同一条射线 D．线段和线段是同一条线段 【答案】D 【分析】根据直线、射线、线段的基本概念逐一判断选项正误即可． 【详解】解：对于选项A，∵点的表示应使用大写英文字母，∴点表示错误，A错误． 对于选项B，∵直线本身向两方无限延伸，不存在延长线，∴B错误． 对于选项C，∵射线的端点为，射线的端点为，端点不同，不是同一条射线，∴C错误． 对于选项D，∵线段仅由两个端点确定，与端点顺序无关， ∴线段和线段是同一条线段，D正确． 【对点3】已知平面上四点A、B、C、D，如图： (1)画直线； (2)画射线，与相交于O； (3)连结、相交于点F； (4)画射线； (5)画射线； (6)连接线段． 【答案】(1)，直线如图所示； (2)以点B为端点，向点C方向作射线，标注射线与直线的交点为O，作图见小问1答案 (3)分别连接、，标注两条线段的交点为F，作图见小问1答案 (4)以点F为端点，经过点O作射线，作图见小问1答案 (5)以点A为端点，经过点B作射线，作图见小问1答案 (6)连接点C和点D，得到线段，作图见小问1答案 【详解】（1）作图见答案 （2）作图见小问1答案 （3）作图见小问1答案 （4）作图见小问1答案 （5）作图见小问1答案 （6）作图见小问1答案 考点03 线段 1. 线段的表示：线段可以用表示端点的两个大写字母表示，也可以用一个小写字母来表示．下图中的线段可以表示为线段AB、线段BA或线段a． 2. 线段的基本事实：两点的所有连线中，线段最短．简单说成：两点之间，线段最短． 3. 线段、射线、直线的区别与联系 线段 射线 直线 图形 表示 线段EF或线段FE 或线段l 射线CD 直线AB或直线BA或直线l 区别 端点 有两个端点 有一个端点 无端点 延伸 不可以延伸 一端可以无限延伸 可以无限延伸 度量 可以度量 不可以度量 不可以度量 联系 都属于“线”，都是直的；线段和射线是直线的一部分 基本事实 两点之间，线段最短 两点确定一条直线 4. 两点间的距离：连接两点的线段的长度，叫作这两点间的距离． 5. 线段的比较：比较两条线段的长短，可用刻度尺分别测量出它们的长度来比较，或者把其中的一条线段移到另一条线段上作比较． 6. 点和直线的位置关系：点在直线上或点在直线外，也可以说成直线经过点或直线不经过点． 7. 线段的计算：线段也可以进行和差倍分的计算，线段的计算是指线段的长度的计算． 8. 线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点，叫作线段的中点．如图，若点O是线段AB的中点，则有AO＝BO＝AB．反之成立，即若点O为线段AB上一点，且满足AO＝BO＝AB，那么点O为线段AB的中点． 9. 线段的n等分点：若线段上（n－1）个点把这条线段分成了n条相等的线段，则称这（n－1）个点为这条线段的n等分点． 考向01 线段的应用 【例1】往返于贵阳到铜仁的列车，中途停靠4个站，则要准备 _____种不同的车票． 【答案】30 【分析】先计算出总的站点数量，再结合不同起点终点对应不同车票，即往返车票方向不同属于不同车票，计算即可得到总车票种类． 【详解】由题意可得，总站数为 （个）， 因为车票起点不同即为不同车票，每个站可到达剩余个站，因此总车票种类为：（种）． 考向02 线段的和与差 【例2】如图，已知点是线段上的点，． (1)求的长； (2)若点是的中点，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据比例关系，由，求出，再根据，可得，计算即可； （2）由（1）中结果先求出，再作差求出，根据中点的条件求出，最后作差即可求出． 【详解】（1）解：∵， ∴， ， ． ． （2）解：，， ． ． ∵点E是的中点， ． ． 考向03 线段中点的有关计算 【例3】如图，点C是线段上一点，点M，N分别是线段，的中点，，则线段________． 【答案】5 【分析】根据，代入求解即可； 【详解】解：根据题意，得点M，N分别是线段，的中点， ，， ， , ， 考向04 线段n等分点的有关计算 【例4】如图，已知点C在线段上，点分别在线段与线段上，且，． (1)若，求线段的长； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)3 (2)20 【分析】（1）将，，转化为 ，进而根据进行计算即可； （2）根据（1）可推出 ，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， 即， ∵， ∴． 考向05 线段之间的数量关系 【例5】如图，有公共端点的两条线段组成一条折线，若该折线上一点把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点叫做这条折线的“折中点”．已知点是折线的“折中点”，则的值为（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据“折中点”的定义，点将折线分成相等的两部分，即从经到的路径长等于从经到的路径长，且都等于折线总长的一半．分点在线段上和点在线段上两种情况，分别用和表示出的长，进而求出比值． 【详解】解：∵是折线的“折中点”， ∴点将折线分成的两部分长度相等，均为． 分两种情况讨论： ①当点在线段上时，如图： 此时从到的距离为，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ②当点在线段上时，如图， 此时从到的距离为，则， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，的值为2． 考向06 与线段有关的动点问题 【例6】已知点，，，在直线上，其中点在点左侧，点在点左侧，，，点为线段中点，点为线段中点． (1)如图，当点，重合时，求线段的长； (2)当线段从图所示位置在直线上向右移动时，的值是否为定值？若是定值，请求出这个值；若不是，请说明理由； (3)当线段从图所示位置在直线上向左移动，移动的距离为时，是否存在使得，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)线段的长为 (2)的值是定值，定值为 (3)存在，使得 【分析】本题考查了线段中点性质与线段长度计算，解题的关键是用字母表示线段长度，结合中点定义建立代数关系． （1）当点B、C重合时，先利用中点表示出和，再相加得到； （2）设，分别用表示和，计算判断是否为定值； （3）根据移动距离分两种情况表示和，代入列方程求解． 【详解】（1）解：当点、重合时，，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 答：线段的长为． （2）解：设， 则， ． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴． ∴． 故的值是定值，定值为． （3）解：当线段向左移动距离（）时，分两种情况讨论： 情况一：如图，当线段的两个端点运动到点B的两侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：． 但，故该情况不存在． 情况二：如图，当线段全部运动到点B的左侧时，，， 则：， ，． ∵为中点， ∴． ∵为中点， ∴， ． 已知，且， 代入得：，解得：．符合题意． 综合以上三种情况可知，故存在，使得． 考向07 两点之间线段最短 【例7】贵州花江大峡谷山高谷深，关岭、贞丰两地群众隔谷相望，过去绕行山路往来需耗费2小时，看病、上学、外销农产品等都十分不便；党和政府始终把人民安危冷暖放在心上，攻坚克难，为百姓打通致富路，建成花江峡谷大桥，让2小时的通行时间缩短至2分钟；选择大桥直达比绕行山路路程更短，这里面蕴含的数学基本事实是______． 【答案】两点之间，线段最短 【分析】将两地看作平面内两个点，大桥直达路径对应连接两点的线段，绕行山路对应连接两点的折线，根据“两点之间，线段最短”解答即可． 【详解】解：∵走大桥直达的路径可近似看作连接两点的线段，绕行山路的路径是连接两点的折线， ∴由题意可知直达的路程更短，蕴含的数学基本事实是两点之间，线段最短． 考向08 两点间的距离 【例8】若A、B、C在同一直线上，，D为中点，则A、D两点间的距离是________． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据线段中点的定义以及图形中线段的和差关系求解即可． 【详解】解：当点C，A在点B异侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 当点C，A在点B同侧时， ， 为中点， 即两点间的距离是． 综上，两点间的距离是或． 考向09 最短路径问题 【例9】作图题：如图，已知直线和直线外三点、、，请按下列要求画图： (1)画线段； (2)画射线； (3)在直线上确定点，使得最小． 【答案】(1)如图，线段即为所求： (2)如图，射线即为所求： (3)如图，点即为所求： ． 【分析】本题考查了射线、线段的定义，两点之间线段最短等知识，熟悉相关知识是解答本题的关键． （1）连接点，，即可； （2）根据射线的定义，作图即可； （3）连接交直线于点，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 考向10 作线段（尺规作图） 【例10】如图，已知三点A，B，C，请按照下列语句作图．（尺规作图，保留作图痕迹） (1)作直线，射线； (2)连接并延长到D，使得． 【答案】(1)如图所示，直线，射线即为所求； (2)如图所示，线段，点D即为所求． 【详解】（1）略 （2）略 【对点1】2025年12月22日，广州至湛江高铁顺利开通运营，广州白云站至湛江北站最快通行时间仅需1小时32分．如图，为其中一段高铁行驶路线，图中5个字母对应5个沿途车站，现需为这段路线的往返行车印制车票，共需印制（   ）种车票． A．10 B．11 C．20 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了线段的应用；分析观察可以发现，每个车站作为起始站，可以到达除本站外的任何一个站，需要印制种车票，而有个起始站，故可以直接列出算式． 【详解】解：， 故选：C． 【对点2】如图，已知，点C在线段上，，点D是线段的中点，则线段的长度为（     ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据点 是线段的中点，得出，因为，所以，则，即可作答． 【详解】解：∵点是线段 的中点，， ∴， ∵， ∴， 则． 【对点3】如图，已知、两点把线段分成三部分，为的中点，，求和的长． 【答案】 【分析】设，根据，列方程求解，进而得出和的长． 【详解】解：设， ∵、两点把线段分成三部分， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴，. 【对点4】如图，已知线段a，b． (1)尺规作图：作线段，使，反向延长线段到点C，使（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，，．若D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点，求线段的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）作射线，在射线上截取，，则，作射线，在射线上截取，即可； （2）由作图得，由中点和三等分点得，，即可求解． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， ，， ， ， ， D为的中点，E是（靠近点B）的三等分点， ， ， ， ． 【对点5】已知线段，延长至点，使是线段的中点，如果，那么的长为______． 【答案】4 【分析】本题考查了线段中点的定义与线段的和差计算，解题的关键是利用中点的性质求出的长度，再根据线段间的数量关系建立方程求解． 先根据是的中点，由的长度求出AC的长度；再根据，将用表示，进而求出的长度． 【详解】解：是线段的中点，， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【对点6】如图，数轴上线段，，线段向右运动，同时线段以相同的速度向左运动，点M，N分别是和的中点，当点B在线段上且未到达中点时，的长为______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，线段中点的有关计算，解题的关键与难点在于正确的表示出数轴上的点所对应的数．先设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为，设线段和线段的运动速度为，运动时间为，再表示出运动后各点对应的数，最后根据点M，N分别是和的中点，表示出点M，N对应的数，即可解答． 【详解】解：设初始时点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为， 设线段和线段的运动速度为，运动时间为， 则运动后点表示的数为，则点表示的数为，点表示的数为，则点表示的数为． 点M，N分别是和的中点， 点M表示的数为， 点N表示的数为， 当点B在线段上且未到达中点时， 的长为． 故答案为：6． 【对点7】从A地到B地修一条公路，公路要尽量修成直路，这样做的道理是（     ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．两点间线段的长度就是两点间的距离 D．直线比曲线短 【答案】B 【详解】解：从A地到B地修公路，将公路尽量修成直路的目的是缩短总路程，这样做的道理是两点之间线段最短． 【对点8】如图，是线段上任意一点，，点，分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为． (1)若． ①运动后，求的长； ②当点在线段上运动时，试说明； (2)如果时，，试探索的长度． 【答案】(1)①； ②因为， 所以， 所以， 所以， 所以． (2)或 【分析】（1）①先求出、与的长度，然后利用即可求出答案； ②用t表示出、、的长度即可求证； （2）当时，求出、的长度，由于没有说明D点在C点的左边还是右边，故需要分情况讨论． 【详解】（1）①由题意可知， ． 因为， 所以， 所以． ② 略 （2）当时， ． ①当点在点的右边时，如图， 因为， 所以， 所以， 所以； ②当点在点的左边时，如图， 则有， 所以． 综上所述，的长度为或． 【对点9】如图， 在正方形中， ，P 是对角线上一个动点，连接，，过点 P向P点右侧作的垂线交射线于点，连接． (1)如图1， 求证： ； (2)如图2，连接，在点P 从点A 向点 C 运动过程中，求 周长的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正方形的对角线平分一组对角可得：，由角平分线的性质得：，证明，可得结论； （2）先确定周长的最小值时点的位置，因为的周长，这三条线段中，为定值，所以的最小值，就是周长的最小值，根据轴对称的最短路径先作辅助线，根据勾股定理可得的值，从而得结论． 【详解】（1）证明：如图1， 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：作关于的对称点，连接，当在上时，如图2，此时的周长最小， ， 中，， 的周长， 即周长的最小值是． 【对点10】如图，在中，，，请用尺规作图法，在边上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】如图，． 【分析】以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点即可． 【详解】略 1、 选择题 1．已知线段，下列说法能确定点为线段中点的是（   ） ①；②；③；④ A．①③④ B．②③④ C．②④ D．② 【答案】D 【分析】根据线段中点的定义：若点在线段上，且，则是的中点，逐一判断． 【详解】①∵只要点在线段上，任意位置都满足，∴无法确定是中点，①错误； ②∵，，∴，即点在线段上，且，∴可以确定是中点，②正确； ③∵时，点可以在线段的延长线上，不在线段上，∴无法确定是中点，③错误； ④∵得，点可以在点左侧的延长线上，不在线段上，∴无法确定是中点，④错误； 因此只有②正确． 2．若，，三点在同一条直线上，线段，，点，分别是线段，的中点，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由于，，三点共线，但点的位置不确定，需分两种情况讨论求解． 【详解】解：∵是的中点，， ∴， ∵是的中点，， ∴， 分两种情况讨论： 情况1：点在的延长线上，即点在，之间， ∴； 情况2：点在线段上，即点在，之间， ∴． 综上，的长为或． 3．如图，线段上有点M，C，B，N，且，，点M，N分别是，的中点，则的长度为（     ） A．7 B． C．8 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据点M，N分别是，的中点得到，，从而推出得到结果． 【详解】解：M，N分别是，的中点， ，， ， ，， ． 4．将一个圆进行切割，切痕为直线，要求切痕都两两相交，且任何三条切痕都不相交于同一点．如图1，若切1刀，能把圆分成2块；如图2，若切2刀，最多能把圆分成4块；如图3，若切3刀，最多能把圆分成7块．若切12刀，最多能把圆分成（     ） A．78块 B．79块 C．80块 D．81块 【答案】B 【分析】先根据题目找出块数与刀数的规律，再进行求解即可． 【详解】∵要想切的块数最多，则每一刀都要与所有已切过的刀都相交， ∴每多切刀都与前面刀相交，增加块， ∵圆原本是1块， ∴切12刀，最多能把圆分成（块）， 故选：B． 5．已知A、B、C在同一条直线上，线段，，则线段等于（     ）． A． B． C．或 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题未明确点C的位置，需根据点C的不同位置分情况讨论，利用线段和差关系计算的长度即可． 【详解】解：∵A、B、C三点共线，点C位置有两种可能，因此分情况计算： 当点C在线段的延长线上时； 当点C在线段上时； 综上，线段等于或． 6．下面四个等式：①；②；③；④，其中能表示点是线段的中点的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据线段中点的定义，判断点E是线段中点需要满足：点E在线段上，且，逐个分析四个等式即可得出结论． 【详解】解：∵线段中点的定义要求点E必须在线段上，且满足， ①：未说明点E在线段上，点E可在外满足，因此①不能表示点是线段的中点； ②：若E在的延长线上，也可满足，因此②不能表示点是线段的中点； ③：若E在的延长线上，也可满足，因此③不能表示点是线段的中点； ④，此时点E一定在线段上，点是线段的中点，因此④能表示点是线段的中点； ∴只有1个等式能表示点是线段的中点． 7．如图所示的数轴，O为原点，且点O，C，B分别为线段中点，若A点表示的数为，则点D表示的数为（     ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】根据线段中点的性质分别求出的长，再根据，即可表示出点D表示的数． 【详解】解： O为原点，A点表示的数为， ， 点O为线段中点， ，即B点表示的数为6， 点C为线段中点， ，即C点表示的数为3， 点B为线段中点， ， ， 则点D表示的数为9． 8．如图，，D为的中点，，则的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知等式得出与的等量关系，再根据线段的中点定义可得出的长， 求得的长． 【详解】解：∵ ∴，即， ∵D为的中点，， ∴， ∴． 9．如图，数轴上，两点的距离为40，一动点从点出发，按以下规律跳动：第1次跳动到的中点处，第2次从点跳动到的中点处，第3次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样2026次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过计算前几次跳动后点到原点的距离，归纳出第次跳动后点到原点距离的规律，代入计算即可 ． 【详解】解：∵数轴上，两点的距离为，即， 第次跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； 第次从点跳动到的中点处， ∴； … 以此类推，第次跳动后点与原点的距离是， 当时，． 10．如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点，，，…，（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与原点的距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了与数轴有关的规律题型，根据，两点的距离为，与点的距离是，到点的距离是，得出规律到点的距离是，即可解答． 【详解】由题知，因为数轴上，两点的距离为， 因为点为的中点，所以点与点的距离是； 因为点为的中点，所以点到点的距离是； 依次类推，点到点的距离是是； 点到点的距离是； 所以点到点的距离是， 当时，点与点的距离是， 故答案为：． 2、 填空题 11．如图，点C是线段上的点，点D是线段的中点，，若与的长度比为，则线段的长是____________． 【答案】8 【分析】根据与的长度比为，求出，再根据线段的中点，得到，进而由线段的和差进行求解即可． 【详解】解：∵，若与的长度比为， ∴， ∵点D是线段的中点， ∴， ∴． 12．如图有a条直线，b条射线，c条线段，则________． 【答案】1 【分析】根据直线、射线、线段的定义求出a、b、c，即可求解． 【详解】解：根据题意得：直线有，共1条，射线有，共6条，线段有，共6条， ∴， ∴． 13．往返于甲、乙两地的列车，若运行途中停靠三个站，则需要为这次列车制作_________张车票． 【答案】20 【分析】本题考查线段计数的实际应用，将站点转化为线段上的点，先求出不同站点间的路线数量，结合车票往返不同计算总票数即可． 【详解】解：根据题意，将列车运行路线看作一条线段， 所有停靠站点看作线段上的点，运行途中停靠个站，加上起点甲和终点乙，总共有个站点， 不同站点间的路线总数为： ， 因为往返车票方向不同，属于不同车票，因此总车票数为： ． 14．、、、、五个车站在同一直线上，它们之间的距离如图所示（单位：）．如果，为线段的中点，则的值为___________． 【答案】8 【分析】先用的长度减去的长度，整理即可得出D、E两站的距离，再根据列式并把代入即可求出． 【详解】解：， ∵D为线段的中点， ∴，即， ∴， ∵， ∴（）． 故答案为：8． 15．把一根绳子对折成一条线段，在线段上取一点，使，将绳子从点处剪断，若剪断后的三段绳子中最长的一段为，则三段绳子中最短的一段的长为________． 【答案】或 【详解】解：， ． ①若绳子以为对折点，剪断后三段绳子长度分别为，，，此时最长段为，由题意得． ，最短段长为． ②若绳子以为对折点，剪断后三段绳子长度分别为，，，此时最长段为，由题意得． ，可得，最短段长为． 综上所述，三段绳子中最短的一段的长为或． 3、 解答题 16．如图，直线l上有两个定点A、B，一个动点P，点M、N分别为线段、的中点． (1)若点P在线段上，且，，则线段________，________ (2)探究：当点P在直线l上运动，与有何数量关系． 张同学在探究时发现：点P与线段的位置关系也有不同情况，并且他猜想：．但张同学只做出以下一种情况的解答过程，请你帮他完成其它情况的解题过程，验证他的猜想是否正确． 解：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以： 【答案】(1)5； (2)解：猜想正确， 理由：①点P在之间， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ②点P在的左侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：； ③点P在的右侧， 因为：M是的中点，N是的中点， 所以：，， 所以：， 综上，. 【分析】（1）根据线段的和差关系求出，根据线段中点的定义求出、，由即可求解； （2）由点M是中点，点N是中点，得，分三种情况讨论：①点P在之间，由即可求解；②当P在A左边，由即可求解；③当P在B右边；由即可求解. 【详解】（1）解：因为，， 所以， 因为M是的中点，N是的中点， 所以，， 所以，即； （2）略 17．如图，已知点为线段上一点， ，， 、分别是、的中点． (1)求的长度． (2)若在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据和的长度计算的长度，再利用、分别是、的中点计算出和，再算计即可． （2）分类讨论点的位置，分别计算的长度即可． 【详解】（1）解：∵点为线段上的点， ∴， ∵，， ∴， ∵、分别是、的中点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：点在直线上 当点在点、之间时，如图， 由（1）可知，， ∵， ∴， ∴． 当点在直线延长线上时，如图， ∵， ∴ ∴． 综上所述，的长度为或． 18．如图，已知点为线段上一点，，，，分别是，的中点． (1)求的长度； (2)若点在直线上，且，求的长度． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由线段中点定义，表示出，数形结合表示出相关线段的和差关系代值计算即可； （2）先数形结合，由线段的和差关系求出，按照题意，分点在点的左侧；点在点的右侧两种情况讨论求解． 【详解】（1）解：，点是的中点， ； ，， ， ∵点是的中点， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， ， 若点在点的左侧，如图所示： 则； 若点在点的右侧，如图所示： 则； 综上所述，的长度为或． 19．在一条直线上顺次取，，三点，已知，点是线段的中点，且，求的长． 【答案】或 【分析】根据题意画出图形，分两种情况进行讨论，根据线段的和差以及中点的性质进行求解． 【详解】解：（1）如图， 当点在点的左侧时， ，， ． 点是线段的中点， ． ． （2）如图， 当点在点的右侧时， ，， ． ∵点是线段的中点， ． ； 综上，的长是或． 20．如图：已知数轴上A，B两点所表示的数分别是和8． (1)线段的长是__________； (2)若P为射线上的一点（点P不与A，B两点重合），M为的中点，N为的中点，当点P在射线上运动时，线段的长度是否发生改变？若不变，请你画出图形，并求出线段的长；若改变，请说明理由； (3)在第（2）问的条件下，当点P在什么位置时，的长度等于的长度的2倍？直接写出此时点P所表示的数． 【答案】(1)； (2) 解：线段的长度不发生变化，其值为， 分下面两种情况， 当点在、两点之间运动时， ， ， ， ， ②当点在点的左侧运动时， ， ， ， ， 综上所述，线段的长度不发生变化，其值为． (3)点所表示的数为或． 【分析】（1）由已知先得出和，即可求出的长． （2）此题可分两种情况讨论，即分和两种情况求得的长即可得到答案． （3）分当点在、两点之间运动和点在点的左侧运动两种情况求得的长，从而求得点所表示的数． 【详解】（1）解：、两点所表示的数分别为和， ，， ． （2）略 （3）解：当点在、两点之间运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为； 当点在点的左侧运动时，， 即， ， 解得：， 此时点所表示的数为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $