4.2 角 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 4.2角 知识归纳与题型总结 考点01 角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角． 考向01 角的概念理解 【例1】如图，以为顶点的角有多少个？请分别把它们写出来． 【答案】10个；，，，，，，，，， 【分析】分别写出以，，，为角的一条边的角，即可求解． 【详解】解：以为顶点的角有10个： 以为角的其中一条边：，，，， 以为角的其中一条边：，，， 以为角的其中一条边：，， 以为角的其中一条边：． 【对点1】下列说法： ①由两条射线组成的图形叫做角； ②连接两点的线段叫两点之间的距离； ③射线与射线是两条不同的射线； ④用两颗钉子可以把木条固定在墙上可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ⑤两点之间直线最短． 其中正确的有（     ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平面几何相关基本概念，逐一判断正误，统计正确说法的个数即可得到结果． 【详解】解：① 角的定义是有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，该说法未提及公共端点，∴①错误； ② 两点之间的距离是连接两点的线段的长度，不是连接两点的线段本身，∴②错误； ③ 射线的端点是，射线的端点是，端点不同，延伸方向不同，是两条不同的射线，∴③正确； ④ 基本事实“两点确定一条直线”，因此用两颗钉子可以把木条固定在墙上，该说法正确，∴④正确； ⑤ 正确结论为两点之间线段最短，直线没有长度，∴⑤错误； 综上，正确的说法共个． 考点02 角的表示方法 角的常用表示方法有四种 1. 用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序．如图（1）中的角有，，． 2. 用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角．如图(2)中的也可以表示为，也可以表示为，但，都不能用来表示． 3. 用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上数字．如图（2）中的也可以表示为，也可以表示为． 4. 用一个小写希腊字母，等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似，也是在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母．如图（3）中的也可以表示为． 考向01 角的表示方法 【例1】下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项B、图中、、表示同一个角，故本选项符合题意； 选项C、图中的不能用表示，故本选项不符合题意； 选项D、图中的不能用表示，故本选项不符合题意． 考向02 角的分类 【例2】α为锐角，β为钝角．甲、乙、丙、丁计算的结果依次为，其中只有一个正确的结果，那么算得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据锐角钝角的定义确定和的取值范围，推导得到的取值范围，对比选项得到正确结果. 【详解】∵为锐角，为钝角. ∴，， ∴， ∴， 四个结果中，只有在该范围内； ∴正确结果为. 考向03 画特殊角 【例3】按下列要求画图、计算： (1)画； (2)在外画； (3)分别画的角平分线； (4)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查作图--角，角平分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可； （3）根据题意作图即可； （4）先求出，根据平分平分，得到， ，则，即可解答． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，射线即为所求． （4）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ， ∴． 考向04 钟面角 【例4】下列说法正确的是（     ） A．若，则点C是线段的中点 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．射线和射线是同一条射线 D．钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是 【答案】D 【详解】解：A．若，点不一定在线段上，故点不一定是线段的中点，错误； B．连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，错误； C．射线的端点为，射线的端点为，不是同一条射线，错误； D．11点10分时，时针所走角度为， 分针与12点方向的夹角为， 时针与分针夹角为，正确． 【对点1】如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【答案】C 【详解】解：根据题意得：与表示同一个角，与表示同一个角，不可以用表示，一共有三个角，故A，B，D正确，不符合题意；C错误，符合题意． 【对点2】下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了平角、周角、钝角、锐角的定义，根据钝角的定义（大于且小于），分别计算各角的度数或分析其范围，判断是否一定是钝角，即可解题． 【详解】解：周角为，①周角为，是锐角； 平角为，②平角为，是钝角； 直角为，③直角为，是钝角； ④两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，不一定是钝角． 故一定是钝角的有②③． 故答案为：②③． 【对点3】如图， 点O在直线上，， 是直角． (1)根据题意，补全图形； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了角的计算，角的作图以及平角的定义，掌握角的计算，角的作图以及平角的定义是解本题的关键． （1）根据题意作图即可． （2）根据（1）可得有两种情况：点C在的内部，点C在的外部，再利用平角的定义计算即可． 【详解】（1）如图所示： （2）若点C在的内部， ， 是直角， ， 若点C在的外部， ， 是直角， ． 综上的度数为或． 【对点4】计算3点整时，时针和分针的夹角________． 【答案】 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是． 3点整时，时针指到3上，分针指到12上，时针和分针夹角是3份, ． ∴时钟上3点整时，时针和分针的夹角是． 考点03 方位角 方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角． 考向01 方位角的表示 【例1】如果在学校的南偏西方向上有一个书店，则学校在书店的（     ）方向上 A．东偏北 B．西偏南 C．北偏东 D．南偏西 【答案】C 【详解】解：∵在学校的南偏西方向上有一个书店， ∴学校在书店的北偏东． 考向02 与方位角有关的计算题 【例2】如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它的北偏东的方向上，小岛在它的南偏东的方向上，则的度数是____． 【答案】 【分析】根据南北轴线为平角，从平角中减去北偏东、南偏东两个方位角，即可得到中间夹角的值．度分秒减法不够减时，从高位借位：，再计算． 【详解】解：． 【对点1】某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 【答案】B 【详解】解：A区测得管道方向为北偏东， B区施工的方向应是南偏西． 【对点2】一个人从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿南偏西方向走到C地，那么______． 【答案】35 【分析】根据方向角的定义，准确找出相关角度之间的关系即可． 【详解】解：由题意如图所示： 则． 考点04 角的度量单位 1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制． 2. 角的换算：，；，． 1直角，1平角，1周角． 考向01 角的单位与角度制 【例1】角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 【对点1】如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 【答案】 【分析】本题考查了度分秒的换算，根据齿轮的齿数计算夹角即可． 【详解】解：15个齿的齿轮：； 22个齿的齿轮：． 考点05 角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．若OC是的平分线，则．反之，若，则OC 是 的平分线． 2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线． 考向01 角平分线的有关计算 【例1】如图，三条射线a，b，c将分成相等的四个角，其中的角平分线是（     ） A． B． C． D．都不是 【答案】B 【分析】根据题意，三条射线将分为4个相等的小角，设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， 即可求出． 【详解】设每个小角的度数为，则， 按从到的顺序，四个小角依次为、、、， ∴，， ∴， 根据角平分线的定义，射线是的角平分线． 考向02 角n等分线的有关计算 【例2】已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，根据题意可分四种情况：①；②；③；④，根据角之间的关系讨论求解即可． 【详解】解：当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴； 当时，则， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或； 故答案为：或或． 考向03 尺规作一个角等于已知角 【例3】如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可知，， ， ． 【对点1】如图，直线交于O点，且，平分，为的反向延长线． (1)求和的度数 (2)平分吗？为什么？ 【答案】(1)； (2)平分 理由：， ． ， 平分． 【详解】（1）解：， ； 是的角平分线， ． ， ； （2）略 【对点2】（1）已知平面上有，，，四点，请直接在图中，画出及射线； （2）在（）的条件下，若，平分，平分，求的度数； （3）如图，是内部的一条射线，，分别为，内部的一条射线，且，，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【答案】 （）如图， （）；（）． 【分析】本题考查了角、射线的画法，角平分线定义，角度和差，掌握知识点的应用是解题的关键． （）画出及射线即可； （）作出，，然后通过角平分线定义，角度和差即可求解； （）由，，，，得，，然后通过角度和差即可求解． 【详解】解：（）略； （）如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； （）∵，，，， ∴，， ∴， ∴． 【对点3】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，中，．求作：在的内部作射线，使． 【答案】解：所求图形，如图所示． 【分析】根据作一个角等于已知角的尺规作图方法作图即可． 【详解】略 考点06 角的比较 1. 叠合法：把要比较的两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置比较两个角的大小． 2. 度量法：用量角器量出角的度数，再根据度数比较角的大小． 考向01 角的度数大小比较 【例1】按要求解答下列问题： (1)等于多少度多少分？ (2)和相等吗？如不相等，哪一个大？ 【答案】(1) (2)不相等，大 【分析】（1）根据计算即可得出结果； （2）根据将转化为，比较即可得出结果． 【详解】（1）解：； （2）解：∵． 所以和不相等，． 考向02 角的比较 【例2】如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 【答案】A 【详解】解：当点A从左向右运动时，变小，变大． 故选：A． 考向03 三角板中角度计算问题 【例3】如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 【答案】(1)40 (2) (3)，理由如下： ∵， ∴， ． 【分析】（1）利用角的和差求解即可； （2）由等量代换求解即可； （3）由求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）略． 考向04 几何图形中角度计算问题 【例4】如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 【答案】56 【分析】先求出的度数，再根据角平分线的定义解答． 【详解】解：，，三点共线， ， 平分， ． 考向05 角度的四则计算 【例5】计算：_____________． 【答案】 【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满进一度． 【详解】解： ． 考向06 实际问题中角度计算问题 【例6】如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【答案】(1)度 (2)如图，在长方形的台球桌面上，，如果，那么等于多少度？ 解：∵， ∴， ∴， 答等于度． 【分析】根据题目所给的求出，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答等于度． （2）略 【对点1】已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【答案】 【分析】先根据角度单位的换算规则，将三个角统一单位，再比较角度大小，即可得到排序结果． 【详解】根据角度单位换算规则，可得，． 对进行换算：． ，即． 【对点2】如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【答案】A 【分析】本题考查角的大小比较，掌握知识点是解题的关键． 将平移，使和的顶点重合，即可解答． 【详解】解：将平移，使和的顶点重合，如图， 可知比大，于是有． 故选A． 【对点3】如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：三角尺的直角顶点在直线上，且直角等于， ， ， ． 【对点4】如图，，，，则__________ 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【对点5】______． 【答案】 【详解】解： . 【对点6】如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知：． 1、 选择题 1．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 ． 2．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角板的角度计算和角的和差即可解答. 【详解】解：在 中，，，， ∵，， ∴． 3．利用一副三角板上的角，能画出的角一定不是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确一副三角板的所有角度，能画出的角都是这些角度的和或差，因此可画出的角均为的整数倍，据此判断各选项即可． 【详解】解：一副三角板包含的角度为，能画出的角都是上述角度的和或差， ∴可画出的角一定是的整数倍，对选项逐一判断： A. ，可以画出； B. ，可以画出； C. 不是的整数倍，不能画出； D. ，可以画出． 4．如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的倍数关系得到，进而得到，根据角平分线的定义得到，继而得到． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 5．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据光能利用率最高时，集热板与太阳光线垂直，可知，根据的度数求出的度数即可． 【详解】解：如下图所示， 光能利用率最高， 集热板与太阳光线垂直， ， ， ， ． 6．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 7．如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 【答案】A 【分析】利用角度的和差关系以及角平分线的定义即可求解． 【详解】解：由题意可得： ∵，， ∴ ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴射线的方向为：北偏西． 8．如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把换成，结合图形，角度的和差计算即可求解． 【详解】解：， ∴ ． 9．已知三条不同的射线，，，有下列条件： ①； ②； ③； ④． 其中，能确定平分的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】结合的位置（内部或外部），逐一分析各条件是否符合角平分线的判定要求即可；本题主要考查了角平分线的定义，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，熟练掌握角平分线的定义并分类讨论是解题的关键． 【详解】解：①∵，即将分成两个相等的角，且在内部， ∴能确定平分； ②如图，当在外部时，也可满足， ∴不能确定平分； ③如图，只要在内部，就有，但与不一定相等， ∴不能确定平分； ④如图，当在外部时，符合，但不是的平分线， ∴不能确定平分； 综上，只有①能确定平分； 故选：C． 10．一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中的角度运算，熟练掌握角的和差是解题的关键； 利用角的和与差推出，由题意得，，即可解答． 【详解】解：由图可知， ， ， ， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 2、 填空题 11．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 【答案】 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图可得，，再计算即可求解． 【详解】解：由题可知，， ， ． 12．已知平面内， ， 则的度数为_______________ 【答案】 或 【分析】分在内部和外部两种情况，利用角的和差关系计算即可 【详解】解：分两种情况讨论：当在内部时，； 当在外部时，， ∴的度数为或. 13．当时间为下午4点45分，此时时针与分针的夹角为________°． 【答案】 【分析】先计算时针每小时转动角度与分针每分钟转动角度，再分别计算4点45分时针和分针转过的总角度，作差得到所求夹角． 【详解】解：钟表一周为，共分12个大格，因此时针每小时转动角度为： 分针分钟转动一周，因此分针每分钟转动角度为： 4点分时，分针转过的总角度为 ． 时针转过的总角度为． 时针与分针的夹角为 ． 14．开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 【答案】 【详解】解：由题意得，． 15．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 【答案】或或或 【分析】根据题意求出的度数，进而得到的度数，再分射线在内部和外部及射线在直线上方和下方四种情况解答即可． 【详解】解：，， ， 当射线在内部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ②当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 当射线在外部时，则， ， ∴分两种情况讨论：①当射线在直线上方时，如图， 则， 平分， ， ； ② 当射线在直线下方时，如图， 则， 平分， ， ； 综上所述，的度数为或或或． 3、 解答题 16．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 【答案】 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，然后计算出的度数，再根据角平分线的定义可得，最后根据求解即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴． ∴． 17．将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)30； (3)在旋转过程中，的度数不发生变化，恒为 【分析】（1）根据三角板度数和角平分线的定义求解即可； （2）根据图2中的度数，结合角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （3）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：∵、、三点在同一条直线上， ∴，， ∵和分别平分和， ∴，， ∴； （2）解：在图1中，． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30； 在图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴； （3）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为， 理由：∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 18．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平角的定义求出的度数，根据角平分线的定义，求出的度数，进而求出的度数即可； （2）根据角的和差关系和数量关系，求出的度数，进而求出的度数，由角平分线的定义，求出的度数. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴. 19．如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图： (1)画线段、交于点； (2)作射线； (3)尺规作图：在下方作．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据线段的定义画图即可； （2）根据射线的定义画图即可 （3）根据作一个角等于已知角的尺规作图步骤，进行作图即可．（以点为圆心，任意长度为半径画弧，分别交于一点（可记作点），交于另一点（可记作点）；以点为圆心，以的长度为半径画弧，两弧的交点可记作点；连接并延长，即可得到射线，此时．） 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 20．如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将直角三角板绕点旋转一周，当直线与直线互相垂直时，求的度数． 【答案】的度数为或 【分析】分在直线的右侧和在直线的左侧两种情况求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 当在直线的右侧时，如图， ∵， ∴， ∴； 当在直线的左侧时，如图， ∵， ∴， ∴， 综上，的度数为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 4.2角 知识归纳与题型总结 考点01 角的概念 1. 角的静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫作角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边． 2. 角的动态定义：角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形．当射线的终止位置和起始位置成一条直线时，形成平角，继续旋转，当射线的终止位置和起始位置重合时，形成周角． 考向01 角的概念理解 【例1】如图，以为顶点的角有多少个？请分别把它们写出来． 【对点1】下列说法： ①由两条射线组成的图形叫做角； ②连接两点的线段叫两点之间的距离； ③射线与射线是两条不同的射线； ④用两颗钉子可以把木条固定在墙上可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释； ⑤两点之间直线最短． 其中正确的有（     ）个 A． B． C． D． 考点02 角的表示方法 角的常用表示方法有四种 1. 用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另两个字母不分顺序．如图（1）中的角有，，． 2. 用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母，且当两个或两个以上的角有同一个顶点时，不能用这种方法来表示其中的任何一个角．如图(2)中的也可以表示为，也可以表示为，但，都不能用来表示． 3. 用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上数字．如图（2）中的也可以表示为，也可以表示为． 4. 用一个小写希腊字母，等来表示 这种方法同用数字表示角的方法类似，也是在角的内部靠近顶点处加上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母．如图（3）中的也可以表示为． 考向01 角的表示方法 【例1】下列四个图形中，能用，、三种方法表示同一角的图形是（     ） A． B． C． D． 考向02 角的分类 【例2】α为锐角，β为钝角．甲、乙、丙、丁计算的结果依次为，其中只有一个正确的结果，那么算得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 考向03 画特殊角 【例3】按下列要求画图、计算： (1)画； (2)在外画； (3)分别画的角平分线； (4)求的度数． 考向04 钟面角 【例4】下列说法正确的是（     ） A．若，则点C是线段的中点 B．连接两点的线段叫做两点之间的距离 C．射线和射线是同一条射线 D．钟表上的时间是11点10分，此时时针与分针所成的夹角是 【对点1】如图，下列说法错误的是（     ） A．与表示同一个角 B．与表示同一个角 C．也可以用表示 D．图中共有三个角 【对点2】下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 【对点3】如图， 点O在直线上，， 是直角． (1)根据题意，补全图形； (2)求的度数． 【对点4】计算3点整时，时针和分针的夹角________． 考点03 方位角 方位角：以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，即正北、正南方向与物体运动方向的夹角为方位角． 考向01 方位角的表示 【例1】如果在学校的南偏西方向上有一个书店，则学校在书店的（     ）方向上 A．东偏北 B．西偏南 C．北偏东 D．南偏西 考向02 与方位角有关的计算题 【例2】如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它的北偏东的方向上，小岛在它的南偏东的方向上，则的度数是____． 【对点1】某小区要进行地下管道建设，从A区和B区同时向中间开挖一条笔直的管道．工程人员在A区测得管道方向为北偏东．为了保证在中间能准确对接，工程人员在B区施工的方向应是（   ） A．北偏西35° B．南偏西35° C．南偏东35° D．西偏南35° 【对点2】一个人从A地出发沿北偏东方向走到B地，再从B地出发沿南偏西方向走到C地，那么______． 考点04 角的度量单位 1. 角度制的概念：以度、分、秒为单位的角的度量制，叫作角度制． 2. 角的换算：，；，． 1直角，1平角，1周角． 考向01 角的单位与角度制 【例1】角度化成度、分、秒的形式为（     ） A． B． C． D． 【对点1】如图一个齿轮有15个齿，每相邻两齿中心线间的夹角都相等，这个夹角是________度．如果是22个齿的齿轮，这个夹角又是_________度．（精确到分） 考点05 角的平分线 1. 角的平分线：一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫作这个角的平分线．若OC是的平分线，则．反之，若，则OC 是 的平分线． 2. 角的n等分线：类似角的平分线，若从角的顶点引出的（n1）条射线，将这个角分成相等的n个角，则这（n1）条射线叫作这个角的n等分线． 考向01 角平分线的有关计算 【例1】如图，三条射线a，b，c将分成相等的四个角，其中的角平分线是（     ） A． B． C． D．都不是 考向02 角n等分线的有关计算 【例2】已知，是内部的一条射线，则有三个角：，若其中一个角是另一个角的两倍时，则_________°． 考向03 尺规作一个角等于已知角 【例3】如图，若，根据尺规作图的痕迹，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【对点1】如图，直线交于O点，且，平分，为的反向延长线． (1)求和的度数 (2)平分吗？为什么？ 【对点2】（1）已知平面上有，，，四点，请直接在图中，画出及射线； （2）在（）的条件下，若，平分，平分，求的度数； （3）如图，是内部的一条射线，，分别为，内部的一条射线，且，，若，请直接写出的度数．（用含的代数式表示） 【对点3】用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：如图，中，．求作：在的内部作射线，使． 考点06 角的比较 1. 叠合法：把要比较的两个角的一条边叠合在一起，通过观察另一条边的位置比较两个角的大小． 2. 度量法：用量角器量出角的度数，再根据度数比较角的大小． 考向01 角的度数大小比较 【例1】按要求解答下列问题： (1)等于多少度多少分？ (2)和相等吗？如不相等，哪一个大？ 考向02 角的比较 【例2】如图，直线m外有一定点O，点A是直线m上的一个动点，当点A从左向右运动时，观察和的大小变化规律是（    ） A．变小，变大 B．，都不变 C．变大，∠β变小 D．，都变小 考向03 三角板中角度计算问题 【例3】如图，一副直角三角板的两个直角顶点重合在一起． (1)若，则________； (2)求的度数； (3)比较与的大小，并写出理由． 考向04 几何图形中角度计算问题 【例4】如图，是直线上一点，为任一条射线，平分，平分，，则________度． 考向05 角度的四则计算 【例5】计算：_____________． 考向06 实际问题中角度计算问题 【例6】如图，在长方形的台球桌面上，． (1)如果，那么等于多少度？ (2)请你以台球桌面为背景，自编一道题并解答． 【对点1】已知，，，将三个角按从小到大的顺序排列是_______ 【对点2】如图，在由相同小正方形组成的网格中有和，估测与的大小关系为（    ） A． B． C． D．无法估测 【对点3】如图，三角尺的直角顶点在直线l上．若，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【对点4】如图，，，，则__________ 【对点5】______． 【对点6】如图，光从真空射入某种介质，入射角为，折射角为，且，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 1、 选择题 1．如图，在学校图书馆处观测到，物理实验室位于点的北偏东的方向，教学楼位于点的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．一把直尺和一块三角板（含 角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，且，那么的大小是（     ） A． B． C． D． 3．利用一副三角板上的角，能画出的角一定不是（     ） A． B． C． D． 4．如图，，，平分，则的度数为（     ）． A． B． C． D． 5．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日某地正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是（     ） A． B． C． D． 6．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 7．如图射线，的方向分别为北偏东和南偏西，射线平分，则射线的方向为（     ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏西 D．北偏西 8．如图，在学校图书馆O处观测到，物理实验室A位于点O的北偏东的方向，教学楼B位于点O的南偏西的方向，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．已知三条不同的射线，，，有下列条件： ①； ②； ③； ④． 其中，能确定平分的有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 10．一副三角板如图摆放，，，，则（　　） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交边，于点，；以点为圆心，长为半径画弧，分别交边，于点，；再以点为圆心，长为半径画弧，与弧交于点；作射线交边于点．则的度数为________度． 12．已知平面内， ， 则的度数为_______________ 13．当时间为下午4点45分，此时时针与分针的夹角为________°． 14．开州拥有丰富的红色文化和传统文化资源，其中举子园、刘伯承同志纪念馆、刘伯承同志故居都是著名景点．如图，点是举子园，刘伯承同志纪念馆位于举子园的北偏西方向，刘伯承故居位于举子园的南偏西方向，那么__________． 15．如图，在同一平面内，已知直角三角板一边在直线上，另外两边在直线上方，且，．过点作射线，使得，再过点作射线，使得，平分，则的度数为______． 3、 解答题 16．如图，直线、相交于点，平分，平分，且，求的度数． 17．将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转（）至图2的位置，三角形保持不动． (1)图1中的度数为 ； (2)在图2中，若，则的值为 ．的度数为 ． (3)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 18．如图，直线，相交于点，于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 19．如图，平面上有四个点、、、，根据下列语句画图： (1)画线段、交于点； (2)作射线； (3)尺规作图：在下方作．（保留作图痕迹） 20．如图，点为直线上一点，过点作射线，使．将直角三角板绕点旋转一周，当直线与直线互相垂直时，求的度数． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $