第17讲 角（8类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

第17讲 角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 角的概念和表示 题型2 角的单位与角度制 题型3 钟面角 题型4 与方位角有关的计算题 题型5 角的比较 题型6 三角板中角度计算问题 题型7 角平分线的有关计算 题型8 角n等分线的有关计算 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 角、顶点、边、表示方法、度分秒换算、角平分线、角度计算。 1. 理解角的两种定义（静态：有公共端点的两条射线；动态：一条射线绕端点旋转），能说出角的构成要素。 2. 掌握角的四种表示方法（三字母、单字母、数字、希腊字母），能根据图形选择合适的方法规范表示。 3. 掌握角的度量单位（度、分、秒）及其换算（60进制），能正确使用量角器度量角的大小。 4. 理解角平分线的概念，掌握其符号语言表示，能运用角平分线进行简单的角度计算。 学习重点：角的概念及四种表示方法，度、分、秒之间的换算，角平分线的概念与应用。 学习难点：根据不同情境正确选择角的表示方法（特别是在顶点处有多个角时），以及度、分、秒的换算与角度计算（含和差倍分），运用角平分线进行推理计算。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 角的概念 1.角的定义： （1）定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB． （2）定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部．如图2所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位置OB是角的终边． 注意：（1）两条射线有公共端点，即角的顶点；角的边是射线；角的大小与角的两边的长短无关． （2）平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角． 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字母． 3.角的画法 （1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角． （2）用量角器可以画出任意给定度数的角． （3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角． 【易错提醒】 角的概念易错警示：角由两条有公共端点的射线组成。注意：角的表示（∠AOB，顶点字母在中间）。角的大小与边的长短无关，只与两条射线张开的程度有关。一周角=2平角=4直角。0°<锐角<90°<钝角<180°。勿混淆角与射线方向。 即时即练1．在下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的概念．角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．角还可以用一个希腊字母表示，或用阿拉伯数字表示． 【详解】解：能用，，三种方法表示同一个角的图形是选项B中的图， 选项A，C，D中的图都不能用，，三种方法表示同一个角的图形， 故选：B． 2．如图，用三个大写字母表示所标记的各角． （1）可以表示为 ； （2）可以表示为 ； （3）可以表示为 ． 【答案】 （或） （或） （或） 【分析】本题考查角的表示，根据角的表示方法直接求解即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：（1）可以表示为或； （2）可以表示为或； （3）可以表示为或； 故答案为：（1）（或）；（2）（或）；（3）（或）． 知识点02 角度制及其换算 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的为1分，记作“1′”，1′的为1秒，记作“1″”．这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制． 1周角＝360°，1平角＝180°，1°＝60′，1′＝60″． 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位，从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位进位． 【易错提醒】 角度制换算易错警示：1°=60′，1′=60″。换算时乘60或除60，注意借位（如化小单位用乘法，化大单位用除法）。计算时度、分、秒分别运算，满60进1，不够借1变60。勿与时间进制（60）混淆，但进制相同，注意单位符号。 即时即练1． ′ ″； 【答案】 1 9 36 【分析】本题考查了度、分、秒之间的换算．度、分、秒之间是60进制，将高级单位化为低级单位时，乘以60，反之，将低级单位转化为高级单位时除以60． 【详解】解：①∵，， ∴； ②∵，， ∴； 故答案为：1，9，36；． 知识点03 钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题． 【易错提醒】 钟表夹角易错警示：分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°。计算夹角时，先求两针与12点方向夹角，再相减取绝对值（若>180°则用360°-）。注意：时针位置要考虑小时和分钟（如3:30时针在3和4中间）。勿忽略分针影响时针。 即时即练1．小明每天下午放学，此时钟面上时针和分针的夹角是 ． 【答案】/40度 【分析】根据每2个数字之间相隔30度和时针1分钟走0.5度可得夹角度数．考查钟面角的计算；用到的知识点为：钟面上每2个数字之间相隔30度；时针1分钟走0.5度． 【详解】解：时针20分所走的度数为，时，分针指着4，4与5之间的夹角为， 答：此时钟面上时针和分针的夹角是． 故答案为：． 知识点04 方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角．例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB的方向是南偏西30°．这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角． 注意：（1）正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示． （2）方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” ． （3）在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点的正东、正西、正南、正北的方向． （4）图中的点O是观测点，所有方向线(射线)都必须以O为端点． 【易错提醒】 方位角易错警示：以正北或正南为基准，描述为“北偏东×°”或“南偏西×°”。注意：要先标出方向线（上北下南），再量角度。如“北偏东30°”指从正北向东转30°。勿与“东偏北”混淆（基准不同）。方位角通常小于90°。注意参照点。 即时即练1．如图是依依家到学校的行走路线图． (1)小公园在依依家的 偏 米处． (2)小公园在银行的 偏 米处． (3)学校西偏南，距离处是超市，请用★标出超市的位置．（表示） 【答案】(1)北；西20；距离80． (2)南；西30；距离100 (3)见解析 【分析】本题主要考查了方位角的表示，解题的关键是熟练掌握方位角的定义． （1）根据方位角的定义进行解答即可； （2）根据方位角的定义进行解答即可； （3）根据学校西偏南，距离处是超市，进行解答即可． 【详解】（1）解：小公园在依依家的北偏西距离80米处． 故答案为：北；西20；80． （2）解：∵银行在小公园的北偏东距离100米处； ∴小公园在银行的南偏西距离100米处． 故答案为：南；西30；距离100． （3）解：如图所示： 知识点05 角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC =∠AOB． 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样． 【易错提醒】 角平分线易错警示：从角的顶点出发的一条射线，把角分成两个相等的角。注意：角平分线是**射线**，不是线段或直线。用尺规作图时需保留痕迹。若点P在角平分线上，则到角两边距离相等（可用于计算）。勿与中线混淆。 即时即练1．如图，已知是内部任意的一条射线，、分别是，的平分线． (1)若，求的度数； (2)若，则 ；若，则 ． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可知，，再根据计算，即得答案； （2）根据角平分线定义可知，，，再根据计算，即得答案． 【详解】（1）解：、分别是，的平分线， ，， ； （2）解：、分别是，的平分线， ，， ， ， ． 同理：， ． 知识点06 角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2． 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)． (2) 利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角． 【易错提醒】 角的运算易错警示：度分秒加减时，低位满60进1，不够借1当60。乘法时度分秒分别乘，满60进位；除法从度开始除，余数化分再除。注意：单位统一，结果要化简到度分秒形式（如 \(1°=60'=3600''\)）。勿用十进制直接加减。 即时即练1．如图，已知是内部的一条射线，图中有三个角：，和，当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线为的“巧分线”．如果，是的“巧分线”，则的度数为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了角的定义和巧分线定义，正确理解“巧分线”的定义是解题的关键． 分3种情况，根据巧分线定义即可求解． 【详解】解：∵，是的“巧分线”， 则由“巧分线”的定义可知有三种情况符合题意： ①，此时； ②，此时； ③，此时； ∴的度数为或或． 故答案为：或或． 知识点07 角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小． 方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较． 如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小： 如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′． 【易错提醒】 角的比较易错警示：可用度量法（用量角器）或叠合法（顶点和一边重合，看另一边位置）。注意：角的大小与边长短无关，只与张开程度有关。叠合法时需确保顶点及一边重合，单位统一。钝角>直角>锐角。勿仅凭视觉判断。 即时即练1．已知，，，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】角的度数大小比较、角的单位与角度制 【分析】本题考查了度分秒之间的换算，属于基础题，注意两者之间的进位关系．将各角的单位统一，继而可得出答案． 【详解】解：， ， ， ∴， 故选B． 题型1 角的概念和表示 【例1】下列说法正确的是（　　） A．角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B．角的大小和角的开口大小无关 C．由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D．角的两边越长，角就越大 【答案】C 【分析】本题考查了角的相关概念，根据角的相关定义逐项分析即可得解，熟练掌握角的相关定义是解此题的关键． 【详解】解：A、角是由一条射线绕着它的一个端点旋转而形成的图形，故原说法错误，不符合题意； B、角的大小和角的开口大小有关，故原说法错误，不符合题意； C、由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角，故原说法正确，符合题意； D、角的大小与两边的长短没有关系，故原说法错误，不符合题意； 故选：C． 【例2】下列语句中，不正确的个数是（   ） ①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作由一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形；③大于的角是钝角；④钝角的一半是锐角． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据角的概念以及分类来判断即可． 【详解】解：①角是由公共端点的两条射线组成的图形，故①错误； ②角是由一条射线绕端点旋转形成的图形，故②正确； ③大于且小于的角是钝角，故③错误； ④大于且小于的角是钝角，设钝角为，则则，则钝角的一半是锐角，故④正确； 故不正确的个数是2个． 故选：B． 【点睛】本题考查了角的概念以及角的分类，解决问题的关键是注意角是由公共端点的两条射线组成的图形以及角的分类． 【技巧归纳】 角由两条有公共端点的射线组成，顶点为公共端点。表示：∠AOB（顶点在中间）或∠O（若仅一个角）。注意写法顺序，射线OA到OB。也可用数字或希腊字母。 【变式1-1】图中能用三种方法表示同一个角的是（　　） A．B．C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了角的概念和角的表示方法的理解和掌握．角的表示方法有三种：（1）用三个字母及符号“”来表示．中间的字母表示顶点，其它两个字母分别表示角的两边上的点．（2）用一个数字表示一个角．（3）用一个字母表示一个角．具体用哪种方法，要根据角的情况进行具体分析，总之表示要明确，不能使人产生误解． 【详解】解：在选项A、B、D中，以点C为顶点的角不只有一个，如果用表示，容易使人产生歧义，无法让人明确到底表示哪个角； 只有选项C能用，，三种方法表示同一个角，不会使人产生歧义． 故选：C． 【变式1-2】下列四个图中，能用，，三种方法表示同一个角的是（   ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法，根据角的表示方法并结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 【详解】解：A、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； B、，，三种方法表示的都是同一个角，故符合题意； C、和表示同一个角，表示不同的角，故不符合题意； D、和表示不同的角，故不符合题意； 故选：B． 题型2 角的单位与角度制 【例3】 ； 【答案】 35 9 0 12.26 【分析】根据度分秒的进制，根据，进行计算即可解答． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：35，9，0，12.26． 【例4】（1） ； （2） ． 【答案】 34 22 12 62 7 30 【分析】本题考查了度分秒的换算，熟练掌握的换算是解题的关键． 根据度分秒的转换规律求解即可． 【详解】（1），， ． 故答案为34；22；12． （2），， ． 故答案为：62；7；30． 【技巧归纳】 角度制：1°=60′，1′=60″。换算时，大化小乘60，小化大除以60。如1.2°=1°12′，则0.2×60=12′。反向：35′≈0.583°。计算角度加减时，度分秒分别运算，满60进1，不够借1。注意进制为60，与十进制不同。可用小数表示角度简化运算。常见于钟表问题。 【变式2-1】单位换算： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【答案】 【分析】本题考查了度、分、秒的换算，熟练掌握度、分、秒的进率及换算方法是解题的关键． （1）根据，用换算即可 ； （2）根据，，用逆向换算即可 ； （3）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解； （4）根据，，先将换算成，再将换算成，即可得解． 【详解】解：（1）； 故答案为：； （2）； 故答案为：； （3），， ； 故答案为：；；； （4）， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-2】计算（用度、分、秒表示）： （1） ． （2） ． （3） ． （4） ． 【答案】 【分析】（1）根据度分秒的加法，相同单位相加，满60向上一单位进1，可得答案； （2）根据度分秒的乘法，从小单位乘，满60向上一单位进1，可得答案； （3）根据度分秒的除法，从大单位算起，余数化成下单位再除，可得答案； （4）根据度分秒的乘法，从小单位乘，满60向上一单位进1，再算减法，可得答案． 【详解】解：（1）原式＝ （2）原式 （3）原式 （4）原式＝ 故答案为：① ② ③ ④． 题型3 钟面角 【例5】2时20分时，钟面上时针与分针所成的角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，由时针每小时转动，时针每分钟转动进行求解即可． 【详解】解：因为时针每小时转动，时针每分钟转动， 所以分针在2时20分时与时的刻度线夹角为， 时针在2时20分时与时的刻度线夹角为， 所以2时20分时，钟面上时针与分针所成的角： ； 故答案为：． 【例6】在9时40分这一刻，时针和分针的夹角为 度． 【答案】50 【分析】本题考查时针与分针的夹角问题，掌握知识点是解题的关键． 先求出时针每小时走30度每分钟走度，分针每小时走360度每分钟走6度，继而得到9点40时分针与9点的夹角是30度，时针与9点的夹角是（度），则（度），即可解答． 【详解】解：∵（度），一格30度，时针每小时走30度每分钟走度，分针每小时走360度每分钟走6度， ∴9点40时分针与9点的夹角是30度，时针与9点的夹角是（度）， ∴（度）． 故答案为：50． 【技巧归纳】 钟面一圈360°，每大格30°，每小格6°。时针速度0.5°/分，分针6°/分。求某时刻两针夹角：先算分针角度=6m，时针=30h+0.5m（h为小时，m为分钟）。夹角=两者差取绝对值，若>180°则取360°-差。夹角不大于180°。注意整点时刻，如3:00夹角90°。审清时刻。 【变式3-1】如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时针（短针）所指的位置，根据图中时针与分针（长针）所指的位置，该钟面所显示的时刻是 时 分． 【答案】 9 12 【分析】本题主要考查了钟表时间的推理，解题的关键是掌握钟表时针和分针的特征． 根据钟表时针和分针的特征进行合理的推理即可． 【详解】解：根据时针和分针所指刻度得， 时针走一个大格是60分钟，走一个小格是（分钟）， 此时，分针从12点的刻度走了12个小格， ∴分针刚走过的刻度为2， ∴现在的时刻是9时12分， 故答案为：9，12． 【变式3-2】每天上午“阳光大课间”都如约而至，此时时针与分针所夹的角为 ． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角的有关知识，解题关键是得出钟表上从1到12一共有12格，每个大格．根据时针一分钟旋转，得到从9点到，经过了35分钟，时针旋转了，分针在7上，进而求解即可． 【详解】解：∵钟表上从1到12一共有12格，每个大格， ∴时针一分钟旋转 ∴从9点到，经过了35分钟，在这期间时针旋转了，分针在7上， ∴分针与时针的夹角是． 故答案为：． 题型4 与方位角有关的计算题 【例7】如图，方向是北偏东 ， ． 【答案】 /60度 /105度 【分析】本题考查方向角及平角的概念，熟练掌握方向角的概念及平角为是解题的关键． 根据图中所给角即方向的概念可得出方向是北偏东，利用平角为求即可． 【详解】解：由图知，与正东方向夹角为， 所以方向是北偏东； 又，所以． 故答案为：；． 【例8】如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西．若，则的方向是 ． 【答案】南偏东 【分析】本题考查了角的计算，方向角，利用图形求得的大小即可得出结论． 【详解】解：设表示南北的直线为，如图， 由题意得：，， ． ， ． ． ， 的方向为：南偏东． 故答案为：南偏东． 【技巧归纳】 方位角从正北顺时针度量，范围0°~360°。表示：北偏东30°即方位角30°，南偏西60°即240°。计算两方位角夹角：先化为同一参考，差绝对值，若>180°则用360°-差。实际中常画方位图，用南北方向作基准。如A在B北偏东40°，B在A南偏西40°。注意互余、互补关系。 【变式4-1】如图，早上李老师开车从家出发去学校，以60千米/小时的速度沿南偏东方向行驶20分钟到达学校．下班后李老师沿同一路线回家，则李老师行驶的方向是 ，路程是 千米． 【答案】 北偏西 【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．根据方向角的定义即可得出答案． 【详解】解：根据题意，可知李老师行驶的方向是北偏西，路程是千米 故答案为：北偏西， 【变式4-2】如图，某海域有三个小岛，在小岛处观测到小岛在它北偏东的方向上，观测到小岛B在它南偏东的方向上，则的度数大小是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查了方位角及角的计算，根据方位角的描述和平角的定义求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 题型5 角的比较 【例9】比较大小： ．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查的度分秒的换算以及角的大小比较，解题的关键是将角的度数换算成度分秒的形式． 将角的度数换算成度分秒的形式，再进行比较即可得出结论． 【详解】解：依题意，， ∴， ∴． 故答案为：． 【例10】若，，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了角的大小比较，度分秒的换算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据度分秒的进制进行计算比较，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【技巧归纳】 角的大小比较：度量法（用量角器）、叠合法（将顶点及一边重合，看另一边位置）。注意角的大小与边长短无关。也可估算：锐角<90°，直角=90°，钝角>90°。计算差：大角减小角。若用度数表示，直接比较数值。如30°<60°。在图形中，可通过全等或相似判断。常用估测。 【变式5-1】若，，则 ．（填“>”“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了角的大小比较和度分秒的换算，关键是能正确进行度分秒之间的换算． 先换算，再和的度数比较即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】若，，则 填“”“”或“” 【答案】 【分析】本题主要考查角的大小比较及度分秒的换算，先统一单位，再进行比较，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， 故答案为： 题型6 三角板中角度计算问题 【例11】如图，将一副三角尺的两个锐角（角和角）的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记作和，若，则的度数为 ． 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握角的运算是解题关键．如图（见解析），根据题意可得，，则可得，代入计算即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【例12】如图，将一个直角三角板的角的顶点与另一个直角三角板的直角顶点重合若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角板中的角度计算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键． 根据，，可得的度数，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为： 【技巧归纳】 常用三角板角度：45°-45°-90°和30°-60°-90°。拼角时，角度相加减可得15°的整数倍（如30+45=75，45-30=15）。求组合角时，直接相加或相减。注意三角板平行边可产生同位角、内错角。若重叠，用已知角减重叠角。可画出示意图辅助计算。拼图时考虑公共边。 【变式6-1】如图，将一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若平分，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查角了角的和差和角平分线的相关计算．根据，可若平分计算出的度数，再由，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，， ∴ ∵， ∴， 故答案为： 【变式6-2】一副三角板按如图方式摆放，点在同一条直线上，．现将三角板绕点逆时针旋转一周，当所在直线恰好平分时，三角板转过的角度为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题以及角平分线的有关计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真读题干，然后进行分类讨论，逐个情况作图，运用角之间的和差关系分别列式计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， 如图所示： ∵平分， ∴ ∴， 此时三角板转过的角度为； 当的延长线平分，如图所示： ∴ 则 故， 此时三角板转过的角度为； 故答案为：或． 题型7 角平分线的有关计算 【例13】如图，点在直线上，． (1)若平分，，则________． (2)若为锐角，，请说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了垂直的定义，角平分线的定义，角的和差，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据垂直的定义和，可得，再根据角平分线的定义求出，最后根据，即可求解； （2）由垂直的定义可得：，由平角的定义可得，结合，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 【例14】如图，是的平分线，是的平分线，． (1)求的度数是多少？ (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是角平分线的定义，熟知各角之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键． （1）根据角平分线的定义得出，，那么； （2）先根据求出，然后求出，根据角平分线的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， ∴的度数为：； （2）∵是的平分线，， ∴， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴的度数为：． 【技巧归纳】 角平分线将角分成两个相等角，OC平分∠AOB，则∠AOC=∠COB=½∠AOB。若给出角平分线，可用倍数关系求角。多个角平分线时，设未知数列方程。如OC、OD分别平分∠AOB和∠BOC，则∠AOD=¾∠AOB。注意角平分线的定义，常用于几何证明。设x表示部分角更简便。 【变式7-1】已知是过点的一条射线，分别平分． (1)当射线在的内部时 ①如图①，若，则_________； ②如图②，若，求的度数（用含的式子表示）； (2)当射线在的外部时，，请借助备用图探究的度数是________（直接写出答案） 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义，分情况确定射线的位置是解题的关键． （1）①由，求角度即可； ②借助①的角的数量关系即可求得的度数； （2）分情况讨论射线的位置，在（1）的基础上求的度数即可． 【详解】（1）解：①分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； ②由①知， ， ， 即的度数为； （2）解：射线在的外部分两种情况， 如图③， 分别平分， ， ， ， ， ， ， ， 如图④， ， ， ， ， ， ， 即的度数为或 故答案为：或 【变式7-2】【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图1，若，平分，平分．求的度数； 【问题推广】（2）如图2，，从点O出发在内引射线OD，满足．若平分．求的度数； 【拓展提升】（3）如图3，在的内部作射线，在的内部作射线．若；求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据角的平分线，角的和差计算即可． （2）根据角的平分线，角的和差计算即可． （3）由，设，则，根据角的平分线，角的和差计算即可． 本题考查了角的和差计算，角的平分线，熟练掌握角的平分线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ． 又∵平分，平分， ． ， ； （2）解：∵，， ． 故， ∴， 又∵平分， ． ． （3）解：由， 设，则 ∵， ∴． ∴． ∴， ∴， ∴． 题型8 角n等分线的有关计算 【例15】在的内部作射线，射线把分成两个角，分别为和，若或，则称射线为的三等分线．若，射线为的三等分线，则的度数为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】根据题意得出或，再根据角之间的数量关系，得出，综合即可得出答案． 【详解】解：∵，射线为的三等分线． ∴或， ∴， ∴的度数为或． 故选：C． 【技巧归纳】 n等分线将角分成n个相等角。若射线OC是∠AOB的m等分线（从OA起第m条），则∠AOC=m/n·∠AOB。已知比例可设每份角为x，列方程。注意等分线位置顺序。多个等分线时，依次累加。如三等分线：∠AOC=1/3∠AOB，∠COD=1/3，∠DOB=1/3。常设份数求值。 【变式8-1】定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为 ． 【答案】或或 【知识点】角n等分线的有关计算 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，列方程计算．注意要分类讨论． 【详解】如图， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵射线是的三等分线， ∴把分成的两部分， ∴或， ∵， ∴或， 当时，或， 当时，或， 故答案为：或或． 一、单选题 1．下列图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（ 　   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； B、能用，表示，不能用表示，故选项不符合题意； C、能用，，表示同一个角，故选项符合题意； D、和表示不同的角，故选项不符合题意． 2．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】度、分、秒之间进率为60，即，，，根据换算规则逐一计算各选项即可得到答案． 【详解】解：对A选项：，故A错误； 对B选项： ，故B正确； 对C选项： ，故C错误； 对D选项：，故D错误． 3．将一副常规三角尺（厚度不计）如图摆放，那么等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由图可知，， 故选：D． 4．如图，是的平分线，是的平分线，度，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，进而求出的度数，角的和差关系即可得出结果. 【详解】解：∵是的平分线，是的平分线，度， ∴，， ∴. 5．如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔附近有A，B，C，D，E，F，6座海轮，其中到灯塔的距离为，海轮在灯塔和海轮的中点处．且，．则下列说法正确的是（    ） ①若海轮的速度为，则海轮抵达灯塔最少需要20分钟； ②； ③； ④在灯塔的北偏东的方向上． A．①④ B．①② C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了方向角的定义、度分秒的换算以及角的和差计算．根据路程、速度、时间的关系判断①；利用角的和差关系及度分秒换算判断②③；根据方向角的定义判断④即可． 【详解】解：海轮到灯塔的距离为，速度为， 抵达灯塔需要的时间为小时分钟， 故①正确； ， 故②错误； 、 ，，在同一直线上， 故③正确； ，正北方向与夹角为， 在灯塔的北偏东的方向上， 故④正确； 综上所述，说法正确的是①③④． 二、填空题 6．计算：_____________． 【答案】 【分析】根据角的计算：把度和度相加，分和分相加，满进一度． 【详解】解： ． 7．已知，，则 _______ （填“<”或“>”或“=”）． 【答案】 【分析】统一两个角的角度单位，将 化为度分表示后比较大小即可． 【详解】解： ， ， ，且 ， ． 8．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 【答案】 锐 3 9 【分析】根据钟面上各时间时针和分针的位置关系分别解答即可． 【详解】解：3：30时，钟面上时针和分针组成的角是锐角；3时整或9时整，时针和分针的夹角是直角． 9．如图，已知，射线在的内部，且，射线是平面上绕点B旋转的一条动射线，平分．若，则的度数为______．（用含的式子表示） 【答案】或 【分析】首先根据及 求出和的度数；然后根据射线的位置分两种情况讨论：当射线在的内部时，当射线在的外部时；分别利用角平分线的定义和角的和差关系求解即可． 【详解】解：， ， 分两种情况讨论： ①当射线在的内部时， 平分 ②当射线在的外部时， 平分 综上所述，的度数为或． 10．定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍，则称这条射线为这个角的“二倍角线如图，，射线为的“二倍角线”，则 ______ ． 【答案】或或 【分析】因为射线是的“二倍角线”，所以需分情况讨论三个角中存在的二倍关系： ；；当； 利用角的和差关系与二倍角的定义，通过分类讨论列方程或直接计算得到的可能值． 【详解】解：当时， ， ； 当时， ， ； 当时， ， ； 综上，或或． 三、解答题 11．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据角度的计算法则，及角度的换算：，计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 12．如图，、、在一条直线上，已知平分，是内部的一条射线． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得，进而根据，即可求解； （2）根据设，则，，根据角平分线的定义得，，由得，根据列方程，求出后即可求解． 【详解】（1）解：平分，， ， 又， ； （2）解：设，则， ， 平分， ，， ， ， ， ， 解得， ． 13．解答下列问题： (1)尺规作图，在的外部作，使得（要求只保留作图痕迹，不写作法）； (2)，设， ①用x表示； ②求证：； ③探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)如图：即为所求． (2)①； ②证明：∵， ∴， ∴， ； ③与的和等于，理由如下： ∵，， ∴． 【分析】（1）根据尺规作图作一个角的方法作图即可； （2）①由（1）作图可知：； ②根据计算即可； ③先求出的值，再计算即可． 【详解】（1）略； （2）解：①由（1）作图可知：； ②略； ③略． 14．已知，过点O作射线，设，将射线逆时针旋转一定的角度得到射线． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若． ①求的度数（用含α的式子表示）； ②若平分，试探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）根据计算求解即可； （2）①根据, 计算求解即可；②由题意可得，由平分，可得，求出的值，然后可求与的数量关系. 【详解】（1）解：∵，， ∴ 。 （2）解：①∵，，， ∴ ； ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴。 【点睛】平面内共顶点的角，若，则． 15．【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起，如图，使直角顶点重合于点． 【问题发现】 (1)①填空：如图，若，则的度数是_____，的度数_____，的度数是______． ②如图，你发现与的大小有何关系？与的大小又有何关系？请直接写出你发现的结论． 【类比探究】 (2)如图2，当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由． 【答案】(1)①，，；②， (2)解：当与没有重合部分时，上述②中你发现的结论依然成立，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ∴上述②中你发现的结论依然成立． 【分析】（1）①根据角的和差关系及直角的定义分别求解即可； ②根据余角的性质可得，根据角的和差关系可得； （2）利用可得；利用周角定义得，根据，即可得到． 【详解】（1）解：①由题意可知，， ∵， ∴，， ∴． ②，．理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：略 16．特例感知： （1）如图1，已知线段，点为线段上的一个动点，点，分别是和的中点． ①若，则线段_________； ②若，则线段_________； 知识迁移： （2）我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若，是内部的一条射线，射线平分，射线平分，_________； 拓展探究： （3）如图3，已知在内部，，，且，，求（用含的式子表示）． 综合提升： （4）如图4，若，，射线、分别在和内部，且，，_________．（直接写出答案） 【答案】（1）①7；②7；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两点间的距离，代数式，角的计算，关键是掌握线段中点、角平分线的定义． （1）①已知，，可得的长，因为点，分别是和的中点，可得、的长，因为，可得的长； ②同①法求解即可； （2）因为是内部的一条射线，射线平分，射线平分，所以，，已知，可得的度数； （3）已知，，可得的度数，因为，，可得的度数，因为，可得的度数； （4）设，可得，，从而得到，，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； ②，， ， 点，分别是和的中点， ，， ； （2）是内部的一条射线，射线平分，射线平分， ，， ， ； （3），， ， ，， ， ； （4）设， ∵，， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第17讲角 了内容导航 01预习航标一析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点破方法：典型题型深度拆解 题型1角的概念和表示 题型2角的单位与角度制 题型3钟面角 题型4与方位角有关的计算题 题型5角的比较 题型6三角板中角度计算问题 题型7角平分线的有关计算 题型8角n等分线的有关计算 04过关检测→练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解角的两种定义（静态：有公共端点的两条射线；动态：一条射线绕端 点旋转)，能说出角的构成要素。 角、顶点、边、表示 2.掌握角的四种表示方法（三字母、单字母、数字、希腊字母），能根据图 方法、度分秒换算、 形选择合适的方法规范表示。 角平分线、角度计 3.掌握角的度量单位（度、分、秒）及其换算(60进制)，能正确使用量 算。 角器度量角的大小。 4.理解角平分线的慨念，掌握其符号语言表示，能运用角平分线进行简单的 角度计算。 学习重点：角的概念及四种表示方法，度、分、秒之间的换算，角平分线的概念与应用。 学习难点：根据不同情境正确选择角的表示方法（特别是在顶点处有多个角时），以及度、分、秒的 换算与角度计算（含和差倍分），运用角平分线进行推理计算。 1/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇知|识1框引架 静态定义 有公共端点的两条射线组成 角的定义 动态定义 一条射线绕端点旋转形成 平角两边成直线 表示方法符号遗漏 高频易错点 平角与周角 周角旋转一圈 单位换算进制混淆 顶点放中间 角识别与表示 用三个大写字母 高频考点 如∠AOB 度分秒换算 角的表示 角平分线计算 角 用顶点一个大写字母 顶点处只有一个角时 用数字或希腊字母 如∠1∠a 从顶点出发平分角的射线 定义 1度=60分 将角分成两个相等角 性质 角平分线 度分秒进制 1分=60秒 若OC平分∠AOB则 ∠AOC=∠COB=∠AOB/2 表示与计算 角的单位换算 大化小乘以60 换算方法 小化大除以60 加减乘除运算 角度计算 注意进位与借位 知1识I精1讲 知识点O1角的概念 1角的定义： (1)定义一：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两 条边.如图1所示，角的顶点是点O,边是射线OA、OB. B (2)定义二：一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，射线旋转时经过的平面部分是角的内部.如图2 所示，射线OA绕它的端点O旋转到OB的位置时，形成的图形叫做角，起始位置OA是角的始边，终止位 置OB是角的终边， 注意：(1)两条射线有公共端点，即角的顶点：角的边是射线：角的大小与角的两边的长短无关 (2)平角与周角：如图1所示射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形 成的角叫做平角，如图2所示继续旋转，OB和OA重合时，所形成的角叫做周角. 2/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 A(B) 平角 周角 图1 图2 2.角的表示法：角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种： 表示方法图示记法适用范用圆 (1)用三个大 ∠AOB任何情况都造 用，表示顶点的 写字母表示 ∠BOA字母写在中间 以某一点为顶点 (2)用一个大 的角只有一个 写宇母表示 ∠0 时，可以用顶点 表示角 (3)用阿拉 伯数字表示 <1 任何情况都造用 (4)用希腊字 母表示 任何情况都造用 注意：用数字或小写希腊字母表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或小写希腊字 母 3.角的画法 (1)用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角. (2)用量角器可以画出任意给定度数的角， (3)利用尺规作图可以画一个角等于已知角. 【易错提醒】 角的概念易错警示：角由两条有公共端点的射线组成。注意：角的表示（∠AOB,J顶点字母在中间)。角 的大小与边的长短无关，只与两条射线张开的程痕有关。一周角=2平角=4直角。0°<锐角<90°<钝角 <180°。勿混淆角与射线方向。 即时即练1.在下列四个图形中，能用∠AOB,∠O，∠I三种方法表示同一个角的图形是() A 2.如图，用三个大写字母表示所标记的各角. (1)∠1可以表示为 3/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)∠2可以表示为， (3)∠3可以表示为 知识点02角度制及其换算 1 角的度量单位是度、分、秒，把一个周角平均分成360等份，每一份就是1°的角，1°的60为1分，记 作“1'”，1'的60为1秒，记作“1””，这种以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制。 1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60”. 注意：在进行有关度分秒的计算时，要按级进行，即分别按度、分、秒计算，不够减，不够除的要借位， 从高一位借的单位要化为低位的单位后再进行运算，在相乘或相加时，当低位得数大于60时要向高一位 进位. 【易错提醒】 角度制换算易错警示：1=60,1'=60”。换算时乘60或除60，注意借位（如化小单位用乘法，化大单位用 除法)。计算时度、分、秒分别运算，满60进1，不够借1变60。勿与时间进制(60)混淆，但进制相 同，注意单位符号。 即时即练1.1.16°=_°_′_”；4557'18”=_。 知识点03钟表上有关夹角问题 钟表中共有12个大格，把周角12等分、每个大格对应30°的角，分针1分钟转6°，时针每小时转 30°，时针1分钟转0.5°，利用这些关系，可帮助我们解决钟表中角度的计算问题. 【易错提醒】 钟表夹角易错警示：分针每分钟走6°，时针每分钟走0.5°。计算夹角时，先求两针与12点方向夹角，再相 减取绝对值（若180°则用360°-）。注意：时针位置要考虑小时和分钟（如3：30时针在3和4中间）。勿 忽略分针影响时针。 即时即练1.小明每天下午5：20放学，此时钟面上时针和分针的夹角是 4/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 2 3 知识点04方位角 在航行和测绘等工作中，经常要用到表示方向的角.例如，图中射线OA的方向是北偏东60°；射线OB 的方向是南偏西30°.这里的“北偏东60°”和“南偏西30°”表示方向的角，就叫做方位角. 北 60 A B 南 注意：(1)正东，正西，正南，正北4个方向不需要用角度来表示。 (2)方位角必须以正北和正南方向作为“基准”，“北偏东60°”一般不说成“东偏北30°” (3)在同一问题中观察点可能不止一个，在不同的观测点都要画出表示方向的“十字线”，确定其观察点 的正东、正西、正南、正北的方向 (4)图中的点O是观测点，所有方向线（射线）都必须以O为端点. 【易错提醒】 方位角易错警示：以正北或正南为基准，描述为“北偏东×或“南偏西×”。注意：要先标出方向线（上 北下南)，再量角度。如“北偏东30指从正北向东转30°。勿与“东偏北”混淆（基准不同）。方位角 通常小于90°。注意参照点。 即时即练1. 如图是依依家到学校的行走路线图 北 银行 180米 书店 309 千东 100米 65o 小公园 220米 209 80米4 学校 依依家 (1)小公园在依依家的偏°米处， (2)小公园在银行的_偏°米处， 5/19 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)学校西偏南20°，距离250m处是超市，请用★标出超市的位置.(lcm表示100m) 知识点05角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线.如图所示，OC是 1 ∠AOB的角平分线，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC,∠AOC=∠BOC=2∠AOB」 A 2 注意：由角平分线的概念产生的合情推理其思维框架与线段中点的思维框架一样， 【易错提醒】 角平分线易错警示：从角的顶点出发的一条射线，把角分成两个相等的角。注意：角平分线是*射线*， 不是线段或直线。用尺规作图时需保留痕迹。若点P在角平分线上，则到角两边距离相等（可用于计 算)。勿与中线混淆。 即时即练1. 如图，己知OC是∠AOB内部任意的一条射线，OM、ON分别是∠AOC,∠BOC的平分 线 (1)若∠A0M=20,∠BON=30°，求∠MON的度数： (2)若∠A0B=120°，则∠MON=_;若∠A0B=a,则∠MON=_· 知识点06角的运算 如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB=∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1= ∠AOB-∠2. 6/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 注意：(1)用量角器量角和画角的一般步骤：①对中（角的顶点与量角器的中心对齐）；②重合（一边与刻度 尺上的零度线重合)；③读数（读出另一边所在线的度数）. (2)利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°， 75°，105°，120°，135°，150°，165°的角. 【易错提醒】 角的运算易错警示：度分秒加减时，低位满60进1，不够借1当60。乘法时度分秒分别乘，满60进位； 除法从度开始除，余数化分再除。注意：单位统一，结果要化简到度分秒形式（如(1°=60=3600）)。勿 用十进制直接加减。 即时即练1.如图，已知OC是∠AOB内部的一条射线，图中有三个角：∠AOB,∠AOC和∠BOC, 当其中一个角是另一个角的两倍时，称射线OC为∠AOB的“巧分线”.如果∠MPN=72°，P№是 ∠MPN的“巧分线”，则∠MPO的度数为 知识点07角的比较 角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种： 方法1：度量比较法.先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小. 方法2：叠合比较法.把其中的一个角移到另一个角上作比较. 如比较∠AOB和∠A'O'B′的大小：如下图，由图(1)可得∠AOB<∠A'O'B':由图(2)可得 ∠AOB=∠A'O'B':由图(3)可得∠AOB>∠A'O'B' B /B(B) B B 0(0) A(A)O(0') A(A') 0(0) () (2) 3) 【易错提醒】 角的比较易错警示：可用度量法（用量角器）或叠合法(J顶点和一边重合，看另一边位置)。注意：角的 7/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 大小与边长短无关，只与张开程度有关。叠合法时需确保顶点及一边重合，单位统一。钝角>直角>锐角。 勿仅凭视觉判断。 即时即练1.已知1=7624，∠2=76.24°，∠3=76.4°，下列说法正确的是() A.∠1=∠2 B.∠1=∠3 C.∠1<∠2 D.∠2>∠3 03 题型突破 题型1角的概念和表示 【例1】下列说法正确的是() A.角是由一条线段绕着它的一个端点旋转而形成的图形 B.角的大小和角的开口大小无关 C.由两条具有公共端点的射线组成的图形叫作角 D.角的两边越长，角就越大 【例2】下列语句中，不正确的个数是() ①由两条射线组成的图形叫做角；②角可以看作由一条射线绕着其端点从一个位置旋转到另一个位置所形 成的图形：③大于90°的角是钝角：④钝角的一半是锐角. A.1 B.2 C.3 D.4 【技巧归纳】 角由两条有公共端点的射线组成，顶点为公共端点。表示：∠AOB(顶点在中间)或∠O(若仅一个角)。 注意写法顺序，射线O4到OB。也可用数字或希腊字母。 【变式1-I】图中能用∠1，∠ACB,∠C三种方法表示同一个角的是() D B E AC D D 8/19 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】下列四个图中，能用I,∠A0B,∠0三种方法表示同一个角的是() 题型2角的单位与角度制 【例3】35.15°= ◆*；1215'36”=° 【例4】(1)34.37°= (2)62.125°= 【技巧归纳】 角度制：1°=60'，1'=60”。换算时，大化小乘60，小化大除以60。如1.2°=112'，则0.2×60=12'。反向： 35≈0.583°。计算角度加减时，度分秒分别运算，满60进1，不够借1。注意进制为60，与十进制不同。 可用小数表示角度简化运算。常见于钟表问题。 【变式2-1】单位换算： (1)4.5°= (2)4680”= (3)52.36°= 0 (4)4931'21”=。」 【变式22】计算（用度、分、秒表示）： (1)103.3°+17642'-98.34°= (2)2422'36”×3= (3)147°45÷5= (4)180°-1815'×6= 9/19 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型3钟面角 【例5】2时20分时，钟面上时针与分针所成的角是 【例6】在9时40分这一刻，时针和分针的夹角为 度、 【技巧归纳】 钟面一圈360°，每大格30°，每小格6°。时针速度0.5°/分，分针6°/分。求某时刻两针夹角：先算分针角度 =6m,时针=30+0.5m(为小时，m为分钟)。夹角=两者差取绝对值，若>180°则取360°差。夹角不大 于180°。注意整点时刻，如3：00夹角90°。审清时刻。 【变式3-1】如图，在地面上有一个钟，钟面的12个粗线段刻度是整点时针（短针）所指的位置，根据图 中时针与分针（长针)所指的位置，该钟面所显示的时刻是_时一分. T Lly 【变式3-2】每天上午9：35“阳光大课间”都如约而至，此时时针与分针所夹的角为 0· 题型4与方位角有关的计算题 【例7】如图，OA方向是北偏东 ∠AOB= 北 B 西45入 30°东 南 【例8】如图，OA的方向是北偏东21°，OB的方向是北偏西27°.若∠A0C=2∠40B,则OC的方向是一 10119 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 B\27o19 东 南 【技巧归纳】 方位角从正北顺时针度量，范围0°~360°。表示：北偏东30即方位角30°，南偏西60°即240°。计算两方 位角夹角：先化为同一参考，差绝对值，若>180°则用360°-差。实际中常画方位图，用南北方向作基准。 如A在B北偏东40°，B在A南偏西40°。注意互余、互补关系。 【变式41】如图，早上李老师开车从家出发去学校，以60千米1小时的速度沿南偏东30°方向行驶20分钟 到达学校.下班后李老师沿同一路线回家，则李老师行驶的方向是一，路程是一千米 北 李老师家 30 入学校 【变式42】如图，某海域有三个小岛A,B,O,在小岛O处观测到小岛A在它北偏东58°的方向上，观测 到小岛B在它南偏东42°的方向上，则∠AOB的度数大小是 北 西 0 东 南 题型5角的比较 【例9】比较大小：3815_38.15°.（填>”、“<”或“=”） 【例10】若∠a=10.2°，∠B=102,则∠a一∠B.(填“>”“<”或“=”) 11/19 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 角的大小比较：度量法（用量角器）、叠合法（将顶点及一边重合，看另一边位置）。注意角的大小与边 长短无关。也可估算：锐角<90°，直角=90°，钝角>90°。计算差：大角减小角。若用度数表示，直接比较 数值。如30°<60°。在图形中，可通过全等或相似判断。常用估测。 【变式5-1】若∠A=30.4°，∠B=3022,则∠A ∠B.(填“><'或“=”) 【变式5-2】若LA=5020,∠B=50.5°，则∠A∠B(填“>”“=”或“<”) 题型6三角板中角度计算问题 【例11】如图，将一副三角尺的两个锐角(45°角和60°角)的顶点叠放在一起，没有重叠的部分分别记 作∠1和∠2，若∠1=23°，则∠2的度数为 【例12】如图，将一个直角三角板的30°角的顶点与另一个直角三角板的直角顶点重合若∠1=2030'，则 ∠EAB=」 【技巧归纳】 常用三角板角度：45°-45°-90°和30°-60°-90°。拼角时，角度相加减可得15的整数倍（如30叶45=75,45 30=15)。求组合角时，直接相加或相减。注意三角板平行边可产生同位角、内错角。若重叠，用已知角 减重叠角。可画出示意图辅助计算。拼图时考虑公共边。 【变式6-1】如图，将一个三角板60°角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若DA平分∠BAC,则 ∠CAE的度数是 12119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【变式6-2】一副三角板按如图方式摆放，点B,C,D在同一条直线上，∠A=459,∠E=30°.现将三角板 DCE绕点C逆时针旋转一周，当AC所在直线恰好平分∠DCE时，三角板DCE转过的角度为， 题型7角平分线的有关计算 【例13】如图，点O在直线AB上，OC⊥OD D I)若OC平分∠BOE,∠B0D=25°，则∠A0E= (2)若∠BOD为锐角，∠AOE=2LBOD,请说明OC平分∠BOE 【例14】如图，OC是∠AOD的平分线，OE是∠BOD的平分线，∠AOB=130°. (1)求∠COE的度数是多少？ (②)如果∠COD=20°，求∠BOE的度数. 【技巧归纳】 13119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 角平分线将角分成两个相等角，OC平分∠AOB,则∠AOC=∠COB=5∠AOB。若给出角平分线，可用倍数 关系求角。多个角平分线时，设未知数列方程。如OC、OD分别平分∠AOB和∠BOC,则 ∠AOD=4LAOB。注意角平分线的定义，常用于几何证明。设x表示部分角更简便。 【变式7-1】已知OC是过点O的一条射线，OD,OE分别平分∠AOC,∠BOC. 图① 图② 备用图 (1)当射线OC在∠AOB的内部时 ①如图①，若∠AOB=80°，则∠DOE= ②如图②，若∠AOB=°，求∠D0E的度数（用含x的式子表示）； (②)当射线OC在∠AOB的外部时，∠AOB=x°，请借助备用图探究∠DOE的度数是 (直接写出答 案) 【变式7-2】【问题背景】已知OC是∠AOB内部的一条射线，且∠A0B=3∠A0C. M B B 图1 图2 图3 【问题再现】(1)如图1，若∠AOB=120°，OM平分∠AOC,ON平分∠AOB.求∠MON的度数： 【问题推广】(2)如图2，∠A0B=90°，从点O出发在∠BOC内引射线OD,满足 ∠BOC-∠AOC=∠COD.若OM平分∠COD.求∠BOM的度数： 【拓展提升】(3)如图3，在∠AOC的内部作射线OP,在∠BOC的内部作射线O№.若 ∠COP:∠BOQ-l:2;求∠AOP和∠COO的数量关系。 题型8角等分线的有关计算 【例15】在∠AOB的内部作射线OC,射线OC把∠AOB分成两个角，分别为∠AOC和∠BOC,若 ∠A0C=∠4OB或∠B0C=3∠A0B,则称射线OC为∠AOB的三等分线.若∠AOB=60,射线0C为 3 3 14119 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠AOB的三等分线，则∠AOC的度数为() A.20° B.40° C.20°或40° D.20°或30° 【技巧归纳】 n等分线将角分成n个相等角。若射线OC是∠AOB的m等分线（从OA起第m条），则 ∠AOC-mm:∠AOB。已知比例可设每份角为x,列方程。注意等分线位置顺序。多个等分线时，依次累 加。如三等分线：∠A0C-1/3∠AOB,∠C0D-1/3,∠D0B=1/3。常设份数求值。 【变式81】定义：从∠AOB的顶点出发，在角的内部引一条射线OC,把∠AOB分成：2的两部分，射 线OC叫做∠AOB的三等分线.若在∠MON中，射线OP是∠MON的三等分线，射线OO是∠MOP的三 等分线，设∠MO0=x,则∠MON用含x的代数式表示为 04过关检测 一、单选题 1.下列图形中，能用∠1，∠ACB,∠C三种方法表示同一个角的是() A D A B C D B B -B 2.下列换算中，正确的是() A.83.5°=8350B.57.28°=5716'48"C.19°524"=19.9°D.0.25°=1500” 3.将一副常规三角尺（厚度不计）如图摆放，那么∠等于() 15119 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.30° B.45° C.55° D.60 4.如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，∠AOB=140度，则∠AOD的度数是() D A A.145° B.160° C.750 D.105° 5.如图，图中是某航海区域的情况，在灯塔O附近有A,B,C,D,E,F,6座海轮，其中F到灯塔的距 离为10km,海轮F在灯塔和海轮D的中点处.且AOD=4230',∠D0E=∠AOC=78.5°.则下列说法 正确的是() ①若海轮F的速度为30km/h,则海轮F抵达灯塔最少需要20分钟； ②∠E0C=43°： ③∠B0E=59°； ④C在灯塔的北偏东1130'的方向上. 北 D 西BO灯塔 有东 南 A.①④ B.①② C.①③④ D.①②③④ 二、填空题 6.计算：3625'+42°56= 7.已知∠a=10.5°，∠B=1020,则∠a ∠B(填“<”或“>”或“=”). 8.3:30时，钟面上时针和分针组成的角是 角； 时整或 时整，时针和分针的 夹角是直角. 16119 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 9.如图，己知∠ABC=80°，射线BD在∠ABC的内部，且∠ABD=3LCBD,射线BE是平面上绕点B旋转 的一条动射线，BF平分∠DBE.若∠ABE=a(O°<a<60),则LCBF的度数为一· (用含a的式子 表示) A D B C 10.定义：过角的顶点在角的内部作一条射线，得到三个角，若这三个角中有一个角是另外一个角的两倍， 则称这条射线为这个角的“二倍角线”.如图，∠AOB=60°，射线OC为∠AOB的“二倍角线”，则 ∠AOC= B 三、解答题 11.计算： (1)8516-1847-(3522-2652）. (2)534030×2-72°5728÷2， 12.如图，A、O、B在一条直线上，已知OD平分∠BOC,OE是∠COD内部的一条射线： A 0 I)若LB0D=60°，∠D0E=35°，求∠COE的度数： (2)若∠AOE=80°，∠DOE=2∠COE,求∠BOD的度数. 13.解答下列问题： (I)尺规作图，在∠AOB的外部作∠BOD,使得∠BOD=∠AOC(要求只保留作图痕迹，不写作法)； 17119 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)∠A0B=120°，设∠AOC=x°， ①用x表示∠BOD: ②求证：∠C0D=120°： ③探究∠AOD与∠BOC的数量关系，并说明理由. 14.已知∠AOB=120°，过点O作射线OC,设∠AOC=a,将射线OC逆时针旋转一定的角度得到射线 OD D B D 图1 图2 (1)如图1，若∠C0D=60,0°<a<60°，求∠A0D+∠BOC的度数： (2)如图2，若∠C0D=60°，60°<a<120° ①求∠BOD的度数（用含a的式子表示）： ②若OE平分∠BOC,试探究∠DOE与∠AOC的数量关系，并说明理由. 15.【实践操作】三角尺中的数学实践活动课上，“奋进”小组将一副直角三角尺的直角顶点叠放在一起， 如图1，使直角顶点重合于点C B 图1 图2 【问题发现】 (1)O填空：如图1，若∠ACB=145°，则∠ACE的度数是一，∠DCB的度数一， ∠ECD的度数是 ②如图1，你发现∠ACE与∠DCB的大小有何关系？∠ACB与∠ECD的大小又有何关系？请直接写出你发 现的结论。 【类比探究】 (2)如图2，当△ACD与△BCE没有重合部分时，上述②中你发现的结论是否还依然成立？请说明理由. 16.特例感知： (1)如图1，己知线段AB=14,点C为线段AB上的一个动点，点D,E分别是AC和BC的中点. ①若AC=4,则线段DE= 18119 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②若AC=a(a<14),则线段DE= A D C E B 图1 图2 图3 图4 D 知识迁移： (2)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，若∠AOB=130°，OC是∠AOB内部的一条射线，射线 OM平分LAOC,射线ON平分∠BOC,∠MON=一： 拓展探究： (3)如图3，已知∠C0D在∠A0B内部，∠A0B=a(a<180),∠C0D=28°，且∠D0M=3∠A0M, ∠CON=3∠BON,求∠MON(用含C的式子表示)· 综合提升： (4)如图4，若LA0B=126°，∠COD=60°，射线OE、OF分别在∠AOC和∠B0D内部，且 ∠B0c-SA0C,D0F-a0D,∠EOr- 一.（直接写出答案） 19119