专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦二次函数与一元二次方程、不等式核心知识点，系统梳理一元二次不等式的定义、解法（含不含参数与含参数步骤），延伸至分式、高次、绝对值不等式解法，结合由解集确定参数、恒成立、有解及实际应用题型，构建完整学习支架。 资料以题型归纳为主线，例题与变式题层层递进，融入服装厂日获利、仓库选址等实际问题，培养学生用数学眼光观察现实世界、用数学思维进行逻辑推理（如含参数不等式分类讨论）。课中助力教师系统教学，课后练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1·解不含参数的一元二次不等式】 2 【题型 2·解含有参数的一元二次不等式】 3 【题型 3··由一元二次不等式的解确定参数】 3 【题型 4·一元二次不等式恒成立问题】 3 【题型 5· 一元二次不等式有解问题】 4 【题型 6·一元二次不等式的实际应用】 5 【课后练习】 7 知识点1 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【题型 1··解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（25-26高一上·福建三明·期中）解下列不等式： (1)； (2)； 【变式1-1】（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式： (1)； (2). 【变式1-2】（25-26高一上·青海海东·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2) 【变式1-3】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）求下列不等式的解集： (1) (2) 【题型 2·解含有参数的一元二次不等式】 【例2】（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【变式2-1】（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式2-2】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为____． 【变式2-3】（24-25高一上·北京·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为______. 【题型 3··由一元二次不等式的解确定参数】 【例3】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若关于x的不等式的解集是，则实数__________. 【变式3-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）关于的不等式为，若此不等式的解集为，则m的取值范围是__________． 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________. 【变式3-3】（25-26高一上·上海闵行·期中）一元二次不等式的解集是，则___________． 【题型 4·一元二次不等式恒成立问题】 【例4】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【变式4-1】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知不等式的解集为. (1)求，； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 【变式4-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）关于的不等式 (1)若此不等式对于一切都成立，求的取值范围； (2)若此不等式解集为或，求的值. 【变式4-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知不等式在R上恒成立，求的取值范围． 【题型 5· 一元二次不等式有解问题】 【例5】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【变式5-1】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【变式5-2】（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型 6·一元二次不等式的实际应用】 【典例6】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【变式6-1】（24-25高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【变式6-2】（25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【变式6-3】（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一下·河北保定·开学考试）设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C．6 D．5 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·河北·期末）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 7．（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）（多选）已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 8．（第08讲二次函数与一元二次方程、不等式（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）不等式的解集为____________． 9.（25-26高一上·上海·期中）对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 10．（25-26高一上·安徽合肥·期末）解下列不等式 (1) (2) 11．（25-26高一上·河南·阶段检测）现有关于的不等式为实数. (1)若，求该不等式的解集； (2)若该不等式对于任意的恒成立，求的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式【知识解读】 【人教A版（2019）】 题型归纳 【题型 1·解不含参数的一元二次不等式】 2 【题型 2·解含有参数的一元二次不等式】 4 【题型 3··由一元二次不等式的解确定参数】 6 【题型 4·一元二次不等式恒成立问题】 7 【题型 5· 一元二次不等式有解问题】 9 【题型 6·一元二次不等式的实际应用】 11 【课后练习】 14 知识点1 一元二次不等式 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 3．分式、高次、绝对值不等式的解法 (1)解分式不等式的一般步骤： ①对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． ②对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． (2)解高次不等式的一般步骤： 高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”，步骤如下：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. (3)解绝对值不等式的一般步骤： 对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【题型 1··解不含参数的一元二次不等式】 【例1】（25-26高一上·福建三明·期中）解下列不等式： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次不等式的解法可得答案； （2）利用分式不等式的解法可得答案. 【详解】（1）由 ，得，解得， 所以不等式的解集为 。 （2）不等式 等价于，解得或， 所以不等式的解集为 . 【变式1-1】（24-25高一上·福建福州·期中）解下列一元二次不等式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）由，得， 解得， 所以不等式的解集为； （2）由，得， 即，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式1-2】（25-26高一上·青海海东·阶段检测）解下列不等式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次不等式的解法可得出原不等式的解集； （2）将所求不等式变形为，利用分式不等式的解法可得出所求不等式的解集. 【详解】（1）由，得，解得，故原不等式的解集为. （2）由得， 等价于，解得，故原不等式的解集为. 【变式1-3】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）求下列不等式的解集： (1) (2) 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）运用一元二次不等式的解法，结合不等式组的性质进行求解即可； （2）根据分式的运算性质，结合根轴法进行求解即可. 【详解】（1） ， 所以原不等式的解集为； （2） ，或， 所以原不等式的解集为，或. 【题型 2·解含有参数的一元二次不等式】 【例2】（25-26高一上·河北唐山·期中）解关于的不等式． 【答案】当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【分析】根据实数的正负性，结合一元二次不等式解集的性质分类讨论进行求解即可. 【详解】由已知，得，： 当时，不等式化为，解得； 当时，不等式等价于， 若，解得，或； 若，解得， 若，解得，或； 当时，不等式等价于，解得. 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为全体实数， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【变式2-1】（24-25高一上·浙江温州·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 【变式2-2】（25-26高一上·福建龙岩·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为____． 【答案】 【分析】借助一元二次不等式解法计算即可得. 【详解】因为，方程的两根为，，显然， 所以原不等式的解集为 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高一上·北京·阶段检测）若，则关于的不等式的解集为______. 【答案】或 【分析】解出方程的两根，即可得解不等式的解集. 【详解】因为，方程的两根为和， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或. 【题型 3··由一元二次不等式的解确定参数】 【例3】（25-26高一上·安徽马鞍山·期中）若关于x的不等式的解集是，则实数__________. 【答案】10 【分析】根据给定的解集，结合韦达定理列式求解. 【详解】由不等式的解集是，得是方程的二根，且， 因此，所以. 故答案为：10 【变式3-1】（25-26高一上·河北唐山·期中）关于的不等式为，若此不等式的解集为，则m的取值范围是__________． 【答案】 【分析】分类讨论求解不等式，结合解集可得答案. 【详解】由题意，当时，不等式的解为或，不符； 当时， 不等式等价于，即，符合题意； 综上可得. 故答案为：. 【变式3-2】（25-26高一上·上海·期中）已知，若关于x的不等式的解集为，则m的取值范围是__________. 【答案】 【分析】根据二次函数的图像和性质求解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式的解集为， 根据二次函数的图像和性质可得，，解得. 故答案为：. 【变式3-3】（25-26高一上·上海闵行·期中）一元二次不等式的解集是，则___________． 【答案】 【分析】先利用一元二次不等式的解集确定对应方程的根，再利用根与系数的关系求出，最后计算． 【详解】的解集是，不等式的二次项系数为，抛物线开口向上， 不等式解集是方程两根之间的区间， 方程的两根为：， ，解得， ． 故答案为：． 【题型 4·一元二次不等式恒成立问题】 【例4】（25-26高一上·湖南长沙·阶段检测）已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得方程的解为，再利用韦达定理求解即可； （2）分和两种情况讨论结合根的判别式求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的解为， 则，解得； （2）当，即时，恒成立； 当时， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 【变式4-1】（25-26高一上·吉林·阶段检测）已知不等式的解集为. (1)求，； (2)若不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由不等式的解集可得方程的根，由根与系数的关系求解； （2）对分类讨论，当时，根据二次不等式恒成立，利用判别式求解. 【详解】（1）由题意知，1和2是方程的两根，. 由韦达定理可得，解得. （2）由（1）可知，则可转化为不等式恒成立， 则当时，不等式恒成立； 当时，不等式对于均成立， 等价于，解得， 综上可得. 【变式4-2】（24-25高一上·福建厦门·期中）关于的不等式 (1)若此不等式对于一切都成立，求的取值范围； (2)若此不等式解集为或，求的值. 【答案】(1); (2). 【分析】（1）分与讨论即可求解； （2）由题意可得，且是方程的两个根，根据韦达定理即可求解. 【详解】（1）当时，不恒成立，故舍去； 当时，，解得. 综上所述，的取值范围为. （2）因为的解集为或， 则，且是方程的两个根， 则，解得. 【变式4-3】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知不等式在R上恒成立，求的取值范围． 【答案】 【分析】按照和分类讨论，利用判别式法列不等式求解即可. 【详解】当时，原不等式为，在R上恒成立，所以满足题意； 当时，不等式在R上恒成立， 则，解得， 综上，的取值范围为， 【题型 5· 一元二次不等式有解问题】 【例5】（25-26高一上·广东佛山·阶段检测）已知命题“，”是假命题，则实数a的取值范围是（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】由存在量词命题为真，结合一元二次不等式有解的条件列式求出的范围，再利用给定命题为假命题求解. 【详解】由，，得，解得或， 由命题“，”是假命题，得， 所以实数a的取值范围是. 故选：A 【变式5-1】（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先写出命题的否定，再根据命题的否定为真命题，列不等式解得结果. 【详解】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 【变式5-3】（24-25高一上·江苏镇江·期中）命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先写出原命题的否定，然后根据存在量词命题的真假性列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】依题意，命题“，”为真命题， 所以，由于， 所以当时，取得最小值为， 所以. 故选：A 【题型 6·一元二次不等式的实际应用】 【典例6】（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）某小型服装厂生产一种风衣，日销货量件（）与货价p元/件之间的关系为，生产件所需成本为元.问：该厂日产量多大时，日获利不少于1300元? （2）一家货物公司计划租地建造仓库储存货物，经过市场调查了解到下列信息：每月土地占地费（单位：万元）与仓库到车站的距离（单位：km）成反比，每月库存货物费（单位：万元）与成正比；若在距离车站10km处建仓库，则和分别为2万元和8万元，这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处，才能使两项费用之和最小? 【答案】（1）且；（2）5km 【分析】（1）先根据“日获利=日销售额-成本”列出获利函数，再通过解一元二次不等式，得出日产量的取值范围即可； （2）先根据已知条件求出反比例函数与正比例函数的系数，得到总费用表达式，再利用均值不等式求最值即可. 【详解】（1）因为日获利等于销售额减去成本， 销售额为，成本为， 故利润函数为：， 要求日获利不少于1300元，即解不等式：， 化简得：，解得：， 又因为，故日产量为20到45之间的整数. （2）设土地占地费，库存货物费， 由题意知，当时，， ， 得：，所以，即； ，所以，即， 则两项费用之和为：， 由均值不等式得：，当且仅当，即时等号成立， 此时费用之和取到最小值，故仓库应建在距离车站5km处. 【变式6-1】（24-25高一上·广西河池·期中）某工厂生产一种产品，其成本函数为（元），其中为产品数量（单位：件）.若每件产品的售价为元，求： (1)工厂至少生产多少件产品时，才能使平均成本不超过售价？ (2)若工厂希望利润不低于元，那么至少需要生产多少件产品？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题可知平均成本； 要使平均成本不超过售价50元则有； ∵，所以两边同乘以得； 化简得，解得； ∵， ∴至少生产2件产品. （2）∵利润=售价×数量-成本,所以利润， 即， 要使利润不低于100元，则有； 解得不等式的解集为， ∴至少需要生产件产品. 【变式6-2】（25-26高一上·江苏盐城·期末）某人购买了一辆新能源汽车从事滴滴客运业务，根据市场分析，该汽车的运营利润（万元）与运营年数的关系为 (1)该新能源汽车运营到哪年时，运营利润超过万元？ (2)该新能源汽车运营到哪年时，年平均利润最大？ 【答案】(1)第年 (2)第年 【分析】（1）解不等式，结合，得出的值，可得结论； （2）利用基本不等式求出的最大值，利用等号成立的条件可得出的值，即可得出结论. 【详解】（1）令，整理可得，解得， 因为，故，故该新能源汽车运营到第年时，运营利润超过万元. （2）该新能源汽车的年平均利润为， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故该新能源汽车运营到第年时，年平均利润最大. 【变式6-3】（25-26高一上·内蒙古包头·阶段检测）完成下列各题： (1)如图（1），公园的管理员计划在一面墙的同侧，用彩带围成四个相同的长方形区域，若每个区域的面积为，要使围成四个区域的彩带总长最小，则每个区域的长和宽分别是多少米？并求彩带总长的最小值； (2)如图（2），某学校要在长为，宽为的一块矩形地面上进行绿化，计划四周种花卉，花卉带的宽度相同，均为，中间植草坪. ①写出草坪的面积S关于花卉带的宽度x的函数解析式； ②若要求草坪的面积大于总面积的一半，则花卉带的宽度x的取值范围是多少？ 【答案】(1)和时，彩带的总长最小值为 (2)①；② 【分析】（1）先根据题意列出等式，然后根据基本不等式的性质求出彩带的总长的最小值. （2）①根据矩形面积公式列出函数解析式即可；②根据题意要求列出不等式，然后求解集即可. 【详解】（1）设每个区域的长与宽分别为米和米，由题意可得，， 则彩带总长，当且仅当，即，时，彩带的总长最小. 所以每个区域的长与宽分别为和时，彩带的总长最小，最小值为. （2）①由题意，（）； ②因为，即， 所以，解得或，又因为，所以， 所以的取值范围时，草坪的面积大于总面积的一半. 课后练习 【课后练习】 1．（25-26高一下·贵州六盘水·期末）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】的解为或5， 故不等式的解集为或 2．（25-26高一下·贵州铜仁·期末）不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，整理得， 等价于且，解得， 综上得原不等式的解集为，故B正确. 3．（25-26高一下·广东河源·期末）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】解不等式后由充分必要条件的概念即可求解. 【详解】解得， 可以推出，但不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 4．（25-26高一下·河北保定·开学考试）设一元二次不等式的解集为，则的值为（    ） A． B． C．6 D．5 【答案】C 【详解】∵不等式的解集为， ∴，的两个根分别为， 由根与系数的关系，得，， ， ∴． 5．（25-26高一上·湖南长沙·期末）关于的不等式对恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析不等式恒成立需满足的条件，再计算求解． 【详解】不等式对恒成立，需满足对应函数开口向上，且判别式小于零： 开口向上，满足条件； ，解得， 的取值范围是，故A正确． 故选：A． 6．（25-26高一上·河北·期末）已知，关于的不等式的解集为，则（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】依题意可得关于的方程的根为和，利用韦达定理求出、的值，即可得解. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以关于的方程的根为和， 所以，解得， 所以. 故选：B 7．（25-26高一上·广东揭阳·阶段检测）（多选）已知关于的不等式 的解集为 ，则下列说法正确的有（   ） A． B． C．关于的不等式的解集为或 D． 【答案】ABD 【分析】根据一元二次不等式的解集性质逐一判断即可. 【详解】因为关于的不等式的解集为， 所以有. A：由上可知本选项说法正确； B：因为，所以本选项说法正确； C： ，因此本选项说法不正确； D：因为，所以本选项说法正确， 故选：ABD 8．（第08讲二次函数与一元二次方程、不等式（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）不等式的解集为____________． 【答案】 【详解】已知，方程 的两个根为7和， 所以不等式的解集为． 9.（25-26高一上·上海·期中）对任意，都有，则a的取值范围是__________________. 【答案】 【详解】当时，恒成立，因此符合题意； 当时，由，恒成立， 得，解得， 所以a的取值范围是. 10．（25-26高一上·安徽合肥·期末）解下列不等式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）移项通分，再按有理数乘除法的符号法则列式求解. （2）按一元一次不等式解法求解. 【详解】（1）由，得，则， 则，解得， 所以原不等式的解为. （2）不等式化为， 即，则，解得， 所以原不等式的解为. 11．（25-26高一上·河南·阶段检测）现有关于的不等式为实数. (1)若，求该不等式的解集； (2)若该不等式对于任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用不含参数的一元二次不等式的解法求解集； （2）讨论、，结合一元二次不等式与二次函数关系列不等式求参数范围. 【详解】（1）由时，原不等式为， 即，可得， 该不等式的解集为. （2）当时，显然成立，          当时，则，解得，           综上，的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $