第3练　柯西不等式与权方和不等式专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦柯西与权方和不等式的系统性应用，通过题型分层与方法提炼，构建从基础形式到综合变式的解题逻辑链，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |柯西不等式应用|5|二维/三维形式直接应用、等号条件验证|概念生成→公式推导→代数最值应用| |权方和不等式应用|4|分子分母结构匹配、参数代换变形|特殊形式→结构识别→函数最值优化| |综合应用|3|多不等式联用、实际情境建模|方法融合→跨知识迁移→复杂问题解决|

第3练　柯西不等式与权方和不等式 一、单项选择题(每小题5分，共35分) 1.若++…+=1++…+=4，则a1b1+a2b2+…+anbn的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y满足+≥当且仅当=时等号成立.则函数f(x)=+的最小值为(　　) A.16 B.25 C.36 D.49 3.已知a，b，c>0，且a+b+c=1，则++的最大值为(　　) A. B.4 C. D.5 4. 已知，，，则的最大值为(　　) A．18 B．9 C． D． 5.若sin x+cos y+sin(x+y)=2，则sin x的最小值是(　　) A.0 B.2- C.3- D. 6.已知正实数x，y满足x+y=1，则+的最小值为(　　) A.10 B.15 C.24 D.27 7.  “权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的. 其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立. 根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为 （ ） A.  B.  C.  D.  二、多项选择题(每小题6分，共12分) 8.已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 9. 已知，，且，则下列选项正确的是（ ） A.  B.  C. 的最大值为 D.  三、填空题(每小题5分，共10分) 10.若p，q，m，r，s，t为非零实数，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，则=　　　　. 11.对任意x>1，y>+≥1恒成立，则实数a的最大值为　　　　. 四、解答题 （12分） 12.  (2025高一上·浙江月考)柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数a,b,c,d ，有当时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数a,b,c,d,e,f ，有当时，等号成立. (1) 证明二阶柯西不等式： (2) 若，求的取值范围. 第3练　柯西不等式与权方和不等式 一、单项选择题(每小题5分，共35分) 1.若++…+=1++…+=4，则a1b1+a2b2+…+anbn的最大值为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　(a1b1+a2b2+…+anbn)2≤(++…+)·(++…+)=4， ∴a1b1+a2b2+…+anbn≤2，当且仅当ai=bi(i=1，2，…，n)时，等号成立. 2.权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y满足+≥当且仅当=时等号成立.则函数f(x)=+的最小值为(　　) A.16 B.25 C.36 D.49 答案　D 解析　因为正数a，b，x，y满足+≥当且仅当=时等号成立， 又0<x<即1-3x>0，于是得f(x)=+≥=49， 当且仅当=即x=时，等号成立， 所以函数f(x)=+的最小值为49. 3.已知a，b，c>0，且a+b+c=1，则++的最大值为(　　) A. B.4 C. D.5 答案　C 解析　由柯西不等式得(++)2=(1·+1·+1·)2≤(12+12+12)(4a+1+4b+1+4c+1)=3[4(a+b+c)+3]=21，当且仅当a=b=c=时，取等号，故++的最大值为. 4. 已知，，，则的最大值为(　　) A．18 B．9 C． D． 答案　C 解析　由题意，，当且仅当  时等号成立， 当 ， 时，故  的最大值为 ． 5.若sin x+cos y+sin(x+y)=2，则sin x的最小值是(　　) A.0 B.2- C.3- D. 答案　C 解析　由已知得sin x+cos y+sin xcos y+cos xsin y=2， 整理得2-sin x=(sin x+1)cos y+cos xsin y， 由柯西不等式得(sin x+1)cos y+cos xsin y ≤· = 当且仅当(sin x+1)sin y=cos ycos x时取等号， 所以(2-sin x)2≤2+2sin x， 即sin2x-6sin x+2≤0，又-1≤sin x≤1， 解得3-≤sin x≤1， 所以sin x的最小值为3-. 6.已知正实数x，y满足x+y=1，则+的最小值为(　　) A.10 B.15 C.24 D.27 答案　D 解析　设x=cos2α，y=sin2α，α∈ 由权方和不等式，可知+=+≥=27， 当且仅当=即x=y=时取等号，所以+的最小值为27. 7.  “权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初命名的. 其具体内容为：设，则，当且仅当时，等号成立. 根据权方和不等式，若，当取得最小值时，的值为 （ ） A.  B.  C.  D.  答案　C 解析　由题意得，，则， 当且仅当，即时等号成立，所以. 故选：C. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 8.已知a>0，b>0，且a+b=1，则(　　) A.a2+b2≥ B.2a-b> C.log2a+log2b≥-2 D.+≤ 答案　ABD 解析　由柯西不等式(a2+b2)(1+1)≥(a+b)2，得a2+b2≥当且仅当a=b=时，等号成立，故A正确；利用分析法：要证2a-b>只需证明a-b>-1即可，即a>b-1.由于a>0，b>0，且a+b=1，所以a>0，-1<b-1<0，故B正确；利用基本不等式log2a+log2b=log2ab≤log2=-2，当且仅当a=b=时，等号成立，故C错误；由于a>0，b>0，且a+b=1，利用柯西不等式(a+b)(1+1)≥(+)2，所以+≤ 当且仅当a=b=时，等号成立，故D正确. 9. 已知，，且，则下列选项正确的是（ ） A.  B.  C. 的最大值为 D.  答案　ABD 解析　由题意，可得，所以，解得，当且仅当时，即，时，等号成立，所以A正确；由，当且仅当时，等号成立，所以B正确；若，则，此时，所以C不正确；由柯西不等式，可得，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以D正确.故答案为：ABD 三、填空题(每小题5分，共10分) 10.若p，q，m，r，s，t为非零实数，p2+q2+m2=4，r2+s2+t2=9，pr+qs+mt=6，则=　　　　. 答案　 解析　由柯西不等式得 (p2+q2+m2)(r2+s2+t2)≥(pr+qs+mt)2， 当且仅当==时，等号成立， 令=k(k∈R)，则=k， 将p=kr，q=ks，m=kt代入pr+qs+mt=6， 解得k=所以=. 11.对任意x>1，y>+≥1恒成立，则实数a的最大值为　　　　. 答案　2 解析　因为+≥1恒成立， 所以a2≤+对任意x>1，y>恒成立，所以a2≤ 由题意x-1>0，2y-1>0， +≥ 设x+2y-2=t(t>0)， 则+≥ ==t++4≥8， 当且仅当即时，两个等号同时成立. 所以a2≤8，-2≤a≤2故实数a的最大值为2. 四、解答题 (12分) 12.  (2025高一上·浙江月考)柯西不等式在数学中有广泛应用，其二阶形式如下：对任意实数a,b,c,d ，有当时，等号成立．柯西不等式的三阶形式为对任意实数a,b,c,d,e,f ，有当时，等号成立. (1) 证明二阶柯西不等式： (2) 若，求的取值范围. （1） 证明：因为 ， 当且仅当时，即当时等号成立，   （2）  解：根据柯西不等式，得：， ， 式可化为， 则， ， ， 当且仅当时，即当时取等号， ， ， 在上单调递增，， ，时取最小值， 此时， 所以，的取值范围为： . 学科网（北京）股份有限公司 $