课时规范练5 基本不等式的应用专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦基本不等式求最值与实际应用，通过典例系统提炼配凑、换元等方法，构建从概念到综合应用的递进逻辑，培养数学思维与建模能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |典例对点练|5题|配凑法、换元法、常数代换法、实际问题建模|从基本不等式“一正二定三相等”概念，到直接求最值（如考点一），再到实际情境费用建模（考点二）| |素能综合练|10题|分式变形、二次函数最值、恒成立问题转化、等差数列与不等式综合、最优方案设计|深化条件变形（如变量代换、1的代换），拓展至跨知识综合应用（数列、函数）及决策优化，体现数学语言表达现实问题|

课时规范练5　基本不等式的应用 典例对点练 考点一　利用基本不等式求最值 1.(2025·北京五中模拟)若函数f(x)=x+(x>a)在x=3处取最小值,则a=(　　) A.1 B.2 C.4 D.2或4 2.(2025·黑龙江绥化模拟)已知a>1,b>2,(a-1)(b-2)=2,则a+b的最小值为(　　) A.3 B.2 C.3+2 D.2+3 3.(2025·河北沧州模拟)已知正实数m,n满足mn=2,则的最小值为(　　) A.2 B.3 C.3 D.4 4.(2026·安徽淮北模拟)若a,b>0,且a+b-9=,则ab的最大值为　　　 .  考点二　利用基本不等式解决实际问题 5.(2026·浙江宁波模拟)某市对新建住宅的屋顶和外墙都要求建造隔热层.某建筑物准备建造可以使用30年的隔热层,据当年的物价,每厘米厚的隔热层的建造成本是9万元.根据建筑公司的前期研究得到,该建筑物30年间每年的能源消耗费用N(单位:万元)与隔热层的厚度h(单位:厘米)满足关系:N(h)=(0≤h≤10).经测算知道,如果不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元.设F(h)为隔热层的建造费用与30年间的能源消耗费用的总和,则F(h)的最小值是　　　　　万元.  素能综合练 6.(2026·湖南长沙模拟)若x>1,则2x+的最小值是(　　) A.6 B.4 C.10 D.2 7.(2025·吉林长春模拟)已知0<x<,则y=x(1-3x)的最大值为(　　) A. B. C. D. 8.(2025·安徽宿州模拟)已知∀x∈(0,+∞),x2+ax+4≥0恒成立,则实数a的取值范围为(　　) A.[-4,4] B.[-4,+∞) C.(-∞,4] D.(-∞,-4)∪(4,+∞) 9.(2025·江苏南通一模)在公差不为0的等差数列{an}中,若as+at=2a3,则的最小值为(　　) A. B. C. D. 10.(2026·江苏南通模拟)旅游博主小胡自驾出行周游世界.已知各地燃油价格高低不一,出行中小胡有两种加油方案:第一种,每次均加a升的燃油;第二种,每次加b元的燃油.则下列说法正确的是(　　) A.采用第一种方案划算 B.采用第二种方案划算 C.两种方案一样 D.无法确定 11.(多选题)(2025·江西上饶二模)若正实数a,b满足a+b=1,则下列选项正确的有(　　) A.的最大值是 B.的最小值是9 C.(1+a)(1+b)的最大值是 D.a2+2b2的最小值是 12.(2025·河南八市联考)已知x>0,则4x+的最小值为　　　　　.  13.(2025·上海,8)已知a,b为正数,+b=1,则+a的最小值是　　　　.  14.(2025·云南昆明模拟)已知正数x,y满足x+y=4,则的最小值为　　　　.  15.(2026·江西赣州模拟)已知不等式4x+m+>0(x>-1)恒成立,则实数m的取值范围是　　　　　.  参考答案 课时规范练5　基本不等式的应用 1.B　解析 因为x>a,所以x-a>0,所以f(x)=x+=(x-a)++a≥2+a=2+a,当且仅当x-a=,即x=a+1时,等号成立,所以a+1=3,解得a=2. 2.C　解析 因为a>1,b>2,(a-1)(b-2)=2, 所以,所以a+b≥3+2,当且仅当a-1=b-2,即a=1+,b=2+时,等号成立.故选C. 3.C　解析 根据题意,mn=2,可得n=,则+m+,设+m=t,则t≥2,原式为t+≥2=3,当且仅当t=时,等号成立. 4.81　解析 因为a,b>0,所以=a+b-9≥2-9,当且仅当a=b=9时,等号成立,即≤9,故ab≤81. 5.108　解析 因为不建造隔热层,那么30年间每年的能源消耗费用为10万元, 所以N(0)==10,解得m=40. 又由题可得F(h)=30N(h)+9h=+9h=+3(3h+4)-12≥2-12=108,当且仅当=3(3h+4),即h=时,等号成立. 6.C　解析 ∵x>1,∴x-1>0,对2x+进行变形可得2(x-1)++2,根据基本不等式,得2(x-1)++2≥2+2=8+2=10,当且仅当2(x-1)=,即x=3时,等号成立,∴当x=3时,2x+取得最小值,最小值为10. 7.A　解析 因为0<x<,所以1-3x>0,y=x(1-3x)=×3x(1-3x)≤×[]2=,当且仅当3x=1-3x,即x=时,等号成立,所以最大值为. 8.B　解析 当x∈(0,+∞)时,a≥-(x+)恒成立,因为x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时,等号成立,所以-(x+)≤-4,所以a≥-4. 9.D　解析 ∵as+at=2a3,∴s+t=6, ∴=1,显然s,t∈N*,∴=()()=+2,当且仅当,即t=2,s=4时,等号成立. 10.B　解析 任取其中两次加油,假设第一次的油价为m元/升,第二次的油价为n元/升.第一种方案的均价为,当且仅当m=n时,等号成立;第二种方案的均价为,因为m+n≥2>0,则,故,当且仅当m=n时,等号成立.综上,第一种方案的均价不低于第二种方案的均价(当且仅当m=n时,等号成立).结合题干“各地燃油价格高低不一”可知油价会变化,此时第二种方案更划算.故选B. 11.ABC　解析 因为,当且仅当a=b=时,等号成立,故A正确;因为=(a+b)·()=5+≥5+2=9,当且仅当b=2a=时,等号成立,故B正确;因为(1+a)(1+b)≤()2=,当且仅当a=b=时,等号成立,故C正确;因为a=1-b,0<b<1,则a2+2b2=(1-b)2+2b2=3b2-2b+1=3(b-)2+,当且仅当b=时,等号成立,故D错误.故选ABC. 12.3　解析 由x>0得,4x+=4x+-1≥2-1=4-1=3,当且仅当4x=,即x=时,等号成立,故4x+的最小值为3. 13.4　解析 ∵+b=1,∴+a=(+a)(+b)=+1+1+ab≥2+2=4.∴当且仅当=ab,即a=2,b=时,等号成立,故+a的最小值为4. 14.0　解析 由于x,y满足x+y=4,可得y=4-x,所以-1≥2-1=0,当且仅当x=y=2时,等号成立,所以的最小值为0. 15.(0,+∞)　解析 不等式4x+m+>0(x>-1)恒成立,即m>-(4x+),因为x>-1,则x+1>0,则4x+=4(x+1)+-4≥2-4=0,当且仅当4(x+1)=,即x=-时,等号成立,则-(4x+)≤0,故m>0. 1 学科网（北京）股份有限公司 $