考点培优练03 热点不等式的应用（糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式）7大题型（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

考点培优练03 热点不等式的应用（糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式）7大题型 考点预览 目录 考点01 普通型糖水不等式的应用 1 考点02 对数型糖水不等式的应用 2 考点03 二维柯西不等式直接应用 3 考点04 二维柯西不等式的变形 4 考点05 多维柯西不等式 5 考点06 权方不等式的直接应用 6 考点07 权方和不等式的变形 7 考点通关 考点01 普通型糖水不等式的应用 普通型糖水不等式描述了一个真分数（分子小于分母的正分数）在分子分母同时加上同一个正数后，分数值会增大（即“加糖变甜”）。 糖水不等式：若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 倒数形式:设 , 则有: 适用范围：（如分式不等式的传递性）在比较大小、证明不等式、求解参数范围等问题中具有直观、简洁的优势，尤其适用于分式结构或可化为分式的对数、指数比较。 【典例1】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）(多选题)生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【跟踪训练】1．（2026·江西·二模）(多选题)已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济宁·三模）(多选题)已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 3．（2026·江西萍乡·一模）(多选题)已知实数，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东·模拟预测）(多选题)已知，则（     ） A． B． C． D． 考点02 对数型糖水不等式的应用 对数型糖水不等式是将普通糖水不等式应用于对数函数得到的结论，常用于比较不同底数或不同真数的对数值大小。常见形式：(1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 适用范围：解决对数比较大小问题的有效手段，尤其在高考中涉及数值估算时，能避免复杂计算，快速判断。 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，，； (3)当时，比较的大小. 【跟踪训练】1．（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·天津河北·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建龙岩·阶段检测）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较_______的大小（填”<”或”>”或”=”） 4．（25-26高三·全国·二轮复习）试比较_______的大小（填“”或“”或“”） 考点03 二维柯西不等式直接应用 1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：平方和相乘 ≥ 对应相乘求和再平方 【典例3】(多选)（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 【跟踪训练】1．（24-25高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 2．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 4．（2026·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 考点04 二维柯西不等式的变形 二维形式的柯西不等式的变式 【典例4】（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 2．（2025·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 3．（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 4.（24-25高三上·山东·阶段检测）对任意实数，均有，当且仅当时等号成立，这个不等式称为柯西不等式．若关于的方程有实根，则的最小值为______． 考点05 多维柯西不等式 柯西不等式扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了 【典例5】（25-26高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【跟踪训练】1．（2025高三·全国·竞赛）设，则的最小值为_____． 2． （24-25高三下·全国·强基计划）已知，则的取值范围是__________． 3．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 考点06 权方不等式的直接应用 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 【典例6】（2025·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【跟踪训练】1．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 2．（24-25高三下·辽宁葫芦岛·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 3．（25-26高三上·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 4．（2025高三·全国·专题练习）求的最大值为______________ 考点07 权方和不等式的变形 对柯西不等式变形，易得在时， 就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 2：若，则，当时，等号成立. 3：若，则，当时，等号成立. 【典例7】（2025高三上·江苏·专题练习）已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【跟踪训练】1．（2025高三·全国·专题练习）已知正数，，满足，则的最小值为______________ 2．（2026高三上·全国·专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 3．（2025高三·全国·竞赛）若锐角满足，则的最小值是_____. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练03 热点不等式的应用（糖水不等式、柯西不等式、权方和不等式）7大题型 考点预览 目录 考点01 普通型糖水不等式的应用 1 考点02 对数型糖水不等式的应用 4 考点03 二维柯西不等式直接应用 7 考点04 二维柯西不等式的变形 10 考点05 多维柯西不等式 14 考点06 权方不等式的直接应用 16 考点07 权方和不等式的变形 19 考点通关 考点01 普通型糖水不等式的应用 普通型糖水不等式描述了一个真分数（分子小于分母的正分数）在分子分母同时加上同一个正数后，分数值会增大（即“加糖变甜”）。 糖水不等式：若 , 则一定有 通俗的理解: 就是 克的不饱和糖水里含有 克糖, 往糖水里面加入 克糖,则糖水更甜; 倒数形式:设 , 则有: 适用范围：（如分式不等式的传递性）在比较大小、证明不等式、求解参数范围等问题中具有直观、简洁的优势，尤其适用于分式结构或可化为分式的对数、指数比较。 【典例1】（25-26高三上·河北邯郸·阶段检测）(多选题)生活经验告诉我们：克糖水中有克糖（，，且），若再添加克糖（）后，糖水会更甜.于是得出一个不等式：，趣称之为“糖水不等式”.根据“糖水不等式”判断下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，为三条边长，则 D．若，，为三条边长，则 【答案】BCD 【分析】根据糖水不等式可依次判断ACD；作差法可判断B. 【详解】对于A，由糖水不等式得：，时，，故A错误； 对于B，，， ，，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 故选：BCD 【跟踪训练】1．（2026·江西·二模）(多选题)已知，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用不等式的性质即可判断AC，利用作差法即可判断B，利用基本不等式即可判断D. 【详解】对于A：由得，又，所以，故A正确； 对于B：，又， 所以，所以， 所以，所以，故B错误； 对于C：由，所以，故C错误； 对于D：， 由，所以，所以， 当，即时，等号成立， 所以，故D正确. 2．（2026·山东济宁·三模）(多选题)已知，，为实数，则（ ） A．若，则 B．若，，则 C．若，则 D．若，，，则 【答案】ACD 【分析】可根据不等式的性质判断A，可通过举反例来判断该选项B是否正确，通过作差法判断C，可通过对 进行变形，然后利用基本不等式判断D. 【详解】选项A：已知 ，则，则 ，所以选项A正确； 选项B： 当 时，满足 ， ， 此时 ，显然 ，所以选项B错误； 选项C：， 因为 ，所以， 所以，即，，选项C正确; 选项D: 已知 ， ，将 变形为：, 根据基本不等式，因为 ，所以 ， 则 （当且仅当 ，即 时，等号成立）； 所以 ，即 ，所以选项D正确. 3．（2026·江西萍乡·一模）(多选题)已知实数，若，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于选项A，利用对数函数单调性判断的范围；对于选项B，利用幂函数单调性判断与的大小；对于选项C，作差比较与的大小；对于选项D，构造函数判断与的大小，即可得出结果. 【详解】对于选项A，已知，则，故，A正确. 对于选项B，因为，幂函数在上单调递增，又，所以，B错误. 对于选项C，， 因为，，所以，，， 故，即，C正确. 对于选项D，构造函数，，则在上单调递增. 因为，所以，即，整理得，D错误. 故选：AC 4．（2026·山东·模拟预测）(多选题)已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合选项，利用基本不等式和作差比较法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，因为，由基本不等式，可得， 当且仅当时，等号成立，所以A正确； 对于B，由，可得，因为指数函数为单调递增函数， 所以，所以B正确； 对于C，当时，此时，所以C不正确； 对于D，由， 因为，可得，所以，所以，所以D正确. 考点02 对数型糖水不等式的应用 对数型糖水不等式是将普通糖水不等式应用于对数函数得到的结论，常用于比较不同底数或不同真数的对数值大小。常见形式：(1) 设 , 且 , 则有 (2) 设 , 则有 (3) 上式的倒数形式：设 , 则有 适用范围：解决对数比较大小问题的有效手段，尤其在高考中涉及数值估算时，能避免复杂计算，快速判断。 【典例2】（2025高三·全国·专题练习）已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了， (1)请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立； (2)运用该不等式比较以下三个值的大小：，，； (3)当时，比较的大小. 【答案】(1)；证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可． （2）利用（1）中结论可得，时，，依此不等式即可比较所给三个数的大小. （3）令，求导可得，可得结论. 【详解】（1）由题意可得：，时，. 证明如下：，，， ，，，. （2）由（1）知，时，，即； 则，， 又， 综上所述，. （3）设，则， 故为上减函数，故. 【跟踪训练】1．（2026·北京顺义·二模）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过对数的运算法则将化简，再根据对数函数的单调性，即可判断的大小. 【详解】由题意，， 根据对数函数的图象性质，在上单调递增，在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 即，所以. 2．（2026·天津河北·二模）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数，对数函数的单调性及对数的运算求解即可. 【详解】指数函数 在定义域内单调递减，所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 对数函数 在 上单调递增， 所以 ，即 . 又 ， ，， 所以 ，即 ，所以 . 综上，. 3．（24-25高三上·福建龙岩·阶段检测）若克不饱和糖水中含有克糖，则糖的质量分数为，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式（，）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断与的大小：例如，试比较_______的大小（填”<”或”>”或”=”） 【答案】< 【分析】根据糖水不等式的知识求得正确答案. 【详解】依题意. 故答案为： 4．（25-26高三·全国·二轮复习）试比较_______的大小（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】由糖水不等式及对数的运算性质判断即可. 【详解】由糖水不等式及对数的运算性质，得. 故答案为：. 考点03 二维柯西不等式直接应用 1、二维形式的柯西不等式 2、记忆方法：平方和相乘 ≥ 对应相乘求和再平方 【典例3】(多选)（2026·河北廊坊·一模）已知a，b，c，d均为实数，则下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，且，则的最小值为 D．若，，且，则 【答案】ACD 【详解】，，又，，故A正确， 令，，故B错误， ，即，，又，，， ，当且仅当时，即等号成立，故C正确， ， 又，，则， 又，，当且仅当，即时等号成立，故D正确. 【跟踪训练】1．（24-25高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 2．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 3．（24-25高三上·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】A 【分析】运用柯西不等式直接求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 4．（2026·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可. 【详解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 考点04 二维柯西不等式的变形 二维形式的柯西不等式的变式 【典例4】（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式，已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变形给定等式可得，再将目标式化为并利用二维柯西不等式求出最大值. 【详解】由，得，即， 由，得，则， 由，，得， 由柯西不等式得， 因此，当，即时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 【跟踪训练】 1．（25-26高三上·山东青岛·期中）柯西不等式（Caulhy-Schwarz Lnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数的最大值为（    ） A． B． C．12 D．20 【答案】A 【分析】运用柯西不等式直接求解即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 由柯西不等式得，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：A. 2．（2025·全国·模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数和，有等号成立当且仅当已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（    ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可. 【详解】由题干中柯西不等式可得， 所以的最大值为，当且仅当时取等号. 故选：A 3．（2025·安徽蚌埠·二模）柯西不等式（Cauchy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：，当且仅当时等号成立.已知，直线与曲线相切，则的最小值为__________. 【答案】10 【分析】首先根据函数的导数求出切点横坐标，再结合切点在函数图象和直线上得到a与b的关系，然后对所求式子进行变形，利用均值不等式来求解最小值. 【详解】由，所以，设切点为，则，故， 又，所以，所以， 所以， 当且仅当， 即时等号成立，所以的最小值为10. 故答案为：10 4.（24-25高三上·山东·阶段检测）对任意实数，均有，当且仅当时等号成立，这个不等式称为柯西不等式．若关于的方程有实根，则的最小值为______． 【答案】/0.2 【分析】令，则可得，可求得，从而可得方程有大于等于2的根，可得，分类讨论可求的最小值. 【详解】令，所以，所以， 由，可得， 整理得， 因为，所以， 所以，解得，当且仅当，即是取等号， 对于方程，由求根公式可得， 因为方程有实根，所以， 即， （1）当，即时，两边平方可得， 所以， 若，即时，， 所以， 当且仅当，时，取等号， 若时，， 当时，不等式恒成立，此时. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：关键在于换元后确定方程有大于等于2的根，进而得到，再分类讨论求得最小值. 考点05 多维柯西不等式 柯西不等式扩展：，当且仅当时，等号成立. 注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对，并不是不等式的形状，但变成就可以用柯西不等式了 【典例5】（25-26高三·全国·二轮复习）柯西不等式的三元形式如下：对实数和，有，当且仅当等号成立，已知，请你用柯西不等式，求出的最大值是（ ） A．14 B．12 C．10 D．8 【答案】A 【分析】根据柯西不等式的三元形式，构造求解即可. 【详解】因为， 根据题目中柯西不等式的三元形式可知， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值是， 故选：A 【跟踪训练】1．（2025高三·全国·竞赛）设，则的最小值为_____． 【答案】/0.4 【分析】根据柯西不等式的性质计算即可. 【详解】由柯西不等式得 ，等号成立时． 所以的最小值为． 故答案为：. 2．（24-25高三下·全国·强基计划）已知，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】先根据柯西不等式可得，即可得，根据不等式性质结合两点间距离公式可得，即可得结果. 【详解】因为， 则，且，可得， 当且仅当，，时，等号成立； 又因为，则， 可得． 且， 设点和标准单位圆面内点，则， 又因为，可得， 则， 当且仅当时，等号成立； 综上所述：所求的取值范围是． 故答案为：. 3．设正数，，满足． (1)求的最小值； (2)求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由柯西不等式即可求解； （2）由柯西不等式即可得证. 【详解】（1）由柯西不等式知：． ，， 当，，时，取到最小值为． （2）由柯西不等式和（1）得 ， ，所以． 考点06 权方不等式的直接应用 权方和不等式：若，则，当且仅当时，等号成立. 1、很多题目是不会直接可以利用权方和不等式解决的，需要进行一定的配凑与变形. 2、权方和不等式的特征是分子的幂指数比分母的幂指数大1，用于“知和求和型”快速求最值，本质还是代数式常数化.另外，一定要验证等号成立条件. 【典例6】（2025·吉林白山·一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数，，，，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】D 【分析】根据权方和不等式，直接计算即可. 【详解】因为，，，，则，当且仅当时等号成立， 又，即，于是得， 当且仅当，即时取“=”， 所以函数的最小值为49． 故选：D 【跟踪训练】1．（24-25高三上·广东深圳·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设正数a，b，x，y，满足，当且仅当时，等号成立．则函数的最小值为（    ） A．16 B．25 C．36 D．49 【答案】B 【分析】结合所给权方和不等式计算即可得. 【详解】由，则，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：B. 2．（24-25高三下·辽宁葫芦岛·阶段检测）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（   ） A．39 B．52 C．49 D．36 【答案】B 【分析】根据权方和不等式的定义，将函数变形为：，再根据权方和不等式求出最小值即可. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据权方和不等式定义将函数解析式变形，从而利用权方和不等式求最值. 3．（25-26高三上·河北·期中）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时，等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为（    ） A．1 B． C． D．25 【答案】B 【分析】根据权方和不等式凑配，并利用其求解最值即可. 【详解】因为，所以，即 故根据题意，， 当且仅当，即时等号成立， 所以函数的最小值为. 故选：B 4．（2025高三·全国·专题练习）求的最大值为______________ 【答案】 【分析】根据权方和不等式直接求解即可. 【详解】 当且仅当，即或时取等号 故答案为：. 考点07 权方和不等式的变形 对柯西不等式变形，易得在时， 就有了当时，等号成立． 推广1：当时，等号成立． 2：若，则，当时，等号成立. 3：若，则，当时，等号成立. 【典例7】（2025高三上·江苏·专题练习）已知，，为非负实数，且满足，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】变形可得，根据权方和不等式即可求解. 【详解】由权方和不等式，可知 ， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2. 故选：B 【跟踪训练】1．（2025高三·全国·专题练习）已知正数，，满足，则的最小值为______________ 【答案】 【分析】根据权方和不等式可得解. 【详解】因为正数，满足， 所以， 当且仅当即时取等号. 故答案为：. 2．（2026高三上·全国·专题练习）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，，，，则，当且仅当时等号成立.根据权方和不等式，函数的最小值为_____ 【答案】52 【分析】先将转化为，然后根据权方和不等式计算. 【详解】因为， 因为，所以，， 根据权方和不等式有：， 当且仅当时，即时等号成立. 所以函数的最小值为. 故答案为： 3．（2025高三·全国·竞赛）若锐角满足，则的最小值是_____. 【答案】 【分析】利用权方和不等式的性质计算即可. 【详解】 ， 等号成立时． 附：权方和不等式的证明． (Hölder不等式)设， 则． 取，代入Hölder不等式得 ． 故答案为：. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $