精品解析：湖南省岳阳市岳阳经济技术开发区平地中学2021-2022学年八年级下学期数学学科知识竞赛试卷

2022年学科知识竞赛试卷 八年级数学 （时量：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本题共5个小题，每个小题6分，满分30分） 1. 设、、均为正数，若，则、、三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，对给出的不等式变形因式分解，结合、、均为正数的条件，即可推出三个数的大小关系． 【详解】解：、、均为正数， ，，，， 由，两边同乘正数，得， 展开整理得 因式分解得. ， ，即 由，两边同乘正数，得 展开整理得. 因式分解得， ， ，即； ． 2. 如图，两平面镜、的夹角，入射光线平行于，入射到上，经两次反射后的出射光线平行于，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用反射的性质得到入射光线与水平线的夹角等于反射光线与水平线的夹角，再利用平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解． 【详解】如图， 由题意得，∠1=∠θ=∠3，由镜面成像原理可知，∠1=∠2，∠3=∠4， ∴∠2=∠θ=∠4， ∴∠θ=60°， 故选C． 【点睛】本题考查了镜面对称问题，需注意利用反射的性质、平行的性质把相应的角转移到一个三角形中求解是正确解答本题的关键． 3. 如图，在中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在边上的点处，若的周长为，的周长为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质；根据折叠的性质将平行四边形的周长与的周长进行转化是解决问题的关键．根据折叠的性质可得、，从而的周长可转化为：的周长的周长，求出，再由的周长为，求出的长，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得、， ∴的周长的周长的周长， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵的周长， 即， ∴． 故选：A． 4. 如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得∠BAC=∠DCE，进而利用AAS可证明△ACB≌△DCE，再结合全等三角形的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵a、b、c都是正方形， ∴AC=CD，∠ACD=∠ABC=∠DEC=90°， ∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE， 在△ABC和△CED中，， ∴△ACB≌△CDE（AAS）， ∴AB=CE，BC=DE； 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2， 即Sb=Sa+Sc=1+9=10， ∴b的面积为10， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理及正方形的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键． 5. 如果实数，满足，那么值为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用平方差公式对含二次根式的式子有理化，联立等式消去根号求解． 【详解】解：∵， ∴， 代入已知等式得 ①， 同理得 ②， ①+②得 ， 化简得， ∴． 二、填空题（本题共5个小题，每个小题6分，满分30分） 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的运用．由题意可知：中间小正方形的边长为：，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出小正方形的边长． 【详解】解：由题意可知：中间小正方形的边长为：， 每一个直角三角形的面积为：， ∴大正方形的面积为：， ∴小正方形的面积为：， ． 故答案为：3． 7. 将一组数，，，，，，按图中的方法进行排列： …… 若在第2行第3列的位置记为，在第3行第2列的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先得出这组数的通项规律，再找出范围内最大的完全平方数得到最大有理数，计算其序号，结合每行6个数的排列规律确定位置． 【详解】解：将这组数统一改写为根号形式，可得规律：第个数为， ∵， ∴这组数中所有数的被开方数最大为， ∵要得到有理数，被开方数需为完全平方数，且，， ∴这组数中最大的有理数， 令， 解得， ∴是第个数， ∵排列中每行有个数， ∴， 即第个数在第行第列，位置记为． 8. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则斜边的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据四个全等的直角三角形拼成的图形，可知，，，设，可用含的式子表示，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意，，，， ∵， ∴设， ∴，∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理与图形的变换，掌握图形特点，勾股定理是解题的关键． 9. 已知实数满足，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】把abc=-1，a+b+c=4代入a2-3a-1可得a2-3a-1=a(b-1)(c-1)，同理可得b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)，代入可得=，展开即可得ac+ab+bc=，利用(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，代入a+b+c=4，ac+ab+bc=即可得答案． 【详解】∵， ∴a2-3a-1 =a2-3a-abc=a(bc+a-3) =a(bc+4-b-c-3) =a(bc-b-c+1) =a(b-1)(c-1)， 同理：b2-3b-1=b(a-1)(c-1)，c2-3c-1=c(a-1)(b-1)， ∵， ∴， ∴， ∵a+b+c=4， ∴， ∴abc-ab-ac-bc+a+b+c=， ∵a+b+c=4，abc=-1， ∴ab+ac+bc=， ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc， ∴16= a2+b2+c2+2×（）， 解得：a2+b2+c2=， 故答案为： 【点睛】本题考查了分式的混合运算，利用了整体代入的数学思想，技巧性较强，把已知等式的各分母进行适当的变形是解题关键． 10. 如图，在△ABC中，ABAC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______． 【答案】9.6 【解析】 【详解】∵AB=AC，AD是角平分线， ∴AD⊥BC，BD=CD， ∴B点，C点关于AD对称， 如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P， 则CQ=BP+PQ的最小值， 根据勾股定理得，AD=8， 利用等面积法得：AB⋅CQ=BC⋅AD， ∴CQ===9.6 故答案为9.6. 点睛：此题是轴对称-最短路径问题，主要考查了角平分线的性质，对称的性质，勾股定理，等面积法，用等面积法求出CQ是解本题的关键. 三、解答题（本题共三个小题，分别为12分，12分，16分） 11. 已知关于的分式方程 （1）若分式方程无解，求的值； （2）若分式方程的解是负数，求的取值范围． 【答案】（1）的值为或或； （2）且． 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程、根据方程的解的情况求参数的取值范围，分式方程无解分为两种情况：分式方程化成的整式方程无解、整式方程的解是分式方程的增根． 首先解分式方程可得：，若整式方程无解，则有，若整式方程的解是分式方程的增根，则有或，可以解得或； 解分式方程可得：，因为分式方程的解是负数，可得：，所以可得：，又因为当时，解出的根是原分式方程的增根，所以的取值范围为且． 【小问1详解】 解: 方程两边同时乘以， 可得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当整式方程无解时，则， 即 ， 当整式方程的解为分式方程的增根时， 则， 或， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或或； 【小问2详解】 解：由得： ， ， 解得：， 又， ， 且， 的取值范围为且． 12. 如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 【答案】（1）证明：如图，连接，， 、分别是、边上的高，是的中点， ，， ， 又为中点， ； （2）∠DME=180°-2∠A；证明如下： 在中，， ， ∴，， ， ， ， ， ； （3）结论（1）成立，结论（2）不成立， 理由如下：如图， 同理（1）可知：，故结论（1）正确； ， ∴，， 在中，， ， ，故结论（2）不正确． 【解析】 【分析】（1）连接，，根据直角三角形的性质得到，，得到，根据等腰直角三角形的性质证明； （2）根据三角形内角和定理、等腰三角形的性质计算； （3）仿照（2）的计算过程解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形内角和定理，掌握直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 13. 探究图像中线段之间的关系，并完成以下问题 （1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，．则线段、的数量关系为__________，、所在直线的位置关系为__________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点，，在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，已知中，，，，以为直角边作等腰直角，，，连接，则的长为__________． 【答案】（1）， （2）解：，；理由如下： ∵为等腰直角三角形，为中边上的高， 为中边上的中线，， ，即， 由（1）知，， ， ， ∵点，，在同一直线上， ， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）先证明，得出，延长交于点H，交于点O，证明，得出； （2）先证明，，根据得出，进而得出结论； （3）分两种情形分别画出图形，构造全等三角形解决问题即可； 【小问1详解】 解：∵与均为等腰直角三角形，， ， ， 延长交于点H，交于点O， ， ，即， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分两种情况： 情况1：如下图：在外部，以点A为直角顶点作，且，连接， ∵等腰直角，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 情况2：如下图：作，交延长线于点E，则， ， ， ， ∵等腰直角，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年学科知识竞赛试卷 八年级数学 （时量：90分钟 满分：100分） 一、选择题（本题共5个小题，每个小题6分，满分30分） 1. 设、、均为正数，若，则、、三个数的大小关系是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，两平面镜、的夹角，入射光线平行于，入射到上，经两次反射后的出射光线平行于，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，点在边上，以为折痕，将向上翻折，点正好落在边上的点处，若的周长为，的周长为，则的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 5. 如果实数，满足，那么值为（ ） A. 0 B. -1 C. 1 D. 2 二、填空题（本题共5个小题，每个小题6分，满分30分） 6. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为_____． 7. 将一组数，，，，，，按图中的方法进行排列： …… 若在第2行第3列的位置记为，在第3行第2列的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为__________． 8. 如图，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设，则斜边的长是______． 9. 已知实数满足，则_______． 10. 如图，在△ABC中，ABAC＝10，BC＝12，AD是角平分线，P、Q分别是AD、AB边上的动点，则BP＋PQ的最小值为_______． 三、解答题（本题共三个小题，分别为12分，12分，16分） 11. 已知关于的分式方程 （1）若分式方程无解，求的值； （2）若分式方程的解是负数，求的取值范围． 12. 如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点． （1）求证：MN⊥DE． （2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想． （3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由． 13. 探究图像中线段之间的关系，并完成以下问题 （1）问题发现：如图1，与均为等腰直角三角形，．则线段、的数量关系为__________，、所在直线的位置关系为__________； （2）深入探究：在（1）的条件下，若点，，在同一直线上，为中边上的高，请判断的度数及线段，，之间的数量关系，并说明理由； （3）解决问题：如图3，已知中，，，，以为直角边作等腰直角，，，连接，则的长为__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $