3.5.2平面直角坐标系中的位似变换（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 3.5.2平面直角坐标系中的位似变换 2026年8月2日 3.5.2 平面直角坐标系中的位似变换 同步练习题 3.5.2 平面直角坐标系中的位似变换 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 原点为位似中心的坐标变换规律（必考） 在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，位似比为$$k$$， 原图形上点的坐标为$$(x,y)$$，则位似变换后对应点的坐标为： ① 同侧位似（与原图形在原点同侧）：$$(kx,\ ky)$$ ② 异侧位似（关于原点中心对称缩放）：$$(-kx,\ -ky)$$ 2. 位似比k的取值含义 ① $$|k|>1$$：图形放大； ② $$0<|k|<1$$：图形缩小； ③ $$|k|=1$$：图形大小不变，仅位置变换。 3. 坐标位似的核心性质 坐标位似图形依然满足位似图形所有性质： 对应边平行、周长比=$$|k|$$、面积比=$$k^2$$。 4. 作图步骤规范 ① 确定位似中心（常为原点）与位似比$$k$$； ② 根据坐标公式求出所有顶点对应坐标； ③ 依次连接各对应顶点，得到位似图形。 5. 已知两点求位似比方法 已知原点点$$(x,y)$$、对应位似点$$(x',y')$$， 位似比 $$k=\dfrac{x'}{x}=\dfrac{y'}{y}$$（坐标对应成比例）。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 以原点为位似中心，位似比为$$k$$，点$$P(x,y)$$的同侧对应点坐标为（） A. $$(kx,ky)$$ B. $$(x+k,y+k)$$ C. $$(-kx,-ky)$$ D. $$(\dfrac{x}{k},\dfrac{y}{k})$$ 2. 以原点为位似中心，位似比$$k=2$$，图形将会（） A. 缩小为原来的2倍 B. 放大为原来的2倍 C. 大小不变 D. 放大为原来的4倍 3. 点$$A(3,-2)$$以原点为位似中心，位似比$$\dfrac{1}{3}$$缩小，对应点坐标为（） A. $$(9,-6)$$ B. $$(1,-\dfrac{2}{3})$$ C. $$(-1,\dfrac{2}{3})$$ D. $$(3,-\dfrac{2}{3})$$ 4. 位似比为3的两个坐标位似图形，面积比为（） A. 3:1 B. 1:3 C. 9:1 D. 6:1 5. 点$$P(2,4)$$位似变换后得到$$P'(-6,-12)$$，则位似比为（） A. 3 B. -3 C. $$\dfrac{1}{3}$$ D. $$-\dfrac{1}{3}$$ 6. 下列关于坐标位似变换说法错误的是（） A. k为负数可得到异侧位似图形 B. 周长比等于位似比的绝对值 C. 坐标位似后对应边不再平行 D. 面积比等于位似比的平方 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 以原点为位似中心，点$$(x,y)$$异侧位似变换的坐标为________。 2. 位似比$$|k|>1$$图形________，$$0<|k|<1$$图形________。 3. 坐标位似图形周长比等于________，面积比等于________。 4. 点$$(4,6)$$以原点为位似中心，位似比$$\dfrac{1}{2}$$的对应点坐标为________。 5. 位似比为$$-2$$，说明图形放大2倍且与原图形在原点________。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）基础坐标变换： 已知点$$A(2,3)$$、$$B(4,1)$$，以原点为位似中心，位似比$$k=3$$， 求A、B两点同侧位似变换后的对应点坐标。 2. （14分）图形缩放计算： △ABC顶点坐标为$$A(1,2)$$、$$B(3,1)$$、$$C(2,4)$$， 以原点为位似中心，位似比$$k=\dfrac{1}{2}$$缩小，求三个顶点的对应坐标。 3. （14分）位似比与面积计算： 一个多边形以原点为位似中心，位似比为$$-3$$， （1）求新图形与原图形的周长比； （2）求新图形与原图形的面积比。 4. （16分）综合坐标应用： 已知点$$P(3,-6)$$经过原点位似变换后得到$$P'(-2,4)$$， （1）求本次变换的位似比； （2）若原图形周长为12，求位似后图形的周长。 四、拓展应用题（附加10分） △ABC三个顶点坐标为$$A(2,0)$$、$$B(4,4)$$、$$C(6,2)$$，以原点为位似中心，位似比为2作异侧位似变换，求位似后三角形各顶点坐标及面积比。 --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.A 2.B 3.B 4.C 5.B 6.C 二、填空题 1. $$(-kx,-ky)$$ 2. 放大、缩小 3. 位似比的绝对值、位似比的平方 4. $$(2,3)$$ 5. 异侧 三、解答题 1. 解： 原点同侧位似，坐标变换公式：$$(kx,ky)$$$$A'(2\times3,3\times3)=(6,9)$$$$B'(4\times3,1\times3)=(12,3)$$ 答：对应点坐标为$$A'(6,9)$$，$$B'(12,3)$$。 2. 解： 位似比$$k=\dfrac{1}{2}$$，坐标同比例缩放： $$A'(1\times\dfrac{1}{2},2\times\dfrac{1}{2})=(\dfrac{1}{2},1)$$$$B'(3\times\dfrac{1}{2},1\times\dfrac{1}{2})=(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2})$$$$C'(2\times\dfrac{1}{2},4\times\dfrac{1}{2})=(1,2)$$ 答：对应顶点坐标为$$A'(\dfrac{1}{2},1)$$、$$B'(\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2})$$、$$C'(1,2)$$。 3. 解： 位似比$$k=-3$$，有效缩放比例为$$|k|=3$$ （1）周长比等于位似比绝对值：$$3:1$$ （2）面积比等于位似比平方：$$9:1$$ 答：周长比为3:1，面积比为9:1。 4. 解： （1）位似比 $$k=\dfrac{-2}{3}=-\dfrac{2}{3}$$ （2）周长比=$$|k|=\dfrac{2}{3}$$ 设新周长为$$L$$，$$\dfrac{L}{12}=\dfrac{2}{3}$$，解得$$L=8$$ 答：位似比为$$-\dfrac{2}{3}$$，位似后图形周长为8。 拓展题答案 解： 异侧位似，位似比$$k=-2$$ 坐标变换：$$(-2x,-2y)$$$$A'(-4,0)$$，$$B'(-8,-8)$$，$$C'(-12,-4)$$ 面积比=$$k^2=4:1$$ 答：位似后顶点坐标为$$A'(-4,0)$$、$$B'(-8,-8)$$、$$C'(-12,-4)$$，面积比为4:1。 章节易错点总结 1. 符号易错：k正为同侧、k负为异侧，缩放大小只看$$|k|$$，符号只改变位置； 2. 周长比、线段比只取位似比的绝对值，面积比是位似比的平方（含符号平方）； 3. 禁止坐标直接加减数值，位似变换是坐标同比例相乘，不是平移； 4. 已知对应点求k时，横、纵坐标比值必须一致，否则不是原点位似变换。 1. 两个相似多边形，如果它们对应顶点所在的直线相交于一点，我们就把这样的两个图形叫作 ， 这个交点叫作 ．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 ，对应线段 . 位似图形 位似中心 相似比 平行或者在一条直线上 2. 基本模型： 2 如图，在平面直角坐标系中，△OAB 三个顶点的坐标分别为 O(0，0)，A(3，1)，B(2，3). (1) 将点 O，A，B 的横坐标、纵坐 标都乘 2，得到三个点， 画出对应的△A'OB' . 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 A' (6,2) B' (4,6) A B (2) 点 A' 是否在直线 OA 上？点 B'是否在直线 OB 上？△AOB 与△A'OB' 是位似图形吗？ 如果是，位似中心是哪个点？ 位似比是多少? A' (6,2) B' (4,6) A B 可以发现，点 A' 在直线 OA上，点 B' 在直线 OB 上， 于是△AOB 与△A'OB' 是以 坐标原点 O 为位似中心，位似比为 2 的位似图形. 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 (3) 如果将点 O，A，B 的横坐标、纵坐标都乘 -2 呢？ O 点坐标不变 A" ( ， )， B" ( ， ). A" B" -6 -2 -4 -6 位似中心：点 O 相似比：2 A B 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 知识点1 平面直角坐标系中的位似变换 （第1题） 1.如图，以原点为位似中心，将 放大为原 来的2倍后得到，若，则点 的坐标 为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 6 （第2题） 2.[榆林期末] 如图，在平面直角坐标系 中， 已知的两个顶点分别为 ， ，以原点为位似中心画 （点与点位于轴两侧），使它与 位似，且相似比为，则点的对应点 的坐 标为( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 7 (1) 将点 A，B，C，D 的横坐标、纵坐标都乘 ，得到四个点，以这四个点为顶点的四边形与四边形 ABCD 位似吗？如果位似，指出位似中心和相似比. 【操作·思考】如图，在平面直角坐标系中四边形 ABCD 的顶点坐标分别为A (4，2)，B (8，6)，C (6，10)，D (-2 ，6). A' (2,1) B' (4,3) D' (-1,3) C' (3,5) 位似中心：点 O 相似比： 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 (2)如果将点A,B,C,D的横坐标、纵坐标都乘 呢？ 问题1 在平面直角坐标系中，以原点为位似中心作一个图形的位似图形可以作几个？ 问题2 对应顶点的坐标的比与其相似比是何关系？ 可以作两个→同侧和异侧 A' (-2,-1) B' (-4,-3) D' (1,-3) C' (-3,-5) 位似中心：点 O 相似比： 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 【归纳总结】 1. 若相似比为 k，当位似图形在原点同侧时，其对应顶点的坐标的比为 k；当位似图形在原点异侧时，其对应顶点的坐标的比为－k． 2. 若相似比为 k，当 k＞1 时，图形扩大为原来的 k 倍；当 0＜k＜1 时，图形缩小为原来的 k 倍． 3. 在平面直角坐标系中，将个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数 k (k ≠ 0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为 | k |. 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 1. 如图，线段 AB 两个端点的坐标分别为 A (4，4)， B (6，2)，以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 AB 缩小为原来的 后得到线段 CD，则端点 D 的坐标为 ( ) A. (2，2) B. (2，1) C. (3，2) D. (3，1) D x y A B C D O 【练一练】 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 2. △ABC 三个顶点 A (3，6)，B (6，2)，C (2，－1)， 以原点为位似中心，得到的位似图形 △A′B′C′ 的三个顶点坐标分别为 A′ (1，2)，B′ (2， )，C′ ( ， )， 则 △A′B′C′ 与 △ABC 的位似比是 . 1 : 3 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 例1 在平面直角坐标系中，四边形 OABC 的顶点坐标分别为 O (0，0)，A (6，0)，B (3，6)，C (－3，3). 以原点 O 为位似中心画一个四边形，使它与四边形 OABC 的位似，且相似比是 2 : 3. 分析：为了使画出的四边形与原四边形的相似比为 2 : 3，可以将原四边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘 ，或都乘 . 【点击进入几何画板】 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 13 O C 解：画法一：将四边形 OABC 各顶点的坐标都乘以 ；在平面直角坐标系中描点 O (0，0)，A' (4，0)，B' (2，4)，C′ (－2，2)，用线段顺次连接 O，A'，B'，C'. 2 4 6 6 B' -2 -4 -4 x y A B A' C' 4 2 -2 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 14 画法二：将四边形 OABC 各顶点的坐 标都乘 ；在平面 直角坐标系中描点 O (0，0)，A″ (－4，0)，B″ (－2，－4)，C″ (2，－2)，用线段顺次连接O，A″，B″，C″. O C 2 4 6 B″ y A B A″ C″ 6 -2 -4 -4 4 2 -2 x 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 3. 如图，在平面直角坐标系中，△ABO 三个顶点的坐标分别为 A (－2，4)，B (－2，0)，O (0，0). 以原点 O 为位似中心，画出一个三角形使它与 △ABO 的相似比为 3 : 2. 2 4 6 2 －2 －4 x y A B O 【练一练】 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 （第3题） 3.[浙江中考] 如图，五边形, 是以 坐标原点为位似中心的位似图形，已知点, 的 坐标分别为,。若的长为3，则 的 长为( ) C A. B.4 C. D.5 返回 举一反三 17 4.[广东中考] 如图，把放大后得到，则与 的相似比是_____。 （第4题） 返回 举一反三 18 2 4 6 2 －2 －4 x y A B O 解：利用位似中对应点的坐标的变化规律，分别取点 A′ (－3，6)，B′ (－3，0)，O (0，0). A′ B′ 顺次连接点 A′ ，B′ ，O，所得的 △A′ B′ O 就是要画的一个图形. 还有其他画法吗？自己试一试. 提示：画三角形关键是确定它各顶点的坐标. 根据前面的归纳可知，点 A 的对应点 A′ 的坐标为 ，即 (－3，6)，类似地，可以确定其他顶点的坐标. 探究点1：平面直角坐标系中的位似变换 至此，我们已经学习了四种变换：平移、轴对称、旋转和位似，你能说出它们之间的异同吗？在下图所示的图案中，你能找到这些变换吗？ 探究点2：平面直角坐标系中的图形变换 5.如图，在平面直角坐标系中，点，若四边形 关于点 的位似图形为四边形，且四边形 的面积是四边形 面积的4倍，则在第一象限内的点 的坐标为______。 返回 举一反三 21 知识点2 在平面直角坐标系中画位似图形 6.[安徽中考] 如图，在由边长为1个单位长度 的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系 ，的顶点和 均为格点（网格线的 交点）。已知点和的坐标分别为 和 。 （1）在所给的网格图中描出边的中点 ， 并写出点 的坐标； 解：如图所示，点即为边的中点，点的坐标为 。 举一反三 22 （2）以点为位似中心，将放大得到，使得点 的对 应点为，请在所给的网格图中画出 。 解：如图所示， 即为所求作的三角形。 返回 举一反三 23 （第7题） 7.[西安校级期中] 如图，在平面直角坐标系中，正 方形与正方形是以原点 为位似中心的 位似图形，且相似比为，点，，在 轴上，若 正方形的边长为4，则点 的坐标为( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 24 （第8题） 8.如图，在平面直角坐标系中，的顶点 的 坐标为。若以原点 为位似中心，相似比为 ，把缩小，则点的对应点 的坐标是 ( ) B A. B.或 C. D.或 返回 举一反三 25 （第9题） 9.如图，在平面直角坐标系中， 与的相似比为，点 是位似 中心。已知点，点 ，则点 的坐标为______________。 （结果用含， 的式子表示） 返回 举一反三 26 （第10题） 10.如图，正方形和正方形 是位似 图形，点的坐标为，点 的坐标为 ，则这两个正方形的位似中心的坐标为 _ _____________。 或 返回 举一反三 27 11.在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为 ， ， ，位置如图所示。 举一反三 28 （1）将的三个顶点的横、纵坐标分别乘，得到对应的点 ， ，，请画出，并直接写出与 的位似中心 的坐标以及相似比; 解：由题意得,, ，如 图， 即为所要求作的三角形。 与的位似中心的坐标为 ，相 似比为 。 举一反三 29 （2）与 的面积比为_____; （3）在（1）的条件下，若为内部的一点，则点 在 内部的对应点 的坐标为____________。 返回 举一反三 30 平面直角坐标系中的位似 平面直角坐标系中的位似变换 平面直角坐标系中的图形变换 坐标变化规律 平面直角坐标系中的位似图形的画法 课堂小结 谢谢观看 THANKS $