3.5.1位似多边形及其性质（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 3.5.1位似多边形及其性质 2026年8月2日 3.5.1 位似多边形及其性质 同步练习题 3.5.1 位似多边形及其性质 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 位似图形的定义 如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于同一点，对应边互相平行（或在同一直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个公共交点叫做位似中心。 2. 位似与相似的关系 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形。 位似是一种特殊位置的相似。 3. 位似图形核心性质（必考） ① 对应点的连线经过位似中心； ② 对应边平行或共线； ③ 任意一组对应点到位似中心的距离之比等于相似比（位似比）。 4. 位似图形周长与面积规律 和相似三角形规律一致： ① 周长比 = 位似比（相似比）； ② 面积比 = 位似比的平方。 5. 位似中心位置分类 ① 图形外部；② 图形内部；③ 图形边上；④ 图形顶点上。 6. 位似的作用 可以将图形进行放大或缩小，保持图形形状不变，只改变大小。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 下列关于位似图形的说法正确的是（） A. 相似图形一定是位似图形 B. 位似图形一定是相似图形 C. 位似图形对应边不平行 D. 位似中心只能在图形外部 2. 判断两个图形为位似图形的关键条件是（） A. 对应边成比例 B. 对应角相等 C. 对应顶点连线交于同一点，对应边平行 D. 图形大小不同 3. 位似图形对应点到位似中心的距离之比等于（） A. 面积比 B. 位似比 C. 周长比的平方 D. 1:1 4. 两个位似图形的位似比为2:3，则面积比为（） A. 2:3 B. 3:2 C. 4:9 D. 9:4 5. 下列图形中，一定属于位似图形的是（） A. 任意两个矩形 B. 任意两个正方形 C. 对应顶点连线交于一点的两个相似多边形 D. 任意两个三角形 6. 若两个位似图形位似比为1:1，则这两个图形（） A. 相似不全等 B. 全等 C. 只位似不相似 D. 无法确定 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 位似图形一定是________图形，相似图形不一定是________图形。 2. 位似图形对应顶点的连线相交于________，这个点叫做位似中心。 3. 位似图形任意一组对应点到位似中心的距离之比等于________。 4. 位似比为3:4的两个位似图形，周长比为________，面积比为________。 5. 位似变换可以将图形进行________或________，形状保持不变。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）基础概念应用： 已知两个位似多边形的位似比为2:5， （1）求它们的周长比； （2）求它们的面积比。 2. （14分）距离计算题型： 两个位似三角形位似中心为点O，位似比为1:2， 小三角形某顶点到位似中心O的距离为4cm， 求大三角形对应顶点到位似中心O的距离。 3. （14分）面积逆向计算： 两个位似四边形的面积比为16:25， （1）求它们的位似比； （2）求两组对应点到位似中心的距离之比。 4. （16分）综合应用题： 已知△ABC与△A'B'C'位似，位似中心为O，位似比为3:2， △ABC的周长为15，面积为18， 求△A'B'C'的周长和面积。 四、拓展应用题（附加10分） 两个位似图形位似比为2:3，周长差为5，求两个图形的周长分别是多少？ --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B 二、填空题 1. 相似、位似 2. 同一点 3. 位似比（相似比） 4. $$3:4$$、$$9:16$$ 5. 放大、缩小 三、解答题 1. 解： （1）位似图形周长比等于位似比 ∴ 周长比为$$2:5$$ （2）位似图形面积比等于位似比的平方 ∴ 面积比为$$2^2:5^2=4:25$$ 答：周长比为2:5，面积比为4:25。 2. 解： ∵ 位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比 设大三角形对应点到中心距离为$$x$$$$\dfrac{4}{x}=\dfrac{1}{2}$$，解得$$x=8\ \mathrm{cm}$$ 答：大三角形对应顶点到位似中心的距离为8cm。 3. 解： （1）面积比为$$16:25$$ 位似比$$=\sqrt{16}:\sqrt{25}=4:5$$ （2）对应点到位似中心的距离比等于位似比 ∴ 距离比为$$4:5$$ 答：位似比为4:5，距离比为4:5。 4. 解： 位似比为$$3:2$$ 周长比为$$3:2$$，面积比为$$9:4$$ 设△A'B'C'周长为$$x$$$$\dfrac{15}{x}=\dfrac{3}{2}$$，解得$$x=10$$ 设△A'B'C'面积为$$S$$$$\dfrac{18}{S}=\dfrac{9}{4}$$，解得$$S=8$$ 答：△A'B'C'周长为10，面积为8。 拓展题答案 解： 位似比为$$2:3$$，则周长比为$$2:3$$ 设两个图形周长为$$2x、3x$$$$3x-2x=5$$，解得$$x=5$$$$2x=10，3x=15$$ 答：两个图形周长分别为10和15。 章节易错点总结 1. 核心易错：位似一定相似，相似不一定位似，位似是带位置关系的特殊相似； 2. 判定位似必须满足两个条件：相似 + 对应点连线共点、对应边平行； 3. 对应点到位似中心的距离比 = 位似比，面积比依然要平方，切勿混淆； 4. 位似中心不唯一，可在图形内外、边上、顶点，不要默认只在外部。 下图由一组形状相同的图片组成. 在图片 ① 和图片 ② 上任取一组对应点 A，A'，你有什么发现？ 可以发现：直线 AA' 都经过镜头中心点 O， 且 都等于一个固定值. 2 问题1：下列图形中有相似多边形吗？如果有，这种相似有什么特征？ 探究点1：位似图形的概念 知识点1 位似图形的相关概念 1.下列各选项中的两个图形，不是位似图形的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 4 问题2：下图是两个相似五边形，设直线 AA' 与 BB' 相交于点 O，那么直线 CC'，DD'，EE' 是否也都经过点 O？ 有什么关系？ A B C D E E' D' C' B' A' O 探究点1：位似图形的概念 5 如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P，P′ 所在的直线都经过同一点 O，且有 OP′ = k· OP (k ≠ 0)，那么这样的两个多边形叫作位似多边形，点 O 叫作位似中心.其中 k 就是这两个相似多边形的相似比. 探究点1：位似图形的概念 当 k＞0 时，点 P′ 在射线 OP 上， 当 k＜0 时，点 P′ 在射线 OP 的反向延长线上. 特别地，点 O 对应到它自身. O P P′ O P P′ 上图每组中的两个五边形就是位似五边形. 探究点1：位似图形的概念 （第2题） 2.[绍兴期中] 如图，两个四边形是位似图形， 则它们的位似中心是( ) D A.点 B.点 C.点 D.点 返回 举一反三 8 判断两个图形是不是位似图形，需要从两方面去考察： 一是这两个图形是相似的， 二是要有特殊的位置关系，即每组对应点所在的直线都经过同一点． 【归纳总结】 探究点1：位似图形的概念 1. 如图，BC∥ED，下列说法不正确的是 ( ) A. 两个三角形是位似图形 B. 点 A 是两个三角形的位似中心 C. B 与 D、C 与 E 是对应点 D. AE : AD 是相似比 D D E A B C 【练一练】 探究点1：位似图形的概念 从右图中我们可以看到，△ABO∽△A′B′O，则 ，AB∥A′B′. 左图呢？你得到了什么？ A B E C D O A′ B′ C′ D′ E′ A B C O A′ B′ C′ 探究点2：位似图形的性质 1. 位似图形是一种特殊的相似图形，它具有相似 图形的所有性质，即对应角相等，对应边的比 相等． 2. 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距 离之比等于相似比． 3. 对应线段平行或者在一条直线上． 归纳： 探究点2：位似图形的性质 【练一练】 2. 如图，五边形 ABCDE 与五边形A'B'C'D'E' 是位似图形，点 O 为位似中心，OB＝OB'， 探究点2：位似图形的性质 那么A'B'∶AB＝ . 探究点2：位似图形的性质 3. 若两个位似图形的对应线段长分别为 3 和 5，且较小图形周长为 30，则较大图形周长为 . 4.有一个正六边形，将其按比例缩小，使得缩小后的正六边形的面积是原正六边形面积的 ，已知原正六边形边长为 3，那么缩小后的正六边形边长为 . 50 例1 如图，已知 △ABC，以点 O 为位似中心画 △DEF，使其与 △ABC 位似，且相似比为 2. 解：画射线 OA，OB，OC；在射线 OA，OB，OC 上分别取点 D，E，F，使OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC；顺序连接 D，E，F，使 △DEF 与 △ABC 位似，相似比为 2. A B F E D 想一想：满足条件的 △DEF 可 以在点 O 的另一侧吗？ C O 探究点3：位似多边形的画法 A B C O E F D 画法二：△ABC 与 △DEF 异侧 解：画射线 OA，OB，OC；沿着射线OA，OB，OC 反方向上分别取点 D，E，F， 顺序连接 D，E，F，使 △DEF 与△ABC 位似，相似比为 2. 使 OD = 2OA，OE = 2OB，OF = 2OC； 探究点3：位似多边形的画法 知识点2 位似图形的性质 （第3题） 3.如图，以点为位似中心，把 的各边 长放大为原来的2倍得到 ，以下说法 中错误的是( ) C A. B.点,, 在同一直线上 C. D. 返回 举一反三 17 4.[西工大附中月考] 如图，与是位似图形，点 为位似中 心，若，的周长为9，则 的周长为____。 15 返回 举一反三 18 利用下面的方法可以近似地将个图形放大： 1. 如图，将两根长短相同的橡皮筋系在一起，连接处形成一个结点. 2. 选取一个图形，在图形外适当位置 取一个定点. 3. 将系在一起的橡皮筋的一端固定在定 点，把一支铅笔固定在橡皮筋的另一端. 【操作·交流】 探究点3：位似多边形的画法 4. 拉动铅笔，使两根橡皮筋的结点沿所选图形的边缘运动，当结点在已知图形上运动一圈时，铅笔就画出了一个新的图形. 这个新图形与已知图形形状相同. 【点击进入几何画板】 请你用这种方法把一个已知图形放大. 探究点3：位似多边形的画法 例2 把四边形 ABCD 缩小到原来的 . O D A B C A' B' C' D' 利用位似，可以将一个图形放大或缩小 (1) 在四边形外任选一点 O (如图)； (2) 分别在线段 OA、OB、OC、OD 上取点 A' 、B' 、 C' 、D' ，使得 ； (3) 顺次连接点 A' 、B' 、C' 、D' ，所得四边形 A' B' C' D' 就是所要求的图形． 探究点3：位似多边形的画法 思考：对于上面的问题，还有其他方法吗？如果在四边形外任选一个点 O，分别在 OA、OB、OC、OD 的反向延长线上取 A′ 、B′ 、C′、D′，使得 呢？如果点 O 取在四边形 ABCD 内部呢？分别画出这时得到的图形． 探究点3：位似多边形的画法 O D A B C A' B' C' D' O D A B C A' B' C' D' 探究点3：位似多边形的画法 ◑画位似图形的一般步骤： ① 确定位似中心； ② 分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点； ③ 根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点； ④ 顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形. 【归纳总结】 ◑位似分为内位似和外位似，内位似的位似中心在连接两个对应点的线段上；外位似的位似中心在连接两个对应点的线段之外. 利用位似进行作图的关键是确定位似中心和关键点． 探究点3：位似多边形的画法 知识点3 作位似图形 5. ［教材P91“例1”变式］ 如图，已知四边形，以点 为位 似中心作一个四边形，使四边形与四边形 位似， 且相似比为 。 举一反三 25 解：如图，四边形 和 四边形 即为所作。 （选作其中一种即可） 返回 举一反三 26 （第6题） 6. 如图，是四边形 内一点， 作点，，，分别在，，， 上， 且使 ， 若所得四边形的面积为 ，则四边 形 的面积为________。 返回 举一反三 27 7.如图，以点为位似中心，作的位似图形 ，使它与 的相似比为.若点的坐标是，点的坐标为 ，则 点 的坐标是___________________。 （第7题） 返回 举一反三 28 8.如图，与 是位似图 形，点，，，， 共线，点 为位似中心。 （1）与 平行吗?为什么? 解：与 平行。理由： 与 是位似图形， 。 点，，，共线， 。 举一反三 29 （2）若，，则与 的周长比为____， 的长为___。 5 返回 举一反三 30 位似的概念及画法 位似图形的概念 位似图形的性质 画位似图形 课堂小结 谢谢观看 THANKS $