3.4 第2课时 相似三角形的周长和面积之比（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

 第3章  图形的相似

3.4 相似三角形的性质

第2课时  相似三角形的周长和面积之比

 

【学习目标】

1.理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系．

2.能用三角形的性质解决简单的问题．

3.经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．

学习重点：相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系

学习难点：相似三角形的性质与运用.

【复习导入】

问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应边上高的比、中线的比和对应角的角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？

 

 

                

                                         

【合作探究】

探究点1：相似三角形周长比与面积比

问题：如果△ABC 的△A'B'C'，相似比为 2，那么△ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？

(1)  与 (2) 的相似比=______，          (1) 与 (3) 的相似比=______，

(1)与 (2) 的周长比=______，          (1) 与 (3) 的周长比=______，

(1)与 (2) 的面积比=______；          (1) 与 (3) 的面积比=______.

 

[尝试·思考]

如果△ABC 的△A'B'C'，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？

 

 

 

证一证

如果△ABC的△A'B'C'，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长比和面积比吗？

 

 

 

 

 

【归纳总结】

 

 

 

 

 

[典例精析]

例1 如图，在中，，，，求。

 

 

 

 

 

 

 

练一练

1. 已知△ABC与△A′B′C′的相似比为 2 : 3，则对应边上中线之比      ，面积之比为                   .

 

2. 如果两个相似三角形的面积之比为1 : 9，周长的比为______ .

 

 

 

 

知识点2：相似多边形的周长比与面积比

 

两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？

 

 

 

 

做一做

如图，四边形A1B1C1D1 ∽ 四边形A2B2C2D2，相似比为k.

(1)  四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？

 

 

 

 

 

(2)  连接相应的对角线A1C1，A2C2. 所得的 △A1B1C1与△A2B2C2相似吗？△A1C1D1与 △A2C2D2呢？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？

 

 

 

 

 

(3)=         ，=          .

 

(4)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？

 

 

 

 

 

 

 

[典例精析]

例2   将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DEF，△ABC 与 △DEF 重叠部分 (图中阴影部分) 的面积是△ABC的面积的一半. 已知BC = 2，求△ABC平移的距离.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

例3  如图，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100 cm2，且