3.4 第2课时 相似三角形的周长和面积之比（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦相似三角形及多边形的周长比、面积比与相似比的关系，通过复习相似三角形对应高、中线、角平分线的比等于相似比，提出周长和面积比的问题，搭建新旧知识联系，形成学习支架。 以“操作—观察—探索—说理”为主线，通过具体相似比实例和多边形分割探究，培养学生推理意识与几何直观，典例结合平移、平行四边形等情境，提升应用意识，助力自主构建知识，发展数学思维与表达能力。

第3章 图形的相似 3.4 相似三角形的性质 第2课时 相似三角形的周长和面积之比 【学习目标】 1.理解并掌握相似三角形的周长及面积与相似比的关系． 2.能用三角形的性质解决简单的问题． 3.经历“操作—观察—探索—说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力． 学习重点：相似三角形的周长比及面积比与相似比的关系 学习难点：相似三角形的性质与运用. 【复习导入】 问题：我们知道，如果两个三角形相似，它们对应边上高的比、中线的比和对应角的角平分线的比都等于相似比.那么它们周长的比之间有什么关系？也等于相似比吗？面积之比呢？ 【合作探究】 探究点1：相似三角形周长比与面积比 问题：如果△ABC 的△A'B'C'，相似比为 2，那么△ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比呢？ (1) 与 (2) 的相似比=______， (1) 与 (3) 的相似比=______， (1)与 (2) 的周长比=______， (1) 与 (3) 的周长比=______， (1)与 (2) 的面积比=______； (1) 与 (3) 的面积比=______. [尝试·思考] 如果△ABC 的△A'B'C'，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C' 的周长比和面积比吗？ 证一证 如果△ABC的△A'B'C'，相似比为k，那么你能求△ABC与△A'B'C'的周长比和面积比吗？ 【归纳总结】 [典例精析] 例1 如图，在中，，，，求。 练一练 1. 已知△ABC与△A′B′C′的相似比为 2 : 3，则对应边上中线之比 ，面积之比为 . 2. 如果两个相似三角形的面积之比为1 : 9，周长的比为______ . 知识点2：相似多边形的周长比与面积比 两个相似四边形的周长比等于相似比吗？面积比等于相似比的平方吗？两个相似五边形的周长比及面积比怎样呢？两个相似的 n 边形呢？ 做一做 如图，四边形A1B1C1D1 ∽ 四边形A2B2C2D2，相似比为k. (1) 四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的周长比是多少？ (2) 连接相应的对角线A1C1，A2C2. 所得的 △A1B1C1与△A2B2C2相似吗？△A1C1D1与 △A2C2D2呢？如果相似，它们的相似比各是多少？为什么？ (3)= ，= . (4)四边形A1B1C1D1与四边形A2B2C2D2的面积比是多少？ [典例精析] 例2 将 △ABC 沿 BC 方向平移得到 △DEF，△ABC 与 △DEF 重叠部分 (图中阴影部分) 的面积是△ABC的面积的一半. 已知BC = 2，求△ABC平移的距离. 例3 如图，D，E分别是AC，AB上的点，已知△ABC的面积为100 cm2，且，求四边形BCDE的面积. 练一练 3. 如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值. 当堂反馈 1.已知两个相似三角形的相似比为2∶3，较小三角形的面积为2，则较大三角形的面积为(　　) A.3 B.4 C.4.5 D.9 2.如图，△ABC∽△DEF，AB＝3，DE＝2.若△DEF的周长为8，则△ABC的周长为(　　) A.6 B. C.12 D.18 3.已知△ABC∽△A'B'C'，△A'B'C'的面积为6，周长为△ABC周长的一半，则△ABC的面积为(　　) A.1.5cm2 B.3cm2 C.12cm2 D.24cm2 4.如果两个相似三角形的面积之比是9∶25，其中小三角形一边上的中线长是12cm，那么大三角形对应边上的中线长是　　cm. 5.如图，△ADE∽△ACB，且＝.若四边形BCED的面积是2，则△ADE的面积是　　. 6.如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，且BE＝EC，BD与AE相交于点F. (1)求△BEF与△DAF的周长之比； (2)若S△BEF＝6cm2，求S△DAF的值. 7.如图，在△ABC中，BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于点F，点E是AB的中点，连接EF.若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积. 参考答案 【合作探究】 探究点1：相似三角形周长比与面积比 问题：　1∶2　；　1∶3　；1∶2　；　1∶3　；1∶4　；　1∶9　． 猜一猜： 相似三角形的周长比等于相似比，=k． 相似三角形的面积比等于相似比的平方，=k2. 证一证 解：如图，由已知，得 ， 。 分别作出 和 的高 和 。 。 。 。 例1 解：，。 又，。 ，即。 ， 。。 练一练 1. 2 : 3 4 : 9 2. 1 : 3 探究点2：相似多边形的周长比与面积比 做一做 (1) ==k． (2)△A1B1C1与△A2B2C2相似，相似比为k．△A1C1D1与△A2C2D2相似，相似比为k． (3) k2 k2 (4) ==k2. 思考：周长的比等于相似比，面积比等于相似比的平方． 当堂反馈 1.C　 2.　C　 3.　D 4.　20　 5.　　 6. 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC.∴∠EBF＝∠ADF. 又∵∠BFE＝∠DFA，∴△BEF∽△DAF. ∵BE＝CE，∴BE＝BC＝AD.即＝. ∴△BEF与△DAF的周长之比为. (2)由(1)可知△BEF∽△DAF，且相似比为， ∴＝()2＝. ∵S△BEF＝6cm2， ∴S△DAF＝4×6＝24(cm2). 7. 解：∵CF平分∠ACB，DC＝AC， ∴CF是△ACD的中线，即F是AD的中点. ∵点E是AB的中点， ∴EF∥BD，＝.∴∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠ADB. ∴△AEF∽△ABD. ∴＝()2＝()2＝. ∵S△AEF＝S△ABD－S四边形BDFE＝S△ABD－6， ∴＝.∴S△ABD＝8. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $