3.2 第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似（导学案）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦“利用两边及夹角判定三角形相似”，通过“两边成比例是否相似”“增加条件的可能情况”设问导入，衔接相似三角形判定旧知，搭建从已有认知到新定理探究的学习支架。 特色在于设置操作画图、测量比较的探究活动，发展几何直观与空间观念，培养数学眼光。典例与分层练习结合强化推理意识，反例辨析深化定理理解，提升应用意识，助力学生用数学语言表达推理过程，落实核心素养。

第3章 图形的相似 3.2 探索三角形相似的条件 第2课时 利用两边及夹角判定三角形相似 【学习目标】 1.理解并掌握三角形相似的判定定理：“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”． 2.在进行探索的活动过程中，发展转化的数学思想，激发学生的探索发现意识，增强合情推理的语言表达能力． 3.能运用判定定理进行有关证明和计算，发展应用意识． 学习重点：理解两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 学习难点：相似三角形判定定理的灵活运用． 【复习导入】 问题1 两个三角形有两边成比例，它们一定相似吗？与同伴交流. 问题2 如果再增加一个条件，你能说出有哪几种可能的情况吗？ 【合作探究】 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 [操作·交流] (1) 任意画 △ABC . (2) 再画 △A′B′C′，使∠A=∠A′，和 都等于给定的值 k. (3) 量出 BC 及 B′C′ 的长，它们的比值等于 k 吗？ 设法比较 ∠B 与 ∠B' (或 ∠C 与 ∠C′ ) 的大小. △ABC 和 △A'B'C' 相似吗？ (4) 改变 k 值的大小，△ABC 和 △A'B'C' 还相似吗？ 归纳总结：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 符号语言：∵=，∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′． [典例精析] 例1 根据下列条件，判断△ABC和△A′B′C′是否相似，并说明理由： △ABC：∠A=120°，AB=7 cm，AC=14 cm， △A′B′C′：∠A′=120°，A′B′=3 cm，A′C′=6 cm． [练一练] 1.如图，△ABC 与 △ADE 都是等腰三角形，AD = AE，AB = AC，∠DAB = ∠CAE. 求证：△ABC ∽△ADE. [典例精析] 例2 如图，D、E 分别是 △ABC 的边 AC、AB 上的点，AE = 1.5，AC = 2，BC = 3，且 ，求 DE 的长. [练一练] 2. 如图，在四边形 中，已知 ，，，，， 求 的长。 想一想 如果 △ABC 与 △A'B'C' 两边成比例，且其中一边所对的角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ 小明和小颖分别画出了如图所示的三角形. 由此你能得到什么结论？ 归纳总结: 如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角. [典例精析] 例3 如图，在 △ABC 中，CD 是边 AB 上的高，且，求证：∠ACB = 90°． 当堂反馈 1.如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，连接DE，下列条件中不能判断△ADE∽△ACB的是(　　) A.∠ADE＝∠C B.∠AED＝∠B C.＝ D.＝ 2.已知△ABC如图所示，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(　　) 3.在△ABC和△A'B'C'中，若∠B＝∠B'，AB＝6，BC＝8，B'C'＝4，当A'B'＝　　时，△ABC∽△A'B'C'；当A'B'＝　　时，△ABC∽△C'B'A'. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高.若CD2＝BD·AD，则可直接证明　　∽　　. 5.如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，BP＝3PC，Q是CD的中点， 则△　　∽△　　. 6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D，E分别是AB，CB延长线上的点，CE＝9，AD＝15，连接DE.若BC＝6，AC＝8，求证：△ABC∽△DBE. 参考答案 【合作探究】 探究点：利用两边及夹角判定三角形相似 例1 解：∵=，==，∴=． 又∠A=∠A′，∴△ABC∽△A′B′C′． 练一练 1. 证明： 与 是等腰三角 ，， 。又 ， ， 即 。。 例2 解：，， 。 ， 。 又，。 。，。 练一练 2. 解：，，，， 。 又，。 。。 例3 证明： 是边 上的高， 。 ，。 。 。 当堂反馈 1.D　 2.　C　 3.　3　　　 4.　△ADC　　△CDB　. 5.QCP　. 6.证明：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，AC＝8， ∴AB＝＝10. ∴DB＝AD－AB＝15－10＝5. ∴AB∶DB＝2∶1. ∵EB＝CE－BC＝9－6＝3， ∴BC∶EB＝2∶1. ∴BC∶EB＝AB∶DB. 又∵∠ABC＝∠DBE， ∴△ABC∽△DBE. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $