3.2.3利用三边判定三角形相似（课件）--2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 3.2.3利用三边判定三角形相似 2026年8月2日 3.2.3 利用三边判定三角形相似 同步练习题 3.2.3 利用三边判定三角形相似 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 三边对应成比例相似判定定理（SSS相似） 三边对应成比例的两个三角形相似。 核心逻辑：无需验证角度，只要三组对应边比值全部相等，即可直接判定三角形相似。 2. 判定核心步骤（必考规范） ① 将两个三角形的边长分别从小到大排序； ② 依次计算三组对应边的比值； ③ 验证三组比值是否完全相等； ④ 比值全部相等，则两三角形相似。 3. 三种相似判定方法汇总 ① AA（两角相等）：最常用，优先找等角； ② SAS（两边成比例+夹角相等）：边比+夹角，缺一不可； ③ SSS（三边成比例）：无角度条件时首选，纯边长判定。 4. 关键易错点 必须是对应边成比例，无序乱比、只算两组边比值不能判定相似；边长排序是SSS判定的核心前提，不排序极易找错对应边。 5. 相似比规则 相似比为原三角形与新三角形对应边的比值，比值顺序必须与三角形对应顺序一致。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 判定两个三角形SSS相似的核心条件是（） A. 三边长度相等 B. 三边对应成比例 C. 两边成比例 D. 三角对应相等 2. 判断三边成比例相似前，必须先对边长进行（） A. 求和 B. 求差 C. 从小到大排序 D. 求平方 3. △ABC三边长为3、4、5，△DEF三边长为6、8、10，则两个三角形（） A. 相似 B. 不相似 C. 全等 D. 无法判断 4. 下列各组三角形一定相似的是（） A. 两个周长相等的三角形 B. 两个三边对应成比例的三角形 C. 两个等腰三角形 D. 两个直角三角形 5. △ABC三边为2、3、4，△DEF三边为4、6、8，相似比为（） A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1 6. 关于SSS相似判定，说法错误的是（） A. 无需角度条件即可判定 B. 只需两组边成比例即可判定 C. 对应边比值必须全部相等 D. 边长排序可避免对应错误 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 三边________的两个三角形相似，简称SSS相似判定。 2. SSS相似判定前，必须先将两个三角形的边长________，再依次求比值。 3. 三角形相似三种判定方法：AA、________、________。 4. 若两三角形三边比值均为1，则两三角形不仅相似，且________。 5. △ABC三边为5、7、8，△A'B'C'三边为10、14、16，两三角形相似比为________。 三、解答计算题（共56分） 1. （12分）基础判定： 已知△ABC三边长为3、5、7，△DEF三边长为6、10、14， 求证：△ABC∽△DEF。 2. （14分）辨析判定： 判断边长为4、6、8和边长为9、12、18的两个三角形是否相似。 3. （14分）求边长问题： 已知△ABC∽△A'B'C'，△ABC三边为2、4、5，△A'B'C'最短边长为4， 求△A'B'C'另外两条边的长度。 4. （16分）综合题型： 已知△ABC三边为6、8、10，△DEF三边为9、12、15， （1）求证两三角形相似； （2）求出两个三角形的相似比。 四、拓展应用题（附加10分） 一个三角形三边长为4、5、6，另一个三角形与它相似，且最短边为8，求第二个三角形的周长。 --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.B 5.A 6.B 二、填空题 1. 对应成比例 2. 从小到大排序 3. SAS、SSS 4. 全等 5. $$1:2$$ 三、解答题 1. 证明： 将两个三角形边长排序： △ABC：3、5、7，△DEF：6、10、14 计算对应边比值： $$\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}，\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2}，\dfrac{7}{14}=\dfrac{1}{2}$$ 三组对应边比值相等， ∴ △ABC∽△DEF（三边对应成比例的两个三角形相似） 2. 解： 排序：第一个三角形4、6、8，第二个三角形9、12、18 计算对应比值： $$\dfrac{4}{9}，\dfrac{6}{12}=\dfrac{1}{2}，\dfrac{8}{18}=\dfrac{4}{9}$$ 三组比值不全部相等， ∴ 两个三角形不相似。 3. 解： △ABC边长排序：2、4、5，最短边为2 △A'B'C'最短边为4，相似比：$$\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}$$ 设另外两边为x、y， $$\dfrac{4}{x}=\dfrac{1}{2}，\dfrac{5}{y}=\dfrac{1}{2}$$ 解得：$$x=8，y=10$$ 答：另外两条边长为8、10。 4. 解： （1）证明： 排序：△ABC：6、8、10，△DEF：9、12、15 $$\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}，\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}，\dfrac{10}{15}=\dfrac{2}{3}$$ 三边对应成比例， ∴ △ABC∽△DEF（三边对应成比例的两个三角形相似） （2）△ABC与△DEF的相似比为$$2:3$$。 答：相似比为$$2:3$$。 拓展题答案 解：原三角形边长：4、5、6，周长$$=4+5+6=15$$ 原三角形最短边4，新三角形最短边8， 相似比$$=4:8=1:2$$ 新三角形周长$$=15\times2=30$$ 答：第二个三角形周长为30。 章节易错点总结 1. SSS判定必须先排序，乱序求比值会导致对应边找错，判定失误； 2. 必须三组边比值全部相等，两组相等不能判定相似； 3. 相似比顺序不能颠倒，前、后三角形对应顺序决定比值大小； 4. 无角度条件时优先用SSS，有等角条件优先用AA或SAS，灵活选用判定方法。 问题1：在前面的课程中，我们学过哪些判定三角形相似的方法？ 1.定义法 2.两角分别相等的两个三角形相似 3.两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 问题2： 如果两个三角形的三边成比例，那么这两个三角形一定相似吗？ 【操作·交流】 B A C B' A' C' (1) 任意画 △ABC . (2) 再画△A′B′C′，使 ， ， 都等于给定的值 k. (3) 量出∠A 和 ∠A' (∠B 与∠B' 或 ∠C 与∠C′ ) 的大小. ∠A＝∠A' 吗？△ABC 和 △A'B'C' 相似吗？ (4) 改变 k 值的大小，△ABC 和 △A'B'C' 还相似吗？ 探究点：三边成比例的两个三角形相似 通过测量不难发现 ∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C =∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例， 所以 △ABC∽△A′B′C′. B A C B' A' C' 探究点：三边成比例的两个三角形相似 由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理： 三边成比例的两个三角形相似． ∵ ， ∴ △ ABC ∽ △A′B′C. 符号语言： 【知识要点】 探究点：三边成比例的两个三角形相似 知识点 三边成比例的判定方法 1.如图，在和 中， ____ _____, 。 返回 举一反三 6 2.若的三边长分别是3，5，6，则与相似的 的边长 可能是( ) D A.，， B.，， C.，， D.，， 返回 举一反三 7 例1 (1)判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由. A B C 3 3.5 4 D F E 1.8 2.1 2.4 解：在 △ABC 中，AB > BC > CA， 在 △DEF 中， DE > EF > FD. ∴ △ABC ∽ △DEF. ∵ ， ， ， ∴ . 探究点：三边成比例的两个三角形相似 ∴ △ABC ∽ △A'B'C'. ∵ ， ， ∴ (2) 解： 探究点：三边成比例的两个三角形相似 判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等. 注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应. 【归纳总结】 探究点：三边成比例的两个三角形相似 例2 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE的度数. A B C D E ∴ △ABC ∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似). 解：∵ ∴∠BAC =∠DAE， 找出图中相等的角 ∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC. 即∠BAD =∠CAE. ∵∠BAD = 20°，∴∠CAE = 20°. 探究点：三边成比例的两个三角形相似 3.在中，，，在中，， 。 若________，则 。横线上应填( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 12 4.如图，网格中每个小正方形的边长为1，和 相似吗？ 解：，， ， ，， ， ， 。 返回 举一反三 13 例3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且 求证：△ A′B′C′∽△ABC. 证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′， ∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2 = 4A′B′2－4A′C′2 = 4(A′B′2－A′C′2) = 4B′C′ 2 = (2B′C′)2. ∴ BC = 2B′C′， ∴ △A′B′C′∽△ABC. 探究点：三边成比例的两个三角形相似 如图，△ABC 与 △A'B'C' 相似吗？你有哪些判断方法？ △ABC∽△A′B′C′ 【尝试·交流】 探究点：三边成比例的两个三角形相似 5. 在如图所示的象棋盘 （各个小正方形的边长均相等）中，根据 “马走日”的规则，要使“马”“车”“炮”所在位 置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在 位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在 ( ) B A.①处 B.②处 C.③处 D.④处 返回 举一反三 16 6.要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边长分 别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，它的另外两边长分别为 _ _______________________。 ，3或，或， 返回 举一反三 17 7. 如图，点在边长为 的正方形 的边上，。用直尺与圆规在 边上 画了一点，根据图中点 的位置，证明 。 举一反三 18 解：易知,, 。 ， ， ， ， ， ， 。 返回 举一反三 19 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似 相似三角形的判定定理 3 的运用 课堂小结 谢谢观看 THANKS $