3.3.1平行线分线段成比例（课件）-2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“平行线分线段成比例”，涵盖基本事实及三角形推论核心知识点。课堂从梯子生活情境导入引导猜想，通过小方格合作探究验证定理，再推导三角形推论，构建从具体到抽象的学习支架。 其特色在于以生活情境激发数学眼光，通过合作探究培养推理意识，分层练习强化符号表达。采用“猜想-探究-归纳-应用”教学法，小结系统梳理核心知识点与易错点，助力学生巩固知识，教师可高效开展同步教学与课后巩固。

北师大版数学9年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026年7月3日 3.3.1平行线分线段成比例 第三章 图形的相似 3.3.1 平行线分线段成比例 同步练习题（含解析） 本次练习题适配九年级3.3.1课时内容，聚焦平行线分线段成比例基本定理、三角形平行线分线段成比例推论两大核心考点，重点考查比例式书写、线段求值、几何图形比例转化、A型、X型基础模型应用，规避对应线段找错、比例写反等高频易错点，题型基础全面，贴合课堂同步训练与课后巩固。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 三条平行线截两条直线，所得的对应线段（ ） A. 相等 B. 互相平分 C. 成比例 D. 无数量关系 2. 在△ABC中，DE∥BC，交AB、AC于D、E，则下列比例式正确的是（ ） A. $$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$ B. $$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{BC}$$ C. $$\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{BC}$$ D. $$\frac{AD}{EC}=\frac{AE}{DB}$$ 3. 已知直线$$l_1\parallel l_2\parallel l_3$$，截得线段AB=2，BC=3，DE=4，则EF的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 在△ABC中，DE∥BC，AD=1，DB=2，则$$\frac{AE}{AC}$$的值为（ ） A. $$\frac{1}{2}$$ B. $$\frac{1}{3}$$ C. $$\frac{2}{3}$$ D. $$\frac{1}{4}$$ 5. 下列关于平行线分线段成比例的说法正确的是（ ） A. 平行线截线段一定等分 B. 对应线段必须找准上下对应位置 C. 任意两条直线被平行线截得的线段都相等 D. 比例式可以随意颠倒书写 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的________线段成比例。 7. 三角形平行线推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的________成比例。 8. 已知$$l_1\parallel l_2\parallel l_3$$，AB=3，BC=6，DE=2，则EF=________。 9. △ABC中，DE∥BC，AD:AB=2:5，则AE:EC=________。 10. 平行于三角形一边的直线截两边，若AD=4，DB=6，AE=2，则EC=________。 三、解答题（共60分） 11.（18分）根据平行线分线段成比例定理完成计算： （1）已知$$l_1\parallel l_2\parallel l_3$$，AB=4，BC=6，DE=3，求EF的长； （2）在△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=1.6，求EC的长。 12.（20分）如图，在△ABC中，DE∥BC，已知AD=3cm，AB=9cm，AE=2cm。 （1）求DB的长度；（2）求AC的长度；（3）写出图中所有正确的比例式。 13.（22分）已知直线$$l_1\parallel l_2\parallel l_3$$，依次截直线m、n于A、B、C和D、E、F。 （1）若AB=5，BC=10，DF=9，求DE、EF的长； （2）简述平行线分线段成比例定理的核心内容及解题注意事项。 四、参考答案与详细解析 选择题 1. C 解析：三条平行线截两条直线，对应线段成比例，是本节核心定理。 2. A 解析：DE∥BC，可得对应线段成比例$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$。 3. B 解析：由$$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$$，代入$$\frac{2}{3}=\frac{4}{EF}$$，解得EF=6。 4. B 解析：AD=1，DB=2，AB=3，$$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$$。 5. B 解析：应用定理的关键是找准对应线段，避免比例式写反。 填空题 6. 对应 7. 对应线段 8. 4 9. $$2:3$$ 10. 3 解答题 11.（1）由$$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$$得$$\frac{4}{6}=\frac{3}{EF}$$，解得$$EF=4.5$$；（2）由$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$得$$\frac{2}{3}=\frac{1.6}{EC}$$，解得$$EC=2.4$$。 12.（1）$$DB=AB-AD=9-3=6\mathrm{cm}$$；（2）由$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$得$$\frac{3}{9}=\frac{2}{AC}$$，解得$$AC=6\mathrm{cm}$$；（3）比例式：$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$、$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$、$$\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}$$。 13.（1）由$$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$，设$$DE=x，EF=2x$$，$$x+2x=9$$，解得$$x=3$$，即$$DE=3，EF=6$$；（2）核心内容：三条平行线截两条直线，对应线段成比例；注意事项：必须找准上下对应线段，比例式前后对应一致，不可错位。 本节核心知识点总结 1. 基本定理：三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例。 2. 三角形推论（高频考点）：平行于三角形一边的直线，截另外两边，对应线段成比例。 3. 常用比例变形：$$\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$$、$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$，可灵活用于线段求值。 4. 易错点：分不清对应线段、比例式写反、混淆“部分比”与“整体比”。 1.了解平行线分线段成比例的基本事实及其推论； （重点） 2.会用平行线分线段成比例及其推论解决相关问题. （难点） 学习目标 下图是一架梯子的示意图，由生活常识可以知道： AD，BE，CF 互相平行，若 AB = BC，你能猜想出什么结果呢？ a b c DE = EF D F E 【观察与猜想】 A C B 3 如图①，小方格的边长都是 1，直线 l1∥l2∥l3，分别交直线 m，n 于点 A1，A2，A3，B1，B2，B3. A1 A2 A3 B1 B2 B3 m n l1 l2 l3 图① 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 【合作探究】 (1) 计算 ， ， 的值，你有什么发现？ B1 A1 m l1 A2 B2 l2 n A3 B3 l3 图① 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） (2) 将 l2 向下平移到如图②的位置，直线 m，n 与直线 l2 的交点分别为 A2，B2. 你在问题 (1) 中发现的结 论还成立吗？如果将 l2 平移到其他位置呢？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 m n l1 l2 l3 图② (3) 根据前两问，你认为在平面上任意作三条平行线， 用它们截两条直线，截得的对应线段成比例吗？ 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 如图，连接 A1B2，B2C1，A2B1，B1C2. l2 l3 A2 C2 B2 A1 C1 B1 m n l1 由于△A1B1B2 底边 A1B1 上的高、△B1C1B2 底边 B1C1 上的高、△A1C1B2 底边 A1C1 上的高是同一条高线，因而由三角形的面积计算公式可得，它们的面积比等于底边长之比，即 又由于△A2B2B1 底边 A2B2 上的高，△B2C2B1 底边 B2C2 上的高、△A2C2B1 底边A2C2 上的高也相同，则它们的面积比也等于底边长之比，即 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 由于△A1B1B2，△A2B2B1 是平行线 l1，l2 之间同底等高的两个三角形，因此 由于△B1C1B2，△B2C2B1 是平行线 l2，l3 之间同底等高的两个三角形，因此 ① + ② 得， 即 l2 l3 A2 C2 B2 A1 C1 B1 m n l1 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 于是 同理可得： l2 l3 A2 C2 B2 A1 C1 B1 m n l1 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 符号语言： 若 a∥b∥c ，则 ， ， A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c a 【归纳总结】 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 例1 如图，已知 AA1∥BB1∥CC1，AB = 2，BC = 3，A1B1 = 1.5，求 B1C1 的长. 解 由平行线分线段成比例可知， ，即 ， 因此， A1 C1 B1 A C B 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 1.如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( ) A. B. C. D. D A C E B D F l2 l1 l3 【练一练】 探究点1：平行线分线段成比例（基本事实） 如图，直线 a∥b∥c，分别交直线 m，n 于点 A1，A2，A3，B1，B2，B3，过点 A1 作直线 n 的平行线，分别 交直线 b，c 于点 C2，C3. 图中有哪些成比例线段？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 C2 C3 【观察·思考】 例2 如图，在△ABC 中，已知 DE∥BC， 求证： 证明 如图，过点 A 作直线 MN，使 MN∥DE. 因为 DE∥BC，所以 MN ∥DE∥BC. 因此，AB，AC 被一组平行线 MN，DE，BC 所截，则由平行线分线段成比例可知， B C A M N D E 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 过点 A2 作直线 n 的平行线，分别交直线 a，c 于点 D1， D3. 图中有哪些成比例线段？ A1 A2 A3 B1 B2 B3 b c m n a D1 D3 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. A1 A2 A3 C2 C3 A2 D1 A3 A1 D3 【归纳总结】 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 例3 如图，在 △ABC 中，E，F 分别是 AB 和 AC 上的点，且 EF//BC. (1) 如果 AE = 7，EB = 5，FC = 4， 那么 AF 的长是多少？ A B C E F 解：∵ EF//BC， ∵ AE = 7，EB = 5，FC = 4 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 (2) 如果 AB = 10，AE = 6，AF = 5，那么 FC 的长是多少？ A B C E F 解：∵ EF//BC， ∵ AB = 10，AE = 6，AF = 5 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 2. 如图，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE = 3，则 AC = ；FG∥BC，AF = 4.5，则 AG = . A B C E D F G 7.5 6 【练一练】 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 例4 如图，在 △ABC 中，点 D、E、F 分别在边AB、AC、BC 上，且 DE//BC、EF//AB.若 AD = 2BD. (1)求证： ； (2)求 的值. 解：(1)∵DE//BC，EF//AB (2)∵AD = 2BD A B C D E F 探究点2：平行线分线段成比例定理的推论 知识点1 平行线分线段成比例的基本事实 （第1题） 1. 如图，已知，直线，， 分 别交直线于点，，，交直线于点 ， ， ，那么下列比例式正确的是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 21 （第2题） 2. 如图，五线谱是由等距离、 等长度的五条平行横线组成的，同一条直 线上的三个点，， 都在横线上.若线段 ，则线段 的长是( ) C A. B. 1 C. D. 2 考试考法 22 【点拨】如图，过点作平行横线的垂线，交点 所在的平行横 线于点，交点所在的平行横线于点，则 ，即 ，解得 . 返回 考试考法 23 （第3题） 3.如图，四条平行直线,,,被直线, 所 截，，若 ，则线 段和线段 的长度之和是___. 6 【点拨】， .又 ,，解得 . ，，即 ，解得 ，则线段和线段的长度之和为 . 返回 考试考法 24 知识点2 平行线分线段成比例的基本事实的推论 （第4题） 4. 在中，点在边 上，且 ，根据如图所示的作图痕迹，一定可 以推出的结论是( ) A A. B. C. D. 返回 考试考法 25 5. [2025河南] 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为 1，的三个顶点均在网格线的交点上，点， 分别是 边，与网格线的交点，连接，则 的长为( ) B A. B. 1 C. D. 考试考法 26 【点拨】如图，取格点,，由网格的性质可知， ， ，，,分别是, 的 中点，是的中位线， ，故选B. 返回 考试考法 27 6. 如图， ， ，， . （1）求 的值； 【解】， . ， ， ， ， . 考试考法 28 （2）求证： . 【证明】， . 又， ， . 返回 考试考法 29 7. 如图，矩形的四个顶点分别在直线，，， 上， 若直线且相邻两直线间距离相等.若 ， ，则， 之间的距离为( ) C A. 5 B. C. D. 考试考法 30 【点拨】过点作于点，交 于 点，如图. 在矩形中， ， ， . 直线 且相邻两直线间距离相等， ， ， ， 考试考法 31 ， 在中，， ， .故选C. 返回 考试考法 8. 在中，，，点在边 所在的直线上，且，过点作交边 所在直 线于点，则 的长为_______. 6或12 考试考法 33 【点拨】如图①，当点在边 上时，， ， ， ， 即，解得；如图②，当点在边 的延长线上 时，，，， 易得 ，即，解得.综上所述， 的长为6或 12. 返回 考试考法 34 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 ◑推论 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 ◑基本事实 平行线分线段成比例 课堂小结 35 35 l1 l2 $