3.3.2 相似三角形判定定理的证明 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第三章 图形的相似 3.3.2相似三角形判定定理的证明 2026年8月2日 3.3.2 相似三角形判定定理的证明 同步练习题 3.3.2 相似三角形判定定理的证明 综合同步练习 （排版、分值、题型和前面所有章节习题完全统一） 章节核心知识点梳理 1. 证明核心依据 所有相似三角形判定定理的证明，均以平行线分线段成比例定理为基础，通过构造平行线段、平移边长，将未知相似模型转化为可证比例模型，是本章证明题核心思路。 2. 两角分别相等（AA）判定定理证明逻辑 在一个三角形中截取对应边长，作平行线构造小三角形，利用平行线分线段成比例证三边对应成比例，结合已知两角相等，推导出两三角形相似。 3. 两边成比例且夹角相等（SAS）判定定理证明逻辑 在长边截取对应线段，作平行线构造辅助三角形，先证构造三角形与原大三角形相似，再结合边长比例、夹角相等，证构造三角形与已知三角形全等，等量代换得两三角形相似。 4. 三边成比例（SSS）判定定理证明逻辑 通过截取边长、作平行线构造相似三角形，结合已知三边比例关系，证明构造三角形与待证三角形全等，进而推出原两三角形相似。 5. 证明通用步骤（大题规范） ① 作辅助线（截取线段、作平行线）； ② 利用平行线性质证比例、等角； ③ 结合已知条件证全等/相似； ④ 等量代换，得出最终相似结论。 一、选择题（每题4分，共24分） 1. 相似三角形所有判定定理的证明核心依据是（） A. 全等三角形判定定理 B. 平行线分线段成比例定理 C. 三角形内角和定理 D. 垂直平分线性质 2. 证明AA相似定理时，常用的辅助线做法是（） A. 作高线 B. 作角平分线 C. 作平行线构造小三角形 D. 连接中点 3. SAS相似定理证明中，关键衔接知识点是（） A. 三角形全等 B. 对顶角相等 C. 平行线垂直 D. 线段中点性质 4. 下列说法正确的是（） A. 相似定理证明无需辅助线 B. 先证全等才能证所有相似 C. 平行线是相似证明的核心工具 D. 对角相等可直接证SAS相似 5. SSS相似证明中，最终通过什么关系完成证明（） A. 互余相等 B. 全等代换 C. 垂直关系 D. 平行关系 6. 判定三角形相似，无需证明边长比例的是（） A. AA判定 B. SAS判定 C. SSS判定 D. 以上都不对 二、填空题（每题4分，共20分） 1. 相似三角形判定定理证明的核心依据是________定理。 2. AA相似判定：两角________的两个三角形相似。 3. SAS相似判定证明中，必须保证相等的角是两边的________。 4. SSS相似判定的核心条件是三边________。 5. 相似证明常用辅助线：截取线段、作________。 三、解答证明题（共56分） 1. （12分）基础证明：两角分别相等的两个三角形相似（AA）。 已知：在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 2. （14分）重点证明：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（SAS）。 已知：在△ABC和△A'B'C'中，$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$$，∠A=∠A'。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 3. （14分）难点证明：三边成比例的两个三角形相似（SSS）。 已知：在△ABC和△A'B'C'中，$$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{BC}{B'C'}=\dfrac{AC}{A'C'}$$。 求证：△ABC∽△A'B'C'。 4. （16分）综合证明应用： 如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，$$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$$，求证：△ADE∽△ABC。（用本节定理证明方法规范作答） 四、拓展应用题（附加10分） 结合本节证明思路，证明：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 --- 参考答案与详细解析 一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.A 二、填空题 1. 平行线分线段成比例 2. 分别相等 3. 夹角 4. 对应成比例 5. 平行线 三、解答证明题 1. AA相似定理证明 证明： 在△ABC的边AB、AC上分别截取AD=A'B'，AE=A'C'，连接DE。 ∵ ∠A=∠A'，AD=A'B'，AE=A'C' ∴ △ADE≌△A'B'C'（SAS） ∵ ∠B=∠B'，∴ ∠ADE=∠B ∴ DE∥BC（同位角相等，两直线平行） 由平行线分线段成比例定理得： $$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$$ 又∵ DE∥BC，可得△ADE与△ABC三角对应相等，三边对应成比例 ∴ △ADE∽△ABC 由全等代换得：△ABC∽△A'B'C'。 2. SAS相似定理证明 证明： 在△ABC的边AB上截取AD=A'B'，过点D作DE∥BC，交AC于点E。 ∵ DE∥BC ∴ △ADE∽△ABC（平行线证相似） ∴ $$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$$ 又∵ $$\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}$$，AD=A'B' ∴ $$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{A'C'}{AC}$$，即AE=A'C' 又∵ ∠A=∠A' ∴ △ADE≌△A'B'C'（SAS） ∴ △ABC∽△A'B'C'。 3. SSS相似定理证明 证明： 在△ABC的边AB上截取AD=A'B'，作DE∥BC交AC于E。 ∴ △ADE∽△ABC ∴ $$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{DE}{BC}=\dfrac{AE}{AC}$$ 又∵ $$\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{B'C'}{BC}=\dfrac{A'C'}{AC}$$，AD=A'B' ∴ DE=B'C'，AE=A'C' ∴ △ADE≌△A'B'C'（SSS） ∴ △ABC∽△A'B'C'。 4. 综合证明题解析 证明： 在AB上截取AD为对应线段，作DE∥BC，交AC于E。 ∵ DE∥BC ∴ $$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$$ 又已知$$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$$，且∠A为公共夹角 由SAS相似判定定理可证：△ADE∽△ABC。 （严格复刻课本定理证明逻辑，辅助线+比例推导+夹角证相似） 拓展题答案 证明： 设Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，∠A=∠D。 ∵ 三角形内角和为180° ∴ ∠B=180°−90°−∠A，∠E=180°−90°−∠D ∵ ∠A=∠D，∴ ∠B=∠E ∴ Rt△ABC和Rt△DEF中有两组角对应相等 由AA相似判定定理得：Rt△ABC∽Rt△DEF。 章节易错点总结 1. 证明必须作辅助平行线，不可直接套用结论，大题无辅助线步骤扣分； 2. SAS相似证明严禁用“对角相等”，必须紧扣夹角相等核心条件； 3. 相似证明核心逻辑：平行线→比例→全等代换→相似，步骤不可缺失； 4. 三种定理证明思路互通，均为“构造相似+全等代换”，灵活套用模板。 问题：相似三角形的判定方法有哪些？ ① 两角对应相等，两三角形相似. ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似. ③ 三边对应成比例，两三角形相似. 2 在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节我们将对它们进行证明. 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和 △A'B'C' 中，∠A =∠A'， ∠B =∠B'. 求证：△ABC ∽△A'B'C'． A′ B′ C′ A B C 探究点1：证明相似三角形的判定定理 3 证明：在 △ABC 的边 AB (或它的延长线) 上截取 AD = A'B'，过点 D 作 BC 的平行线，交 AC 于点 E，则∠1=∠B，∠2 =∠C， (平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). 过点 D 作 AC 的平行线，交 BC 于点 F，则 (平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例). A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 ∴ 探究点1：证明相似三角形的判定定理 4 ∴ △ADE∽△ABC. A′ B′ C′ A B C E D F 1 2 ∴ DE = CF . ∴ ∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形． ∴ 而 ∠1 = ∠B，∠DAE = ∠BAC，∠2 =∠C， ∵ ∠A = ∠A'，∠ADE = ∠B =∠B'， AD = A'B'， ∴ △ADE≌△A'B'C' ． ∴ △ABC∽△A'B'C'. 探究点1：证明相似三角形的判定定理 我们来证明一下前面得出的结论： 如图，在△ABC与△A′B′C′中，已知∠A= ∠A′， 证明：在△ABC 的边 AB (或它的延长线)上截取 AD = A′B′，过点 D 作BC 的平行线，交 AC 于点 E， 则∠B =∠ADE，∠C =∠AED， 求证：△ABC∽△A′B′C′. B' A' C' D E B A C 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. ∴ △ABC∽△ADE (两角分别相等的两个三角形相似). 探究点1：证明相似三角形的判定定理 6 ∴ AE = A′C′ . ∵ AD = A′B′， ∴ ∴ B' A' C' D E B A C ∴ 而 ∠A = ∠A′， ∴ △ADE ≌△A′B′C′. ∴ △ABC∽△A′B′C′. 探究点1：证明相似三角形的判定定理 知识点 相似三角形判定定理的证明 （第1题） 1.[西安未央区期末] 如图，在中，若 ， ，，则 的长为( ) A A.15 B.9 C.12 D.18 返回 举一反三 8 2. 如图，点，，，在同一条直线上， ， 若使 ，则还需添加一个条件是________________________。 （只需填一个） （答案不唯一） （第2题） 返回 举一反三 9 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在 △ABC 和△A'B'C' 中， . 求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A′ B′ C′ A C E D B 探究点1：证明相似三角形的判定定理 ∴ C′ B′ A′ 证明：在 △ABC 的边 AB，AC (或它们的延长线)，上分别截取 AD = A'B'，AE = A'C'，连接 DE. ∵ ，AD = A'B'，AE = A'C'. B C A D E 而 ∠BAC = ∠DAE. ∴△ABC ∽△ADE (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴ . 探究点1：证明相似三角形的判定定理 ∴ C′ B′ A′ ∴ DE = B′C′. ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△ABC∽△A′B′C′ . B C A D E 又 ，AD = A'B'， ∴ 探究点1：证明相似三角形的判定定理 解：∵ ∠A = ∠A，∠ABD = ∠C， ∴ △ABD∽△ACB. ∴ AB : AC = AD : AB. ∴ AB² = AD · AC. ∵ AD = 2， AC = 8， ∴ AB = 4. 例1 如图，∠ABD = ∠C，AD = 2，AC = 8，求 AB. C D A B 探究点2：相似三角形判定定理的运用 3.下列条件中能判定与 相似的有________。（填序号） ① ，，， ， ， ； ② ， ， ； ③，，， 。 ①②③ 返回 举一反三 14 4.如图，点,,在一条直线上，与 相交于 点， 。 （1）求证： ； 证明： ， 。 。 。 举一反三 15 （2）连接，求证： 。 [答案] ， 。 又 ， 。 返回 举一反三 16 例2 如图，∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB 的长为 时，△ACB 与△ADC 相似． C A B D 解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ， 要使这两个直角三角形相似，有两种情况： ∴ 探究点2：相似三角形判定定理的运用 ② 当 Rt△ACB ∽ Rt△CDA 时，有 AC : CD ＝AB : AC ， 即 : = AB : ，解得 AB = ． ① 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，有 AC : AD ＝AB : AC， 即 : 2 = AB : ，解得 AB = 3； C A B D 2 ∴ 当 AB 的长为 3 或 时， 这两个直角三角形相似． 探究点2：相似三角形判定定理的运用 （第5题） 5.如图，在中，是边 上的点，连 接交于点，延长交 的延长线于点 ，则图中的相似三角形共有( ) D A.3对 B.4对 C.5对 D.6对 返回 举一反三 19 6.如图，四边形、四边形和四边形 都是正方形，那么 _______,____ 。 45 （第6题） 返回 举一反三 20 7. 如图，直线与 轴交 于点，与轴交于点，动点从点出发，沿 方 向向点匀速运动，同时动点从点出发，沿 方 向向点匀速运动，， 两点的运动速度都是每秒1 个单位长度，当一个点停止运动，另一个点也随之停止运动，连接 ， 设运动时间为。当的值为多少时，以点，， 为顶点 的三角形与 相似。 举一反三 21 解：, 若以点，，为顶点的三角形与 相似， 则在中， 或 。由题易知，点 的坐标 为，点的坐标为，， 。 易得。 运动时间为， ，则 。 ①当 时， ， 则，即，解得 （符合题意）。 举一反三 22 ②当 时， ， 则，即，解得 （符合题意）。 综上所述，当 或时，以点，， 为顶点的三角形与 相似。 返回 举一反三 相似三角形判定定理的证明 定理1：两角分别相等的两个三角形相似. 定理的运用 定理证明 定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 定理3：三边成比例的两个三角形相似. 课堂小结 谢谢观看 THANKS $