3.3 相似三角形判定定理的证明 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件以相似三角形为核心，涵盖相似多边形概念、判定定理（两角、两边夹角、三边对应关系）、性质（边、角、周长、面积比）及位似应用，通过定义导入逐步构建知识支架，衔接前后内容。 其亮点是结合多样题型（判断、性质应用、综合题、动点问题），以具体例题（如矩形中相似判定、正方形比例计算）培养几何直观与推理意识，用数学语言表达证明过程。助力学生提升逻辑思维与应用能力，为教师提供系统教学资源，提高课堂效率。

相似三角形判定定理的证明 认识相似图形 相似多边形概念： 各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 其中∠A与∠A1,∠B与∠B1,∠C与∠C1,∠D与∠D1,∠E与∠E1, ∠F与∠F1对应相等,称为对应角; AB与A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1, DE与D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比都相等, 称为对应边. A1 B1 C1 D1 E1 F1 A B C D E F 你能找出对应角和对应边吗？ 题型 1 判断相似图形 例 1 观察下列每组图形，相似图形是（ ） 答案 C 解析 正方形每个角都是 90°，每条边都相等，大小不一样的两个正方形各边之比相等，对应角相等，满足相似图形的定义，故 C 选项正确。 题型 1 根据相似的性质求解 例 1 已知四边形 ABCD～四边形 A'B'C'D'，四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 的周长分别为 24、36，则它们对角线 AC 与 A'C' 的比为（ ） 相似三角形判定 ①两角对应相等，两个三角形相似. ∵ ∠B=∠E ， ∠C =∠F ∴△ABC∽△DEF 几何语言： ②两组对应边成比例且夹角相等，两个三角形相似. 几何语言： ∵ ∴△ABC∽△A′B′C′ ③三边成比例，两个三角形相似. 几何语言： ∴△ABC∽△A′B′C′ ∵ 题型 1 两组角对应相等的两个三角形相似 例 1 如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 上的一点，连接 BE，CF⊥BE 于点 F。 求证：△ABE△FCB。 证明 因为四边形 ABCD 是矩形 所以∠ A=90 °，AD 平行 BC 所以∠ AEB = ∠ FBC 因为 CF ⊥ BE 所以∠ CFB=90 ° 所以∠ A = ∠ CFB 在△ ABE 和△ FCB 中 ∠ A = ∠ CFB ∠ AEB = ∠ FBC 所以△ABE～△FCB 题型 2 两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似 例 2 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，BF=1，E 为 AB 的中点。求证：△AED～△BFE。 证明 因为四边形 ABCD 是正方形 所以∠ A = ∠ B=90 °，AB=AD=4 因为 E 为 AB 中点 所以 AE=BE=2 已知 BF=1 AE:BF=2:1 AD:BE=4:2=2:1 所以 AE:BF=AD:BE 又∠ A = ∠ B 所以△ AED ～△ BFE 题型 3 三边对应成比例的两个三角形相似 例 3 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 D 在 AC 上，取 AB，BD 的中点 E，F，连接 CE，EF，FC，求证：△CEF～△BAD。 证明 在Rt△ ABC 中，∠ ACB=90 度，E 是 AB 中点 所以 CE=1/2AB 因为 E 是 AB 中点，F 是 BD 中点 所以 EF 是△ ABD 中位线 所以 EF=1/2AD 在Rt△ BCD 中，∠ BCD=90 度，F 是 BD 中点 所以 CF=1/2BD 可得 CE/AB=EF/AD=CF/BD 所以△ CEF 三边与△ BAD 三边对应成比例 所以△ CEF ～△ BAD 题型 4 相似三角形的判定 例 4 (成都市武侯区期中) 如图，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③AC/CD=AB/BC；④AC²=AD・AB，其中能判定△ABC～△ACD 的结论有（ ）个。 C 相似三角形的性质 题型 1 对应角相等求角度 例 1 已知△ABC～△ADE，AE=50cm，EC=30cm，BC=70cm，∠BAC=45°，∠ACB=40°，则∠AED=_______，∠ADE=_______，DE=________。 40° 题型 2 面积比的应用 例 2 (1) 如果两个相似多边形的相似比为 1:2，那么它们的面积比为________。 05| 相似三角形性质与判定综合 题型 2 相似综合应用 例 2 如图，在等边△ABC 中，D、E、F 分别是 AB、BC、CA 上的点． (1) 若∠DEF=∠A，BD=6， ①求证：△DBE∽△ECF；②若 BE・EC=24，求 CF 的长． (2) 若 A 关于 DF 对称后的点落在 BC 上的 E 处，BE=2，EC=3，求 DE:EF 的值． 位似的应用 题型 1 动点问题与相似三角形 例 1 在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=8，AC=6，若动点 D 从点 B 出发，沿线段 BA 运动到点 A 为止，速度是每秒 2 个单位；动点 E 从点 A 出发，沿线段 AC 运动，每秒 1 个单位，两点同时出发，运动多长时间，△ADE 与△ABC 相似？ 题型 2 利用位似的性质求解 例 2 (江苏省泰州市月考) 如图，直线 y=1/3x+1 与 x 轴，y 轴分别交于 A、B 两点，△BOC 与△B'O'C' 是以点 A 为位似中心的位似图形，且相似比为 1:2，则点 B' 的坐标为___________. 题型 3 利用位似的性质求解 例 3 (成都市锦江区期末) 如图，△A'B'C' 是△ABC 以点 O 为位似中心经过位似变换得到的，若 OB=3OB'，则△A'B'C' 的面积与△ABC 的面积之比是 ( ) 课堂练习 练 1 如图，在矩形 ABCD 中，AB=2，BC=4，剪去一个矩形 ABEF 后，余下的矩形 EFDC∽矩形 BCDA，则 EC 的长为________. 练 2 (1) 如图，已知 D、E 分别是△ABC 的 AB、AC 边上的一点，DE∥BC，且 S△ADE:S 四边形 DBCB=1:3，那么 AD/AB 等于________. (2) 如图，∠ACD=∠ABC=90°,∠ADC=∠ACB,AB=5,AC=6, 则 AD 的长为__________. 练 3 如图，△DEF 是△ABC 经过位似变换得到的，点 O 是位似中心，已知 OD:OA=1:2，若△ABC 的面积为 5，则△DEF 的面积为________. 练 4 如图，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=8，D，E 分别为 BC，AB 边上一点，∠ADE=∠C. (1) 求证：△BDE∽△CAD； (2) 若 CD=2，求 BE 的长. 练 5 如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°,AB=6cm,BC=8cm，点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度沿 AB 运动；同时，点 Q 从点 B 出发，以 2cm/s 的速度沿 BC 运动。当点 Q 到达点 C 时，P、Q 两点同时停止运动。设点 P、Q 运动时间为 t (s). 当△PBQ 与△ABC 相似时，t 的值是多少？ 练 6 有相似的两个三角形，已知其中一个三角形的三边长是 4、6、8，另一个三角形最短的一边长是 2，则另一个三角形的周长是 ( ) 练 7 如果两个相似三角形的面积比为 9:16，那么这两个三角形对应边上的高之比为________. 练 8 如图，△ABC∽△ACD. (1) 若 AB/AC=5/2，AD=4，DC=6，求 AC 和 BC 的长； (2) 若∠A=58°,∠ADC=98°, 求∠B 的度数. 下 课 $