16.3.1平方差公式（课件）-2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦“平方差公式”，通过“地主租地”情境导入引发思考，前承整式乘法，后启公式应用，借助问题链、几何面积验证等学习支架，帮助学生理解公式“一同一反，同方减反方”的结构本质。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，情境导入培养观察现实世界的意识，图形面积验证体现数形结合的数学思维，“火眼金睛”识别a和b及8大变形公式提升运算与推理能力。自我挑战连乘计算等实例助力学生深化理解，也为教师提供系统教学素材。

16.3.1 平方差公式 第十六章 整式的乘法 情境导入 从前有一个狡猾的地主，他把一块边长 x 米的正方形的土地租给老张种植。有一天，他对老张说：“我把这块地的一边减少 5 米，另一边增加 5 米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？” 老张答应了。 你认为老张吃亏了吗？ 探究新知 平 方 差 公 式 (a+b)(a−b)=a2−b2. 问题2：你能用文字语言来描述平方差公式吗？ 两个数(式子)的和与这两个数(式子)的差的积，等于这两个数(式子)的平方差． (a+b) (a−b) a2−b2 追问1：公式左边的结构有什么特点？ 1.左边：两个二项式相乘，一项完全相同，一项互为相反数.（“一同一反”） 2.右边：相同项的平方-相反项的平方（“同方减反方”） 追问2：公式右边的结构有什么特点？ 平方差公式使用口诀：一同一反，同方减反方 探究新知 追问3：我们用代数的方法验证了公式，你能用图形的面积来直观说明平方差公式吗？ a b a b 用含 a，b 的式子表示变形前后阴影部分的面积 变形前阴影部分面积为： a2 - b2 变形后阴影部分面积为： (a + b)(a − b) a2 - b2 = (a + b)(a - b) a (a-b) b 探究与应用 计算下列多项式的积: (1)(x+1)(x-1); 　　　　 (2)(m+2)(m-2); 　　　　　　 　 (3)(2x+1)(2x-1). 活动1　理解、探究平方差公式,并运用平方差公式计算 问题情境 (1)x2-1 (2)m2-4 (3)4x2-1 平方差公式及其结构特点 等号左边:①两个二项式的积;②两个二项式中其中一组为相同项,另一组为相反项. 等号右边:①二项式;②相同项的平方减去相反项的平方. 记 特征 学校打算在操场边新建一块长方形的绿化带，原来计划的长是 15 米，宽是 10 米. 后来因为场地调整，长增加了 2 米，宽减少了 2 米，调整后的绿化带面积和原来相比，是变大了、变小了，还是没变呢？​ 15m 10m 2m 2m 原来的面积是 15×10=150（米2）， 调整后的长是 17 米，宽是 8 米， 面积是 17×8=136 （米2）. 显然，面积变小了. 我们再换一组数据试试？如果原来的长是 20 米，宽是 15 米，长增加 3 米，宽减少 3 米，面积又会怎么变呢？ 20m 15m 3m 3m 原来的面积是 20×15=300 （米2）， 调整后的面积是 23×12=276 （米2）， 面积还是变小了. 这里面是不是存在着某种规律呢？ (3x+2)(3x-2) (-x+2y)(-x-2y) (3x-1)(1+3x) (1+xy)(-1+xy) 判断三步：找相同→找相反→一同一反才能用 a b a2-b2 3x 2 -x 2y (3x)2-22 xy 1 (xy)2-12 3x 1 ( 3x)2-12 (a+b)(a-b) (-x)2-(2y)2 火眼金睛 准确识别出公式中的a和b，算出a²-b² 例1：数的应用 平 方 差 公 式 (a+b)(a−b)=a2−b2. 追问4：公式中的a、b可以代表什么？ 一般 特殊 正数、负数 （1）102×98 （1）（100+2）×（100-2） 转化 （100+2）×（100-2） (a+b) (a−b)=a2−b2 典例精析 平方差公式:两个数的　　　　与这两个数的　　　　的积,等于这两个数的平方差.  即(a+b)(a-b)=　　　　.  概括新知 和 差 a2-b2 解:(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4. (2)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2. 理解应用 例 1 (教材典题)运用平方差公式计算: (1)(3x+2)(3x-2); 　　　　　 (2)(-x+2y)(-x-2y).   探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）(x+1)(x-1)=_____________； （2）(m+2)(m-2)=_____________； （3）(2m+1)(2m-1)=_____________； x2-12 m2-22 (2m)2-12 问题1 等式的左边有什么特点？两个多项式是什么运算？ 是两个二项式相乘， 这两个二项式中有一项完全相同(通常变形后放在第一项)， 另一项互为相反数(通常变形后放在第二项). 探究 计算下列多项式的积，你能发现什么规律？ （1）(x+1)(x-1)=_____________； （2）(m+2)(m-2)=_____________； （3）(2m+1)(2m-1)=_____________. x2-12 m2-22 (2m)2-12 问题2 等式的右边有什么特点？ 乘式中两项的平方差， 即相同项的平方减去相反项的平方. 例2：单项式的应用 平 方 差 公 式 (a+b)(a−b)=a2−b2. 追问5：公式中的a、b可以代表什么？ 一般 特殊 单项式 (1) (3x+2)( 3x−2 ) (2)（−x+2y)(−x−2y). (3)(-3a-2)(3a-2) (4)(-3a-2)(3a+2) 典例精析 (1) (3x－5)(3x＋5) (2) (－2a－b)(b－2a) (3) (－7m＋8n)(－8n－7m) 例3：整体思想 平 方 差 公 式 (a+b)(a−b)=a2−b2. 追问6：公式中的a、b可以代表什么？ 一般 特殊 单项式 正数 负数 多项式 （1)若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b= 典例精析 (2)(a+b+c)(a-c+b)可以用平方差计算吗？ 解:(1)(2x-3y)(-2x-3y) =(-3y+2x)(-3y-2x) =(-3y)2-(2x)2 =9y2-4x2. 变式 计算: (1)(2x-3y)(-2x-3y); 　　　　　(2)(-7m+8n)(-8n-7m). (2)(-7m+8n)(-8n-7m) =(-7m+8n)(-7m-8n) =(-7m)2-(8n)2 =49m2-64n2. (教材典题)计算: (1)(x-1)(x+1)(x2+1); 　　　(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5); 例 2 解:(1)(x-1)(x+1)(x2+1) =(x2-1)(x2+1) =x4-1. (2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. 所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即 (a+b) (a-b)=a2-b2. 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 这个公式叫作（乘法的）平方差公式. 平方差公式是多项式乘法(a+b)(p+q)中 p=a，q=-b的特殊情形. 思考 你能根据图中图形的面积，说明平方差公式吗？ a a a2-b2 =(a+b)(a-b) b b a-b a b (a-b) (a+b)=a2-b2. 练习 计算： (1) 原式＝(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) ＝(22－1)(22+1)(24+1)(28+1) ＝(24－1)(24+1)(28+1) ＝(28－1)(28+1) ＝(216－1) 解： 自我挑战 送给大家礼物 【平方差公式】的8大变形公式 ①位置变化 ②符号变化 ③系数变化 ④指数变化 ⑤增项变化 ⑦连用公式 ⑥换式变化 ⑧逆用公式 (a+b)(－b+a)＝a2－b2 (－a+b)(－a－b)＝(－a)2－b2＝a2－b2 (2a+b)(2a－b)＝4a2－b2 (a2－b2)(a2+b2)＝a4－b4 (a+b+c)(a+b－c)＝(a+b)2－c2 [a+(b+c)][a－(b+c)]＝a2－(b+c)2 (a+b)(a－b)(a2+b2)＝(a2－b2)(a2+b2)＝a4－b4 (a+b)2－(a－b)2＝[(a+b)+(a－b)][(a+b)－(a－b)] ※平方差公式中的a、b可以是数，也可以是单项式或多项式。 抓本质，以不变应万变！ 归纳总结 解:题图①中图形的面积可以看成边长为m的大正方形的面积减去边长为n的小正方形的面积,即m2-n2,题图②中图形的面积可以看成两条相邻边长分别为m+n和m-n的长方形的面积,即(m+n)(m-n).由于这两个图形的面积相等,因此有(m+n)(m-n)=m2-n2. 活动2　理解平方差公式的几何背景 观察思考 如何根据图16-3-1①②中图形的面积说明平方差公式? 图16-3-1 从“数”和“形”两个方面推导平方差公式 (1)“数”方面:可以用整式的乘法推导; (2)“形”方面:可以根据某个图形的形状变化前后的面积不变推导. 学 总结 例1 计算： （1）(3x+2)(3x-2)； （2）(-x+2y)(-x-2y).　 解：（1）(3x+2)(3x-2) =(3x)2-22 =9x2-4. （2）(-x+2y)(-x-2y) =(-x)2-(2y)2 =x2-4y2. 例2 计算： （1）(x-1)(x+1)(x2+1)； （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)； 解：（1）(x-1)(x+1)(x2+1) =(x-1)(x+1)(x2+1) =(x2-1)(x2+1) =x4-1. （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5) =y2-22-(y2+4y-5) =y2-4-y2-4y+5 =-4y+1. 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 多项式×多项式 (a+b)(m+n) 内 容 思 想 方 法 一般 乘法 公 式 平方差公式 (a+b)(a−b)=a2−b2 （同²−反²） 特殊 数形结合 m=a n=−b m=a , n=b？ (a+b)(a+b)=？ (a−b)(a−b)=？ 完全平方公式 还有其他特殊形式吗？ 简 便 运 算 在数学中，提出问题往往比解决问题更为重要！ 平方差公式 注意 内容 两个数的和与这两个数的差的积， 等于这两个数的平方差. 紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式； 对于不能直接应用公式的，可能要经过变形才可以应用. (a+b) (a-b)=a2-b2 $