13.3.2 三角形的外角 课件 2026-2027学年人教版数学八年级上册

13.3.2 三角形的外角 第十三章 三角形 1.在△ABC中，∠A=80°, ∠B=52°,则∠C= . 3.什么是三角形的内角？ 其内角和等于多少？ 48 ° 三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角. 内角和是180 °. 2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= ，∠ACD= . A B C D 50 ° 130° 复习引入 A C D ∠ACD 会 是△ABC 的外角吗? 情境导入 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD, 这是△ABC的 什么角? ∠A、 ∠B、∠ACB 都是△ABC 的内角 B (1)顶点在三角形的一个顶点上； (2)一条边是三角形的一条边； (3)另一条边是三角形的某条边的延长线. 探究新知 问题1: 观察下面一组图形中∠1在各个图形中的位置，你能 发现它们的共同特征吗? A 小组交流讨论一下. D A 1 D B C B 1 C D C A B 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形 的外角. ∠ACD 叫作△ABC 的外角. 探究新知 三角形的外角 C D B 探究新知 交流 任意画一个三角形，并将它的所有外角画出来. D 一个三角形有6 个外角? 探究新知 问题2: 三角形的外角∠BCD与相邻的内角∠ ACB是邻补角，它 与另外两个角有怎样的数量关系呢? 不相邻的内角 A C 相邻的内角 一个三角形的每一 个外角对应一个相 邻的内角和两个不 相邻的内角. 三角形的外角 D B A C B D 三角形的外角的性质 问题1 如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB 有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 探索新知 三角形的外角 不相邻的内角 相邻的内角 问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A，∠B) 有什么关系？ 探索新知 A C B D ∵∠A+∠B+∠ACB=180° ∠BCD+∠ACB=180° ∴∠A+∠B=∠BCD 你能用作平行线的方法证明此结论吗？ 证明：过C作CE平行于AB， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠A （两直线平行，内错角相等） ∴∠ACD=∠1+∠2=∠A+∠B 已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B. 探索新知 A C B D E 1 2 三角形内角和定理的推论 D 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 知识要点 应用格式： ∵∠ACD是△ABC的一个外角 ∴∠ACD=∠A+∠B A B C 练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数： A B C D 80 ° 60 ° 2 1 (1) A B C 2 1 50 ° (2) ∠1=40 °, ∠2=140 ° ∠1=18 °, ∠2=130 ° 练一练 三角形的外角和 例3 如图， ∠BAE, ∠CBF, ∠ACD是△ABC的三个外角，它 们的和是多少？ A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 你还有其他解法吗？ 探索新知 解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和，得 ∠BAE=∠2+∠3 ∠CBF=∠1+∠3 ∠ACD=∠1+∠2 又∵∠1+∠2+∠3=180 ° ∴∠BAE+∠CBF+∠ACD =2(∠1+∠2+∠3)=360 ° 探索新知 A B C E F D ( ( ( ( ( ( 2 1 3 解法二 如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ∠CBF +∠2=180 ° ② ∠ACD +∠3=180 ° ③ 又知∠1+∠2+∠3=180 ° ①+②+③得 ∠BAE+∠CBF+∠ACD+(∠1+∠2+∠3)=540 ° 所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=540 °-180°=360° 4 过A作AM∥BC， ∴∠3＝∠4 B C 1 2 3 A ∵∠2＝∠BAM ∴∠1＋∠2＋∠3＝∠1＋∠4＋∠BAM=360° M ∴∠2＋∠3＝∠4＋∠BAM， 思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？ D E F 探索新知 解法三 结论：三角形的外角和等于360°. 例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,求∠BFC的度数. ∵ ∠BEC是△AEC的一个外角 ∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE， ∵∠A=42° ，∠ACE=18°， ∴ ∠BEC=60°. ∵ ∠BFC是△BEF的一个外角， ∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF， ∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°， ∴ ∠BFC=88°. 解： F A C D E B 典例精析 例2 如图，P为△ABC内一点，∠BPC＝150°，∠ABP＝20°， ∠ACP＝30°，求∠A的度数． 解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数． 典例精析 A B C P E 解：延长BP交AC于点E， 则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角 ∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE ∠PEC＝∠ABE＋∠A ∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE ＝150°－30°＝120° ∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100° 【变式题】 (一题多解)如图，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°， 求∠BDC的度数. A B C D ( 51 ° ( 20 ° ( 30 ° 思路点拨：添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题. 典例精析 E 解法一 连接AD并延长于点E. 在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3 1 2 3 4 在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4 ∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2 ∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51°+20°+30°=101° A B C D ( ( ( 51 ° 20 ° 30 ° E ) 1 连接延长CD交AB于点F（解题过程同解法二）. F 解题的关键是正确的构造三角形，利用三角形外角的性质及转化的思想，把未知角与已知角联系起来求解. 总结 解法二 延长BD交AC于点E. 在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE， 在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD. ∴∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD =51°+20°+30°=101° 解法三 典例精析 如图，试比较∠2 、∠1的大小； 如图，试比较∠3 、∠2、∠1的大小. 三角形的外角大于与它不相邻的内角. 拓展探究 图 B A C D 1 2 图 A B C D E 1 2 3 解：∵∠2=∠1+∠B ∴∠2＞∠1 解：∵∠2=∠1+∠B ∠3=∠2+∠D ∴∠3＞∠2＞∠1 1.判断下列命题的对错. （1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ） （2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ） （3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ） （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ） （5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ） （6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ） 课堂练习 × √ × √ × √ 2.如图, AB//CD, ∠A＝37°, ∠C＝63°, 那么∠F 等于（ ） F A B E C D A.26° B.63° C.37° D.60° A 课堂练习 3.（1）如图，∠BDC是 的外角,也是 的外角； (2)若∠B=45 °,∠BAE=36 °, ∠BCE=20 °,试求∠AEC的度数. △ADE △ADC 课堂练习 A B C D E 解：根据三角形外角的性质有 ∠ADC=∠B+∠BCE ∠AEC=∠ADC+∠BAE 所以∠AEC=∠B+∠BCE+∠BAE =45 °+20 °+36 °=101 ° 解：∵∠ADC是△ABD的外角. 4 .如图，D是△ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80°， ∠BAC=70°，求：（1）∠B的度数；（2）∠C的度数. 在△ABC中， ∠B+∠BAC+∠C=180°， ∠C=180º-40º-70º=70°. ∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°. 又∵∠B=∠BAD， 课堂练习 A B C D 解：∵∠1是△FBE的外角 ∴∠1=∠B+ ∠E ∴∠2=∠A+∠D 在△CFG中,∠C+∠1+∠2=180º, ∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E= 180º. 5.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数. 能力提升 A B C D E 1 2 F G ∵∠2是△GAD的外角 B A C P N M D E F 6.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=________. 360° 能力提升 1 2 3 课堂小结 作业布置 P16-17：5、6、8、9、11 $