考点06 二次函数中的存在性问题3考点5题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 以标准化解题步骤为核心，构建“基础公式-分类策略-坐标建模”三阶方法体系，系统覆盖二次函数存在性问题五大题型，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点|3个核心考点|解析式选择策略、五步解题流程、坐标系公式|从基础工具到通用方法，形成问题解决闭环| |面积存在性|1例+4变式|水平宽铅锤高公式、割补法|以面积公式为模型，建立函数与几何的定量关系| |角度存在性|1例+4变式|等角正切值相等、特殊角构造|通过三角函数实现角度问题代数化| |等腰/直角三角形|各1例+3-4变式|顶点分类讨论、勾股定理/垂直条件|利用分类思想突破多解问题，培养严谨推理| |特殊四边形|3例+5变式|对角线中点重合、特殊图形判定条件|以平行四边形为基础，叠加特殊性质拓展模型意识|

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 考点06二次函数中的存在性问题 考点查缺 精准补渴 考点一：二次函数常用解析式形式 一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，适用于已知任意三点坐标求解析式 顶点式：y=a(x-h)2+k,顶点坐标为(h,k),适用于已知顶点、最值、对称轴的场景 交点式：y=a(x-x1)(x-x2),与x轴交点为(x10)、(x2,0),适用于已知抛物线与x轴交点的场景 考点二：通用标淮化解题步骤 所有二次函数存在性问题均可套用统一解题流程，规避思路混乱、漏解等问题： 1求基础信息：求解二次函数解析式、抛物线顶点、与坐标轴交点、配套直线解析式等固定关键点信 息 2.合理设动点坐标：抛物线上动点常设P(x,Qx2+bx+c),直线上动点常设P(x,kx+m),简化变量， 3列式建模：根据题目几何条件、图形性质、数量关系，列出方程或不等式； 4求解验根：解方程后，结合自变量取值范围、图形位置、三点共线等情况，舍去不合理的解； 5规范作答：整理有效坐标，总结最终结论。 考点三：必备核心公式（坐标系通用） 两点间距离公式：已知A(x1y1),B(x2,y2),AB=V(x2-x)2+(y2-y1)2 中点坐标公式：AB中点坐标为”马 直线位置关系：两直线平行k1=k2;两直线垂直k1·k2=-1 线段简化计算：水平线段长度y1-y2l,竖直线段长度x1-x2 题型突破 暖法接炼 题型一：面积的存在性问题 点方法 1/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 固定直线AB,设抛物线上动点P(x,y),通过水平宽与铅锤高计算面积：S=,×水平宽×铅锤高。同 时可搭配割补法、坐标面积公式求解复杂图形面积。通过面积公式构造关于x的方程或二次函数， 进而求解参数或最值。 【例1】(25-26九年级上·安徽六安，期末)己知抛物线y=x2+bx+c经过点(-2，-3)和(3,12)， B (1)求抛物线的函数表达式： (2)如图，该抛物线与x轴交于点A和点B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C,若抛物线的顶点为 D,点M是位于x轴上方的抛物线上一点，是否存在点使S9、4?若存在，求出点M的坐标；若 3 不存在，请说明理由。 【答案】(1)y=x2+2x-3 (2)存在，点M的坐标为(-4,5)或(2,5) 【详解】(1)解：抛物线y=x2+bx+c经过点(-2，-3)和(3,12)， 「4-2b+c=-3 （b=2 (9+3b+c=12’解得 c=-3 ∴抛物线的函数表达式为y=x2+2x-3; 《2)解：存在点M使SM三3S.AcD 当y=0时，x2+2x-3=0,解得x=-3或x=1, ~点A在点B的左侧， 点A(-3,0),点B(1,0)； 当x=0时，y=x2+2x-3=-3, …点C(0,-3) 抛物线的顶点坐标为(-1，-4)， 设直线AC的解析式为y=ax+n,把C(0,-3)和A(-3,0)代入得到， n=-3 -3k+n=0' 2/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 n=-3 解得k=1' ∴直线AC的解析式为y=-x-3, 当x=-1时，y=-（-1)-3=-2, 抛物线的对称轴与直线AC的交点为(-1，-2)， =1×2x2+1x2x1=3, .S。ACD=2 2 ~点M是位于x轴上方的抛物线上一点，Sw=1 -SACD’ S。ABM 10x3=10, 设点M的坐标为(m,m°+2m-3), 2×4×(m+2m-3)=10,整理得m2+2m-8=0,解得m=-4或m=2, 点M的坐标为(-4,5)或(2,5). 【变式1-1】(25-26九年级上河南新乡·期末)如图，已知二次函数y=2+bx+3的图象与x轴分别交于 点A(-1,0),B(3,0),与y轴交于点C. (1)当y<0时，x的取值范围是一； (2)求二次函数的解析式： (3)在抛物线上是否存在一点P,使得SABP=2S。4Bc,若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1)x<-1或x>3; (2)y=-x2+2x+3; 3)存在，点P的坐标为1+V10,-6和1-10，-6) 【详解】(1)解：~二次函数图象与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且开口向下， 当y<0时，x的取值范围是x<-1或x>3; 故答案为：x<-1或x>3. 3/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：二次函数图象与x轴交于A(-1,0)、B(3,0), 设二次函数的交点式为y=a(x+1)(x-3), ~函数图象与y轴交于点C(0,3), 将x=0,y=3代入得3=a(0+1)(0-3),解得a=-1, y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3; (3)解：A(-1,0),B(3,0), AB=3-（-1)=4, C(0,3), 8Bx3 1 2×4x3=6, .28.ABc=12, 设点P的纵坐标为yp, S2x4B×p=12,解得y= 二次函数y=-x2+2x+3=-(x-1)+4,其最大值为4， ∴yp=6不符合抛物线的取值范围，舍去； 当yp=-x2+2x+3=-6,解得x=1±10， 点P的坐标为1+0，-6)和(1-10，-6) 【变式1-2】(25-26九年级上广东广州阶段检测)如图，二次函数y=-x2+3x+m的图象与x轴的一个交 点为B(4,0),另一个交点为A,且与y轴相交于C点. VA B B 备用图 (1)求m的值及C点坐标. (2)P为抛物线上一点，它关于直线BC的对称点为Q,当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标. (3)连接BC,在直线BC上方的抛物线上是否存在一点M,使得四边形ABMC的面积最大，若存在，求出 此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由 【答案】(1)m=4,C(0,4: 4/1U3 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2)P(1+5,1+5)或1-5,1-5) (3)M(2,6) 【详解】(1)解：将B(4,0)代入y=-x2+3x+m, 解得，m=4, 二次函数解析式为y=-x2+3x+4, 令x=0,得y=4, .C(0,4); (2)解：如图， 点P在抛物线上， p ∴.设P(m,-m+3m+4), 当四边形PBQC是菱形时，点P在线段BC的垂直平分线上， B(4,0),C(0,4), ∴线段BC的垂直平分线的解析式为y=x, ∴.m=-m2+3m+4, .m=1±5， P1+5,1+5)或P1-5,1-5): (3)解：过点M作y轴的平行线交BC于点H,如图， H 令y=-x2+3x+4=0,解得x=4或-1， A(-1,0), .AB=5. 5/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.SABC= 2B0C=10. :S四边形ABMc=SABC+SBCM=10+SBCM, 所以当△BCM的面积有最大值时，则四边形ABMC的面积最大， 设直线BC的解析式为y=+4. 4k+b=0 ,将点B、C的坐标代入得： b=4, k=-1, 解得b=4 ∴.直线BC的解析式为y=-x+4, 设点Mx,-x2+3x+4),则点H(x,-x+4), S.BCM =S.MHC+S.MHB -AVOB 2×4x(+3x+4+x-4) =-2x2+8x =-2(x-2)2+8 -2<0, 故当x=2时，S△cw有最大值，此时四边形ABMC的面积最大值为10+8=18， 故点M(2,6) 【变式13】(25-26九年级上·上海金山周测)如图，直线y=-x+3与x轴、y轴分别交于点A、B,对称 轴为直线x=1的抛物线y=a2+bx+c经过点A、B,其与x轴的另一交点为C, y B (1)该抛物线的表达式为； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段AB上点P处，得到新抛物线L,其与直线y=-x+3的另一个交点为 0. ①如果抛物线L经过点A,且与x轴的另一交点为D,线段CD的长为一； 6/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ②试问：△CPQ的面积是否随点P在线段AB上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变， 请求出aCPQ面积. 【答案】(1)y=-x2+2x+3; (2)①CD=2;②△CPQ的面积不随点P在线段AB上的位置变化而变化，S.c0=2, 【详解】(1)解：：直线y=-x+3与x轴，y轴分别相交于点A、B, ∴.A(3,0),B(0,3), 又：对称轴为直线x=1的抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B,其与x轴的另一交点为C. ∴.点C的坐标为(-1,0) 将A(3,0),B(0,3),C(-1,0)代入y=2+bx+c, a-b+c=0 得9a+3b+c=0, c=3 a=-1 解得{b=2, c=3 ∴.该抛物线的函数表达式为y=-x2+2x+3, 故答案为：y=-x2+2x+3; (2)解：①：y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 设新抛物线L的函数表达式为y=-(x-1-m)+4-n, .P(m+1,4-n), ,抛物线L的顶点在线段AB:y=-x+3上点P处， ∴.-(m+1)+3=4-n, ∴.n=+2, 抛物线L经过点A(3,0), ∴.-(3-1-m)2+4-(m+2)=0, 解得m=1或m=2(此时，点P与点A重合，抛物线L与x轴只有一个交点，舍去)， .n=m+2=3, .新抛物线L的函数表达式为y=-(x-2)2+1,对称轴为直线x=2, A(3,0), .D(1,0), 点C的坐标为(-1,0) 7/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .CD=2, 故答案为：2； ②△CPQ的面积不随点P在线段AB上的位置变化而变化， y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, 设抛物线y=-x2+2x+3顶点为P', .P(1,4, 过P'作直线y=-x+3的平行线交抛物线于点Q', D 由平移得当点P'平移到P点时Q平移到2点，则PQ=PQ',PQ为定值， ∴△CPQ的面积不随点P在线段AB上的位置变化而变化， 根据①得点P(2,1)、Q(3,0), 1 8e=2×(3+1x1=2. 【变式1-4】(25-26九年级上贵州遵义.期中)如图①，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)与x轴交于 A(-1,0),B(3,0)两点，与y轴交于点C. 图① 备用图 (1)求该抛物线的表达式： (2)求点C坐标和△ABC面积； (3)若点D是抛物线上第一象限内的一个动点，连接AD,交BC于点E,设S=S△BD-S△4cg,S是否存在 最大值？如果存在求出此时点D的坐标并求出此时S的最大值，否则请说明理由， 【答案】(1)y=-x2+2x+3 8/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)C(0,3),6 (3)S存在最大值，最大值为2，此时D1,4) 【详解】(1)解：把A(-1,0),B(3,0)代入y=2+bx+3(a≠0)中，得： a-b+3=0 9a+36+3=0' a=-1 解得 b=2 ∴.抛物线解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：令x=0,得y=3, ∴C(0,3), 0C=3, A(-1,0),B(3,0) ∴.AB=4, S.=AB-OC=1 ×4×3=6： (3)解：S存在最大值，理由如下， 设D(t,-t+2t+3),0<t<3, 如图所示， S=S.BED-S.ACE =S.ABD -S.ABC -AB.OC 21 24B(-0C) 号4(-1423-到 =-2(t-2t+1)+2 =-2(t-1)+2, .当t=1时，S取得最大值为2，此时y=-1+2×1+3=4, 则D(1,4). 9/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型二：角度的存在性问题 点方法 1.等角存在性 依托平行线内错角、等腰三角形底角相等、三角函数性质解题，坐标系中最常用核心结论：两角相等等 价于两角的正切值相等。 2.特殊角存在性 针对30°、45°、60°特殊角，构造直角三角形、等腰直角三角形，利用特殊边长比例、斜率k=士1等特 征列式求解。 一一一一一一一 【例2】(25-26九年级上福建三明期中)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+2与x轴相 交于A(-2,0),B(4,0)两点，与y轴交于点C,点P是该抛物线对称轴1上的一个动点. 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)当△PAC的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标， (3)抛物线上是否存在点Q,使∠QCB=45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)y=-二x2+二x+2 4 (2)P点见解析； 3 220 3)39或(440) 【详解】(1)解：把A(-2,0),B(4,0)两点，代入抛物线y=2+bx+2, 4a-2b+2=0 16a+4b+2=0 aE- 4 解得 b= 10/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 +2. 1 故抛物线的解析式为：y= -x+ 4 (2)如图，P点即为所求， 1 1 抛物线的解析式为：y= 4+2x+2, 当x=0时，y=2, ∴.C(0,2), 设直线BC的解析式为：y=m+n,代入B(4,0),C(0,2), 4m+n=0 得到 n=2 1 m=- 2, n=2 y= 2+2, 1 1 二次函数y=-二x+一x+2, 4 2 函数的对称轴为直线x=1,A,B两点关于直线x=1对称， ..PA=PB, ·△PAC的周长为：PA+AC+PC=AC+PC+PB≥AC+BC, 当B,C,P三点共线时，△PAC的周长取到最小值， 此时P点在对称轴上， 2+2,得到y= 3 将x=1代入y= P点坐标为》 (3)解：抛物线上存在点Q,使∠QCB=45°，理由如下： 当Q在BC上方时，过B作BT⊥CQ于T,过T作MN⊥y轴于N,过B作BM⊥MN于M,如图： 11/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 T -M ×∠QCB=45°， B ∴△BCT是等腰直角三角形， .∠BTC=90°，BT=CT, ∴.∠CTN=90°-∠BTIM=∠TBM, ∠M=∠TNC=90°， △BTM≌△TCN(AAS), ..BM NT,TM=CN, 设T(m,n),则NT=m,BM=n, B(4,0),C(0,2), ..TM=MIN-NT =4-m,CN ON-OC=n-2, .BM=NT,TM=CN .∫n=m 4-m=n-2 m=3 解得n=3 T(3,3), 设直线CT解析式为y=px+9, 3p+9=3 把C(0,2),T(3,3)代入得 9=2, 1 解得 3, 9=2 1 直线CT解析式为)y=3x+2, 3+2 1 y 联立 1 2*2 1 12/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2 解得 201 y= 9 e9) 当Q在BC下方时，过B作BR⊥CQ于R,过R作SW⊥y轴于W,过B作BS⊥SW于S,如图： Y B 同理可得△BSR≌△RWC(AAS), W ..BS=RW,RS=CW, 设R(p,9), -9=p 4-p=2-g p=1 解得 (9=-1', R(1,-1), 设直线CR解析式为y=+b', [k+b'=-1 把C(0,2),R(1,-)代入得，b=2 「K=-3 解得， b=2’ 直线CR解析式为y=-3x+2, y=-3x+2 联立 1 1 y=-x2+5x+2' 4 2 x=14 解得 y=-401 ∴Q(14,-40), 综上所述，Q的坐标为 220 39 或(14，-40) 【变式2-1】(25-26九年级上湖北成宁期中)如图，抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于点A(-1,0),B两 13/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2”是抛物线上的一点，连接AD,DB,AB、 5 点，与y轴交于点C,D是抛物线的顶点，E VA D 备用图 (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求△ADE的面积； (3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P,使∠APC=2∠PAB,若存在，求点P的坐标，若不存在，请说 明理由 【答案】(1)y=-x2+2x+3,D(1,4) a P 57 (3)存在， 24 【详解】(1)解：(1)抛物线y=-x2+bx+3与x轴交于点A(-1,0), ∴.-(-1)-b+3=0,解得b=2, 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4. 顶点D(1,4). (2)解：如图，由(1)知，y=-(x-1)+4, 抛物线的对称轴为直线x=1, 设对称轴与直线AE交于点F,与x轴交于点G,作EH⊥DF于点H, V :E点在抛物线上，且横坐标 2 OG B 式3代入=r+2x+3中，得y了 4 E57) (24 A(-1,0), 14/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设直线AE的解析式为y=+b,~A(-1,0), 「-k+b=0 +67 5 4 1 k= 11 解得： ,直线4B:y=2x+2 2 b二 令x=1,得y=1,F(1,1). .DF=4-1=3, .S.ADE=S.ADR+S.BDR= 2 即△4DE的面积为； 21 (3)假设存在满足条件的点P(a,-a+2a+3),作PM⊥y轴于点M,直线AP与y轴交于点N. D 设直线AP的解析式为y=x+n,把A(-l,0),P(a,-a+2a+3)代入，得 -m+n=0 am+n=-a2+2a+3' .(a+1)(m+a-3)=0, ∴.a+1=0(舍去)，m+a-3=0, ∴m=3-a, n=3-a, y=(3-a)x+3-a, .N(0,3-a), ∴.OW=3-a. PM⊥y轴， ∴.PM∥AB, ∠PAB=∠MPN, 又：∠APC=2∠PAB, 15/1U5 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∴.∠CPM=∠MPN, ∴.CM=MN. .3-（-a2+2a+3=（-a2+2a+3-(3-a, 化简，得2a2-5a=0, 解得a=2或0（舍） 由2)知当x时，)了 4 即在第一象限内的抛物线上存在点P),） 24 使∠APC=2∠PAB. 【变式2-2】(25-26九年级上山东德州阶段检测)如图，抛物线y=2+bx+c与x轴相交于点A(-3,0), B(1,0),与y轴交于点C(0,3),点D为抛物线的顶点. V D M A 图1 备用图 (1)求出抛物线的函数表达式； (2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M,使得四边形AOCM面积最大，若存在求点M坐 标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q,使∠ADQ=45°，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由 【答案】(1)y=-x2-2x+3 aw(含) 3)点Q的横坐标为2或- 4 【详解】(1)解：将A(-3,0),B(1,0),C(0,3)代入y=2+bx+c,得： 0=9a-3b+c 0=a+b+c, 3=c 16/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a=-1 解得：b=2, c=3 所以抛物线的函数表达式：y=-x-2x+3; 315 2解：存在，M2中 理由如下： 连接OM, D M 'A(-3,0),C(0,3) ∴.OA=3,OC=3, 设Mm,-m2-2m+3, ∴.S四边形AOcM=SAOw+S.cow -j04-+oc-kl 1 ×3(-m2-2m+3)+号×3(-m) m9m9 2m+2 =-3m+3263 m+ 2 2 8 3 <0, 2 3 当m=-三时，四边形AOCM面积最大， 把x=m=号代入y=--2x+3中得： 315 (3)解：存在，理由如下： 如图，在y轴上取点K(O,1),连接AK,DK,过点D作DT⊥y轴于点T, 17/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D(Q2) L巴网 B 91 则∠DTK=∠KOA=90°， :y=-x2-2x+3=-(x+1)+4, .D(-1,4), A(-3,0),D(-1,4), ∴.OK=DT=1,OA=KT=3, △DKO≌△KDT(SAS), .AK=D,∠OAK=∠DKT, ∠OAK+∠OKA=90°， .∠DKT+∠OKA=90°， ∠AKD=90°， ∠DAK=∠ADK=45°， 设直线DK的解析式为y=mx+n, D(-1,4),K(0,1), -m+n=4 n=1 m=-3 解得： n=1, ∴直线DK的解析式为y=-3x+1, y=-3x+1 联立方程组，得： y=-x2-2x+3' x=-1 x=2 解得： y=4或 y=-5' 9(2,-5)； 过点A作AL⊥DT交TD的延长线于点L,过点D作DS⊥DK交AL于点S, ⊥o/1U3 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则∠ADK+∠ADS=90°， ∠ADS=45°， .∠DTK=∠L=90°， .∠KDT+∠SDL=∠SDL+∠DSL=90°， ∠KDT=∠DSL, ∴.△KDT∽△DSL, ..DT:KT=SL:DL, 即：1：3=SL:2, “4S=4-2=10 33’ -310 设直线DS的解析式为y=+t, D14,s-3,3 0 -s+t=4 -3+t=10, 3 1 解得： 13 t= 113 :直线DS的解析式为y=3x+3 113 y=x+ 联立方程组，得： 33 y=-x2-2x+3 4 x=-1 x=- 3 解得： y=4 (舍)或 35 y= 9 435 :039 综上，点0的横坐标为2或-4 【变式2-3】(25-26九年级上·吉林·期末)如图1，已知抛物线y=2+bx-3的图象与x轴交于A、B两 19/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点，与y轴交于C点，A点的坐标为(-1,0)，且抛物线对称轴为直线x=1. M 图1 图2 图3 (1)求抛物线的解析式； (2)①顶点的坐标为一；②当0≤x≤4时，二次函数的最大值为一，最小值为 ,③直线 BC的解析式为」 (3)如图2，连接BC,P为线段BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴交BC于点M,作 PN⊥y轴交y轴于点N,求PM+PN的最大值及此时点P的坐标； (4)如图3，连接AC、BC,在直线BC下方抛物线上是否存在一点Q,使得∠ACO+∠QBC=45°，若存 在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由、 【答案】(1)y=x2-2x-3 (2)①(1，-4)；②5，-4；③y=x-3; (3)当m=2时，PM+PN取得最大值为4，此时P(2,-3) (4)9(2,-3) a-b-3=0 a=1 【详解】(1)解：由题意知 b= ，解得 2a b=-2’ 解析式为y=x2-2x-3; (2)解：抛物线解析式为y=x2-2x-3=(x-1)-4; 抛物线的顶点坐标为：(1，-4)，二次函数开口向上，函数上离对称轴越远的点函数值越大， :当0≤x≤4时，在x=4时，函数取到最大值为：(4-1)-4=5；在x=1时，函数取到最小值为-4， ~A点的坐标为(-1,0)，且抛物线对称轴为直线x=1, B(3,0), 当x=0,y=-3, .C(0,3), 设直线BC表达式为：y=kx+b, 20/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 「3k+b,=0 [k=1 b,=-3 解得 b=-3' 直线BC表达式为y=x-3, 故答案为：(1，-4)，5，-4，y=x-3; (3)解：设P(m,m°-2m-3)(0<m<3), 则M(m,m-3), ∴PM+PN=m-3-(m2-2m-3+m=-(m-2)2+4, ×-1<0, ∴当m=2时，PM+PN取得最大值为4，此时P(2,-3); (4)解：存在，理由如下： 当Q点在BC下方时，如图，作FB⊥x轴，作CF⊥FB于点F,与抛物线的交点为E,连接BE, B C(0,-3), E万 当y=-3时，x2-2x-3=-3, 解得：x=0或x=2, …E(2,-3), CE=2, ∠COB=∠FBO=∠CFB=90°， 四边形OCFB是矩形， ..0B=CF=3, ∴EF=CF-CE=1, BF=OC=3,∠BFC=∠COA,OA=EF=1, △BFE≌△COA(SAS), ∠EBF=∠ACO, ~CF=BF=3,∠BFC=90°， .∠CBF=∠CBE+∠EBF=45°， 21/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .∠CBE+∠AC0=45°， 如图，点E与Q点重合， Bx∴Q(2,-3). 【25-26九年级上湖南邵阳期末)如图(1)，在平面直角坐标系中，抛物线凸y) 得到抛物线L2,L与L,交于点A(-2,2),且与y轴交于点B(0,6),点C为L的顶点. B G C H 20 图(1) 图(2) (1)求L的表达式； (2)连接CA并延长交L于点D,E为线段AD上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F,交L于点G, 求线段EG的最大值； (3)如图(2)，过点A作x轴的垂线交x轴于点Q,连接AC，问：L上是否存在一点P,使得 ∠PCA=2∠CAQ?若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】四y三+3x+6 2)EG最大值为 5 (3)存在，点P的坐标为(-4,2) 【详解】(1)解：~以由乙y=2r平移得来， 设Ly=2r+bx+c, 22/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ~L与L,交于点A(-2,2),且与y轴交于点B(0,6), 得： 6x(-2°-2b+c=2 c=6 [b=3 解得 c=6 L的表达式为：y=)x+3x+6 （2)解：由1)知，上的表达式为：y+3x+6, 点C的坐标为 设直线CA的表达式为y=+b, c(引 A(-2,2)代入得 -2k+b=2 k= 解得： b=3 直线CA的表达式为：y=2x+3, L 联立L,与直线CA得： +3=1 2, 21 21 解得x=3, E在线段AD上，G在L1上，EF⊥x轴， 23/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 设Em,m+3,则Gm,m, 21 则EG= 2 .-2≤m≤3， 25 当m=时，EG有最大值，最大值为 (3)解：如图，作L的对称轴MC,则MC∥AQ, B .∠MCA=∠CAQ, 过点A作直线MC的垂线，交L于点A', L的对称轴是直线x=-3, 4的坐标为(-4,2). A,A关于MC对称， .∠A'CM=∠MCA, ∠A'CA=2∠CAQ,即点P和点A重合时满足条件， 当点P在对称轴MC的右边时，∠PCA<∠CAQ,故这样的点P不存在， 综上所述，点P的坐标为(-4,2). 题型三：等腰三角形的存在性问题 点方法 先计算AB长度、线段中点、垂直平分线解析式；设抛物线上动点坐标，分三类列方程求解；最后排 除三点共线、图形不存在的无效点。 辩易特 已知定点A、B,动点P,探究△PAB为等腰三角形，按三个顶点轮流为顶角顶点分三类讨论，杜绝 24/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 「漏解-1 1.PA=PB:动点P在AB的垂直平分线上； 2.PA=AB:以定点A为圆心、AB长为半径画圆，动点P在圆上； 3.PB=AB:以定点B为圆心、AB长为半径画圆，动点P在圆上。 【例3】2526九年级上河南商丘期末)如图，直线)=-x+2与：轴交于点B,与y精交于点C 己知二次函数的图象经过点B,C和点A(-1,0). /O D (1)求该二次函数的解析式： (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D,则在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰 的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由 【答案】()y=- 1x+3x+2 2 2 2)存在， 3引3引4 【详解】(1)解：对于直线y=- 2x+2, 当x=0时，y=2;y=0时，x=4; B(4,0),C(0,2), A(-1,0), 设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-4), 代入C(0,2)得，-4a=2, 解得a=- 1 2 二次函数的解析式为)=c+1x-)=弓x 3 x2+x+2; 3 (2)解：由(1)知，抛物线的对称轴为x= 25/105 学科风网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 C(0,2), :CD=0C2+0D= 5 ①如图1，当CD=PD时，PD= *P2 图1 35 ②如图2，当CD=CP时， P AH O D B 图2 过点C作CH⊥DP于点H, ..DH=PH, ×C(0,2）, DH=2, PH=2, PD=4, : 上所陵：存，》P得-引层 【变式3-1】(25-26九年级上甘肃定西·期末)如图，抛物线y=2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0), 26/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C(0,3)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段BC上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点D,设点P的横坐标为 m,当m为何值时，线段PD的长度最大？最大值是多少？ (3)在(2)的条件下，当线段PD的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使得以P,D,Q为 顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)y=-x2+2x+3 包当m时，线段PD的长度最大，最大值是号 3 (3)1, 5-77 或1， 4 【详解】(1)解：抛物线y=2+bx+c经过A(-1,0),B(3,0),C(0,3)三点， a-b+c=0 a=-1 9a+3b+c=0,解得： b=2, c=3 c=3 :抛物线的解析式为y=-x2+2x+3; (2)解：如图， 设直线BC的解析式为y=a+b, 把点B(3,0),C(0,3)代入得： 27/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3k+b=0 [k=-1 b=3 ，解得： b,=3’ ∴直线BC的解析式为y=-x+3, ~点P的横坐标为m,PD⊥x轴， 点P(m,-m°+2m+3,D(m,-m+3), 3)2 PD=(m+2m+3)-(←m+3)=-m+3m=-m-2+ 4 -1<0, 当咖-时，线段PD的长度最大，最大他是？。 a)解：由a得：点P》D3别 设抛物线的对称轴为直线1， y=-x2+2x+3=-(x-1)+4, 抛物线的对称轴为直线1：x=1, ∴可设点Q(1,t), 当PQ=PD-时，如图，过点P作阳L1于点么，则PE}1 4 2, 在ae中.0-@-E-图)-=T, 当PO=PD=9时，如图，过点P作PB11于点E,则PE=；1=) 4 2 2 28/105 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在a0中，=Pg-7 a5月 当DQ-PD-时，如图，过点D作DFL1于点R则DF-1 2 Y 在RtADFO中， OF=DQ-DF- 点16+77 4 当DQ=PD-时，如圈，过点D作Dr11于点，则DF-1分 D 29/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在RtDFO中，QF=Dg-DF ⑨7 6-v77 点014 当PQ=DQ时，如图， 此时点Q在PD的垂直平分线上， 15.3 ∴点0的纵坐标为42_21， 28 点18)月 21 综上所述，点Q的坐标为 4 4 【变式3-2】(25-26九年级上·河南周口·期末)如图，已知二次函数y=2+bx+3的图象经过点 A(-1,0)、B(3,0),与y轴交于点C.顶点为D. y D C (1)求该二次函数的解析式： (2)求顶点D的坐标： (3)在x轴上是否存在点P,使得△PCD为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理 由 【答案】(1)y=-x2+2x+3 (2)(1,4) 30/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)存在，点P坐标为(4,0) 【详解】(1)解：将A(-1,0)、B(3,0)代入y=2+bx+3得， a-b+3=0 9a+3b+3=0' a=-1 解得6=2’ 该二次函数的解析式为y=-x2+2x+3; b 2 (2)解：顶点横坐标为2a2×(-) =1, 顶点纵坐标 4ac-b_4x(-l0×3-2=4, 4a 4×(-1) 顶点D的坐标为(1,4)： (3)解：存在，理由如下： 连接CD,作线段CD的垂直平分线交x轴于点P, D E B ∴PC=PD 此时，△PCD为等腰三角形， 假设P(x,0), 根据勾股定理得PC2=x2+9,PD2=(x-1)+16, x2+9=(x-1)+16, 解得x=4, ∴点P的坐标为(4,0)； 根据勾股定理得CD=V(4-3)+12=V2,2<3, 分别以点C、D为圆心，以CD长为半径画圆，与x轴无交点， ∴点P的坐标只有(4,0). 【变式3-3】(25-26九年级上·陕西西安阶段检测)如图，已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点， 与y轴交于点C(0,3). 31/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线的解析式； (2)连接CB,在直线CB上方的抛物线上有一点M,使得△BCM的面积最大，求出M点的坐标. (3)在抛物线的对称轴上是否存在以PB为腰的点P,使得△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合 条件的点P的坐标， 【答案】(1)y=-x2+2x+3 a3 3)共存在3个点R(1,1),P(1,4,P(1,-14),使△PBC是以PB为腰的等腰三角形 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=a2+bx+c, 抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C(0,3): a-b+c=0 ∴.9a+3b+c=0 c=3 a=-1 解得：b=2 C=3 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3. (2)解：如图，设M的坐标为(n,-n+2n+3), B(3,0),C(0,3). .OB=3,OC=3, 32/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 2×3xn= 3 .SAOBC= h, SABCM=SOBM +OCM-OBC= 当，=时，△BC1的面积最大，最大值是 27 .-n2+2n+3 +2x3+3=15 2 w》 (3)解：存在，理由如下： 抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点， ∴抛物线的对称轴为：x=1,假设存在P(1m)满足题意： ①当PB=PC时， V+(3-m)=3-1)+m2, 解得：m=1, …(1,1), ②当PB=BC时，V(3-1)2+m2=3V2, 解得：m,=V14,m=-V14, E,14,￡1，-4)， 综上，共存在3个点R(1,1),P1,V14),P(1,-14),使△PBC是以PB为腰的等腰三角形. 题型四：直角三角形存在性 点方法 针对竖直线、无斜率场景，使用勾股定理分类列式：PA2+AB2=PB2、PA2+PB2=AB2,适配所有 直角三角形场景。 舞易猪 已知定点A、B,动点P,探究△PAB为直角三角形，按三个顶点轮流为直角顶点分三类讨论： 11.∠A=90°：PA⊥AB,满足kPA·kAB=-1 2.∠B=90°：PB⊥AB,满足kPB·kAB=-1; 33/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 「3ZP=90°：PA1PB,满足keAkPB=二1。 【例4】(25-26九年级上黑龙江绥化阶段检测)已知，如图，在平面直角坐标系中，三次函数-- y=2+bx-3(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)和点B(-1,0),与y轴交于点C. 备用图 (1)求b的值； (2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，连接PC,PA,求△ACP的面积的最大值及此时点P的坐标； (3)在第2问的条件下，N为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的N点，使△APN为直角三角形，若 存在，请直接写出符合条件的点N的坐标， 【答案】(1)b=-2 回△4G面的最大值为号，此时点P坐标为)） B存在，点N的坐标为-55。回质1-对号 【详解】(1)解：将A(3,0)、B(-1,0)入y=a2+bx-3得： 9a+36-3=0 a-b-3=0 a=1 解得： b=-2’ 抛物线解析式为y=x2-2x-3 (2)解：将x=0代入y=x2-2x-3得：y=-3, .C(0-3), 设直线AC的表达式为：y=a+n, 将点A,C的坐标代入上式得： 「3k+n=0 n=-3’ k=1 解得： n=-3 34/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即直线AC的表达式为：y=x-3, 过点P作PH∥y轴交AC于点H, y B 设点P(x,x2-2x-3),则H(x,x-3), 3 :3 0, 故△ACP面积有最大值， 3 315 当x三时，△4CP面积的最大值为8，此时点P坐标为24/ 2 (3)解：存在， 由榄物线的表达式知，其对称轴为x2卫 2×1 设点N(1,m), 由勾股定理得：AW2=(3-1)2+m2=m2+4, 同理可得： -w层a+ 由△APN为直角三角形，分三种情况讨论： 当AP2=AW2+PN2时， 解得：%=15+16 8 ，m,=-15-61 当AN2=AP2+PN2时， 33/103 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：m= 71 20' 即点-动 当PN=AP+AN时， 则假+m+(-日)+m+4 4 解得：m= 即点N1 -15+161 综上，点N的坐标为： 6 或115-6) 8 【变式4-1】(25-26九年级上·四川南充阶段检测)如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C,且A(-1,0),对称轴为直线x=2, (1)求该抛物线的解析式： (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形PBAC面积的最大值，并求出此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标； 若不存在，请说明理由 【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2-4x-5 ,P的坐标是 245 535 (2)四边形PBAC面积的最大值为 2’4 3)0的坐标为(2,3)或(2，-7)或(2,1)或(2，-6) 【详解】(1)解：二次函数y=x2+bx+c的图象过点A(-1,0),对称轴为直线x=2, 设y=(x-2)+k,把A(-1,0)代入得： (-1-2)+k=0, 36/105 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：k=-9, y=(x-2)-9=x2-4x-5, 则抛物线的解析式为y=x2-4x-5; (2)解：连接OP,如图： VA B 设P(m,m°-4m-5), 在y=x2-4x-5中，令x=0得y=-5, 令y=0得：0=x2-4x-5, 解得：x=-1或x=5, B(5,0),C(0-5), .0B=5,0C=5, A(-1,0), ∴.OA=1, ∴四边形PBAC面积=SoAC+SoPC+S.oBP, -x15+35+分5 2 5.5.5 -m+ 22 +2m+4m+5) 25 m2+ 2 m+15 2 552245 m- 2 2 8 30, 当m=)时，四边形PB4C面积最大为245 8 当=m时，y 5 -4x5-5=-35 37/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 P的坐标是 (3)解：在抛物线的对称轴上存在一点Q,使得△BCQ是直角三角形，理由如下： 如下图， 由抛物线y=x2-4x-5的对称轴为直线x=2,设Q(2,t), B(5,0),C(0,-5), BC2=52+52=50,BQ2=(5-2)+t2=9+t,C02=4+(t+5), 当BC为斜边时，BQ+CQ=BC, 9+t2+4+(t+5)=50, 解得t=-6或t=1, 此时Q坐标为(2，-6)或(2,1)； 当B2为斜边时，BC2+CQ=BQ, 50+4+(t+5)=9+t2, 解得t=-7, 此时Q坐标为(2，-7)： 当CQ为斜边时，BC2+BQ=CQ, 50+9+t=4+(t+5)2, 解得t=3, ∴此时Q坐标为(2,3)； 综上所述，Q的坐标为(2,3)或(2，-7)或(2,1)或(2，-6) 【变式4-2】(25-26九年级上·福建漳州·期末)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=a+bx+3的图象 交x轴于A(-1,0),B(3,0)两点，交y轴于点C.点M是线段OB上一个动点，过点M作x轴的垂线，交 抛物线于点E,交直线BC于点F. 38/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 yA 0 M 图1 图2 (1)求抛物线和直线BC的表达式： (2)求线段EF的最大值； (3)如图2，是否存在以点C,E,F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不 存在，请说明理由. 【答案】(1)抛物线的表达式为y=-x+2x+3,直线BC的解析式为y=-x+3 a (3)(1,0)或(2,0) 【详解】(1)解：把点A(-1,0),B(3,0)代入y=2+bx+3,得： a-b+3=0 9a+3b+3=0 a=-1 解得： b=2 ∴.抛物线的表达式为y=-x2+2x+3; 设直线BC解析式为y=+b, 直线BC经过点B,C, [3k+b=0 b=3 k=-1 解得 b=3 ∴直线BC的解析式为y=-x+3 答：抛物线的表达式为y=-x+2x+3,直线BC的解析式为y=-x+3. (2)解：如图 39/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F B M 设M(m,0),则Em,-m2+2m+3,F(m,-m+3) 抛物线y=-x2+2x+3与y轴相交于点C, .C(0,3) E(m,-m°+2m+3), ∴.EF=（-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m=- m 当m多时，欧取格最大值？ (3)解：由(2)，得 M(m,0),E(m,-m2+2m+3),F(m,-m+3),C(0,3), :.EF=-m2+3m,CF=vm2+m2=mv2,CE =m2+(-m2+2m)2. ①当∠ECF=90°时，如图 A ∠EC℉=90°， “由勾股定理，得 CE2+CF2=EF2. 即m2+(-m2+2m)2+2m2=(-m2+3m)2, m2(m-1)=0, 解得m=1或m=0(不符合题意，舍去)， 40/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 …M1,0) ②当∠CEF=90°时，如图 ○ ×∠CEF=90°， ∴由勾股定理，得 CE+EF2=CF2. 即m2+(-m2+2m)2+(-m2+3m2=2m2, 整理，得 m2(m2-4m+4）+m(m2-6m+9)-m2=0, m2(m2-5m+6=0, m(m-2)(m-3)=0, 解得m=2或m=0(不符合题意，舍去)或m=3(不符合题意，舍去)， …M(2,0) ③当∠CFE=90°时，如图， y B EM⊥x轴于点M, .∠EMB=90°， .∠MFB<90°， 即∠CFE<90°， ∴当∠CFE=90°时，不符合题意，舍去， 综上，存在满足条件的点M,其坐标为(1,0)或(2,0). 41/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式4-3】(25-26九年级上·广东汕尾·期末)如图1，在平面直角坐标系中，·矩形OABC的两边分别在坐 标轴上，且A(0,3),C(4,O),点D是边AB上的一个动点，抛物线y=-x2+bx+c经过点A,D 2 图1 图2 图3 (1)如图2，若抛物线恰好经过点C,连接AC,CD. ①求此时抛物线的解析式和点D的坐标； ②在直线AC上方的抛物线上有一点P(异于点D),且△ACP的面积等于△ACD的面积，请求出点P的 坐标 (2)如图3，设抛物线y=-x2+bx+c与射线BC交于点E,在点D的运动过程中，是否存在b的值，使得 △ODE为直角三角形？若存在，请求出b的值；若不存在，请说明理由 【管1a回片+3，p,@P居g) 41 39 2)存在b的值为6或使得△ODE为直角三角形 【详解】(1)①解：，抛物线经过点A,C, .把点A(0,3),C(4,0)分别代入y=-x2+bx+c, c=3 可得-16+4b+c=0' 6、13 解得4， c=3 抛物线的解析武为y=-x+x+3, :点D在边AB上，且四边形OABC是矩形， 当=3时，-x+x+3=3,解得x=0,=1 13 4 ②如图，过点P作PQy轴交AC于点Q,连接AP,CP, 42/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA D B 设直线AC的解析式为y=a:+3, 把点C(4,0)代入，得4k+3=0,解得k=-3 41 直线4C的解析式为y= 4+3, 设Pm,-m+13m 4m+3则em- 4m+3, 0=m+m3-(n+3-m+4m ,△ACP的面积等于△ACD的面积， 0c-P0=4DBC,即时x4(m+n）3. 24 3 13 解得m=4’m,=4 (舍去)， 339 故点P的坐标为48 答：p339 4’8 (2)解：由(1)知c=3,则抛物线的解析式为y=-x2+bx+3, 当y=3时，x=0,x=b,则点D坐标为(b,3), 当x=4时，y=4仍-13，则点E坐标为(4,46-13)， ∴.0D2=b2+9,0E2=42+(46-13)=1662-1046+185, DE2=(4-b)+(4b-13-3)=17b°-1366+272， ①当∠DOE=90°时，0D2+0E2=DE2, 即b+9+166°-1046+185=176-136b+272,解得b=3 6 ②当∠0DE=90°时，OD2+DE2=OE2, 即b2+9+17b2-136b+272=16b2-104b+185, 43/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得b=4或b=12, 当b=4时，点D与点E重合，不符合题意，舍去， 当b=12时，点D在AB的延长线上，不符合题意，舍去； ③当∠OED=90°时，0E2+DE2=0D2, 即16b2-104b+185+17b2-136b+272=b2+9, 解得=号或b=4（含去” 当b=4时，点D与点E重合，不符合题意，舍去， 则6子 综上所述，存在b的值为 或？，使得0D为直角三角形. 39 6 39 答：存在b的值为 或)，使得AODE为直角三角形 6 题型五：（特殊）四边形的存在性问题 点方法 核心解题规律 已知两点A(x1y1)、B(x2y2),依托平行四边形对角线中点重合核心性质解题，分两种核心情况： 1.AB为边：利用平移性质，AB‖PQ且AB=PQ,通过坐标平移求解动点， 2.AB为对角线：AB与动线段PQ互相平分，中点坐标完全相同。 !特殊平行四边形判定条件 菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等条件； 矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直对角线相等条件； 正方形：兼具矩形和菱形性质，满足邻边垂直且相等。 【例5-1】(2025陕西咸阳模拟预测)如图，抛物线y=m+bx+c(a≠0)的图象经过A1,0),B(3,0)两点， 与y轴交于点C(O,6,M是抛物线的顶点， 44/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ! (1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为Q,在原抛物线的对称轴上，是否存在一点P,使以A, P,Q,M为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点Q的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请 说明理由. 【答案】(1)y=2x2-8x+6,(2,-2): 2点Q的坐标为3，子或0-2)，当点Q的坐标为3时，原拉物线先向右平移1个单位长度，再同 上平移)个单位长度；当点2的坐标为Q,-2)时，原抛物线向左平移1个单位长度， 【详解】(1)解：：抛物线与y轴交于点C(0,6),∴y=2+bx+6. 将A1,0),B(3,0)代入y=a2+bx+6, a=2 得 「a+b+6=0, 9a+站+6=0.解得6=-8 ∴抛物线的表达式为y=2x2-8x+6, ∴.y=2x2-8x+6=2x-2)2-2, ∴顶点M的坐标为(2，-2)； (2)存在. 如图，设P(2,m). 1P1 O:M ①以AQ为对角线， 43/103 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 此时AP2=(2-1)2+m2=1+m2,AM2=(2-1)2+22=5,MP2=(-2-m)2, ∴.AP2+AM2=PM2, 即1+m+5三(2-m,解得m三号 :40,PM为矩形的对角线，∴由中点坐标公式，得Q3 2 平移的方向为先向右平移1个单位长度，再向上平移个单位长度。 ②以AM为对角线， ∠APM=90°，.点P在x轴上，∴.P(2,0),则Q1,-2), .平移的方向为向左平移1个单位长度. ③以AP为对角线时，矩形不存在 综上所述，点C的坐标为3引成02小，当点Q的坐际为3-引时， 原抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移，个单位长度： 当点2的坐标为(1，-2)时，原抛物线向左平移1个单位长度 1 【例5-2】(25-26九年级上·福建厦门阶段检测)如图，抛物线y=二x2+2x-6与x轴交于A,B两点（点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C,连接AC,BC. B (1)求A、B,C三点的坐标. (2)点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线1，交线段AC于点D,在直线1上是 否存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说 明理由， 【答案】(1)(-6,0)，（2,0)，(0，-6) 2)存在；（2-25,2⑤)或(-6，-8) 【详解】1)解：对于y+2x6来说， 当x=0时，y=-6; 46/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故点C(0,-6, 当=0时，有)x+2x-6=0, 解得：x=2,x=-6, ∴B(2,0),A(-6,0): (2)解：存在： 设直线AC的表达式为：y=+b; -6k+b=0 将4(-6,0)，C(0,6代入得：0+b=-6’ k=-1 解得： 1b=-6 故直线AC的表达式为：y=-x-6; 设点D的坐标为(m,-m-6),其中-6<m<0, B(2,0),C(0,-6), BD2=(m-2)°+(m+6)3,BC2=22+62=40,DC2=m2+(-m-6+6)3=2m2, DE∥BC, 当DE=BC时，以点D,C,B,E为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当BD=BC时，四边形BDEC为菱形， ∴BD=BC2, (m-2)+(m+6)=40, 解得：m=-4,m2=0(舍去)， ∴点D的坐标为(-4，-2)， ~点D向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点E, 点E的坐标为(-6，-8)； 47/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 如图，当CD=CB时，四边形CBED为菱形， ∴.CD2=CB2, ∴.2m2=40, 解得：m=-25,m=2V5(舍去)， 点D的坐标为(-2V5,25-6), ~点D向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点E, 点E的坐标为(2-25,25)： 综上，存在点E,使得以点D,C,B,E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为(-6，-8)或 (2-2w5,2w5: 【例5-3】(24-25九年级下山东菏泽·期中)如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象 限斜靠在两坐标轴上，且点A,B的坐标分别为A(0,2),B(1,0),抛物线y=2--2经过点C. VA (1)求点C的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标： (3)在抛物线上是否存在点P与点Q（点C,D除外)使四边形ABPQ为正方形？若存在，请求出P,Q的 坐标；若不存在，请说明理由。 【答案】(1)(3,1) 1 117 2x-2,顶点坐标为28)： 3)Q(-2,1),P(-1,-1) 48/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)如图，作CE⊥x轴于点E, VA B 四边形ABCD为正方形， ∠ABO+∠CBE=90°，AB=BC ∠OAB+∠OBA=90°， ·∠OAB=∠EBC, 又~∠AOB=∠BEC △AOB≌△BEC(AAS), A(0,2),B(1,0), AO=2,B0=1, ∴OA=BE=2,CE=OB=1 ∴.OE=2+1=3, C点坐标为(3,1)； (2)抛物线经过点C(3,1), l=a×32-a×3-2, 1 a=2’ 港物发的解析式为y￡一分 21 117 顶点坐标为28月 (3)在抛物线上存在点P、Q,使四边形ABPQ是正方形. 如图，以AB为边在AB的左侧作正方形ABPQ,过Q作QE⊥OA于E,PG⊥x轴于G, 49/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 同(1)可证△QEA≌△BGP≌△AOB, ..QE=BG=AO=2,AE=PG=BO=1, 2点坐标为(-2,1)，P点坐标为(-1，-). 由2)能物线)号 22, 当x=-2时，y=1；当x=-1时，y=-1. ∴P、9在抛物线上. 故在抛物线上存在点Q(-2,1)、P(-1,-1),使四边形ABPQ是正方形. 【例5-4】(25-26九年级上·河北秦皇岛·期末)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与一直线相交于 A(-1,0),C(2,3)两点，与y轴交于点N.其顶点为D. D (1)求抛物线及直线AC的函数解析式； (2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B,点E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线 于点F,以点B,D,E,F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点E的坐标；若不能，请 说明理由， 【答案】(1)拋物线解析式为y=-x2+2x+3,直线AC的解析式为y=x+1 (1-73-7)1+73+7 (3)能，点E的坐标为(0,1)或 2,2 或 2,2 50/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -1-b+c=0 【详解】(1)解：将点A(-1,0),C(2,3)代入y=-x2+bx+c得， -4+2b+c=3’ b=2 解得 c=3 抛物线解析式为y=-x2+2x+3; 设直线AC的解析式为y=+b'(k≠O) -k+b'=0 将点A(-1,0),C(2,3)代入y=x+b'(k≠0)，得 2k+b=3’ k=1 6=1 …直线AC的解析式为y=x+1; (2)解：如图所示，过点P作PH⊥x轴交AC于点Q,交x轴于点H,过点C作CG⊥x轴于点G, AOH:G 设P(p,-p°+2p+3),则Q(p,p+1), .P0=（-p2+2p+3)(p+1)=-p+p+2 ∴SaPc=Sare+SPc2 =LPQ.AH+PO.GH jPC-4G p+pr 3 .'a= <0, 2 当p=)时，△4PC的面积有最大值，最大值为 (3)解：抛物线解析式为y=-x2+2x+3=-(x-1)+4 51/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .D(1,4) 当x=1时，y=x+1=2, B(1,2), ~BD∥EF, :以点B,D,E,F为顶点的四边形是平行四边形，BD,EF为该平行四边形的一组对边， ∴EF=BD=4-2=2; 设E(e,e+1),则F(e,-e+2e+3, EF=-e2+2e+3-(e+1)=-e2+e+2=2, .-e2+e+2=2或-e2+e+2=-2, 解方程-e2+e+2=2得e=0或e=1(舍去)， 解方程-c+e+2-2得e-1+7或e1-亚， 2 2 当e=0时，e+1=1, 当e=1+7时，e+1=3+ 2 当e-上亚时，e+1-3 2 2 综上，满足条件的点E的坐标为(0,1)或 1-V173-V17 1+V173+V17 21 2 或 2 2 【变式5-1】(25-26九年级上广东清远·阶段检测)如图，在平面直角坐标系x0y中，二次函数 x2+bx+c的图象经过点A(1,0),且当x=0和x=5时所对应的函数值相等.一次函数y=-x+3与 2 二次函数y=x+bx+c的图象分别交于B,C两点，点B在第一象限. B ①求二次函数y=弓r+bx+c的表达式， (2)连接AB,AC，试判断△ABC的形状，并说明理由； (3)点M是线段AC的中点，二次函数的图象上是否存在点N,使得四边形BMCN是菱形？若存在，请求 52/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 出点N的坐标；若不存在，请说明理由， 【管1y-+ 2 (2)直角三角形，理由见解析 (3)N(4,0) 【详解】(1)~当x=0和x=5时所对应的函数值相等 b0+5 对称轴为直线=一 1 2x- 2 2 bs了 2 1 ∴y=- 将A(1,0)代入y= 2+c得，0=-1+5 C 2 22 解得c=-2, 1 5 抛物线的解析式为y=-二x2+二x-2; 2 (2)如图所示，连接AB,AC, 1 联立抛物线与直线，得'= y=-x+3 x=2 x=5 解得 y=-21 B(2,1),C(5,-2), A(1,0) AB2+BC2=(2-1)+(1-0)°+(5-2)+(-2-1)=20，AC2=(5-1)+(-2-0)=20 ..AB2+BC2=AC2, ∴△ABC是直角三角形； 53/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)如图所示， 由(2)得，AB2+BC2=AC2 ∠ABC=90° ~点M是线段AC的中点， ∴.BM=CM, ∴当四边形BMCN是平行四边形时，四边形BMCN是菱形 A(1,0),C(5-2), w52 ,即M(3,-1), 设点N的横坐标为n, B(2,1) 2+5=3+n ∴.n=4 将n=4代入y=-1x 子 ×4-2=0 2 N(4,0). 【变式5-2】(25-26九年级上江苏苏州阶段检测)如图，抛物线y=一x2+bx-2与x轴交于A、B两点， 与y轴交于C点，顶点为点D,且A(-1,0). B D (1)判断△ABC的形状，并说明理由： (2)设点P(m,n)是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形ACPB的面积为S,求S关于m的函数关系 54/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 式，并求使S最大时点P的坐标； (3)在(2)的条件下，点N是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点M,使得以P、C、M、 N为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点M的坐标. 【答案】(1)△ACB为直角三角形， (2)S=-m°+4m+5(0<m<4),当m=2时，四边形ACPB的面积为S最大，P(2,-3). 2 2 【详解】(1)解：抛物线y=一x2+bx-2与x轴交于A、B两点，A(-1,0). 1-b-2=0, 滓寻：6三，3、 ∴抛物线为：y= 3 1 2, 当x=0时，y=-2, ∴C(0,-2), 当y=0时，则x-3x 1 x-2=0, 2 2 解得：x=-1,x2=4, B(4,0), 而A(-1,0), AC2+BC2=1P+2+22+42=25=AB2, ∠ACB=90°， ∴△ACB为直角三角形. (2)解：点P(m,n)是抛物线在第四象限部分上的点， 1 Pm万m3 m-2, 2 如图，连接OP, 55/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B ∴S=SAc+Sroc+SBor =x1x2+x2m+x4× 1 2 m243 1 m+2 =-1m°+4m+5 =-(m-2)+9, 其中：0<m<4, ∴当m=2时，四边形ACPB的面积为S最大，最大面积为9， 此时P(2,-3). (3)解：抛物线y= 2r-2的对称轴为直线x=4-1-3 2-2 设3小 ~以P、C、M、N为顶点的四边形是菱形，分情况讨论如下： 当MC=MP时，如图， A FN 解得：t=-3 2 当CM=CP时，如图， 56/1U5 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 o,M B主 A 804t*2=2-o旷+(3-2， 解得：t=-2± 2 2Γ 如图，当CP=MP时， yo. M P 2-oi+3-2i-（-2j+e+3 解得：t=-3±四 或M 2 2 【变式5-3】(25-26九年级上山东东营期末)如图，在平面直角坐标系中，经过点A(4,0)的直线AB与y 轴交于点B(0,4).经过原点O的抛物线y=-x2+bx+c交直线AB于点A,C,抛物线的顶点为D. 57/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 备用图 (1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式： (2)M是线段AB上一点，N是抛物线上一点，当MN∥y轴且MN=2时，求点M的坐标； (3)P是抛物线上一动点，Q是平面直角坐标系内一点，是否存在以点A,C,P,Q为顶点且以AC为边 的四边形是矩形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)y=-x2+4x; 2)(2,2)或(3,1)或 5-V173+17 22 3)(-4,-2)或(5,1) 【详解】(1)解：抛物线y=-x2+bx+c过原点O(0,0), C=0, 抛物线过点A(4,0), 0=-42+4b+0, 解得b=4, 抛物线表达式为y=-x2+4x; (2)解：设直线AB的解析式为y=a+4, 直线过A(4,0), 0=4k+4, 解得k=-1 直线AB的解析式为y=-x+4, 设M(m,-m+4), MNly轴， .Nm,-m2+4m）, MN=2, -m2+4m-(-m+4)=2, 58/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 即-m2+5m-4=2, 当-m2+5m-4=2时，-m2+5m-6=0m2-5m+6=0, 解得m=2或m=3, M(2,2)或M(3,1), 当-m2+5m-4=-2时，-m2+5m-2=0m2-5m+2=0, 解得m=5+17 2 （舍去)或m=5-17, 2 M 5-V173+17 2, 2 综上，点M的坐标为(2,2)或(3,1)或 5-173+17 2,2 y=-x+4 (3)解：联立 y=-x2+4x x=1 x=4 解得 少3或 y=0' C(1,3), 情况1：当PC为对角线时， 设P(x,乃)，(x,y) 矩形对角线互相平分， 5+1-4+出，+30+y 2 2 2 2 AC⊥AP, 由勾股定理：AC2+AP2=CP2, (4-1)°+(0-3)°+(-4)°+=(：-1)°+(0y-3)°， 代入乃1=-+4x, 59/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得=-1,1=-5，或=4，y1=0,(舍去)， x2=-4,y2=-2 Q(-4,-2), 情况2：当PA为对角线时， B 设P(x,),Q(x,2), 矩形对角线互相平分， :5+4_1+出，当+03+ 22 22 ~AC⊥CP, 由勾股定理：AC2+CP2=AP2, (4-1)2+(0-3)2+(x-1)2+(y-3)2=(x-4)2+y, 代入=-x+4x, 解得=2，乃1=4，或x=1,=3(舍去)， x3=5,y2=1, Q(5,1), 综上，9的坐标为(-4，-2)或(5,1). 【变式5-4】(25-26九年级上·四川眉山期末)如图，已知抛物线y=x2+bx+c过点A(-3,0),B(-2,3), C(0,3),其顶点为D. (1)求抛物线的解析式； 60/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)若P是抛物线上位于直线AC上方的一动点，求△APC的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N,E为直线AC上任意一点，过点E作EF‖ND交抛物线于点 F,是否存在，以N,D,E,F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点E的坐标（直接写出答 案)：若不存在，请说明理由 【答案】(1)抛物线的解析式为y=-x2-2x+3 ②)△APC的面积的最大值为 (3)点E的坐标为(-2,1)或 M7-37+3成-3,7+3 2 22 2 【详解】(1)解：将点A(-3,0),B(-2,3),，C(0,3)代入y=2+bx+c, [0=9a-36+c a=-1 得3=4a-2b+c,解得b=-2, 3=c c=3 故抛物线的解析式为y=-x2-2x+3. (2)解：令直线AC的表达式为y4c=ac+b, 将点A(-3,0),C(0,3)代入y4c=a+b, 得 0=-3k+b 3=b 解得 k=1 b=31 ∴直线AC的表达式为yAc=x+3, 令点P坐标为(m,-m2-2m+3), 过点P作PE⊥x轴，交直线AC于点E,如下图所示： B N 可得点E的坐标为(m,m+3), .PE=-m2-2m+3-(m+3)=-m2-3m, .S.APC =S.APB +S.BPC P0m-3m3=mm 即求-m-9m m的最大值， 2 2 61/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 9 3 32 27 得SAPC= 32 1m+ 2" 2 8 3 2下0 S,e的最大值为 27 (3)解：~EF|DN,若以N,D,E,F为顶点的四边形是平行四边形， 则满足EF=DN即可， 抛物线的解析式为y=-x2-2x+3=-(x+1)+4, 点D(-1,4), 当x=-1时，y4c=-1+3=2, 点N(-1,2), .DN=2, 令点F坐标为(n,-n°-2n+3),同理可得点E坐标为(n,n+3), 当点E在点F下方时，即-3≤n≤0， 得EF=-n2-2n+3-(n+3)=-n2-3n, EF DN =2, .-n2-3n=2, 化简得n2+3n+2=0, 解得n=-1(舍去)或n=-2, 当n=-2时，n+3=1, ∴点E的坐标为(-2,1)； 当点E在点F上方时，即0<n或n<-3, 得EF=n+3-(-n-2n+3)=n+3n, n2+3n=2, 化简得n2+3n-2=0, 解得n=7-3或m=7-3 2 2 当n=7-3时，n+3=7+3 2 当m=7-3时，n+3=7+3 2 62/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17-37+3 -V17-3-V17+3 “点E的坐标为 或 2 2 2 综上，点E的坐标为(-2,1)或 V17-3V17+3 -V17-3-V17+3 或 2 2 2 【变式5-5】(2025四川资阳，中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A,B两点（点 A在点B的左边)，与y轴相交于点C(0,-3),且抛物线的顶点坐标为(1，-4) VA B B 备用图 (1)求抛物线的表达式； (2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(O,-1),连接BC,DP相交于点E,连接PB,若△CDE与 △PBE的面积相等，求点P的坐标； (3)M,N是抛物线上的两个动点，分别过点M,N作直线BC的垂线段，垂足分别为G,H,是否存在点 M,N,使得以M,N,G,H为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由， 【答案】(1)y=x2-2x-3 aP日9 (3)存在，正方形的边长为9√2或vV2 【详解】(1)解：抛物线与y轴相交于点C(0-3),且抛物线的顶点坐标为(1，-4). ∴设抛物线的解析式为：y=a(x-1)-4, 把C(0,-3)代入，得：a(0-1)-4=-3, a=1, y=(x-1)-4=x2-2x-3; (2)当y=x2-2x-3=0时，解得：=3，x=-1, B(3,0), C(0,-3), 设直线BC的解析式为：y=a-3,把B(3,0)代入，得：k=1, D3/1U5 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=x-3, 作PF⊥x轴，垂足为点F,设P(m,m2-2m-3,则：OF=m,PF=-m2+2m+3, .BF=3-m, ~△CDE与△PBE的面积相等， S.CDE+SODEB =S.PBE+SODEB,:S.BOC SODPB=S.PRE+SODPF, D(0-1), ∴OD=1, 3x3=(m+2m+33-m+2(m+2m+3+m, 2 解得：m=3或m=0(舍去)； P 720 3-9 y F (3)存在点M,N使四边形MNHG为正方形， A H M 如图所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NE∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角 三角形，MN∥BC, 由(2)可知，直线BC的解析式为y=x-3, 设M(x,),N(x,y2),直线MN解析式为y=x-b, 64/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y=x-b 联立得： y=x2-2x-3' 消去y得：x2-3x+b-3=0, NF2=k-x=(x+x)-4xx=21-4b, :'△MNF为等腰直角三角形， .MN2=2NF2=42-8b, E(x2,3-3), E2=[y,-(x-3)]=(x-b-x+3)=(b-3)°， ~四边形MNHG为正方形， ∴.NH2=MN2, ·42-86=6-6b+9, 整理得：b2+10b-75=0, 解得：b=-15或b=5, :正方形边长为MN=V42-8b, :MN=9√互或√2.即正方形的边长为9√5或V2, 融汇置通 较力是化 1.(2025湖北随州模拟预测)如图，抛物线y=x2+6x+5经过A、B两点，顶点为M,对称轴1与x轴交 于点D,与直线AC交于点E. 0 (1)将抛物线沿直线AB平移，使得点A落在点B处记为A',此时点C的对应点为C,求点C'的坐标，判 断四边形AA'CC'的形状，并说明理由 (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时，求点G的坐标， 65/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G,使得以A、C、G、K为顶点的 四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)四边形AA'CC是平行四边形，理由见解析； (2)(-2,9)或(-8，-9)或(2,1)： 3)存在，（-3,8)或(-3，-2)或(-3,6)或(-3-1) 【详解】(1)解：四边形AA'CC是平行四边形，理由如下： 抛物线y=x2+6x+5与y轴交于点C, 令x=0,则y=5, 点C(0,5), 令y=0,则0=x2+6x+5, 解得x=-5,x=-1, A(-5,0),B(-1,0), AA'=AB=4,由平移的性质可知C(4,5), AA'=CC=4,AA'∥CC', AA'CC'是平行四边形； (2)抛物线的解析式为y=x2+6x+5=(x+3)-4, ∴点M(-3,-4), 设点G(x,y), A(-5,0),C(0,5), ①若AC为口AMCG的对角线时，则AC与MG互相平分， :⅓+起=w+gy4+业=yw+ya 2 2 2 2 -5+0_-3+x。0+5_-4+yg 22 2 解得 xg=-2 %=9 ∴G（-2,9) ②若AM为口AGMC的对角线，则AM与CG互相平分， .x+xc+xa ya+yn=Yc+yo 2 2 2 2 53-0+20-4_5+2 2=2,2-2 66/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得 xg=-8 (yg=-9 .G（-8,-9) ③若CM为口AMGC的对角线，则AG与CM互相平分 4+起=。+My4+g=+yM 2 222 -5+2=0-30+yg=5-4 2 2,2 2 解得 xa=2 y。=1 .G(2,1) 综上所述，点G的坐标为(-2,9)或(-8，-9)或(2,1)； (3)存在， 要使以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，则△ACG一定是直角三角形， “点G在对称轴上， 设点G的坐标为(-3，g), 由勾股定理，得AC2=52+52=50,CG=(0+3)2+(g-5)=g2-108g+34, AG=(-5+3)+(8-0)=g2+4, ①若∠ACG=90°，则AC2+CG2=AG, M 即50+g2-10g+34=4+g2, 得g=8, 此时点G的坐标为(-3,8)， ②若∠CAG=90°，则AC2+AG=CG2,即50+4+g2=82-10g+34, 解得g=-2, 67/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 此时点G的坐标为(-3，-2)， D ®0 G M ③若∠CGA=90°，则CG+AG=AC2,即g2-10g+34+4+g2=50, 解得81=6,82=-1， E M 此时点G的坐标为(-3,6)或(-3，-1)， 综上可知，点G的坐标为(-3,8)或(-3，-2)或(-3,6)或(-3，-1). 2.(24-25九年级上江苏无锡期末)如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=ac2+bx+c(a≠0)的图象 与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C,且抛物线的顶点D的坐标为(1,4)，连接BC,抛物 线的对称轴与BC交于点H, A D D C H AO BN龙 图① 图② 68/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上B、D两点之间的部分（不包含B、D两点），是否存在点G,使得S△m=3S△Gm,若存 在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在BC上方的图象沿BC折叠后与y轴交于点E,M为直线x=1上一个动点，在平面 内是否存在一个点N,使得以B、E、M、N为顶点的四边形是以BE为对角线的矩形，若存在，求出N 点坐标，若不存在，请说明理由 【答案】(1)y=-x2+2x+3 2)存在，G(N5,25 3)N点坐标为(2，-1)或(2,2). 【详解】(1)解：抛物线的顶点D的坐标为(1,4)， ∴设抛物线的解析式为y=a(x-1)+4, 抛物线过点A(-1,0), a(-1-1)+4=0, 解得a=-1, :抛物线的解析式为y=-(x-1)+4=-x°+2x+3; (2)解：存在，理由如下： 由(1)知抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, 令x=0,则y=3, .C(0,3), 设直线BC的解析式为y=+b,代入C(0,3)和B(3,O)可得： [b=3 3k+b=0’ k=-1 解得：b=3 ∴直线BC的解析式为：y=-x+3, 抛物线的对称轴与BC交于点H, 把x=1代入y=-x+3可得：y=2, H(1,2), DH=2, 过点G作GM∥x轴交对称轴于点M,过点G作GN∥y轴交直线BC于点N,如图所示 69/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 设点G的坐标为(m,-m2+2m+3(1<m<3),则N(m,-m+3),M(1,-m2+2m+3, ∴G孔M=m-1,GN=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m, S80H= 3-10(m+3m）=-m+3m,3a✉2x(m-)=m-1, S△BGa=3S△DGH, .-m2+3m=3(m-1), 解得m=5或m=-V5(舍去)， G5,2w5; (3)解：由(2)知，OB=OC=3,又∠B0C=90°， .∠OCB=45°， 设点E关于直线BC的对称点为E,如图所示， 则CE=CE',EE'⊥BC, ∠0CB=45°， .∠CEE'=45°， ∠CE'E=45°， 即△ECE'是等腰直角三角形， .∠ECE'=90°， 由抛物线的对称性可知，E'(2,3), CE'=2, CE=2, 70/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0E=1, E(0,1). ~BE是以B、E、M、N为顶点的矩形的对角线， ∴.∠BME=90°， 设M(1,n), EM2=12+(n-1)2=n2-2n+2,BM2=(3-1)+n2=n2+4,BE2=12+32=10, n2-2n+2+n2+4=10, ∴.n=2或n=-1, 当n=2时，M(1,2), N(2,-1), 当n=-1时，M(1,-1), N(2,2), 综上所述：N点坐标为(2，-1)或(2,2). 3,(25-26九年级上·甘肃兰州期末)如图，已知直线y=x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C,抛物线 y=x+bx+c经过A,C两点，且与x轴的另一个交点为B,对称轴为直线x=-1. (1)求抛物线的表达式： (2)D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m,求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的 坐标； (3)若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P,Q,使以点A,C,P,Q为顶点的四边形是以AC为对角 线的菱形？若存在，请求出P,Q两点的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)y=-x-x+4 2 (2)S最大值为16，D(-2,4) (3)存在，P(-1,1),Q(-3,3) 【详解】(1)解：直线y=x+4与x轴交于点A,与y轴交于点C, 71/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 当x=0y=4; 当y=0,则x+4=0,解得x=-4, A(-4,0),C(0,4), 对称轴为直线x=-1 16a-4b+c=0 了c=4 =-1 2a 1 a=- 解得b=-1, c=4 抛物线的表达式为y=-x2-x+4; 2 (2)解：A(-4,0),抛物线对称轴为x=-1, B(2,0), .AB=2-（-4)=6 过点D作y轴的平行线交AC于点K, K B 1 则Dm,-号m2-m+4, 则K(m,m+4), ..DK=- m2-m+4-(m+4)=-1m2-2m S=S.ACD+S.ABC, 8-DK-)+DK。-)+号ABCo m-2m-,+6x4 72/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1 三-7m-2mk4+x6x4 2 =-m2-4m+12 =-(m+2)+16, -4<m<0,-1<0, …当m=-2时，S取得最大值为16，此时D(-2,4): (3)解：存在， 如图，设P(-1,p), B 四边形APCQ是菱形， ..PA=PC, (-1+4)+(p-0)=(-1-0)2+(p-4)°， 解得p=1, P(-1,1) ~四边形APCQ是菱形， PA∥CQ,PA=CQ, “点P向点A的平移方式与点C向点Q的平移方式一样， A(-4,0),P(-1,1),C(0,4), ∴由平移的性质可得Q(-3,3) 4,(25-26九年级上湖南长沙期末)在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A,B两点（点 A在点B的左侧)，与y轴交于点C, B 图1 图2 73/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)直接写出A、B、C的坐标及抛物线的对称轴； (2)如图1，连接AC,抛物线的对称轴上是否存在点M,使∠AMC=90°？若存在，求出M的坐标；若不 存在，请说明理由： (3)如图2，点P是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接AP,直线PO交AC于点Q,△APQ和 △OCQ的面积差为S,当S的值最大时求点P的坐标和直线PO的解析式. 【答案】(1)A(-3,0),B(1,0),C(0,-3),对称轴为直线x=-1; (2)存在，M的坐标为 (3)P(-1,-4),直线P0的解析式为y=4x 【详解】(1)解：当x=0时，y=-3, .C(0,-3), 当y=0时，x+2x-3=0, 解得x=-3或x=1, A(-3,0),B(1,0): y=x2+2x-3=(x+1)-4, 对称轴为直线x=-1; (2)解：存在点M,使∠AMC=90°，理由如下： 设M(-1,m), A(-3,0),C(0,-3), 4C的中点G-2-3 22AC=32+32=3V2, ∴MG= 32, V4+(m+2 解得m= -3±V17 ∴点M的坐标为 -1,3+7 (3)解：~△APQ和△OCQ的面积差为S, ∴△APO和△ACO的面积差为S, 设点P的坐标为(t,t+2t-3), 74/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 △MP0的面积=分3(-f-2+3列，△4C0的面积=×3x3- 2 21 3 当t=-1时，S有最大值为，此时P(-1,-4), 设直线PO的解析式为y=ac, .-k=-4,即k=4, 直线PO的解析式为y=4x, 5,(25-26九年级上四川成都期中)如图，抛物线与轴交于A(-1,0),B(3,0),C(0,-3)顶点为D B (1)抛物线的解析式是 顶点D的坐标是 ,对称轴是 (2)M为抛物线上一点，当∠CAM=45°时，求M点坐标. (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E,F使得四边形BDEF是 矩形？若存在，求出E,F的坐标；若不存在，说明理由， 【答案】(1)y=x2-2x-3,顶点D的坐标是(1,4)，对称轴是直线x=1; 【详解】(1)解：设抛物线的解析式为y=2+bx+c,把A(-1,0以B(3,0)以C(0,-3)代入得， a-b+c=0 9a+3b+c=0, c=-3 a=1 解得b=-2, c=-3 抛物线的解析式为y=x2-2x-3=(x-1)-4, 顶点D的坐标是(1，-4，对称轴是直线x=1; (2)解：如图，把AC绕着点A逆时针旋转90°到AG位置，过点G作GH⊥x轴于点H,则AG=AC, /3/1U5 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠CAG=90°，∠AHG=90°， ,∠GAH+∠CAO=90°，∠GAH+∠AGH=90°， ∴.∠AGH=∠CAO, 在△AGH和△CAO中， ∠AHG=∠COA=90 ∠AGH=∠CAO AG=AC :.△AGH≌△CAO(AAS), ∴GH=AO=1,AH=CO=3, ∴OH=3-1=2, .G(2,1), 过点A作CG的垂线交CG于点P,交抛物线于点M, AG=AC,∠CAG=90°， CP=GP,∠CAM=∠CAG=45 即点P为CG的中点， P0+2-3+1） （22 即P(1,-1), 设直线AM的函数解析式为y=+m,把A(-1,0)、P(1,-1)代入得， (0=-k+m -1=k+m 1 k=- 2 解得 1 m=- 2 直线4的函数解折武为y少=方》 11 .S 由y 2x2,解得 =-1 x2 71 y=x2-2x-3 2= 4 76/105 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 VA B D (3)解：存在， y=x2-2x-3=(x-1)-4, D(1,-4), 设E(0,t),F(f,8), 如图， D DE2+BD2=BE2, [0-)++4]+[3-+(0+4]=[0-3)+(t-0), 整理得，8t=-28, 0-引 对角线交点T的坐标为24》 37 :f1-3,8-47 22’2=-4, 1 …f=2,8=2’ 6.(25-26九年级上四川广安期末)己知，如图，抛物线y=ax+bx+8(a≠0)的顶点为M,经过抛物线 77/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 上的两点A(-3,-7)和B(3,5)的直线交抛物线的对称轴于点C. y y M B B 备用图 (1)求抛物线的解析式和顶点M的坐标； (2)在抛物线上A,M两点之间的部分（不包含A,M两点），是否存在点D,使得2 S&DAC=S。MaB,若存 在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点P在抛物线上，点Q在x轴上，当以点A,M,P,Q为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满 足条件的点P的坐标， 【答案】(1)y=-x2+2x+8,顶点M(1,9) (2)存在，D(-5,5-2N3 3)满足条件的点P坐标为(6，-16)或(-4，-16)或(1+V7,2)或1-7,2) 【详解】(1)解(1)抛物线y=ac°+bx+8(a≠0)经过两点A(-3,-7)和B(3,5), 「-7=9a-3b+8 5=9a+3b+8 a=-1 解得b=2 抛物线的表达式为：y=-x2+2x+8, y=-x2+2x+8=-(x-1)+9, 顶点M(1,9)； (2)解：存在 理由：设直线AB的解析式为y=ax+c, 把A(-3,-7),B(3,5)代入， 「-3k+c=-7 得 3k+c=5' 78/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 k=2 解得 c=-1' 直线AB:y=2x-1, 二次函数对称轴为直线x=1, 点C(1,1), 过点D作y轴的平行线交AB于点H, B 设点D(x,-x2+2x+8),点H(x,2x-1), 2S.DAC =S.MAB, 又2SDAc=DH(xc-xA), 即(x+2x+8-2x+1x1+3)=号x(9-1)x6, 即x2=3,解得：x=-V5或x=V5(舍去)， 故点D(V5,5-25): (3)设点Q(m,0),点P(s,t),t=-s2+2s+8, ①当AM是平行四边形的一条边时， A(-3,-7),M(1,9), 点M向左平移4个单位向下平移16个单位得到A, 同理，点Q(m,0)向左平移4个单位向下平移16个单位为(m-4,-16),即为点P, 即：m-4=s,-16=t, 而1=-52+2s+8, 解得：s=6或-4， 故点P(6,-16)或(-4，-16)； ②当AM是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：m+s=-2,t=2,而t=-s2+2s+8, 79/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得：s=1±7， 故点P1+√7,2或(1-V7,2): 综上，满足条件的点P坐标为(6，-16)或(-4，-16)或1+7,2)或1-7,2) 7.(25-26九年级上，重庆合川期末)如图，已知抛物线y=°+bx+4(a≠0)与x轴交于A,B两点，过点A 的直线1与抛物线交于点C.其中点A(-1,0),点C(3,4) 备用图 (1)求抛物线的表达式； (2)点M是直线AC的上方的抛物线上一个动点，求△ACM面积的最大值以及此时点M的坐标， (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线片上是否存在点 P,使得△PAC是以AC为直角边的直角三角形？如果存在，直接写出所有符合条件的点P坐标；如果不存 在，请说明理由。 【答案】(1)y=-x2+3x+4 (2)△ACM面积的最大值为8，此时点M的坐标为(1,6) 3)存在，符合条件的点P坐标为(1,6)或(5,2)或(3-25,2V3-4)或(3+2V5,-25-4) 【详解】(1)解：抛物线y=c+bx+4(a≠0)与x轴交点A(-1,0),点C(3,4), 「a-b+4=0 9a+36+4=4' a=-1 解得：b=3’ 抛物线的表达式为y=-x2+3x+4; (2)解：如图，过点M作MN⊥x轴，交AC于点N, 80/105 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 设直线AC的解析式为y=x+s, 把点A(-1,0),点C(3,4)代入y=x+s得： [-k+s=0 3k+s=4' [k=1 解得： (s-1’ 直线AC的解析式为y=x+1, 设点M的坐标为(m,-m2+3m+4),则点N的坐标为(m,m+1), ∴.MN=-m2+3m+4-(m+1)=-m°+2m+3, 8am号x(。-x）(m+2m+3k(6+)-2m+4m+6=-20m-l+8, 当m=1时，△ACM的面积最大，最大值为8，此时点M的坐标为(1,6)， (3)解：存在， y=-x2+3x+4= 3)2 2 将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物 线乃， y1=- 4 设点P的坐标为(t,-t+5t+2), 点A(-1,0),点C(3,4), P42=(t+1)+(-2+5t+2°，PC2=(t-3)2+(-+5t+2-4)°=(t-3)2+(-P+5t-2°， AC2=(3+1)2+42=32, ~△PAC是以AC为直角边的直角三角形， .PA2-PC2 AC PC2-PA2 AC2, 当PA2-PC2=AC2时， 81/105 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 t+1)+(-+5t+2°-t-3)+(-f+5t-2)°=32， 解得：t=1或5， 此时点P的坐标为(1,6)或(5,2)： 当PC2-PA2=AC时， t-3)+(f+5t-2)°-t+1+(-+5t+2)=32, 解得：t=3+25或3-2V5, 此时点P的坐标为(3-25,23-4)或(3+23，-25-4)： 综上所述，符合条件的点P的坐标为(1,6)或(5,2)或(3-25,23-4)或(3+23，-23-4) 8.(25-26九年级上河南周口·期末)如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点，与 y轴交于点C,连接BC,点P是抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点. (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)当点P在第一象限的抛物线上时，求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标； (3)是否存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存 在，请说明理由 【答案】(1)y=-x2+2x+3,，C(0,3) 24 3)存在，点9的坐标为(1，-2)或Q(1,-8)或(1,0) 【详解】(1)解：：抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0)、B(3,0)两点， [-1-b+c=0 -9+3b+c=01 「b=2 解得： c=3’ ∴.抛物线解析式为y=-x2+2x+3, 82/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 把x=0代入得：y=3, ∴点C的坐标为(0,3) (2)解：如图，过点P作PD∥y轴，交BC于点D,如图所示： B 设直线BC的解析式为y=a+b(k≠O),把B(3,0),C(0,3)代入得： 3k+b=0 b=3 k=-1 解得： b=3’ ∴直线BC的解析式为y=-x+3, 设点P的坐标为(p,-p+2p+3)(0<p<3),则D(卫，-p+3), PD=-p°+2p+3-(-p+3)=-p°+3p, 1 SPc=5×3(-p2+3p) 2 3 3 32,27 2p- 三 2 8 3 <0 2 当p时，Sc取最大值 2 8 此时点P的坐标为 315 24 (3)解：存在.理由如下： 抛物线的解析式为y=-x2+2x+3, ∴抛物线对称轴为直线x=1, 设Q(1,a, 当四边形BCQP为平行四边形，如图所示： 83/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 此时点C向右平移3个单位，向下平移3个单位到达点B, ∴点Q向右平移3个单位，向下平移3个单位到达点P, xp=1+3=4 yp=a-3’ 即P(4,a-3), 把P(4,a-3)代入y=-x2+2x+3得： a-3=-42+2×4+3, 解得：a=-2, 此时点Q坐标为(1-2)； 当四边形BCPQ为平行四边形时，如图所示： B 此时点B向左平移3个单位，向上平移3个单位到达点C, ∴点Q向左平移3个单位，向上平移3个单位到达点P, xp=1-3=-2 yp=a+3 即P(-2,a+3), 把P(-2,a+3)代入y=-x2+2x+3得： 84/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3+a=-(-2)+2×(-2)+3, 解得：a=-8, 此时点2(1，-8)： 当四边形BPCQ为平行四边形时，如图所示： 设点P(xp,yp),根据中点坐标公式得： xp+1=0+3 yp+a=3+0' xp=2 解得： (yp=3-a' ∴点P(2,3-a, 把P(2,3-a)代入y=-x2+2x+3得： 3-a=-22+2×2+3, 解得：a=0, 此时点Q(1,0)； 综上所述，满足条件的Q点坐标为(1，-2)或Q(1,-8)或(1,0). 9.(25-26九年级上河北保定期末)如图、抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(-1,0),B,交y轴于点 C(0,-3),连接BC. 备用图 (1)求抛物线的函数表达式， 85/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)P是直线BC下方抛物线上的一点，连接BP,CP,当△BCP的面积最大时，求点P的坐标， (3)M是直线BC上方抛物线上的一点，连接CM,是否存在点M,使得∠BCO+2∠MCB=90°？若存 在，请直接写出点M的横坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)y=x2-2x-3; (3)存在，V2+3, 【详解】(1)解：(1)把点A(-1,0),C(0,-3)代入y=x2+bx+c, 0=1-b+c, 得 -3=c, [b=-2, 解得 c=-3, ∴抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3, (2)如图1，过点P作PD∥y轴，交BC于点D. B 图1 令y=0,得0=x2-2x-3, 解得x=-1,x3=3, 点A(-1,0),B(3,0). 设直线BC的解析式为y=ac+d, [3k+d=0 则 d=-3 k=1 解得 d=-31 直线BC的函数表达式为y=x-3. 设点P(a,a-2a-3),则点D(a,a-3), ∴.PD=a-3-a2-2a-3=-a°+3a, 86/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8D,-。+a8-a多》 3 <0, 2 时，△BCP的面积取得最大值，最大i 此时点P 7315 24 (3)解：√2+3，理由： OB=OC=3,∠BOC=90°， .∠BCO=45 .'∠BCO+2∠MCB=90°， ∴.∠MCB=22.5°. 如图2，设CM交x轴于点E,过点E作EH⊥BC于点H, 图2 设OE=t, 则EH=OE=t, :∠OBC=45°， “△BEH是等腰直角三角形， .BE =t, .t+V2t=3, .t=3V2-3, ∴点E32-3,0). 设直线CE的函数表达式为y=w+n, 将点C(0,-3),E3v2-3,0)代入， [n=-3, 得 (3W2-3m+n=0, 87/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m=V2+1, 解得 n=-3, ∴直线CE的函数表达式为y=（N2+1)x-3. y=x2-2x-3, 联立 y=(（N2+1x-3, 解得x=V2+3,x=0（舍去)， ∴·点M的横坐标为√2+3. 10.(25-26九年级上·广东肇庆·期末)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于 A(-1,0)、B(4,0)、C三点，且OB=OC,P是抛物线上的一个动点. B (1)求这个二次函数的解析式. (2)若点P在直线BC下方，点P运动到什么位置时，四边形PBOC的面积最大？求出此时点P的坐标. (3)直线BC上是否存在一点Q,使得以点A,B,P,Q组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的 坐标；若不存在，请说明理由、 【答案】(1)y=x2-3x-4 (2)P(2-6 (3)存在，Q的坐标为(-2，-6)或10,6) 【详解】(1)解：B(4,0),且OB=OC, .C(0,-4), 设二次函数的解析式为y=a2+bx+c, a-b+c=0 把A(-1,0)、B(4,0)C(0,-4)代入得： 16a+4b+c=0, c=-4 a=1 解得b=-3, c=-4 ∴.二次函数的解析式为y=x-3x-4; 88/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)解：~点P在抛物线上， 可设P(t,t2-3t-4), 过P作PE⊥x轴于点E,交直线BC于点F,如图： VA E B 图1 B(4,0),C(0,-4), 设直线BC解析式为y=mr+n, 0=4m+n n=-4, m=1 (n=-4' ⊙直线BC解析武为y=x=4,S,0c三2OB·OC=2×4×48 .F(t,t-4),当SPc最大时，四边形PBOC的面积最大， ∴PF=(t-4)-(t-3t-4)=-t2+4t, .FPF(OEBE)-PF082-2 ∴当t=2时，SPc最大值为8，此时t2-3t-4=-6, ∴当P点坐标为(2，-可时，SPc=8, 故此时四边形PBOC的最大面积，最大面积为Soc+SPc=8+8=16; (3)解：直线BC上存在一点2，使得以点A、B、P、Q组成的四边形是平行四边形，理由如下： 设P(m,m2-3m-4),Q(n,n-4),而A(-1,0),B(4,0), ①若AB,PQ为平行四边形对角线，则AB,PQ的中点重合， m+n=-1+4 m2-3m-4+n-4=0+0' m=-1 解得 n=4(此时Q与B重合，舍去)或 m=5 n=-2' ∴Q(-2,6)； 89/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 m-1=n+4 ②AP,BQ为对角线， m2-3m-4=n-4’ 方程组无实数解； n-1=m+4 ③A2,BP为对角线， n-4=m2-3m-4' m=-1 m=5 解得 n=4 (此时P与A重合，舍去)或 n=10’ .Q10,6), 综上所述，Q的坐标为(-2，-6或(10,6. 11.(25-26九年级上广西崇左期末)如图，抛物线y=c2+bx+c的对称轴是直线x=1,与x轴交于点 A、B两点，且A点的坐标为(-1,0)，与y轴交于点C(0,-3). B (1)求抛物线解析式及顶点D坐标； (2)点E为抛物线上一点，且S△0a=SAoc,则点E的坐标为一； (3)点F为线段BC上任意一点，过点F作FM⊥x轴于点M,直线FM交抛物线于点N,求线段FN的最大 值； (4)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q,使以点A、C、P、Q为顶点的四边 形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由， 【答案】(1)y=x2-2x-3,D(1,-4) 2(1+13,9)或1-13,9列 a (4)存在， g(-2-2)或0.(-2-成e,0成e.2} 【详解】(1)解：由题意得： b 2a a-b+c=0, C=-3 0110J 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a=1 解得：b=-2, c=-3 则抛物线的表达式为：y=x2-2x-3; y=x2-2x-3=(x-1)°-4， 故抛物线的顶点D(1,-4). (2)解：y=x2-2x-3=(x-1)-4, .(x-1)-4=0, 解得x=-1,x=3, 故B(3,0), 根据题意，得OA=1,OB=3, SA40g=S△Boc, 0BC0 即1×yg=3×3, 则yg=9,， .x2-2x-3=9或x2-2x-3=-9, x2-2x-12=0或x2-2x+6=0, 解得x=1±V3或无解， 故E1+13,9)或E1-3,9, 故答案为：(1+13,9列或1-V13,9) (3)解：设直线BC的解析式为y=k+r, 将B(3,0),C(0,-3)代入直线解析式得： 3d+r=0 r=-3 d=1 解得 r=-3' 直线BC的解析式为：y=x-3, 设F(m,m-3),则Nm,m°-2m-3, 则FN=m-3-（m2-2m-3)=-m2+3m, 91/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故FN=- 3,9 m-2+4 a=-1<0, 抛物线开口向下，函数有最大值， 当m= N最大，且限大值为 3 (4)解：存在，理由： 设P(1,m),Q(s,t),A(-1,0),C(0,-3), 故AC=1+32=V10, 当AC为对角线时， 由中点坐标公式得： 1+8=-1 m+t=-3 (s-1)+(t-m)=10 解得：s=-2或41=-2，t=-1, 故91（-2，-2)或92（-2，-1)； 当AP为对角线时， 由中点坐标公式得： 1-1=s m=t-3 (1+1)+m2=s2+(t+3) s=0 解得 1 t=3 故e: 当AQ为对角线时， 由中点坐标公式得： s-1=1 t=m-3 (s+1)+tP=1+(m+3)3 [s=2 解得 7, t-3 92/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故存在点0，使得4，CP,Q为顶有的四边形是矩形且坐标为0，(22)成Q,(2)成Q,o写)成 e2- 12.(25-26九年级上广东江门期中)如图，抛物线经过坐标轴上A(1,0),B(0,-3),C(-3,0)三点，直线1过 点B和点C. (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线1下方抛物线上一动点，连接PB,PC,求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S,使得以B,C,R,S为顶点的四边形是平行四 边形？若存在，请求出所有满足条件的点S坐标：若不存在，请说明理由 【答案】(1)y=x2+2x-3 315 3)S(-2,-3)或S(2,5)或S(-4,5) 【详解】(1)解：抛物线经过坐标轴上A(1,0),B(0,-3),C(-3,0)三点， 设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-1), 把B(0,-3)代入y=a(x+3)(x-1),得-3=a(0+3)(0-1), 解得a=1, y=(x+3)(x-1)=x2+2x-3; (2)解：B(0,-3),C(-3,0), 设直线BC的解析式为y=a-3,把C(-3,0)代入，得0=-3k-3, 解得k=-1, y=-x-3, 93/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 作PD⊥x轴交BC于点D,设P(m,m2+2m-3,则D(m,-m-3), ∴.PD=-m-3-m2-2m+3=-m2-3m, Sc=PD-0C=)x3(mr-3m)=-3m+3+27 2 2 8 时，△P30的画积最大，为，时P(多) 当m=-3 2-4 D (3)解：存在， y=x2+2x-3=(x+1)-4, 对称轴为直线x=-1, 设R(-1,n),Spp+2p-3, ~B(0,-3),C(-3,0),当以B,C,R,S为顶点的四边形是平行四边形时， ①当BC为对角线时，0-3=-1+p,解得p=-2, p2+2p-3=(-2)+2×(-2)-3=-3, S(-2,-3); ②当BR为对角线时，0-1=-3+p,解得p=2, p2+2p-3=22+2×2-3=5, …S(25); ③当CR为对角线时，-1-3=0+p,解得p=-4, ∴p°+2p-3=(-4)+2×(-4)-3=5, S(-4,5); 综上：S(-2,-3)或S(2,5)或S(-4,5). 13.（25-26九年级上·四川泸州·期末)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a2+bx-4与x轴交于点 A(-4,0),B(2,0),与y轴交于点C. 94/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 y B x A E OB x D 图1 图2 (1)求抛物线关系式； (2)己知P是直线AC下方抛物线上一动点，连接PA,PC,求四边形APCB面积的最大值及此时点P的坐 标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴DE交x轴于点E,M是直线AC上一点，在平面直角坐标系中 是否存在一点N,使得以点C,E,M,N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存 在，请说明理由 【答案】山y=2x+x4 (2)四边形面积最大值是16，此时P的坐标为(-2，-4) 3)存在，点N的坐标为(-4，-3)， 341 34 （717 2 1 10’10 0=16a-4b-4 【详解】(1)解：将A(-4,0),B(2,0)两点代入解析式得， 0=4a+2b-4’ 1 a= 解得： 2, b=1 抛物线关系式y= 2x+x-4, (2)连接OP, B x 对于抛物线y= 22+-4, 当x=0时，可有y=-4,即C(0,-4), 95/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 又A(-4,0),B(2,0), .0A=4,0B=2,0C=4, 设P点坐标+4，测 8a+8e84r-+44-4=f-+12=-+2+16. -1<0,此函数有最大值， -4<t<0, ∴当x=-2时，四边形面积有最大值，最大面积是16 当x=-2时，y=-4,此时P的坐标为(-2，-4). (3)存在， 此时点N的坐标为：(-4，-3)： 2 由y=号+4，可知，对称轴为直线x=-1, E(-1,0),连接CE,可得CE=V17, 设直线AC解析式为y=mx+n(m≠O), 将点A(-4,0),C(0,-4)代入， 0=-4m+n m=-1 可得 -4=n ，解得 n=-4 所以直线AC解析式为y=-x-4, ①当CE为边，且四边形CEMN为菱形时，如图所示， B D 此时CE=M,E=V7, 过点M作M,G⊥x轴于点G, 设M1(t,-t-4),则MG=-t-4,OG=-t,EG=-t-1, (-t-1)+(-t-4)=(17, 96/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解得t=0(舍去)，或t=-5, ∴M1(-5,1),N(-4,-3)； ②当CE为边，且四边形CEM为菱形时，如图所示， D M. 此时CE=CM,=CM=V17,过点M,作MH⊥y轴于点H,过点M,作M,T⊥y轴于点T, A0⊥OC, AO∥M,H,AO∥MT, .CH CO=MH :OA=CM,CA=7:42, CT CO=M T:OA=CM CA=7:42, .CH =M,H= ，CT=M,=34 V34 2 2 2 .N. 2 2 ③当CE为对角线，且四边形CNEM为菱形时，如图所示， B D 取CE的中点K,过点K作MN⊥CE,交AC于点M, 设直线EC的表达式为：y=mx+n,把E(-1,0),C(0,-4)代入可得， 97/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 0=-m+n n=-4 m=-4 解得 n=-4 ∴直线EC的表达式为：y=-4x-4, 直线MX与直线0垂直，且过0约中点（分？小 115 直线M4N4的表达式为：y=一x 48 y=-x-4 联立 =1x-15,解得x=-17 y=4-8 101 :.M 1723 10’-10 综上可知，此时点N的坐标为：(-4，-3)， 34-L.34 34-1-4.2-17 2 ”2 2 10’10 2 14.(25-26九年级上·四川眉山期末)如图，己知二次函数y=2+bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴 交于点C,A、B两点坐标为A(-3,0)、B(1,0). B 备用图 (1)求二次函数y=2+bx-3的表达式； (2)点P在直线AC下方的抛物线上，连结PA、PC,求△PAC的最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使Q、A、C为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点Q 的坐标，若不存在请说明理由. 【答案】(1)y=x2+2x-3 27 溶在，点的率标为0131 9(-1,2)或2(-1，-4) 98/105 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】(1)解：将A(-3,0)、B(1,0)代入y=x2+bx-3,得 9a-3b-3=0 a=1 a+6-3=0，解得6=2' 故二次函数表达式为y=x2+2x-3; (2)解：设直线AC的解析式为y=+b(k≠0). 将A(-3,0),C(0,-3)代入y=+b, -3k+b=0 k=-1 得 b=-3 ，解得6=3 ∴直线AC的解析式为y=-x-3. 设点P的坐标为(t,tP+2t-3)(-3<t<0),过P作x轴的垂线，交直线AC于点2，则Q的横坐标为t,则 0(t,-t-3), 2 .P0=(-t-3)-(t+2t-3=-t-3t, 8 3 0, “函数图象开口向下， 当t=-3时，S取得最大值 2 8 (3)解：①如图，当∠AQC=90°，点2在直线AC上方时，对称轴与x轴交点为M(-1,0),在y轴上截 取CN=AM=2,过点N作y轴垂线交CQ于点P,设Q(-1,m)(m>0),则AM=2,QM=m 99/105 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 ∠AQC=90°， .∠AQM+∠CQM=90°. 又：∠CQM=∠PCN,且∠PCN+∠CPN=90°， ∠AQM=∠CPN. I∠AQM=∠CPN 在△AMg和△CPN中： ∠AMO=∠CNP=90° AM=CN :△AMQ=△CNP(AAS), ..PN=OM=m,CN=AM=2. P(-m,-1). C(0-3), ∴设直线CQ的函数解析式为y=px-3, -pm-3=-1 将P(-m,-1)、Q(-1,m)代入得： -p-3=m pm=-2① 对两个方程进行整理： p+m=-3② 由方程②，得p=-3-m,将其代入方程①：(-3-m)m=-2 展开并整理得到：m2+3m-2=0, -3+3-4×1x2)--3+17(舍去负值). …m= 2×1 2 ②如图，当∠AQC=90°，点Q在直线AC下方时，对称轴与x轴交点为M(-1,0),在y轴上截取 CN=AM=2,过点N作y轴垂线交C2于点P,设Q(-l,m)(m<0),则AM=2,QM=-m 100/105 考点06 二次函数中的存在性问题 考点一：二次函数常用解析式形式 一般式：，适用于已知任意三点坐标求解析式 顶点式：，顶点坐标为，适用于已知顶点、最值、对称轴的场景 交点式：，与轴交点为，适用于已知抛物线与x轴交点的场景 考点二：通用标准化解题步骤 所有二次函数存在性问题均可套用统一解题流程，规避思路混乱、漏解等问题： 1.求基础信息：求解二次函数解析式、抛物线顶点、与坐标轴交点、配套直线解析式等固定关键点信息； 2.合理设动点坐标：抛物线上动点常设，直线上动点常设，简化变量； 3.列式建模：根据题目几何条件、图形性质、数量关系，列出方程或不等式； 4.求解验根：解方程后，结合自变量取值范围、图形位置、三点共线等情况，舍去不合理的解； 5.规范作答：整理有效坐标，总结最终结论。 考点三：必备核心公式（坐标系通用） 两点间距离公式：已知， 中点坐标公式：中点坐标为 直线位置关系：两直线平行；两直线垂直 线段简化计算：水平线段长度，竖直线段长度 题型一：面积的存在性问题 固定直线，设抛物线上动点，通过水平宽与铅锤高计算面积：。同时可搭配割补法、坐标面积公式求解复杂图形面积。通过面积公式构造关于的方程或二次函数，进而求解参数或最值。 【例1】（25-26九年级上·安徽六安·期末）已知抛物线经过点和． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图，该抛物线与x轴交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，若抛物线的顶点为D，点M是位于x轴上方的抛物线上一点，是否存在点使？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（25-26九年级上·河南新乡·期末）如图，已知二次函数的图象与轴分别交于点，，与轴交于点C． (1)当时，的取值范围是______； (2)求二次函数的解析式； (3)在抛物线上是否存在一点，使得，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【变式1-2】（25-26九年级上·广东广州·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为A，且与y轴相交于C点．    (1)求m的值及C点坐标． (2)为抛物线上一点，它关于直线的对称点为Q，当四边形为菱形时，求点P的坐标． (3)连接，在直线上方的抛物线上是否存在一点M，使得四边形的面积最大，若存在，求出此时M点坐标；若不存在，请简要说明理由． 【变式1-3】（25-26九年级上·上海金山·周测）如图，直线与轴、轴分别交于点、．对称轴为直线的抛物线经过点、，其与轴的另一交点为． (1)该抛物线的表达式为______； (2)将该抛物线平移，使其顶点在线段上点处，得到新抛物线，其与直线的另一个交点为． ①如果抛物线经过点，且与轴的另一交点为，线段的长为______； ②试问：的面积是否随点在线段上的位置变化而变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积． 【变式1-4】（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图①，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)求点坐标和面积； (3)若点是抛物线上第一象限内的一个动点，连接，交于点．设，是否存在最大值？如果存在求出此时点的坐标并求出此时的最大值，否则请说明理由． 题型二：角度的存在性问题 1. 等角存在性 依托平行线内错角、等腰三角形底角相等、三角函数性质解题，坐标系中最常用核心结论：两角相等等价于两角的正切值相等。 2. 特殊角存在性 针对特殊角，构造直角三角形、等腰直角三角形，利用特殊边长比例、斜率等特征列式求解。 【例2】（25-26九年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C，点P是该抛物线对称轴l上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的周长最小时，在图中标出点P的位置并求出点P的坐标． (3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-1】（25-26九年级上·湖北咸宁·期中）如图，抛物线与x轴交于点，B两点，与y轴交于点C，D是抛物线的顶点，是抛物线上的一点，连接． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)求的面积； (3)在第一象限内的抛物线上是否存在点P，使，若存在，求点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式2-2】（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）如图，抛物线与x轴相交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线的顶点． (1)求出抛物线的函数表达式； (2)如图1，抛物线在第二象限的部分上是否存在一点M，使得四边形面积最大，若存在求点M坐标；若不存在，请说明理由； (3)在抛物线上是否存在点Q，使，若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，说明理由． 【变式2-3】（25-26九年级上·吉林·期末）如图1，已知抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，点的坐标为，且抛物线对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)①顶点的坐标为______；②当时，二次函数的最大值为______，最小值为______．③直线的解析式为______． (3)如图2，连接，为线段下方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，作轴交轴于点，求的最大值及此时点的坐标； (4)如图3，连接、，在直线下方抛物线上是否存在一点，使得，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2-4】（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图（1），在平面直角坐标系中，抛物线平移后得到抛物线，与交于点，且与轴交于点，点C为的顶点． (1)求的表达式； (2)连接并延长交于点D，E为线段上的动点，过点E作x轴的垂线交x轴于点F，交于点G，求线段的最大值； (3)如图（2），过点A作x轴的垂线交x轴于点Q，连接，问：上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 题型三：等腰三角形的存在性问题 先计算长度、线段中点、垂直平分线解析式；设抛物线上动点坐标，分三类列方程求解；最后排除三点共线、图形不存在的无效点。 已知定点，动点，探究为等腰三角形，按三个顶点轮流为顶角顶点分三类讨论，杜绝漏解： 1.：动点在的垂直平分线上； 2.：以定点为圆心、长为半径画圆，动点在圆上； 3.：以定点为圆心、长为半径画圆，动点在圆上。 【例3】（25-26九年级上·河南商丘·期末）如图，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B，C和点． (1)求该二次函数的解析式； (2)若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，求出P点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【变式3-1】（25-26九年级上·甘肃定西·期末）如图，抛物线经过，，三点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是线段上方抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线，交直线于点D，设点P的横坐标为m，当m为何值时，线段的长度最大？最大值是多少？ (3)在（2）的条件下，当线段的长度最大时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以P，D，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-2】（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知二次函数的图象经过点，与y轴交于点C．顶点为D． (1)求该二次函数的解析式； (2)求顶点D的坐标； (3)在x轴上是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3-3】（25-26九年级上·陕西西安·阶段检测）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，在直线上方的抛物线上有一点M，使得的面积最大，求出M点的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在以为腰的点P，使得是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的点P的坐标． 题型四：直角三角形存在性 针对竖直线、无斜率场景，使用勾股定理分类列式：、，适配所有直角三角形场景。 已知定点，动点，探究为直角三角形，按三个顶点轮流为直角顶点分三类讨论： 1.：，满足； 2.：，满足； 3.：，满足。 【例4】（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）已知，如图，在平面直角坐标系中，二次函数（）的图象与轴交于点和点，与轴交于点． (1)求的值； (2)点是直线下方抛物线上的一动点，连接，求的面积的最大值及此时点的坐标； (3)在第2问的条件下，为抛物线对称轴上的一动点，是否存在这样的点，使为直角三角形，若存在，请直接写出符合条件的点的坐标． 【变式4-1】（25-26九年级上·四川南充·阶段检测）如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且，对称轴为直线． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形面积的最大值，并求出此时P点的坐标； (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-2】（25-26九年级上·福建漳州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．点M是线段上一个动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点E，交直线于点F． (1)求抛物线和直线的表达式； (2)求线段的最大值； (3)如图2，是否存在以点C，E，F为顶点的三角形为直角三角形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式4-3】（25-26九年级上·广东汕尾·期末）如图，在平面直角坐标系中，矩形的两边分别在坐标轴上，且，，点是边上的一个动点，抛物线经过点，． (1)如图，若抛物线恰好经过点，连接，． ①求此时抛物线的解析式和点的坐标； ②在直线上方的抛物线上有一点（异于点），且的面积等于的面积，请求出点的坐标． (2) 如图，设抛物线与射线交于点，在点的运动过程中，是否存在的值，使得为直角三角形？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 题型五：（特殊）四边形的存在性问题 核心解题规律 已知两点，依托平行四边形对角线中点重合核心性质解题，分两种核心情况： 1.为边：利用平移性质，且，通过坐标平移求解动点； 2.为对角线：与动线段互相平分，中点坐标完全相同。 特殊平行四边形判定条件 菱形：在平行四边形基础上，增加邻边相等条件； 矩形：在平行四边形基础上，增加邻边垂直/对角线相等条件； 正方形：兼具矩形和菱形性质，满足邻边垂直且相等。 【例5-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，抛物线的图象经过，两点，与轴交于点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式和顶点的坐标； (2)将原抛物线进行平移，平移后的抛物线顶点为，在原抛物线的对称轴上，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是矩形？若存在，求出点的坐标，并说明平移的方向和距离；若不存在，请说明理由． 【例5-2】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接． (1)求A、B，C三点的坐标． (2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作的平行线l，交线段于点D．在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 【例5-3】（24-25九年级下·山东菏泽·期中）如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且点，的坐标分别为，，抛物线经过点． (1)求点的坐标； (2)求抛物线的表达式，并求出其顶点坐标； (3)在抛物线上是否存在点与点（点，除外）使四边形为正方形？若存在，请求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【例5-4】（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一个动点，求的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【变式5-1】（25-26九年级上·广东清远·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，且当和时所对应的函数值相等．一次函数与二次函数的图象分别交于B，C两点，点在第一象限． (1)求二次函数的表达式； (2)连接，，试判断的形状，并说明理由； (3)点是线段的中点，二次函数的图象上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，顶点为点D，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)设点是抛物线在第四象限部分上的点，设四边形的面积为，求关于的函数关系式，并求使S最大时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点是坐标平面内一点，抛物线的对称轴上是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标． 【变式5-3】（25-26九年级上·山东东营·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过点的直线与轴交于点．经过原点的抛物线交直线于点，，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的表达式； (2)是线段上一点，是抛物线上一点，当轴且时，求点的坐标； (3)是抛物线上一动点，是平面直角坐标系内一点．是否存在以点，，，为顶点且以为边的四边形是矩形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式5-4】（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知抛物线过点，，，其顶点为． (1)求抛物线的解析式； (2)若是抛物线上位于直线上方的一动点，求的面积的最大值； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，为直线上任意一点，过点作交抛物线于点，是否存在，以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点的坐标（直接写出答案）；若不存在，请说明理由． 【变式5-5】（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 1．（2025·湖北随州·模拟预测）如图，抛物线经过A、B两点，顶点为M，对称轴l与x轴交于点D，与直线交于点E． (1)将抛物线沿直线平移，使得点A落在点B处记为，此时点的对应点为C，求点的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． (2)设G是坐标平面内一点，当以A、C、G、M为顶点的四边形是平行四边形时．求点G的坐标． (3)设G是抛物线上的对称轴上一点，K是坐标平面内一点，是否存在点G，使得以A、C、G、K为顶点的四边形是矩形，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·期末）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于、两点，与轴交于点，且抛物线的顶点的坐标为，连接，拋物线的对称轴与交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线上、两点之间的部分（不包含、两点），是否存在点，使得，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图②，将拋物线在上方的图象沿折叠后与轴交于点，为直线=1上一个动点，在平面内是否存在一个点，使得以、、、为顶点的四边形是以为对角线的矩形，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 3．（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点，且与轴的另一个交点为，对称轴为直线． (1)求抛物线的表达式； (2)是第二象限内抛物线上的动点，设点的横坐标为，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； (3)若点在抛物线对称轴上，是否存在点，，使以点，，，为顶点的四边形是以为对角线的菱形？若存在，请求出，两点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)直接写出、、的坐标及抛物线的对称轴； (2)如图1，连接，抛物线的对称轴上是否存在点，使？若存在，求出的坐标；若不存在，请说明理由： (3)如图2，点是该抛物线上一动点，且位于第三象限，连接，直线交于点，和的面积差为，当的值最大时求点的坐标和直线的解析式． 5．（25-26九年级上·四川成都·期中）如图，抛物线与轴交于，，顶点为． (1)抛物线的解析式是___________，顶点D的坐标是___________，对称轴是___________． (2)为抛物线上一点，当时，求M点坐标． (3)点E是y轴上的一个动点，点F是坐标平面内一个动点，是否存在这样的点E，F使得四边形是矩形？若存在，求出E，F的坐标；若不存在，说明理由． 6．（25-26九年级上·四川广安·期末）已知，如图，抛物线的顶点为，经过抛物线上的两点和的直线交抛物线的对称轴于点． (1)求抛物线的解析式和顶点的坐标； (2)在抛物线上，两点之间的部分（不包含，两点），是否存在点，使得，若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)若点在抛物线上，点在轴上，当以点为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点的坐标． 7．（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，已知抛物线与轴交于两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． (1)求抛物线的表达式； (2)点是直线的上方的抛物线上一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． (3)将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，直接写出所有符合条件的点坐标；如果不存在，请说明理由． 8．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点C，连接，点P是抛物线上一动点，点Q是抛物线对称轴上一动点． (1)求抛物线的解析式及点C的坐标； (2)当点P在第一象限的抛物线上时，求面积的最大值及此时点P的坐标； (3)是否存在以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（25-26九年级上·河北保定·期末）如图、抛物线交轴于点，，交轴于点，连接． (1)求抛物线的函数表达式． (2)是直线下方抛物线上的一点，连接，，当的面积最大时，求点的坐标． (3)是直线上方抛物线上的一点，连接，是否存在点，使得？若存在，请直接写出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 10．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于三点，且，P是抛物线上的一个动点． (1)求这个二次函数的解析式． (2)若点P在直线下方，点P运动到什么位置时，四边形的面积最大？求出此时点P的坐标． (3)直线上是否存在一点Q，使得以点A，B，P，Q组成的四边形是平行四边形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于点A、B两点，且A点的坐标为，与y轴交于点． (1)求抛物线解析式及顶点D坐标； (2)点E为抛物线上一点，且，则点E的坐标为 　 　； (3)点F为线段上任意一点，过点F作轴于点M，直线交抛物线于点N，求线段的最大值； (4)点P是抛物线对称轴上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点Q，使以点A、C、P、Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 12．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线经过坐标轴上三点，直线过点和点． (1)求抛物线的解析式； (2)P是直线下方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值及此时点的坐标： (3)R是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点S，使得以B，C，R，S为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有满足条件的点坐标：若不存在，请说明理由． 13．（25-26九年级上·四川泸州·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线关系式； (2)已知P是直线下方抛物线上一动点，连接，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标； (3)如图2，点D为抛物线的顶点，对称轴交x轴于点E，M是直线上一点，在平面直角坐标系中是否存在一点N，使得以点C，E，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（25-26九年级上·四川眉山·期末）如图，已知二次函数与轴交于、两点，与轴交于点，、两点坐标为、． (1)求二次函数的表达式； (2)点在直线下方的抛物线上，连结、，求的最大面积； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使、、为顶点的三角形是直角三角形，若存在直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 15．（25-26九年级上·重庆綦江·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，且点在点的左侧，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，直线与轴交于点，与轴交于点，动点为抛物线第一象限上的一点，于点，轴交于点，求△的面积的最大值，及此时点的坐标； (3)如图2，连接，将原抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，使平移后的新抛物线经过点，新抛物线与轴的另一交点为点，请问在新抛物线上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，则说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $