专题2——二次函数的图象与性质 专项练习 2026--2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 以顶点式和一般式为双主线，通过方法提炼与分层题型构建二次函数图象性质的完整认知体系，培养几何直观与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |顶点式性质|6题|平方项非负性求极值，顶点对应底数为0|从特殊形式（y=ax²等）到一般顶点式，构建顶点、对称轴、增减性的关联认知| |一般式转化与性质|14题|配方法化顶点式，系数a/b/c作用分析|通过表格梳理系数功能，实现一般式与顶点式的转化及性质迁移| |图像变换与综合|16题|平移规律（“左加右减，上加下减”），系数符号图像判断法|结合一次函数图象综合，强化数形结合推理，提升模型意识| |最值与解析式求解|7题|顶点法与区间法求最值，待定系数法|从性质应用到实际问题解决，形成“概念-性质-应用”的完整逻辑链|

专题2 二次函数的图象和性质 知识点1：二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 【包括特殊形式y=ax²、y=ax²+k、y=a(x-h)²】 方法总结：平方项恒非负，底数为0取极值，极值点即为抛物线顶点。顶点对应底数为0 题型1：二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数性质以及图象相关知识，属于基础题．根据二次函数性质，通过系数判断开口方向、最值、对称轴及单调性． 【详解】解：∵二次函数为，其中，，， ∴对于A：∵，∴开口向下，A错误； 对于B：∵开口向下，顶点处取得最大值，顶点横坐标，代入得，∴y的最大值为4，B正确； 对于C：对称轴为直线，即，而非，C错误； 对于D：∵开口向下，对称轴，∴当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小，D错误． 故选：B． 2．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小； 综上，只有选项C错误. 3．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数的顶点坐标为，对称轴为，当时，函数图象开口向上，当时，函数图象开口向下，即可进行解答． 【详解】解：A、∵， ∴函数图象开口向下，故A正确，不符合题意； B、对称轴是直线，故B正确，不符合题意； C、顶点坐标为，故C正确，不符合题意； D、∵函数图象开口向下，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而增大，故D不正确，符合题意． 4．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】D 【分析】根据二次函数顶点式的性质，逐项判断即可得到正确结果． 【详解】解：对于二次函数，其中，，， ， 抛物线开口向上，A选项错误； 顶点式的对称轴为直线， 对称轴为直线，B选项错误； 抛物线与轴交点，令代入解析式：， 与轴交点纵坐标为，不是，C选项错误； 抛物线开口向上，对称轴为， 当时，随的增大而减小，D选项正确 故选：D． 5．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，随增大而增大 【答案】C 【分析】根据顶点式的性质，判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性即可得到答案． 【详解】解：， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故B错误，C正确； ∵， ∴抛物线开口向下，故A错误， ∴当时，随的增大而减小，故D错误． 6．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】根据抛物线顶点式的性质，分别判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得到正确选项． 【详解】解：∵抛物线解析式为 ∴ ∴抛物线开口向上，故A错误 对称轴为直线，故B正确 顶点坐标为，故C错误 ∵抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大，故D错误． 题型2 把y=ax²+bx+c化成顶点式 7.将二次函数化为的形式是________． 【答案】 【详解】解：． 8．将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配方法，将二次函数的一般式转化为的形式，对比选项得到结果． 【详解】解：． 9．将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查将一般式转化为顶点式，通过配方法将二次函数的一般式转换为顶点式即可. 【详解】解：， ； 故选A. 10.将二次函数化为的形式，结果为_____． 【答案】 【分析】先提取二次项系数，再利用完全平方公式配方即可得到结果. 【详解】解： ， 即. 知识点2：二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 系数 名称 作用 a 二次项系数 决定开口方向、开口大小 b 一次项系数 影响对称轴位置 c 常数项 决定与 y 轴交点 二、图象特征 1. 开口方向 a > 0：开口向上 → 有最小值 a < 0：开口向下 → 有最大值 2. 开口大小 由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽 3. 顶点坐标： 4. 对称轴:直线x=，是一条竖直直线。 题型3 y=ax²+bx+c的图象与性质 11．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质结合因式分解解一元二次方程判断即可． 【详解】解：二次函数， 顶点坐标为，故选项A错误； 当时，随的增大而减小，故选项B错误； 其图象可以看作是抛物线平移得到，故选项C正确； 令，则，解得或，所以当时，的值不都大于，故选项D错误． 12．关于抛物线，下列正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是D．时，y随x增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向下，选项A错误． ∵对称轴为， ∴对称轴是直线，选项B错误． 将代入抛物线解析式，得， ∴顶点坐标为，选项C错误． ∵抛物线开口向下，对称轴为， ∴时，随增大而减小， 又∵满足， ∴时，随增大而减小，选项D正确． 13．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 3 5 y 0 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A． 图象的开口向上 B．当时，y的值随的值x增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，先利用表中对应值求出二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由表格可知，二次函数过点，，， ∵当时，， ∴，将，代入解析式得方程组： ， 解得， ∴二次函数解析式为， ∵， ∴图象开口向下，选项A错误； 由解析式可知图象的对称轴为直线，选项D正确； ∵开口向下， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小，选项B错误； ∵顶点坐标为，抛物线与轴交于和，开口向下， ∴图象经过第一、三、四象限，选项C错误； 题型4 比较大小 14．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线的解析式确定开口方向和对称轴，然后根据离抛物线的对称轴的距离判断函数值大小即可． 【详解】解：抛物线的开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∵，，， 又，抛物线开口方向向上，离抛物线的对称轴越远的点，对应的函数值越大， ∴． 15．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 16．若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把已知点的坐标代入函数解析式可分别求得，，的值，再比较大小即可． 【详解】解： ∵点，，都在二次函数的图象上， ∴，，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 17．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 题型5 二次函数图象的平移 18.将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 【答案】 【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为． 19．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的规律即可求得答案． 【详解】解：将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是． 20．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 【答案】A 【详解】解：∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴顶点从平移到，需要先向左平移3个单位，再向上平移5个单位． 21．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线解析式化为顶点式，得到原顶点坐标，再根据平移规则得到平移后的顶点坐标，最后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式即可，二次函数平移后二次项系数不变． 【详解】解：∵ ， ∴ 原抛物线的顶点坐标为， ∵ 将顶点向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度， ∴ 平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即新顶点坐标为， ∵ 抛物线平移后二次项系数不变， ∴ 平移后抛物线的解析式为． 22．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将抛物线解析式转化为顶点式，得到原函数的顶点坐标，再将顶点坐标按照要求平移即可． 【详解】解：， ∴原抛物线顶点坐标为， ∵抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位， ∴平移后顶点的横坐标为，纵坐标为， 即平移后抛物线的顶点坐标为． 题型6二次函数的图象与各项系数的符号 23．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数图象的对称轴位置判断b的符号，根据图象与y轴的交点位置判断c的符号，从而确定选项． 【详解】∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴当时，， 观察各选项，只有C选项满足条件． 24．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系以及性质，判断即可得出结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴； ∵抛物线的对称轴位于轴的右侧， ∴， ∴； ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴； ∴，故A选项错误． 由抛物线与轴的交点坐标可知，对称轴， ∴， ∵， ∴， 即，故B选项错误． 由图象可得，当时，， ∴①， 当时，②， ∴得，， ∴，故C选项正确． 由图象可得，当时，，故D选项错误． 综上所述，结论正确的是C选项． 25．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A． ②④⑤ B．①③④ C.①③⑤ D．①③④⑤ 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点位置判断的符号及关系；利用时的函数值及对称轴公式进行推导验证各结论． 【详解】解：①由图象可知：抛物线开口向下，则； 对称轴在轴右侧，则，故； 抛物线与轴交点在轴上方，则． ，故此结论正确； ②当时，图象在轴下方，即， ，故此结论错误； ③由对称轴为直线可知，当时的函数值与时的函数值相等． 时， 当时，，故此结论正确； ④对称轴为直线， ． 又当时，， ， 即， ，故此结论正确； ⑤抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，取最大值， 即． ，即，故此结论错误． 综上所述，正确的结论是①③④． 26．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 27．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象，判断出、、的关系与符号，逐项验证即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴，，故B正确， ∵二次函数的图象与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A正确 ∵， ∴，故C正确， ∵图象过点， ∴， ∴， ∴，故D错误． 题型7一次函数、二次函数图象的综合判断 28．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A．B． C．D． 【答案】A 【分析】根据一次函数，二次函数图象分布的规律求解即可； 【详解】解：根据题意，得， 令，得，解得， A．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，符合要求； B．根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； C． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； D． 根据一次函数的图象，得，，根据二次函数图象，得，， ，不符合要求； 29．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 30．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的图象性质，解题的关键在于熟练掌握图象性质中系数大小与图象的关系． 根据一次函数的和二次函数的即可判断出二次函数的开口方向和一次函数经过轴正半轴，从而排除和，分情况探讨的情况，即可求出答案． 【详解】解：∵二次函数为 ． ∴二次函数的开口方向向上， ∴排除C选项． ∵一次函数， ， ∵一次函数经过轴正半轴， ∴排除A选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、四象限， 二次函数经过轴正半轴， ∴排除B选项， 当时，则， 一次函数经过一、二、三象限， 二次函数经过轴负半轴， ∴D选项符合题意． 故选：D． 31．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与一次函数图象的综合．根据二次函数和一次函数图象的性质依次进行判断即可． 【详解】解：观察四个图形，抛物线的对称轴都在原点右侧， ∴和异号， 当时，则， 对于直线经过一、三、四象限，则选项B正确，符合题意； 当时，则， 对于直线经过一、二、四象限，则没有选项符合题意； 故选：B． 32．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．B． C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象问题． 根据可知C、D错误，根据A、B可判断出的取值范围，进而判断即可． 【详解】解：∵，y随x的增大而增大， ∴C、D错误； ∵A、B中二次函数开口均向下， ∴， ∴直线与轴交于负半轴， ∴A错误、B正确； 故选：B． 33．在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（    ） A．B． C．D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图象性质，掌握函数图象与系数的关系是解题关键．先根据函数的图象确定系数，再推出一次函数的图象判断即可． 【详解】解：当二次函数的图象开口向下，与轴交于正半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、二、四象限，A、B选项错误； 当二次函数的图象开口向上，与轴交于负半轴，则，， 此时一次函数的图象过一、三、四象限，C选项正确、D选项错误； 故选：C 题型8二次函数的最值 34．二次函数的最小值为（    ） A． B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象性质，二次函数开口向上，最小值在顶点处，通过顶点公式求顶点坐标，再代入求值． 【详解】解：∵ 二次函数，， ∴二次函数开口向上，最小值在顶点处，最小值为， 故选：A． 35．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 【答案】 【分析】将二次函数化为顶点式，得到开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大，即可求解． 【详解】解：， 开口向上，对称轴为直线，距离对称轴越远函数值越大， 当时，有最小值为1， ， 当时，有最大值为， y的取值范围为． 36．已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】根据二次函数解析式得到二次函数图象开口向下，对称轴直线为，得到离对称轴越远值越小，则当时，二次函数取得最大值，当时，二次函数取得最小值，由此即可求解． 【详解】解：二次函数（为常数）， ∵， ∴二次函数图象开口向下，对称轴直线为， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，离对称轴越远值越小， ∵，则， ∴当时，二次函数取得最大值，最大值为， 当时，二次函数取得最小值，最小值为， ∴， 故选：D ． 37．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】D 【分析】先对函数配方得到开口方向和对称轴，再根据对称轴与给定的的取值范围的位置关系分类讨论，即可求出的值． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点处函数最小值为． 当时，函数的最小值为1， 分两种情况讨论： ①如图1，当时，即时， 最小值在处取得， ∴，即，解得或， ∵， ∴． ②如图2，当时， 最小值在处取得， ∴，解得或， ∵， ∴． 综上，的值为或． 38．二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴为直线，分、和，三种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上， 当时，函数值y的最小值为， ①当时，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ②当，则最小值在处， 此时， 解得，不符合题意，舍去； ③当，则最小值在处， 此时， 解得或（不符合题意，舍去）； ∴ 常数m的值为2． 故选：C． 39．二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 40．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）通过待定系数法求解． （2）由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，进而求解． （3）由抛物线解析式可得时的值为，由（2）中函数最大值可得，再由抛物线的对称性求解． 【详解】（1）解：将，代入， 得， 解得； （2）解：由（1）得， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，时，取最大值， 将代入， 得， 的最大值为6； （3）解：将代入得， 抛物线经过， 抛物线对称轴为直线，抛物线经过，， 在给定取值范围内，函数需要取最大值6，取最小值， 时，符合题意． 题型9待定系数法求二次函数 41．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意，把点代入计算即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为． 42．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，求抛物线的解析式． 【答案】 【分析】待定系数法求解析式即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查已知两点坐标求抛物线解析式．熟练掌握待定系数法求解析式，正确的计算，是解题的关键． 43．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 二次函数的图象和性质 知识点1：二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 【包括特殊形式y=ax²、y=ax²+k、y=a(x-h)²】 方法总结：平方项恒非负，底数为0取极值，极值点即为抛物线顶点。顶点对应底数为0 题型1：二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 1．关于二次函数，以下说法正确的是（   ） A．函数图像开口向上 B．的最大值为4 C．图像的对称轴为直线 D．随的增大而减小 2．已知抛物线，下列结论错误的是（    ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 3．对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（   ） A．开口向下 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，y随x的增大而减小 4．由二次函数，可知（     ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其图象与y轴交点的纵坐标为1 D．当时，y随x的增大而减小 5．关于抛物线，下列说法正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是D．时，随增大而增大 6．对于抛物线，以下说法正确的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小 题型2 把y=ax²+bx+c化成顶点式 7.将二次函数化为的形式是________． 8．将二次函数化成的形式为（     ） A． B． C． D． 9．将二次函数配成的形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 10.将二次函数化为的形式，结果为_____． 知识点2：二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质 系数 名称 作用 a 二次项系数 决定开口方向、开口大小 b 一次项系数 影响对称轴位置 c 常数项 决定与 y 轴交点 二、图象特征 1. 开口方向 a > 0：开口向上 → 有最小值 a < 0：开口向下 → 有最大值 2. 开口大小 由|a|决定：|a|越大，抛物线越窄；|a|越小，抛物线越宽 3. 顶点坐标： 4. 对称轴:直线x=，是一条竖直直线。 题型3 y=ax²+bx+c的图象与性质 11．关于二次函数的图象与性质．下列四个结论中正确的是（     ） A．其图象顶点坐标为 B．随着的增大而减小 C．其图象可以看作是抛物线平移得到 D．当时，的值都大于 12．关于抛物线，下列正确的是（     ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而减小 13．已知一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … 0 3 5 y 0 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A． 图象的开口向上 B．当时，y的值随的值x增大而增大 C．图象经过第二、三、四象限 D．图象的对称轴是直线 题型4 比较大小 14．已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 15．已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 16.若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 17．若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型5 二次函数图象的平移 18.将抛物线先向右平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线的解析式为______． 19．将抛物线向左平移5个单位，得到新抛物线的表达式是（　　） A． B． C． D． 20．将抛物线平移，得到抛物线，下列平移方式中，正确的是（     ） A．向左平移3个单位，向上平移5个单位 B．向右平移3个单位，向上平移5个单位 C．向左平移5个单位，向下平移3个单位 D．向右平移5个单位，向上平移3个单位 21．将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线是（     ） A． B． C． D． 22．将抛物线向右平移3个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 题型6二次函数的图象与各项系数的符号 23．已知二次函数的图象如图．其中b，c的值可能是（     ） A． B． C． D． 第23题图 第24题图 24．已知抛物线的图象如图所示，则下列结论正确的是（     ） A． B. C. D． 25．二次函数的图象如图所示，则下列结论：①，②，③，④，⑤中正确的是（    ） A． ②④⑤ B．①③④ C.①③⑤ D．①③④⑤ 第25题图 第26题图 26．二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 27．如图，二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，则下列错误的是（     ） A． B． C． D． 题型7一次函数、二次函数图象的综合判断 28．抛物线和直线在同一坐标系的图象可能是（     ） A．B． C．D． 29．在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A．B． C．D． 30．在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．B． C． D． 31．在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（    ） A．B． C．D． 32．在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（　　） A．B． C．D． 33．在同一直角坐标系中，二次函数与一次函数的大致图象为（    ） A．B． C．D． 题型8二次函数的最值 34．二次函数的最小值为（    ） A． B． C．0 D．2 35．已知二次函数 ，当 时，y的取值范围为________． 36．已知二次函数（为常数），当时，该二次函数的最大值与最小值的差为（   ） A．9 B． C．1 D．4 37．当时，函数的最小值为1，则的值为（     ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 38．二次函数（为常数），当时，的最小值为，则常数的值为（   ） A． B． C． D．． 39．二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 40．已知函数（b，c为常数）的图象经过点，． (1)求，的值． (2)当时，求的最大值． (3)当时，若的最大值与最小值之差为9，求的取值范围． 题型9待定系数法求二次函数 41．已知二次函数的图象经过点，求该二次函数的表达式． 42．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，求抛物线的解析式． 43．已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $