25.2降次—解一元二次方程暑假预习同步训练 2026-2027学年九年级上册数学人教版

**基本信息** 聚焦一元二次方程解法，分层覆盖基础操作、综合应用及问题辨析，通过梯度训练深化降次思想与运算推理能力，适配暑假巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|配方法/公式法/因式分解法单一应用|单选/填空题（如直接开平方、配方步骤选择），强化概念理解与基本运算| |中档|根的判别式与韦达定理综合|中档选择/填空（如判别式判断根情况、两根关系应用），培养推理意识| |综合|解法辨析与实际问题解决|解答题（如错误解法分析、含参数方程求解），发展数学思维与问题解决能力|

25.2 降次——解一元二次方程 核心思想：将一元二次方程通过变形，转化为两个一元一次方程来求解，这个过程叫降次。 25.2.1 配方法 本质：利用完全平方公式，把方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再用“开平方”降次。 1. 基础模型（直接开平方） 形如的方程： ①若p>0，方程有两个不等实根：​ ②若p=0，方程有两个相等实根： ③若p<0，方程无实数根。 这是配方法的起点，也是降次的雏形。 2. 一般步骤（重点） 以为例： ①移项：把常数项移到右边： ②化1：两边同除以a，使二次项系数化为1： ③配方：两边加上一次项系数一半的平方，即: ④开方：左边写成完全平方，右边合并，开平方降次： ⑤求解：当时， 例：解 1.移项： 2.配方：左边加，右边也加9： 3.变形： 4.开方： 5.求解： 25.2.2 公式法 来源：由配方法直接推导得出（考试不要求推导过程，但要会用）。 1. 求根公式 对于一元二次方程，当时：​​ 2. 根的判别式 判别式 根的情况 Δ>0 两个不相等的实数根 Δ=0 两个相等的实数根 Δ<0 无实数根 3. 解题步骤 1.化为一般形式，确认a,b,c（带符号！） 2.计算Δ，判断根的情况 3.代公式求解 整理结果（能合并的合并） 例：解 25.2.3 因式分解法 依据：若ab=0，则a=0或b=0。 1. 适用情形 方程一边为0，另一边可分解 常见结构：提公因式、、 2. 解题步骤 ①移项：使方程右边为0 ②分解：将方程左边分解为两个一次因式的乘积 ③降次：令每个因式等于0，化为两个一元一次方程 ④求解 例：解x(2x+3)=4x+6 移项：x(2x+3)−2(2x+3)=0 分解：(2x+3)(x−2)=0 降次：2x+3=0或x−2=0 解得： ⚠️ 易错警示： 错误：（两边直接除以x，漏掉x=0） 正确： 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 名称：韦达定理（Vieta's formulas） 1. 基本结论 若方程有两个实根，则：, 2. 常见变形（必背） ① ② ③ 3. 应用示例 已知方程的两根为，求： (1) (2) (3) ⚠️ 注意：使用前必须先确认Δ≥0，否则方程无实根，关系不成立。 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（   ） A． B．5 C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，提公因式得到，解方程即可得到答案，熟记因式分解法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， ，解得或， 关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是，故选：A． 2．用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上（   ） A．1 B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程时，若二次项系数为1，那么需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行平方，据此求解即可． 【详解】解： ，即， ∴用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上1，故选：A． 3．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 【答案】C 【分析】先根据两根的倍数关系和两根之积求出两根，再利用两根之和求出的值． 【详解】解：对于一元二次方程，由根与系数的关系可得 ， ∵∴代入得，即 解得或 当时，， 当时，， ∴． 4．一元二次方程的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，利用因式分解法求解即可，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】解：, 或∴，；故选：． 5．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用判别式的值判断根的情况，当时，一元二次方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B、，，，方程没有实数根，不符合题意； C、，，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意； D、，，，方程有两个相等的实数根，符合题意． 6．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：∵， 移项整理得，其中 , , ∴，∴方程有两个不相等的实数根. 7．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方，据此可得答案． 【详解】解：,， ，，． 8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（　　） A．3 B． C．3或 D．不存在 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式． 先由一元二次方程有两个不相等的实数根，根据判别式大于零求出k的取值范围；再根据根与系数的关系，将条件转化为关于k的方程，解出k的值，并验证是否满足取值范围． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴，解得 又∵，， ∴，整理得，，解得或， ∵， ∴符合，不符合故，故选：A． 9．已知关于的方程有两个实数根，则代数式的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键． 首先根据关于x的方程有两个实数根，得判别式，由此可得，据此可对进行化简． 【详解】解：∵关于x的方程有两个实数根， ∴， 整理得：，∴，∴，， ∴．故选：B． 10．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 【详解】解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 二、填空题 11．一元二次方程的两根为，，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，， ∴，， ∴． 12．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为________． 【答案】2023 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为，可得出关于的一元二次方程有一个根为，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为， ∴关于的一元二次方程即有一个根为， 即， 解得：，故答案为：2023． 13．方程的解为_______． 【答案】， 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 将方程整理成标准二次方程形式，然后通过因式分解法求解． 【详解】解： ． 展开左边：． 移项得：，即 ． 因式分解，得 ． 或 ，解得 ， ． 14．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，根据一元二次方程的定义和根的判别式，方程有两个不相等的实数根需满足二次项系数不为零且判别式大于零，由此计算即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴，且，解得：， ∴k的取值范围是且，故答案为：且． 15．将方程转化为的形式，则______． 【答案】 【分析】根据配方法解题即可． 本题考查了配方法的应用，求代数式的值，熟练掌握配方是解题的关键． 【详解】解：， 移项，得． 配方，得，即． 又．解得．故，故答案为：． 三、解答题 16．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)，． 【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． （1）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可； （2）第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方；第四步，直接开方即可． 【详解】（1）解： , , ,解得，； （2）解： , ,,解得，． 17．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，解题的关键是能熟记根的判别式和根与系数的关系的内容． （1）根据根的判别式得出关于的不等式，求出不等式的解集即可； （2）根据根与系数的关系得出，，结合即可求解． 【详解】（1）解：方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 即的取值范围是； （2）根据根与系数的关系得：，， 该方程有两个实数根，，且， ， 解得，满足题意， 故的值为． 18．习题课上老师给了一道方程：． 洋洋的解法 方程可化为：    …第一步     …第二步         …第三步     …第四步 ∴，        …第五步 融融的解法 方程可化为：    …第一步 两边都除以    …第二步 ∴    …第三步 (1)她们的解法都是错误的，洋洋从第______步开始错误，错因是______；融融从第______步开始错误，错因是______； (2)请你正确解出该方程． 【答案】(1)二，违反了等式的基本性质1，右边漏加1，二，违反了等式的基本性质2，可能为0 (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）根据等式的基本性质回答即可． （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：洋洋从第二步开始错误，违反了等式的基本性质1，右边漏加1 融融从第二步开始错误，违反了等式的基本性质2，可能为0． 故答案为：二，违反了等式的基本性质1，右边漏加1，二，违反了等式的基本性质2，可能为0 （2）解：方程可化为，， ，或．，． 19．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据因式分解法解一元二次方程；（2）根据配方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：, ,或,； （2）解：原方程两边同乘以4，得 ,,,． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系： （1）用根的判别式即可得到取值范围； （2）由根与系数的关系得到的值，代入求出的值，留下符合的数即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实数根和， ，解得：． （2）解：由根与系数的关系得：， ，， 将代入得，解得：或， ，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2 降次——解一元二次方程 核心思想：将一元二次方程通过变形，转化为两个一元一次方程来求解，这个过程叫降次。 25.2.1 配方法 本质：利用完全平方公式，把方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，再用“开平方”降次。 1. 基础模型（直接开平方） 形如的方程： ①若p>0，方程有两个不等实根：​ ②若p=0，方程有两个相等实根： ③若p<0，方程无实数根。 这是配方法的起点，也是降次的雏形。 2. 一般步骤（重点） 以为例： ①移项：把常数项移到右边： ②化1：两边同除以a，使二次项系数化为1： ③配方：两边加上一次项系数一半的平方，即: ④开方：左边写成完全平方，右边合并，开平方降次： ⑤求解：当时， 例：解 1.移项： 2.配方：左边加，右边也加9： 3.变形： 4.开方： 5.求解： 25.2.2 公式法 来源：由配方法直接推导得出（考试不要求推导过程，但要会用）。 1. 求根公式 对于一元二次方程，当时：​​ 2. 根的判别式 判别式 根的情况 Δ>0 两个不相等的实数根 Δ=0 两个相等的实数根 Δ<0 无实数根 3. 解题步骤 1.化为一般形式，确认a,b,c（带符号！） 2.计算Δ，判断根的情况 3.代公式求解 整理结果（能合并的合并） 例：解 25.2.3 因式分解法 依据：若ab=0，则a=0或b=0。 1. 适用情形 方程一边为0，另一边可分解 常见结构：提公因式、、 2. 解题步骤 ①移项：使方程右边为0 ②分解：将方程左边分解为两个一次因式的乘积 ③降次：令每个因式等于0，化为两个一元一次方程 ④求解 例：解x(2x+3)=4x+6 移项：x(2x+3)−2(2x+3)=0 分解：(2x+3)(x−2)=0 降次：2x+3=0或x−2=0 解得： ⚠️ 易错警示： 错误：（两边直接除以x，漏掉x=0） 正确： 25.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 名称：韦达定理（Vieta's formulas） 1. 基本结论 若方程有两个实根，则：, 2. 常见变形（必背） ① ② ③ 3. 应用示例 已知方程的两根为，求： (1) (2) (3) ⚠️ 注意：使用前必须先确认Δ≥0，否则方程无实根，关系不成立。 一、单选题 1．已知关于的一元二次方程的一个根是0，则另一个根是（   ） A． B．5 C． D．1 2．用配方法解一元二次方程时，应在方程两边同时加上（   ） A．1 B．2 C． D．4 3．若关于x的一元二次方程两根为、，且，则m的值为（     ） A．12 B． C． D．9 4．一元二次方程的解是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．下列一元二次方程中，有两个相等的实数根的是（     ） A． B． C． D． 6．关于x的一元二次方程的根的情况是（     ） A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 7．用配方法解方程时，配方结果正确的是（     ） A． B． C． D． 8．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．若，则的值是（　　） A．3 B． C．3或 D．不存在 9．已知关于的方程有两个实数根，则代数式的化简结果是（    ） A． B．1 C． D． 10．多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 二、填空题 11．一元二次方程的两根为，，则______． 12．若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为________． 13．方程的解为_______． 14．关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 15．将方程转化为的形式，则______． 三、解答题 16．用配方法解下列方程： (1)； (2)． 17．已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程有两个实数根，，且，求的值． 18．习题课上老师给了一道方程：． 洋洋的解法 方程可化为：    …第一步     …第二步         …第三步     …第四步 ∴，        …第五步 融融的解法 方程可化为：    …第一步 两边都除以    …第二步 ∴    …第三步 (1)她们的解法都是错误的，洋洋从第______步开始错误，错因是______；融融从第______步开始错误，错因是______； (2)请你正确解出该方程． 19．解方程： (1)； (2)． 20．已知关于的一元二次方程有两个实数根和． (1)求实数的取值范围； (2)当时，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $