25.2.1 配方法 暑假预习练 2026-2027学年初中数学人教版九年级上册

**基本信息** 聚焦配方法，通过基础操作、进阶应用、综合拓展三层设计，实现从概念理解到问题解决的知识巩固路径，适配暑假预习需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础操作|配方法基本步骤与直接解方程|单选1-4直接考查配方步骤，培养运算能力| |进阶应用|配方法与方程根的关系及新定义运算|单选5-7结合方程根估计，体现推理意识| |综合拓展|综合应用与错误辨析|解答16-18含错误分析与实际应用，发展应用意识|

25.2.1 配方法 暑假预习练 2026-2027学年初中数学人教版（2024）九年级上学期 一、单选题 1．用配方法解方程时，原方程变形为（　　） A． B． C． D． 2．用配方法解一元二次方程时，化为的形式可得到（    ） A． B． C． D． 3．如果关于x的方程可以用直接开平方法求解，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．方程的根为（   ） A．， B．， C．， D．， 5．，是一元二次方程的两个解，且，下列说法正确的是（   ） A．小于，大于3 B．小于，大于3 C．，在-1和3之间 D．，都小于3 6．已知方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成的形式，则印刷不清楚的数字是（　　） A．2 B． C．4 D． 7．代数式的值恒为（   ） A．正数 B．负数 C．非正数 D．非负数 8．关于的一元二次方程与称为“同族二次方程”．如与就是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程与是“同族二次方程”，那么代数式能取的最大值是（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 二、填空题 9．用配方法解方程，将方程变为的形式，则的值___________． 10．若，则关于x的二次方程的解是___． 11．对于实数a，b，定义运算“※”如下：，例如，．若，则x的值为_____________． 12．某数学兴趣小组四人以接龙的方式用配方法解一元二次方程，每人负责完成一个步骤，如图．老师看后，发现有一名同学所负责的步骤是错误的，则这名同学是________． 13．新定义：关于x的一元二次方程与称为“同族二次方程”．例如：与是“同族二次方程”．现有关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”，则代数式的最小值是______． 三、解答题 14． 解方程： (1)； (2)． 15．用配方法解方程： 16．下面是小明解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：． 二次系数化为1，得．…………………………第一步 移项，得．…………………………………………第二步 配方，得，即．……………第三步 由此，可得．……………………………………第四步 所以．……………………………第五步 任务一：填空： ①上述小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，此过程所体现的数学思想是______，其中，“配方法”所依据的数学公式是______； ②“第二步”变形的数学依据是______； ③小明同学解题的过程中，从第______步开始出现错误，请直接写出正确的结果：______． 任务二：请你根据平时学习经验，就解一元二次方程时还需要注意的事项为其他同学提一条建议． 17．配方法是数学中重要的一种思想方法．常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值．最小值等，例如：求代数式的最小值，解法如下： 解： ∵，∴．∴的最小值是3． 根据材料中的方法，解答下列问题： (1)若，求的值． (2)求代数式的最小值． (3)用配方法说明：不论x为何值；代数式的值总是正数． 18．问题：对于形如这样的二次三项式，可以用公式法将它分解成的形式．但对于二次三项式，就不能直接运用公式了．此时，我们可以在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，整个式子的值不变，于是有： 像这样，先添一适当项，使式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变的方法称为“配方法”，利用“配方法"，解决下列问题： (1)分解因式：. (2)比较代数式与的大小. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D C A A A D 1．B 按照配方法的步骤，先移项再配方，即可得到原方程变形后的结果． 解： ． 2．C 本题考查了解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案． 解：∵， ∴， 则， 即， 故选：C． 3．D 根据直接开平方法解一元二次方程的要求，等式右边必须为非负数，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 解：∵任意实数的平方为非负数 ∴ ∵方程可以用直接开平方法求解 ∴等式右边需满足非负，即 解得． 4．C 本题考查一元二次方程的求解，可用直接开平方法计算，先移项，再将的系数化为，最后开平方即可得到方程的根． 解： ，． 5．A 此题主要考查了直接开平方法解方程以及估计无理数的大小，求出两根是解题关键．利用直接开平方法解方程得出两根进而估计无理数的大小得出答案． 解：、是一元二次方程的两个解，且， ， ，， 故选：A 6．A 本题考查了配方法，利用完全平方公式进行计算，能求出是解此题的关键．设印刷不清的数字是a，根据完全平方公式展开得出，求出，再根据题意得出，，最后求出答案即可． 解：设印刷不清的数字是a， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵方程●，等号右侧的数字印刷不清楚，可以将其配方成的形式， ∴，， ∴，， 即印刷不清的数字是2， 故选：A． 7．A 本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将原式整理为，即可获得答案． 解：∵， 又∵， ∴， ∴代数式的值恒为正数． 故选：A． 8．D 根据新定义求得a、b值，再利用配方得到，然后利用非负性求解即可． 解：∵关于的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴一元二次方程的 “同族二次方程”为，即， ∴，，解得， ∴， ∵， ∴，即， ∴能取到最大值． 9． 解：， 方程两边同除以3，得， 移项，得， 配方，得，， ∴． 10． 本题主要考查了解绝对值、一元二次方程的定义、解一元二次方程等知识点，确定m的值是解题的关键． 由解得或，但二次方程要求二次项系数，因此，故；代入方程后解一元二次方程即可． 解：∵， ∴或， ∴或， 又∵关于x的二次方程， ∴二次项系数，即， ∴， 将代入方程得，即， ∴，即 ， 解得：． 故答案为： ． 11． 根据题目中给出的运算规则，将转化为常规的一元二次方程，再求解方程． 解：根据定义的运算规则，将转化为方程： ， 解得． 12．丁 本题考查了配方法解一元二次方程，掌握用配方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，不能遗漏解是解题的关键． 依次检查配方法解一元二次方程的移项，配方，化简，求解四个步骤，找出错误的步骤． 解：甲的步骤：此步骤为移项，正确； 乙的步骤：此步骤为配方，两边同时加上一次项系数一半的平方，正确； 丙的步骤：此步骤为化简，正确； 丁的步骤 此步骤为求解 开平方，应得 当时，解得 当时，解得 所以方程的解应为， 丁同学只给出了一个解，遗漏了另一个解，因此步骤错误． 故答案为：丁． 13． 先根据题中的新定义，求出a，b的值，再将a，b的值代入代数式中，运用配方法求得其最小值． 解：∵关于x的一元二次方程与是“同族二次方程”， ∴应为， ∴， ∴， ∴， ∴， 代数式 ， ∴代数式的最小值是． 故答案为：． 14． (1)，； (2)，． （1）解： ， 或， ∴，； （2）解： ， ， 或， ∴，． 15． 解；∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得． 16．任务一：①转化，完全平方公式；②等式的基本性质1；③三，，；任务二：移项要变号；最后结果要化成最简．（答案不唯一，正确即可） 本题考查的是一元二次方程的解法，掌握提公因式法、配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键． 任务一：①根据方程解答过程回答即可； ②第二步移项的依据是等式的基本性质，据此回答即可； ③根据方程解答过程回答即可； 任务二：根据解一元二次方程时，学生的常见错误给出意见． 解：任务一：①小明同学的解法中运用“配方法”将该一元二次方程“降次”为两个一元一次方程，体现的数学思想是转化思想，其中“配方法”所依据的一个数学公式是完全平方公式； 故答案为：转化；完全平方公式； ②“第二步”变形的依据是等式的性质1； 故答案为：等式的性质1； ③上面小明同学解题过程中，从第三步开始出现错误； 正确的解是： 配方，得， 即， ∴，， 故答案为：三；，； 任务二：解一元二次方程时需要注意的事项：先把方程化为一般形式、移项要变号、正确运用完全平方公式、解要化为最简（答案不唯一）， 17．(1) (2)最小值为3 (3)见解析 （1）先配方，再由完全平方和绝对值的非负性求解即可； （2）将原式配方成，即可求解最小值； （3）将原式配方成，即可求解． （1）解： ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）解： ∵ ∴ ∴的最小值为3； （3）解： ， ∵， ∴， ∴ ∴不论x为何值；代数式的值总是正数． 18．(1)a2-6a+8=(a-2)(a-4)；(2)x2-1>2x-3. (1)前两项加9再减9，可以组成完全平方式； (2)将与做差，对所得的差利用“配方法”进行求解即可得. (1)a2-6a+8 =a2-6a+9-9+8 =(a-3)2-1 =(a-2)(a-4)； (2)-() =x2-1-2x+3 =x2-2x+2 =x2-2x+1-1+2 =(x-1)2+1， 不论x为何值，总有(x-1)2+1≥1>0， 所以x2-1>2x-3. 学科网（北京）股份有限公司 $