第二章 一元二次方程 回顾与思考 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学单元复习课件系统梳理了一元二次方程的概念、解法、根的判别式、根与系数关系及应用，通过知识框架图和对比表格将核心内容串联，帮助学生构建完整知识体系。 其亮点在于结合生活实例设计应用问题，如传播、增长率等培养数学眼光，通过解法对比和根的判别式推理发展数学思维，分层练习覆盖基础到综合题，助力学生巩固知识，教师精准教学。

回顾与思考 北师版九年级上册 第二章 一元二次方程 1 回顾与思考 1. 一元二次方程在生活中有哪些应用？请举例说明。 2. 在解决实际问题的过程中，怎样判断求得的结果是否合理？请举例说明。 3. 举例说明解一元二次方程有哪些方法。配方法的一般过程是怎样的？ 回顾与思考 4. 如何利用一元二次方程根的判别式判断方程根的情况？请举例说明。 5. 一元二？这种关系有什么作用？请举例次方程的根与系数有什么关系说明。 6. 利用方程解决实际问题的关键是什么？ 7. 梳理本章内容，用适当的方式星现全章知识结构，并与同伴进行交流。 一元二次方程 1. 概念： 只含有一个未知数 x ，最高次数是 2 的整式方程，可化成 ax2+bx+c = 0（a，b，c是常数，a ≠ 0）的形式 2. 解法： （1）直接开平方法 （2）配方法 （3）公式法 ax2+bx+c=0（a≠0，b2-4ac≥0）的解为： （4）因式分解法 3. 根与系数的关系 知识结构 4. 应用： 其关键是能根据题意找出等量关系 复习回顾 一元二次方程 只含有一个未知数 x 的整式方程， 都可以化为 ax2 + bx + c = 0 (a，b，c为常数，a ≠ 0)的形式， 这样的方程叫作一元二次方程。 ax2 bx c 二次项 一次项 常数项 a b 二次项系数 一次项系数 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫作一元二次方程的解，或叫作一元二次方程的根。 回顾一元二次方程的各种解法，你对它们的共性及各自的特点有什么理解？ 方法 适用范围 理论依据 关键步骤 直接开平方法 形如(ax+m)2=n(n≥0)的方程 平方根的意义 开平方 配方法 所有一元二次方程 完全平方公式 配方 公式法 所有一元二次方程 配方法 代入求根公式 因式分解法 一边是0，另一边能够分解成两个一次因式的乘积的方程 若两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个因式为0 因式分解 一元二次方程的解法 当 Δ = b2 - 4ac > 0 时， 当 Δ = b2 - 4ac = 0 时， 当 Δ = b2 - 4ac < 0 时， x没有实数根 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的根的情况可由 b2 -4ac 来判定。我们把 b2 -4ac 叫作一元二次方程 ax2 + bx + c = 0（a≠0）的根的判别式，通常用希腊字母“Δ”来表示。 一元二次方程根的判别式 解方程：x2 + 4x－5 = 0 配方法 解：x2 + 4x = 5 x2 + 4x + 22 = 5 +22 （x + 2）2 = 9 x + 2 = ± 3 x = ± 3 - 2 x1 = 1，x1 = -5 公式法 解： ∵a = 1，a = 4，a = -5 ∴Δ = b2 - 4ac = 42 - 4×（-5） = 36＞0 x1 = 1，x1 = -5 因式分解法 解：x2 + 4x - 5 = 0 ∵(x + 5)(x – 1)= 0 ∴(x + 5) = 0 或(x – 1) = 0 ∴ x1 = 1，x1 = -5 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0） 配方法的一般过程： ax2 + bx = －c 对于一元二次方程 当b2－4ac ≥ 0 时，它的根是： 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法。 注意：必须是一般形式的二元一次方程； 必须满足 b2－4ac ≥0 才能代入公式计算。 求根公式： ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0） 用因式分解法解一元二次方程的步骤： 方程右边化为______。 将方程左边分解成两个___________的乘积。 至少_________因式为零，得到两个一元一次方程。 两个_____________________就是原方程的解。 0 一次因式 有一个 一元一次方程的解 根与系数的关系 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0） 如果方程有两个实数根 x1，x2， x1 + x2 = ______，x1x2 = _______ 只有当 a ≠ 0，∆ ≥ 0 时，才有根与系数的关系。 列一元二次方程解应用题的一半步骤： 审 设 列 解 验 答 审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系 设未知数 根据题目中的等量关系，列出方程 解方程，求出未知数的值 检验方程的解能否保证实际问题有意义 写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则 一元二次方程根的应用 考点1　一元二次方程的概念 1. 下列式子为一元二次方程的是（　B　） A. 5x2－1 B. 4a2＝81 D. （x－2）（x＋1）＝8y B C. 4x ＝25 —— 考点练习 —— 考点过关 2. 若方程mx2＋3x－4＝3x2是关于x的一元二次方程，则m的 取值范围是 ⁠。 3. 如果关于x的方程（m－3） －x＋3＝0是一元二次方 程，那么m的值为 ⁠。 m≠3　 －3　 考点过关 考点2　一元二次方程的根 4. 已知关于x的一元二次方程有一个根是x＝－1，写出一个符合条件的一元二次方程： ⁠。 5. 如果关于x的方程x2－2x＋c＝0有一个根是1，那么实数c 的值是 ⁠。 6. 若m是方程2x2－3x－1＝0的一个根，则6m2－9m＋2 026 的值为 ⁠。 x2＝1（答案不唯一）　 1　 2 029　 考点过关 考点3　解一元二次方程 7. 用配方法解方程x2－2x－8＝0时，原方程应变为（　C　） A. （x－2）2＝9 B. （x＋2）2＝9 C. （x－1）2＝9 D. （x＋1）2＝9 C 考点过关 8. 用公式法解方程：x2＋6x＋4＝0。 解：a＝1，b＝6，c＝4。 ∵b2－4ac＝62－4×1×4＝20＞0， ∴x＝ ＝ ＝－3± ， 即x1＝ －3，x2＝－ －3。 解：a＝1，b＝6，c＝4。 ∵b2－4ac＝62－4×1×4＝20＞0， ∴x＝ ＝ ＝－3± ， 即x1＝ －3，x2＝－ －3。 考点过关 9. 解下列方程： （1）（x＋3）2－25＝0； 解：（1）移项，得（x＋3）2＝25。 ∴x＋3＝±5。 ∴x＋3＝5，或x＋3＝－5。 （2）（x＋3）2－2x（x＋3）＝0。 解：（1）移项，得（x＋3）2＝25。 ∴x＋3＝±5。∴x＋3＝5，或x＋3＝－5。 ∴x1＝2，x2＝－8。 解：（2）原方程可变形为（x＋3）（x＋3－2x）＝0， 即（x＋3）（3－x）＝0。 ∴x＋3＝0，或3－x＝0。∴x1＝－3，x2＝3。 考点过关 考点4　一元二次方程根的判别式 10. 对于方程2x2－2 x＋1＝0的实数根的情况，下列说法正 确的是（　C　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根 C 考点过关 11. 若关于x的一元二次方程（k－2）x2－2x＋1＝0有两个不 相等的实数根，则k的取值范围是（　D　） A. k＞3 B. k＞－3且k≠2 C. k＜3 D. k＜3且k≠2 D 考点过关 12. 关于x的一元二次方程x2＋2x－k2＝0的根的情况是 （　D　） A. 没有实数根 B. 不一定有实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 D 考点过关 考点5　一元二次方程的根与系数的关系 13. 方程3x2＋7x－8＝0的两个根是x1，x2，则 x1＋x2＝ ， x1x2＝ 　－ 　。 14. 已知a，b是方程2x2－5x＋1＝0的两个不相等的实数根， 则 ＋ 的值为 ⁠。 － － 　 5　 考点过关 考点6　一元二次方程的应用 15. 在一场AI技术研讨会上，一名专家掌握了DeepSeek模型 优化技巧并开始分享。经过两轮分享后，共225人掌握此技巧。 若每轮每人分享给相同数量的人，设每轮平均每人分享给 x人，则可列方程为 ⁠。 1＋x＋（x＋1）x＝225　 考点过关 16. 某地区计划举行校际篮球友谊赛，赛制为主客场形式（每 两队之间在主场、客场各比赛一场）。已知共比赛了30场次， 则参加比赛的队伍共有（　C　） A. 4支 B. 5支 C. 6支 D. 7支 C 考点过关 ●命题点一　一元二次方程的根 17. 定义新运算“aⓧb”：对于任意实数a，b，都有aⓧb＝ （a－b）2－b，如3ⓧ2＝（3－2）2－2＝－1。若xⓧk＝0 （k为实数）是关于x的方程，且x＝2是这个方程的一个根， 则k的值是 ⁠。 18. 若x＝－1是关于x的一元二次方程ax2＋bx－2＝0 （a≠0）的一个根，则2 026－2a＋2b的值为 ⁠。 1或4　 2 022　 重难点突破 19. 小亮在估算一元二次方程x2＋12x－15＝0的根的过程中， 列了如下表格。根据表格信息，该根的十分位上的数字是 （　A　） x 1.1 1.2 1.3 1.4 x2＋12x－15 －0.59 0.84 2.29 3.76 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 A 重难点突破 ●命题点二　解一元二次方程 20. 解下列方程： （1）x2－6x＋9＝（2x－1）2； 解：（1）原方程可变形为 （x－3）2＝（2x－1）2， （x－3）2－（2x－1）2＝0， （x－3＋2x－1）（x－3－2x＋1）＝0， （3x－4）（－x－2）＝0。 ∴3x－4＝0，或－x－2＝0。 解：（1）原方程可变形为 （x－3）2＝（2x－1）2， （x－3）2－（2x－1）2＝0， （x－3＋2x－1）（x－3－2x＋1）＝0， （3x－4）（－x－2）＝0。 ∴3x－4＝0，或－x－2＝0。 解得x1＝ ，x2＝－2。 重难点突破 （2）2x2＋4＝7x。 （2）将原方程化为一般形式， 得2x2－7x＋4＝0。 a＝2，b＝－7，c＝4。 ∵Δ＝b2－4ac＝（－7）2－4×2×4＝17＞0， ∴x＝ ＝ ， 即x1＝ ，x2＝ 。 解：（2）将原方程化为一般形式， 得2x2－7x＋4＝0。 a＝2，b＝－7，c＝4。 ∵Δ＝b2－4ac＝（－7）2－4×2×4＝17＞0， ∴x＝ ＝ ， 即x1＝ ，x2＝ 。 重难点突破 ●命题点三　一元二次方程的根与系数的关系 21. 关于x的一元二次方程x2－5mx＋6m2＝0（m＞0）的两个 实数根分别为x1，x2，若 ＋ ＝52，则实数m的值为 （　C　） B. 1 C. 2 D. 4 C A. 重难点突破 22. 已知关于x的一元二次方程x2－x＋2m－4＝0有两个实数根。 （1）求m的取值范围； （2）若方程的两根满足（x1－3）（x2－3）＝m2－1，求m的值。 解：（1）根据题意，得Δ＝（－1）2－4（2m－4）≥0。 解得m≤ 。 解：（1）根据题意，得Δ＝（－1）2－4（2m－4）≥0。 解得m≤ 。 （2）根据题意，得x1＋x2＝1，x1x2＝2m－4。 ∵（x1－3）（x2－3）＝m2－1， ∴x1x2－3（x1＋x2）＋9＝m2－1。 ∴2m－4－3×1＋9＝m2－1。∴m2－2m－3＝0。 解得m1＝－1，m2＝3（不合题意，舍去）。 故m的值是－1。 重难点突破 ●命题点四　一元二次方程的应用 23. 图1为某月的日历表，小明用图2所示的框在该日历表上任 意框出了其中的四个数，如果框出的4个数中，最大数x与最小 数的积为588，那么根据题意可列方程为（　B　） A. x（x－8）＝588 B. x（x－7）＝588 C. x（x－6）＝588 D. x（x－5）＝588 B 重难点突破 24. 某单位响应绿色环保倡议，提出要节约用纸，逐步走向“无纸化”办公。据统计，该单位2月份A4纸的用纸量为1 000张，到了4月份A4纸的用纸量降到了640张。 （1）求该单位A4纸用纸量的月平均降低率； （2）根据（1）的结果，估算该单位5月份A4纸的用纸量。 解：（1）设该单位A4纸用纸量的月平均降低率为x。 根据题意，得1 000（1－x）2＝640。 解得x1＝0.2＝20％，x2＝1.8（不合题意，舍去）。 答：该单位A4纸用纸量的月平均降低率为20％。 解：（1）设该单位A4纸用纸量的月平均降低率为x。 根据题意，得1 000（1－x）2＝640。 解得x1＝0.2＝20％，x2＝1.8（不合题意，舍去）。 答：该单位A4纸用纸量的月平均降低率为20％。 （2）640×（1－20％）＝512（张）。 答：估算该单位5月份A4纸的用纸量为512张。 重难点突破 25. 某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示。已知AB＝42 m，AD＝20 m，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为 x m的道路。已知铺防污地毯的面积为456 m2。 （1）求道路的宽； （2）该美食节共有50个摊位，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位。当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入为10 125元？ 解：（1）根据题意，得（42－x）（20－2x）＝456。 整理，得x2－52x＋192＝0。 解：（1）根据题意，得（42－x）（20－2x）＝456。 整理，得x2－52x＋192＝0。 解得x1＝4，x2＝48（不合题意，舍去）。 答：道路的宽为4 m。 （2）设每个摊位的日租金上涨a元。 根据题意，得（200＋a） ＝10 125。 整理，得a2－50a＋625＝0。解得a1＝a2＝25。 答：当每个摊位的日租金上涨25元时，美食节的日租金 收入为10 125元。 重难点突破 26. （几何直观、方程思想）如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm。点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时， 点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都 是1 cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P，Q运动的时间为t s。 （1）当t＝ 时，四边形ABQP是矩形； 3　 解：（1）由题意，得BQ＝DP＝t cm， AP＝CQ＝（6－t） cm。 在矩形ABCD中，∠B＝90°， AD∥BC， ∴当BQ＝AP时，四边形ABQP为矩形。 ∴t＝6－t。解得t＝3。故答案为：3。 素养大挑战 （2）当t＝ 时，四边形AQCP是菱形； 　 解：（2）由题意，得BQ＝DP＝t cm，AD＝BC， ∴AD－DP＝BC－BQ，即AP＝CQ。 ∵AD∥BC，∴四边形AQCP为平行四边形。 ∴当AQ＝CQ时，四边形AQCP为菱形。 由勾股定理，得AQ2＝AB2＋BQ2＝32＋t2。 又∵CQ2＝（6－t）2，∴32＋t2＝（6－t）2。 解得t＝ 。故答案为： 。 26. （几何直观、方程思想）如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm。点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P，Q运动的时间为t s。 素养大挑战 （3）是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求 出t的值；如果不存在，请说明理由。 解：（3）不存在。理由如下： ∵∠QMA＝∠BAM＝∠B＝90°， ∴四边形ABQM是矩形。 ∴MP＝（6－2t）cm。 答图 26. （几何直观、方程思想）如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm。点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P，Q运动的时间为t s。 如图，过点Q作QM⊥AD于点M， ∴AM＝BQ＝t cm，QM＝AB＝3 cm。 ∴PQ2＝MP2＋QM2＝（6－2t）2＋32。 则∠QMD＝∠QMA＝90°。 素养大挑战 解：（3）不存在。理由如下：如图，过点Q作QM⊥AD于点M， 则∠QMD＝∠QMA＝90°。∵∠QMA＝∠BAM＝∠B＝90°， ∴四边形ABQM是矩形。∴AM＝BQ＝t cm，QM＝AB＝3 cm。 ∴MP＝（6－2t）cm。∴PQ2＝MP2＋QM2＝（6－2t）2＋32。 ∵在矩形ABCD中，∠D＝90°， ∴△PDC为直角三角形。∴PC2＝PD2＋CD2＝t2＋32。 ∵PQ⊥PC，∴∠QPC＝90°。∴PQ2＋PC2＝CQ2， 即（6－2t）2＋32＋t2＋32＝（6－t）2。 ∴2t2－6t＋9＝0。∵Δ＝（－6）2－4×2×9＝36－72＝－36＜0， ∴此方程无实数根。∴不存在某一时刻t使得PQ⊥PC。 ∵在矩形ABCD中，∠D＝90°， ∴△PDC为直角三角形。∴PC2＝PD2＋CD2＝t2＋32。 ∵PQ⊥PC，∴∠QPC＝90°。∴PQ2＋PC2＝CQ2， 即（6－2t）2＋32＋t2＋32＝（6－t）2。 ∴2t2－6t＋9＝0。 ∴此方程无实数根。∴不存在某一时刻t使得PQ⊥PC。 （3）是否存在某一时刻t使得PQ⊥PC，如果存在，请求 出t的值；如果不存在，请说明理由。 26. （几何直观、方程思想）如图，在矩形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝6 cm。点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P，Q的速度都是1 cm/s，连接PQ，AQ，CP，设点P，Q运动的时间为t s。 ∵Δ＝（－6）2－4×2×9＝36－72＝－36＜0， 答图 素养大挑战 $