精品解析：河北省石家庄市第五十三中学2022年 九年级数学中考复习考前适应性综合练习题

河北省石家庄市第五十三中学2022年春九年级数学 中考复习考前适应性综合练习题 一、选择题 1. 我国是最早使用负数的国家，东汉初，在我国著名的数学书《九章算术》中，明确提出了“正负术”．如果盈利20元记作“＋20元”，那么亏损30元记作（ ） A. －30元 B. 30元 C. 50元 D. －50元 2. 如图所示，用刻度尺度量线段，可以读出线段的长度约为（ ） A. B. C. D. 3. 计算：的结果是（　　　） A. B. 2 C. 7 D. 9 4. 如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 若，则a等于（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 6. 已知：△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（ ） A. 0＜x＜3 B. x＞3 C. 3＜x＜6 D. x＞6 7. 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ） 队员 甲 乙 丙 丁 平均成绩 9.7 9.6 9.7 9.6 方差 0.56 0.56 2.12 1.34 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 8. 数用科学记数法表示为，当n增大1时，相当于原数（ ） A. 乘以10 B. 除以10 C. 增加10 D. 减少10 9. 下列三个图中，能够用来判断的是（ ）． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 10. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量为10g，则物体M的质量的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 11. 数学课上探究“菱形的两条对角线互相垂直”时，甲乙两同学分别给出各自的证明： 已知：如图，四边形是菱形，对角线AC，BD交于点O． 求证： 甲的证法： ∵四边形是菱形，∴，， 又∵，∴ ∴，∵， ∴，∴． 乙的证法： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 则关于两人的证明过程，说法正确的是（ ） A. 甲、乙两人都对 B. 甲对，乙不对 C. 乙对，甲不对 D. 甲、乙两人都不对 12. 分式运算的结果为，则处的运算符号是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为( ) A. B. C. D. 14. 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣ 3 3 下列结论正确的是（　　） A. abc＞0 B. 当x＞1时，y的值随x值的增大而减小 C. 16a+4b+c＜0 D. 抛物线与坐标轴有两个交点 15. 在图中，连接格点构成三角形，其中与阴影三角形成位似图形（全等图形除外）的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 16. 如图，将三个全等的阴影三角形，按如图的方式摆放（三对顶点重合），甲、乙、丙三人有如下结论： 甲：图中四个三角形覆盖的图形是等边三角形； 乙：若点是的内心，则它同时是的外心； 丙：图中空白三角形是等边三角形，它的面积和其他三角形面积可能不相等． 下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙正确 B. 乙、丙正确 C. 甲、丙正确 D. 甲、乙、丙都正确 二、填空题 17. 计算的结果是 _____． 18. 一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为________． 19. 对正多边形进行如下操作：绕其一个顶点，每次旋转一个内角的度数，经过一定次数的旋转后，得到关于该顶点的中心对称图形．例如图：对正三角形，每次旋转，经过3次旋转，即可得到该正三角形关于顶点的中心对称图形． 依据上述规则： （1）对正四边形，每次应旋转 _____°，至少旋转 _____次，可以得到其关于顶点的中心对称图形； （2）正十二边形至少旋转 _____次，可以得到其关于顶点的中心对称图形． 三、解答题 20. 如图，在数轴上，点、分别表示数、． （1）若，则点、间的距离是多少？ （2）若点在点右侧： ①求的取值范围； ②判断：表示数的点应落在 (填序号)． A．点左边 B．线段上 C．点右边 21. 满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： （1）按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； （2）猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 22. 为了解对“公益捐献”活动的满意度，随机调查了部分参加者，为本次活动打分（打分按从高到低分为5个分值：5分，4分，3分，2分，1分）．若从中随机取一人，则P（抽中打3分），并将调查结果绘制成不完整的条形统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名参加者，并补全条形统计图，打分的中位数是 ； （2）若从打分较低的四人中随机抽取2位进行详细了解，求选中“打分是2分或1分的参加者”的概率； （3）若再增补调查5位参加者，他们的打分分别为：4，4，4，3，3，则增加调查人数前后、本次活动打分情况的众数是否发生改变？若改变，求这个众数；若未改变，请说明理由． 23. 如图，将半径为5的扇形，绕点O逆时针旋转得到扇形． （1）与的数量关系是：________； （2）求证：； （3）当为直径时，，求的值及优弧的长． 24. 如图，已知直线：与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． （1）求的值，并求点的坐标； （2）若点为轴正半轴上一点，，求点的坐标，将它标在坐标系中，则点关于点的对称点坐标是 ； （3）约定：将（）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且每侧个数相等，直接写出符合条件的的整数值． 25. 如图图3，在中，，，，点M在边上，，半圆O与边交于点P（靠近A的交点），直径． （1）在半圆运动过程中，的最小值是 ，此时 ； （2）如图1，若，求证：①圆心O在边上；②圆O与相切； （3）当时，直接写出点Q到直线的距离 26. 某电子屏上下边缘距离为，点P在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘，之后的运动时间为t秒，点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，d由两部分组成：为常数，与t的平方成正比，且有如下表格中的数据． t d （1）用含t的代数式表示d，直接写出最高点M的坐标； （2）若，用分别表示点P的横坐标x、纵坐标y，求y与x之间的关系式，并求点P在电子屏左边缘时的坐标； （3）甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点M，若乙点比甲先出发，，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于，直接写出m的最小值． 27. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省石家庄市第五十三中学2022年春九年级数学 中考复习考前适应性综合练习题 一、选择题 1. 我国是最早使用负数的国家，东汉初，在我国著名的数学书《九章算术》中，明确提出了“正负术”．如果盈利20元记作“＋20元”，那么亏损30元记作（ ） A. －30元 B. 30元 C. 50元 D. －50元 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数和负数的意义即可解答． 【详解】根据题意即可知亏损即可30元记作：-30元． 故选：A． 【点睛】本题考查正负数在实际生活中的应用．理解正负数的意义是解答本题的关键． 2. 如图所示，用刻度尺度量线段，可以读出线段的长度约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图中数据计算即可． 【详解】解：由图可知，的长度约为：（cm）． 3. 计算：的结果是（　　　） A. B. 2 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】先计算绝对值，再相加即可． 【详解】解：． 故选：C． 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数的加法．理解负数的绝对值等于它的相反数是解题关键． 4. 如图是一个“凹”字形几何体，下列关于该几何体的俯视图画法正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用三视图画法结合俯视图的观察角度得出答案． 【详解】解：如图所示，其俯视图是： ． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了作三视图，正确掌握俯视图观察角度是解题关键． 5. 若，则a等于（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】利用同底数幂的乘法及除法完成． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 6. 已知：△ABC中，AB=AC=x，BC=6，则腰长x的取值范围是（ ） A. 0＜x＜3 B. x＞3 C. 3＜x＜6 D. x＞6 【答案】B 【解析】 【详解】解：在△ABC中，AB=AC=x，BC=6． 根据三角形三边关系得： AB+AC＞BC， 即x+x＞6， 解得x＞3． 故选B． 7. 甲、乙、丙、丁四名射击队员考核赛的平均成绩（环）及方差统计如表，现要根据这些数据，从中选出一人参加比赛，如果你是教练员，你的选择是（ ） 队员 甲 乙 丙 丁 平均成绩 9.7 9.6 9.7 9.6 方差 0.56 0.56 2.12 1.34 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是方差和平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 【详解】解：从平均成绩来看，甲和丙的平均成绩最高； 从方差来看，甲的方差最小，成绩最稳定， ∴选择甲参加比赛， 故选：A． 8. 数用科学记数法表示为，当n增大1时，相当于原数（ ） A. 乘以10 B. 除以10 C. 增加10 D. 减少10 【答案】B 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，当n增大时，原数则缩小． 【详解】解：∵数用科学记数法表示为， ∴当n增大1时，此时的数为， ∴此时相当于原数除以10． 9. 下列三个图中，能够用来判断的是（ ）． A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图痕迹识别出几何关系，进而利用角度之间的和差关系或外角定理进行推导． 【详解】解：如图， 在①中连接，则， ， ，故①符合题意； 在②中连接，则有， ， ，， ． ， ， ，故②符合题意； 在③中，不能判断与的大小，故③不符合题意． 故符合题意的有①②． 10. 如图，天平右盘中的每个砝码的质量为10g，则物体M的质量的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用及不等式组的解集在数轴上的表示方法．通过看图得出具体的信息，从而得出物体M的质量m的取值范围． 【详解】解：∵由左图可知，由右图可知， ∴m的取值范围是：． 在数轴是表示为 故选：C． 11. 数学课上探究“菱形的两条对角线互相垂直”时，甲乙两同学分别给出各自的证明： 已知：如图，四边形是菱形，对角线AC，BD交于点O． 求证： 甲的证法： ∵四边形是菱形，∴，， 又∵，∴ ∴，∵， ∴，∴． 乙的证法： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴． 则关于两人的证明过程，说法正确的是（ ） A. 甲、乙两人都对 B. 甲对，乙不对 C. 乙对，甲不对 D. 甲、乙两人都不对 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据全等三角形的判定与性质和等腰三角形的性质判断即可． 【详解】解：甲乙两同学分别给出各自的证明都是正确的，甲是利用全等三角形的性质证明∠AOB=∠AOD=90°的，乙是利用等腰三角形的三线合一的性质证明AC⊥BD的． 故选：A． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 12. 分式运算的结果为，则处的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则，逐项进行验证即可． 【详解】解：若处为“”，则 ，故A不符合题意； 若处为“”，则 ，故B不符合题意； 若处为“”，则 ，故C不符合题意； 若处为“”，则 ，故D符合题意． 13. 如图，一人乘雪橇沿坡度为的斜坡笔直滑下，滑下的距离)与时间)之间的关系为，若滑到坡底的时间为，则此人下降的高度为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵滑下的距离)与时间)之间的关系为，滑到坡底的时间为， ∴， 设坡角为， ∵斜坡的坡比为， ∴， ∴， ∴此人下降的高度， 故选：C． 14. 二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）中的x与y的部分对应值如表： x ﹣1 0 1 3 y ﹣ 3 3 下列结论正确的是（　　） A. abc＞0 B. 当x＞1时，y的值随x值的增大而减小 C. 16a+4b+c＜0 D. 抛物线与坐标轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解． 【详解】解；由表格数据可知，x＝0和x＝3的函数值都是3， ∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1.5，c＝3＞0， ∴当x＝1时，二次函数y＝ax2+bx+c有最大值， ∴抛物线开口向下，当x＞1时，y的值随x值的增大而减小， ∴a＜0，b＞0， ∴abc＜0，故A、B错误； ∵（﹣1，）的对称点是（4，）， ∴当x＝4时，y＝， ∴16a+4b+c＝＜0，故C正确； ∵抛物线开口向下，顶点在x轴的上方， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴x＝0时，y＝3， ∴抛物线与y轴交于（0，3）点， ∴抛物线与坐标轴有3个交点，故D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，仔细分析表格数据，熟练掌握二次函数的性质是解决本题的关键，蕴含了数形结合的思想方法． 15. 在图中，连接格点构成三角形，其中与阴影三角形成位似图形（全等图形除外）的有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的定义，画出符合题意的图形，即可解答． 【详解】解：如图：与构成位似图形. 故选 【点睛】考核知识点：作位似图形．理解位似图形的意义是关键． 16. 如图，将三个全等的阴影三角形，按如图的方式摆放（三对顶点重合），甲、乙、丙三人有如下结论： 甲：图中四个三角形覆盖的图形是等边三角形； 乙：若点是的内心，则它同时是的外心； 丙：图中空白三角形是等边三角形，它的面积和其他三角形面积可能不相等． 下列判断正确的是（ ） A. 甲、乙正确 B. 乙、丙正确 C. 甲、丙正确 D. 甲、乙、丙都正确 【答案】B 【解析】 【分析】甲：四个三角形覆盖的图形有可能是三角形还有可能是六边形，进而可以判断； 乙：过点作于点P，作于点Q，作于点M，连接，根据等边三角形的内心可得是三个全等三角形的中线，可以证明，，可得，进而可以判断； 丙：是等边三角形已经证明，再画出面积和其他三角形面积不相等的图形，即可进行判断． 【详解】解：甲：∵阴影三角形是三个全等的三角形， ∴，，， 当三点，三点，三点，分别共线时，， ∴， ∴是等边三角形， 此时图中四个三角形覆盖的图形是等边三角形， 当三点，三点，三点，都不共线时，覆盖的图形是六边形， 故甲错误； 乙：如图，过点作于点P，作于点Q，作于点M，连接， ∵点I是的内心， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是三个全等三角形的中线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴是的外心；故乙正确； 丙：∵是等边三角形，如图， 的面积和其他三角形面积明显不相等，故丙正确． 综上所述：判断正确的是：乙，丙． 二、填空题 17. 计算的结果是 _____． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 18. 一个长、宽分别为a、b的长方形的周长为10，面积为6，则的值为________． 【答案】30 【解析】 【分析】直接利用已知得出a+b ，ab的值，再利用提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解：长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为6， ，， 故， 则． 故答案为30． 【点睛】本题主要考查了提取公因式法分解因式，正确得出a+b 的值是解题关键． 19. 对正多边形进行如下操作：绕其一个顶点，每次旋转一个内角的度数，经过一定次数的旋转后，得到关于该顶点的中心对称图形．例如图：对正三角形，每次旋转，经过3次旋转，即可得到该正三角形关于顶点的中心对称图形． 依据上述规则： （1）对正四边形，每次应旋转 _____°，至少旋转 _____次，可以得到其关于顶点的中心对称图形； （2）正十二边形至少旋转 _____次，可以得到其关于顶点的中心对称图形． 【答案】 ①. 90 ②. 2 ③. 6 【解析】 【分析】求出正多边形的每个内角，得到每次应旋转的度数，计算出至少旋转多少个这样的度数才是的整数倍数． 【详解】解：（1）对正四边形，每个内角为，则每次应旋转90°；而，则至少旋转2次，可以得到其关于顶点的中心对称图形； （2）正十二边形的每个内角为，而，至少旋转6次，可以得到其关于顶点的中心对称图形． 三、解答题 20. 如图，在数轴上，点、分别表示数、． （1）若，则点、间的距离是多少？ （2）若点在点右侧： ①求的取值范围； ②判断：表示数的点应落在 (填序号)． A．点左边 B．线段上 C．点右边 【答案】（1）； （2）①；②B． 【解析】 【分析】（1）将代入代数式，得出点、分别表示数、，进而得出的长，即点、间的距离； （2）①根据题意列出不等式，解不等式，即可求解； ②根据，得出，，即可求解． 【小问1详解】 若，则， 点、分别表示数、， ； 【小问2详解】 ①∵点在点右侧， ， 解得； ②， ， 则， 数轴上表示数的点应落在点的右边， 又， ，即数轴上表示数的点在点的左边， 数轴上表示的点落在线段上， 故答案为：B． 21. 满足勾股定理的正整数称为勾股数，观察以下两组勾股数的规律： （1）按此规律，填空：， 上面一组勾股数中，▲表示 ，〇表示 ； （2）猜想： ①当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，），请你给出证明； ②当2n是大于2的偶数时，直接用n表示勾股数：（，， ）． 【答案】（1）8，10； （2）①证明：∵，， ， ∴当n是大于1的奇数时，勾股数为：（n，，）； ② 【解析】 【分析】（1）找到两个正整数的和与它们的差为36即可； （2）①根据整式的加减即可证明； ②根据完全平方公式和整式的加减即可求解. 【小问1详解】 解：按此规律，填空： 上面一组勾股数中，▲表示8，〇表示10； 【小问2详解】 解：①略 ②∵， ∴当是大于2的偶数时，用n表示勾股数：． 22. 为了解对“公益捐献”活动的满意度，随机调查了部分参加者，为本次活动打分（打分按从高到低分为5个分值：5分，4分，3分，2分，1分）．若从中随机取一人，则P（抽中打3分），并将调查结果绘制成不完整的条形统计图． 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次共调查了 名参加者，并补全条形统计图，打分的中位数是 ； （2）若从打分较低的四人中随机抽取2位进行详细了解，求选中“打分是2分或1分的参加者”的概率； （3）若再增补调查5位参加者，他们的打分分别为：4，4，4，3，3，则增加调查人数前后、本次活动打分情况的众数是否发生改变？若改变，求这个众数；若未改变，请说明理由． 【答案】（1）20，，4.5分； （2）； （3）众数没有发生改变．理由如下： 增加5位参加者的打分后，统计结果是：得5分的有10人，得4分的有9人，得3分的有4人，得2分的有1人，得1分的有1人，这组数据的众数是5，原数据的众数也是5， 由此可知，众数没有发生改变． 【解析】 【分析】（1）由“3分”的人数及其所占百分比求出总人数，再求出“4分”的人数，即可补全图形；根据中位数的定义求解即可； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，利用概率公式求解即可； （3）根据众数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：本次调查的总人数为（人）， “4分”的人数为（人）， 补图见答案， 打分的中位数是（分）； 【小问2详解】 解：列表如下： 1 2 3 3 1 2 3 3 由表知，共有12种等可能结果，选中“打分是2分或1分的参加者”的有10种结果， 所以选中“打分是2分或1分的参加者”的概率为； 【小问3详解】 略 23. 如图，将半径为5的扇形，绕点O逆时针旋转得到扇形． （1）与的数量关系是：________； （2）求证：； （3）当为直径时，，求的值及优弧的长． 【答案】（1）= （2）证明见解析 （3）， 【解析】 【分析】（1）由扇形的性质可得，再由等腰三角形的性质可知，再由旋转的性质得，故； （2）利用证明三角形全等； （3）利用垂径定理及圆的基本性质可得，即可求得旋转角的度数，再根据弧长公式求优弧的长即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ， 由旋转的性质可知，， ． 故答案为：= 【小问2详解】 证明：由旋转的性质可知，，， ， 即， ， ． 在与中， ， ． 【小问3详解】 解：当为直径时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， 即， ∴， ∴优弧的长度为． 【点睛】本题考查了圆的基本性质，垂径定理，旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解题的关键是利用旋转得到边、角的关系． 24. 如图，已知直线：与轴分别交于点，正比例函数的图象与直线交于点． （1）求的值，并求点的坐标； （2）若点为轴正半轴上一点，，求点的坐标，将它标在坐标系中，则点关于点的对称点坐标是 ； （3）约定：将（）中内部（不含边界）横、纵坐标都是整数的点称为“要点”．若曲线使得这些“要点”分布在它的两侧，且每侧个数相等，直接写出符合条件的的整数值． 【答案】（1），， （2）； （3） 【解析】 【分析】（）将交点坐标分别代入两个函数解析式，利用待定系数法求出参数；再令一次函数，求解对应的值，得到直线与轴交点的坐标； （）过点作轴垂线得到三角形的高，依据面积相等推导出底边，求出点坐标；再利用中心对称中点关系，算出点关于的对称点坐标； （）先找出内部横纵坐标均为整数的“要点”，结合双曲线把这些点均分在曲线两侧的条件，确定取值范围，筛选出整数解． 【小问1详解】 解：将点代入，得， 解得， ∴， 令，即， 解得， ∴， 将代入，得， 解得； 【小问2详解】 解：如图，作轴于， ∵， ∴， ∵在轴正半轴上， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在点左边个单位长度处， 故点关于点的对称点应在点右边个单位长度处， ∴点关于点的对称点坐标是； 【小问3详解】 解：在中共有个要点，在下方，在上方，如图： 把代入中，得， 把分别代入中，得， ∵双曲线在和之间得， 故． 25. 如图图3，在中，，，，点M在边上，，半圆O与边交于点P（靠近A的交点），直径． （1）在半圆运动过程中，的最小值是 ，此时 ； （2）如图1，若，求证：①圆心O在边上；②圆O与相切； （3）当时，直接写出点Q到直线的距离 【答案】（1）4；3 （2）证明：①∵， ∴， ∴， ∵为直径， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴与重合， ∴点O一定在上； ②过点O作于点E，过点D作于点F，则， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， 设，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴点E在半上， ∴与相切； （3）点Q到直线BC的距离为． 【解析】 【分析】（1）过点B作于点，根据垂线段最短，得出当点P在点时，最小，为长，解直角三角形求出结果即可； （2）①证明，得出，求出，证明为等腰直角三角形，根据等腰三角形三线合一，得出答案即可； ②过点O作于点E，过点D作于点F，证明四边形为矩形，得出，，解直角三角形求出，得出点E在半上，即可得出结论； （3）过点Q作于点T，过点M作于点R，分两种情况：当点P在点R下方时，当点P在点R上方时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵点P是与的交点， ∴点P一直在边上， 过点B作于点， ∵垂线段最短， ∴当点P在点时，最小，为长， 在中， ， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴的最小值为，此时， ∴在半圆运动过程中，的最小值是4，此时． 【小问2详解】 ①略；②略； 【小问3详解】 解：∵为半的直径， ∴， ∵在中， ， ∴， ∴， ； 过点Q作于点T，过点M作于点R，当点P在点R下方时，如图所示： 则， ∵， ∴根据解析（1）可得与间的距离为4，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴此时点Q到的距离为：； 过点Q作于点T，过点M作于点R，当点P在点R上方时，如图所示： 则， ∵， ∴根据解析（1）可得与间的距离为4，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， ∴此时点Q到的距离为：； 综上所述，点Q到直线的距离为． 26. 某电子屏上下边缘距离为，点P在电子屏上的运动路线如图中虚线所示，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘，之后的运动时间为t秒，点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，d由两部分组成：为常数，与t的平方成正比，且有如下表格中的数据． t d （1）用含t的代数式表示d，直接写出最高点M的坐标； （2）若，用分别表示点P的横坐标x、纵坐标y，求y与x之间的关系式，并求点P在电子屏左边缘时的坐标； （3）甲、乙两点从左边缘不同位置出发，均能达到最高点M，若乙点比甲先出发，，在两点下落过程中，若某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于，直接写出m的最小值． 【答案】（1）， （2），点P在电子屏左边缘时的坐标为 （3）m的最小值为 【解析】 【分析】（1）根据题意设出解析式，运用待定系数法求解即可； （2）利用已知的表示出表示出函数解析式，再将代入解析式即可求解； （3）先表示出甲乙的横坐标，再利用横坐标相等表示随后表示出甲乙的纵坐标，利用纵坐标之差不小于求解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵与t的平方成正比 ∴设，则：， ∵当时，，当时，， ∴， ∴， ∴． 当时，在最高点，， ∵某电子屏上下边缘距离为，当运动至点M时达到最高点，此时距左边缘，竖直方向与电子屏上边缘距离为 ∴当运动至点M时达到最高点，距左边缘，距下边缘， ∴； 【小问2详解】 解：∵点P是下落过程中某位置：水平方向继续以速度向右运动，竖直方向与电子屏上边缘距离为，， ∴点P的横坐标，纵坐标， 由可得， 把代入得， 当时，， ∴点P在电子屏左边缘时的坐标为． 【小问3详解】 解：m的最小值为，理由如下： ∵乙点比甲先出发，， ∴在下落过程中，，，， ∵当甲点恰好处于乙点正上方时，，则， ∴， ∴， 由（2）可知，， ， ∴， ， ∵某时刻甲恰好处于乙正上方，且距离不小于， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴，即m的最小值为． 27. 如图，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C，动点P在抛物线的对称轴上． （1）求抛物线的解析式； （2）当以P，B，C为顶点的三角形周长最小时，求点P的坐标及的周长； （3）若点Q是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点Q，使得以A，C，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) ；(2) P点坐标为(1,2)，的周长最小值为；(3) Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，) 【解析】 【分析】(1)将，代入即可求解； (2)连接BP、CP、AP，由二次函数对称性可知，BP=AP，得到BP+CP=AP+CP，当C、P、A三点共线时，△PBC的周长最小，由此求出AC解析式，将P点横坐标代入解析式中即可求解； (3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)，按AC为对角线，AP为对角线，AQ为对角线分三种情况讨论即可求解． 【详解】解：(1)将，代入二次函数表达式中， ∴ ，解得， ∴二次函数的表达式为：； (2)连接BP、CP、AP，如下图所示： 由二次函数对称性可知，BP=AP， ∴BP+CP=AP+CP， BC为定直线，当C、P、A三点共线时，有最小值为， 此时的周长也最小， 设直线AC的解析式为：，代入， ∴，解得， ∴直线AC的解析式为：， 二次函数的对称轴为，代入，得到， ∴P点坐标为(1,2)， 此时的周长最小值=； (3)设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)， 分类讨论： 情况一：AC为菱形对角线时，另一对角线为PQ， 此时由菱形对角互相平分知：AC的中点也必定是PQ的中点， 由菱形对角线互相垂直知：， ∴ ，解得， ∴P点坐标为(1，1)，对应的Q点坐标为(2，2)； 情况二：AP为菱形对角线时，另一对角线为CQ， 同理有：，解得或， ∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(4，)或(4，)； 情况三：AQ为菱形对角线时，另一对角线为CP， 设P点坐标为(1，t)，Q点坐标为(m，n)， 同理有：，解得或， ∴P点坐标为(1，)或(1，)，对应的Q点坐标为(-2，)或(-2，)； 纵上所示，Q点坐标存在，为(2，2)或(4，)或(4，)或(，)或(，)． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数对称性求线段最值问题及菱形的存在性问题，本题第三问难度大一些，熟练掌握各图形的性质是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $