精品解析：河北省石家庄市平山县外国语中学2022--2023学年九年级上学期开学考试数学模拟试卷二

河北省石家庄市平山县外国语中学2022—2023学年第一学期九年级开学考试数学模拟试卷二 一、单选题 1. 如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 2. 如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，菱形中，，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 4. 如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ） A. 8 cm 2 B. 8.5 cm 2 C. 9 cm 2 D. 9.5 cm 2 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 6. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接CE，当EA=EC，且点M为BC的中点时，AB：AE的值为（ ） A. 2 B. C. D. 8. 如图，为△的中位线，点在上，且;若,则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 9. 将一根长25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（ ） A. 0≤h≤13 B. 12≤h≤13 C. 11≤h≤12 D. 13≤h≤25 10. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法： ① .四边形EFGH一定是平行四边形； ②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形； ③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形． 其中正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 11. 如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，则第2020个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 12. 函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A. x＞﹣2 B. x≥﹣2 C. x＞﹣2且x≠1 D. x≥﹣2且x≠1 13. 下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ） A. B. y＝6﹣2x C. D. y＝﹣6＋2x 14. 如图，在中，，是的中位线，则的长度是（ ） A. B. C. D. 15. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 16. 如图，为测量池塘的宽度（A、B两点之间的距离），在池塘的一侧选取一点O，连接OA、OB，并分别取它们的中点D、E，连接DE，现测出DE＝20米，那么A、B间的距离是（　　） A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 40米 17. 若一次函数的图像经过点，且函数值随着增大而减小，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 18. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（ ） A. 4：1 B. 5：1 C. 6：1 D. 7：1 19. 根据下表中的信息解决问题： 数据 37 38 39 40 41 频数 8 4 5 a 1 若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 20. 要使有意义，则x的取值范围为（　　） A. x≠100 B. x＞2 C. x≥2 D. x≤2 二、填空题 21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为_____． 22. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为________． 23. 如图，在矩形中，AD=6，将矩形折叠，使点B与点D重合，落在处，若，则折痕的长为__________． 24. 一个正方形的面积为，则它的对角线长为________． 25. 如果，那么代数式的值是_____． 三、解答题 26. 正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G． （1）如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形； （2）如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长； （3）如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积． 27. 为庆祝建党100周年，某书城准备购进甲，乙两种党史读本进行销售，它们的进价和售价如表．现计划用不超过4050元购进这两种党史读本共100本． 党史读物 进价（元/本） 售价（元/本） 甲 45 65 乙 30 45 （1）求甲种党史读本最多购进多少本？ （2）如果这100本党史读本都可售完，那么该书城如何进货才能获得最大利润？ 28. 国庆节期间，小王一家乘坐飞机前往大连市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金元，另外每小时收费元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费﹐每小时租车费元． （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与之间的函数关系式； （2）请你帮助小王计算选择哪家公司租车更合算． 29. 已知a＝2＋，b＝2﹣，求下列式子的值： （1）a2﹣3ab＋b2； （2）（a＋1）（b＋1）． 30. 综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： 问题提出： （1）已知：如图1所示，平面内三个点A，B，C，，．如图1，BC的长度的最小值为________． 问题解决： （2）已知：如图2所示，在中，，，以BC为底边向上构造等腰，，连接AD，以AD为腰向外构造等腰，使，且，线段DE的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由． 问题应用： （3）如图3所示，在中，，，，以AC为边向外作等边，连接BD．求BD的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省石家庄市平山县外国语中学2022—2023学年第一学期九年级开学考试数学模拟试卷二 一、单选题 1. 如图，矩形纸片，点M、N分别在矩形的边、上，将矩形纸片沿直线折叠，使点C落在矩形的边上，记为点P，点D落在G处，连接，交于点Q，连接．下列结论：①四边形是菱形；②点P与点A重合时，；③的面积S的取值范围是．其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ①③ D. ②③ 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质与折叠的性质，证明出，，通过等量代换，得到PM=CN，则由一组邻边相等的平行四边形是菱形得到结论正确；用勾股定理，，由菱形的性质对角线互相垂直，再用勾股定理求出；当过点D时，最小面积，当P点与A点重合时，S最大为，得出答案． 【详解】解：①如图1， ∵， ∴， ∵折叠，∴，NC=NP ∴， ∴， ∴PM=CN， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为菱形， 故①正确，符合题意； ②当点P与A重合时，如图2所示 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴，， ∴， 又∵四边形为菱形， ∴，且， ∴ ∴， 故②错误，不符合题意． ③当过点D时，如图3所示： 此时，最短，四边形的面积最小，则S最小为， 当P点与A点重合时，最长，四边形的面积最大，则S最大为， ∴，故③正确，符合题意． 故答案为：①③． 故选：C 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、折叠问题、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理与性质定理、勾股定理是解决本题的关键． 2. 如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结，，则的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得的长，即得答案． 【详解】设边上的高是h， ， ， ， 动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，， 则的长就是所求的最短距离， 在中， ，， ， 即的最小值为． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A关于直线l的对称点E，并得到的长就是所求的最短距离是解题的关键． 3. 如图，菱形中，，则等于（ ） A. B. C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出，再利用勾股定理列式求出，然后根据菱形的面积等对角线乘积的一半和底乘以高列出方程求解即可． 【详解】解：如图，设交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 故选：A 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，主要利用了菱形的对角线互相垂直平分的性质，难点在于利用菱形的面积的两种表示方法列出方程． 4. 如图，菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E，它们的面积分别为9 cm 2和64 cm 2，CD落在EF上，若△BCF的面积为4cm2，则△BDH的面积是（ ） A. 8 cm 2 B. 8.5 cm 2 C. 9 cm 2 D. 9.5 cm 2 【答案】B 【解析】 【分析】先连接FH，求出，再将求的面积转化为求的面积即可． 【详解】解：如图，连接FH， ∵菱形ABCD和菱形EFGH，∠A＝∠E， ∴， ∴， ∴， ∴和同底等高， ∴， ∵菱形ABCD面积为9 cm2，△BCF的面积为4cm2， ∴（cm2）， ∴（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形性质及其应用，解决本题的关键是利用同底等高将求的面积转化为求的面积，考查了学生的分析和推理的能力，运用了转化的思想方法． 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧交于点M，N，直线MN分别交AD，BC于点E，F．下列结论： ①四边形AECF是菱形； ②∠AFB＝2∠ACB； ③AC•EF＝CF•CD； ④若AF平分∠BAC，则CF＝2BF． 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可得，且平分，设与的交点为，证明四边形为菱形，即可判断①，进而根据等边对等角即可判断②，根据菱形的性质求面积即可求解．判断③，根据角平分线的性质可得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】如图，设与的交点为， 根据作图可得，且平分， ， 四边形是矩形， ， ， 又， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 垂直平分， ， 四边形是菱形，故①正确； ②， ， ∠AFB＝2∠ACB；故②正确； ③由菱形的面积可得AC•EF＝CF•CD；故③不正确， ④四边形是矩形， ， 若AF平分∠BAC，， 则， ， ， ， ， ， ， CF＝2BF．故④正确； 故选B 【点睛】本题考查了菱形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，综合运用以上知识是解题的关键． 6. 已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：四边形是平行四边形， A、当时，它是菱形，选项不符合题意， B、当时，它是菱形，选项不符合题意， C、当时，它是矩形，选项不符合题意， D、当时，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查正方形、菱形、矩形的判定，解答本题的关键是熟练掌握矩形、菱形、正方形的判定定理． 7. 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A作AM⊥BC于点M，交BD于点E，过点C作CN⊥AD于点N，交BD于点F，连接CE，当EA=EC，且点M为BC的中点时，AB：AE的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知AE∥CF；然后由全等三角形的判定定理ASA推知△ADE≌△CBF；最后根据全等三角形的对应边相等知AE=CF，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接AC交BF于点O，根据EA=EC推知▱ABCD是菱形，根据菱形的邻边相等知AB=BC；然后结合已知条件“M是BC的中点，AM⊥BC”证得△ADE≌△CBF（ASA），所以AE=CF，从而证得△ABC是正三角形；最后在Rt△BCF中，求得CF：BC=，利用等量代换知（AE=CF，AB=BC）AB：AE=． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD； ∴∠ADE=∠CBD， ∵AD=BC， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE=CF， 又∵AM⊥BC， ∴AM⊥AD； ∵CN⊥AD， ∴AM∥CN， ∴AE∥CF； ∴四边形AECF为平行四边形， ∵EA=EC， ∴▱AECF是菱形， ∴AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC， ∵M是BC的中点，AM⊥BC， ∴AB=AC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠ABC=60°，∠CBD=30°； 在Rt△BCF中，CF：BC=， 又∵AE=CF，AB=BC， ∴AB：AE=． 故选：B． 【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质等知识点，证得▱ABCD是菱形是解题的难点． 8. 如图，为△的中位线，点在上，且;若,则的长为（ ） A. 2 B. 1 C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出DF，计算即可． 【详解】∵DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC=5， ∵∠AFB=90°，D是AB 的中点， ∴DF=AB=3， ∴EF=DE-DF=2， 故选A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 9. 将一根长25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（ ） A. 0≤h≤13 B. 12≤h≤13 C. 11≤h≤12 D. 13≤h≤25 【答案】B 【解析】 【分析】根据杯子内筷子长度的取值范围得出杯子外面筷子长度的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：∵将一根长为25cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中， ∴在杯子中筷子最短是等于杯子的高，最长是等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度， ∴当杯子中筷子最短是等于杯子的高时长度为12cm， 最长时等于以杯子高和底面直径为直角边的直角三角形的斜边长度是：， ∴h的取值范围是：25−13⩽h⩽25−12， 即12⩽h⩽13， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的取值范围是解决问题的关键． 10. 如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．下列三种说法： ① .四边形EFGH一定是平行四边形； ②.若AC＝BD，则四边形EFGH 是菱形； ③.若AC⊥BD，则四边形EFGH是矩形． 其中正确的是（ ） A. ① B. ①② C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，EH=BD，EF=AC，根据平行四边形、菱形、矩形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点， ∴，EH=BD， EF=AC， ∴四边形EHGF是平行四边形，故①符合题意； 若AC=BD，则EF=EH， ∴平行四边形EHGF是菱形，故②符合题意； 若AC⊥BD，则EF⊥EH， ∴平行四边形EHGF是矩形，故③符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、平行四边形、菱形、矩形的判定定理是解题的关键． 11. 如图，已知周长为1，连接三边的中点构成第二个三角形，再连接第二个三角形三边中点构成第三个三角形，依此类推，则第2020个三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，按规律求解． 【详解】根据三角形中位线定理可得第二个三角形的各边长都等于最大三角形各边的一半， 那么第二个三角形的周长=△ABC的周长， 第三个三角形的周长=△ABC的周长， ， 第n个三角形的周长， ∴第2020个三角形的周长． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的中位线定理，解决本题的关键是利用三角形的中位线定理得到第n个三角形的周长与第一个三角形的周长的规律． 12. 函数y＝中，自变量x的取值范围是（　　） A. x＞﹣2 B. x≥﹣2 C. x＞﹣2且x≠1 D. x≥﹣2且x≠1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不为0，列不等式组可求得自变量x的取值范围． 【详解】根据题意得：， 解得：x≥﹣2且x≠1． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数自变量取值范围的求法．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13. 下列函数中，y随x的增大而减小的函数是（ ） A. B. y＝6﹣2x C. D. y＝﹣6＋2x 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；即可进行判断． 【详解】解：A、∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误； B、∵k＝﹣2＜0，∴y随x的增大而减小，故本选项正确； C、∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误； D、∵k＝2＞0，∴y随x的增大而增大，故本选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握 时，y随x的增大而增大； 时，y随x的增大而减小． 14. 如图，在中，，是的中位线，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由是的中位线，根据三角形中位线的性质，求得的长度． 【详解】是的中位线，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形中位线的性质，题目难度不大，注意数形结合思想的应用． 15. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】A.根据同类二次根式的定义解题； B.根据二次根式的乘法法则解题； C.根据完全平方公式解题； D.幂的乘方解题． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故A错误； B. ，故B错误； C. ，故C错误； D. ，故D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及同类二次根式、二次根式的乘法、完全平方公式、幂的乘方等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 16. 如图，为测量池塘的宽度（A、B两点之间的距离），在池塘的一侧选取一点O，连接OA、OB，并分别取它们的中点D、E，连接DE，现测出DE＝20米，那么A、B间的距离是（　　） A. 10米 B. 20米 C. 30米 D. 40米 【答案】D 【解析】 【分析】有已知条件可得为三角形的中位线，根据中位线定理即可求得． 【详解】 D、E是OA、OB的中点, , , ． 故选D． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理，掌握中位线定理是解题的关键． 17. 若一次函数的图像经过点，且函数值随着增大而减小，则点的坐标可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得k<0，然后把k用x和y表示出来，再把4个选项的x和y分别代入可以求得k的值，根据k<0经过筛选即可得到解答． 【详解】解：由题意可得k<0，且， A、x=2，y=4，所以k=，不合题意； B、，不合题意； C、，不合题意； D、，符合题意， 故选D ． 【点睛】本题考查一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的增减性并运用逆向思维法求解是解题关键． 18. 菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（ ） A. 4：1 B. 5：1 C. 6：1 D. 7：1 【答案】B 【解析】 【分析】先根据菱形的性质求出边长AB=2，再根据直角三角形的性质求出∠B=30°，得出∠DAB=150°，即可得出结论． 【详解】 如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8， ∴AB=BC=CD=DA=2，∠DAB+∠B=180， ∵AE=1，AE⊥BC， ∴AE=AB， ∴∠B=30， ∴∠DAB=150， ∴∠DAB:∠B=5:1； 故选B. 【点睛】本题考查菱形的性质. 19. 根据下表中的信息解决问题： 数据 37 38 39 40 41 频数 8 4 5 a 1 若该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有（ ） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用a=1、2、3、4、5、6分别得出中位数，进而得出符合题意的答案． 【详解】当a=1时，有19个数据，最中间是：第10个数据，则中位数是38； 当a=2时，有20个数据，最中间是：第10和11个数据，则中位数是38； 当a=3时，有21个数据，最中间是：第11个数据，则中位数是38； 当a=4时，有22个数据，最中间是：第11和12个数据，则中位数是38； 当a=5时，有23个数据，最中间是：第12个数据，则中位数是38； 当a=6时，有24个数据，最中间是：第12和13个数据，则中位数是38.5； 因为该组数据的中位数不大于38，则符合条件的正整数a的取值共有：5个． 故选C. 【点睛】本题考查中位数，频数（率）分布表. 20. 要使有意义，则x的取值范围为（　　） A. x≠100 B. x＞2 C. x≥2 D. x≤2 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可知，解不等式即可． 【详解】有意义， ， 解得：． 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题的关键． 二、填空题 21. 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设EF=x，根据三角形的中位线定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF≌△MNB，则EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长． 【详解】设EF=x， ∵点E、点F分别是OA、OD的中点， ∴EF是△OAD的中位线， ∴AD=2x，AD∥EF， ∴∠CAD=∠CEF=45°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC=2x， ∴∠ACB=∠CAD=45°， ∵EM⊥BC， ∴∠EMC=90°， ∴△EMC是等腰直角三角形， ∴∠CEM=45°， 连接BE， ∵AB=OB，AE=OE ∴BE⊥AO ∴∠BEM=45°， ∴BM=EM=MC=x， ∴BM=FE， 易得△ENF≌△MNB， ∴EN=MN=x，BN=FN=， Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2， ∴()2＝x2+(x)2， x=2或-2（舍）， ∴BC=2x=4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理；解决问题的关键是设未知数，利用方程思想解决问题． 22. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出∠2=∠4，再利用平行线的性质得出∠1=∠2=∠3，进而得出答案． 【详解】解：如答图，由第一次折叠得EF⊥AD，AE＝DE， ∴∠AEF＝90°，AD＝2AE． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠DAB＝90°， ∴∠AEF＝∠D， ∴EF∥CD， ∴△AEN∽△ADM， ∴＝＝， ∴AN＝AM， ∴AN＝MN， 又由第二次折叠得∠AGM＝∠D＝90°， ∴NG＝AM， ∴AN＝NG， ∴∠2＝∠4． 由第二次折叠得∠1＝∠2， ∴∠1＝∠4． ∵AB∥CD，EF∥CD， ∴EF∥AB，∴∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2＝∠3． ∵∠1＋∠2＋∠3＝∠DAB＝90°， ∴∠1＝∠2＝∠3＝30°． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC＝2． 由第二次折叠得AG＝AD＝2． 由第一次折叠得AE＝AD＝×2＝1． 在Rt△AEG中，由勾股定理得EG＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出∠2=∠4是解题关键． 23. 如图，在矩形中，AD=6，将矩形折叠，使点B与点D重合，落在处，若，则折痕的长为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】由，，可求，，由折叠可知，得出，为的直角三角形；由可知，，，由折叠的性质得，等量代换后判断为等边三角形，即可得出答案． 【详解】解：在中， ∵ ∴，， ∵， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴为等边三角形， 由折叠可知：BE=DE， ∵， ∴， ∵AD=6， ∴DE=BE=4， 故． 故答案为：4． 【点睛】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等． 24. 一个正方形的面积为，则它的对角线长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半，且正方形对角线相等，列方程解答即可． 【详解】解：设对角线长是xcm．则有 x2=81， 即x=±9（负数舍去）． 故答案为9． 【点睛】此题主要考查了正方形的性质，注意结论：对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半．此题也可首先根据面积求得正方形的边长，再根据勾股定理进行求解． 25. 如果，那么代数式的值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】将所求式子化简后再将已知条件中整体代入即可求值； 【详解】， ， ； 故答案为． 【点睛】本题考查代数式求值；熟练掌握整体代入法求代数式的值是解题的关键． 三、解答题 26. 正方形ABCD的边长为6，点E是BC边上一动点，点F是CD边上一动点，过点E作AF的平行线，过点F作AE的平行线，两条线交于点G． （1）如图1，若BE＝DF，求证：四边形AEGF是菱形； （2）如图2，在（1）小题条件下，若∠EAF＝45°，求线段DF的长； （3）如图3，若点F运动到DF＝2的位置，且∠EAF依然保持为45°，求四边形AEGF的面积． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形AEGF是平行四边形． ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， 又∵ ∴， ∴， ∴四边形AEGF是菱形； （2） （3）四边形AEGF的面积为30 【解析】 【分析】（1）先判定四边形AEGF是平行四边形，证明，由全等三角形的性质得出，由菱形的判定可得出结论； （2）过点F作于点H，证明是等腰直角三角形，得出，则可得出答案； （3）过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作于点P，证明△，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，求出，由勾股定理求出AE和AF的长，最后由平行四边形的面积公式可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点F作于点H， ∵四边形AEGF为菱形， ∴AC平分， ∴． 又∵四边形ABCD是正方形， ∴， ∴． ∵于点D，于点H， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：过点A作AE的垂线，交CD的延长线于点K，过点F作于点P， ∴． ∵， ∴． ∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∴， ∴． 又∵，， ∴， ∴，． 又∵，，， ∴， ∴， 设． 又∵，，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴等腰直角三角形中，． 又∵四边形AEGF为平行四边形， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，勾股定理，菱形的判定，等腰直角三角形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，判定四边形AEGF为菱形是解题的关键． 27. 为庆祝建党100周年，某书城准备购进甲，乙两种党史读本进行销售，它们的进价和售价如表．现计划用不超过4050元购进这两种党史读本共100本． 党史读物 进价（元/本） 售价（元/本） 甲 45 65 乙 30 45 （1）求甲种党史读本最多购进多少本？ （2）如果这100本党史读本都可售完，那么该书城如何进货才能获得最大利润？ 【答案】（1）70本；（2）甲种党史读本购进70本，甲种党史读本进30本，最大利润为1850元 【解析】 【分析】（1）设甲种党史读本购进m本，则甲种党史读本进(100−m)本，然后根据购进这100本党史读本的费用不得超过4050元，列出不等式解答即可； （2）首先求出总利润W的表达式，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）设甲种党史读本购进m本，则甲种党史读本进(100−m)本， 根据题意，得：45m+30(100−m)≤4050， 解得m≤70， 故甲种党史读本最多购进70本； （2）设总利润为W元， W＝(65﹣45)m+(45﹣30)(100−m)， 即W＝5m+1500． ∵k＝5＞0， ∴W随m的增大而增大， ∴当m＝70时W有最大值，W最大＝5×70+1500＝1850（元）， 100﹣70＝30（本）， 答：甲种党史读本购进70本，甲种党史读本进30本才能获得最大利润，最大利润为1850元． 【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，以及一次函数的应用，根据题意列出不等式和函数关系式是解答本题的关键． 28. 国庆节期间，小王一家乘坐飞机前往大连市旅游，计划第二天租出租车自驾游． 公司 租车收费方式 甲 每日固定租金元，另外每小时收费元． 乙 无固定租金，直接以租车时间计费﹐每小时租车费元． （1）设租车时间为小时，租用甲公司的车所需费用为元，租用乙公司的车所需费用为元，分别求出与之间的函数关系式； （2）请你帮助小王计算选择哪家公司租车更合算． 【答案】（1）；；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据表格信息列出函数关系式即可； （2）分别求出当时、当时、当时对应x的范围即可． 【详解】解：（1）根据表格信息可得： 租用甲公司的车所需费用， 租用乙公司的车所需费用； （2）当时， 解得： 故当时，甲乙两家公司一样优惠； 时， 解得： 故当时，乙公司优惠． 当时， 解得： 故当时，甲公司优惠． 【点睛】本题考查一次函数的应用、不等式的应用，根据表格信息列出函数关系式是解题的关键． 29. 已知a＝2＋，b＝2﹣，求下列式子的值： （1）a2﹣3ab＋b2； （2）（a＋1）（b＋1）． 【答案】（1）26；（2）3． 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式的形式对a2﹣3ab＋b2变形为，然后代入求值即可； （2）化简（a＋1）（b＋1）得，然后代入求值即可． 【详解】解：（1）a2﹣3ab＋b2 =， ∵a＝2＋，b＝2﹣，代入得， 原式= ； （2）（a＋1）（b＋1）=， ∵a＝2＋，b＝2﹣，代入得， 原式= ． 【点睛】此题考查了二次根式代数求值，解题的关键是先根据整式的乘法运算法则化简原式． 30. 综合与实践：某数学活动小组在探究三角形时，提出了如下数学问题： 问题提出： （1）已知：如图1所示，平面内三个点A，B，C，，．如图1，BC的长度的最小值为________． 问题解决： （2）已知：如图2所示，在中，，，以BC为底边向上构造等腰，，连接AD，以AD为腰向外构造等腰，使，且，线段DE的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由． 问题应用： （3）如图3所示，在中，，，，以AC为边向外作等边，连接BD．求BD的长度． 【答案】（1）2 （2）存在，2 （3）15 【解析】 【分析】（1）根据AB、AC的长度即可求出BC长度的取值范围，即可得解； （2）证明△BAD≌△CAE，再结合（1）中的结论即可求解； （3）在BC的上方作等边△BEC，连接ED，先证明△ACB≌△DCE，再证明△BED是直角三角形，再在Rt△BED中利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 ∵，（当C点在线段BA上和在BA的延长线上时取等号） ∵AB=5，AC=3， ∴，即， ∴BC的最小值为2， 故答案为：2； 【小问2详解】 存在，理由如下： ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC+∠CAD=∠CAD+∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， 在△BAD和△CAE中 ∴△BAD≌△CAE， ∴BD=CE， ∵BD=4，CD=2， ∴根据（1）中的结论可知：， ∴， 即DE的最小值为2； 【小问3详解】 在BC的上方作等边△BEC，连接ED，如图， ∵△BCE和△ACD都是等边三角形，BC=9, ∴EC=BC=BE=9，∠BEC=∠ECB=∠ACD=60°，AC=CD， ∴∠ECB+∠ACE=∠ACE+∠ACD， ∴∠ACB=∠DCE， ∴根据SAS可得△ACB≌△DCE， ∴DE=AB，∠DEC=∠ABC， ∵∠ABC=30°， ∴∠DEC=30°， ∴∠BEC+∠DEC=30°+60°=90°=∠BED， ∴△BED是直角三角形， ∵AB=12， ∴DE=12， ∵BE=9， ∴在Rt△BED中，， 即BD的长度为15． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的性质等知识，构造全等三角形△ACB≌△DCE是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $