精品解析：山西大同市实验中学2025-2026学年第二学期高一数学第一次月考试卷

大同市实验中学2025-2026学年第二学期 高一年级数学第一次月考试题 （考试时间：120分钟 满分150分 命题人： ） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项是符合要求的.） 1. 化简（ ） A. B. C. D. 2. 已知点，则向量（ ） A. B. C. D. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 0 B. －2 C. －4 D. －6 4. 如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，，则t的值为（ ） A. B. 2 C. D. 11 6. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 8. 在中，角的对边分别为，其面积，则边长c为（ ） A. 1 B. C. D. 2 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.其中全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（ ）. A. B. 在方向上的投影向量为 C. D. 当时，与的夹角为锐角 11. 中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量满足，，，，则__________. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 14. 已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点，则的最小值是______． 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 设向量与不共线. （1）若，，且与平行，求实数的值； （2）若，，，求证：，，三点共线. 16. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）求的值； 17. 在中，已知，，， （1）求角 （2）若角为锐角，求边； （3）求． 18. 平面四边形，点均在半径为2的圆上，且. （1）求的长； （2）若，，求的面积. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大同市实验中学2025-2026学年第二学期 高一年级数学第一次月考试题 （考试时间：120分钟 满分150分 命题人： ） 一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.每题只有一个选项是符合要求的.） 1. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量的三角形法则，将首尾相接的向量先合并，再进行向量减法． 【详解】由向量加法的三角形法则， 又 ，所以 2. 已知点，则向量（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用终点的坐标减去起点的坐标，即可得到向量的坐标． 【详解】∵点，， ∴向量，，. 故选：D． 【点睛】本题考查向量的坐标表示，考查运算求解能力，属于基础题. 3. 已知平面向量，，且，则（ ） A. 0 B. －2 C. －4 D. －6 【答案】C 【解析】 【分析】 根据共线向量坐标的关系，即可求解. 【详解】，，. 故选:C. 【点睛】本题考查向量坐标表示，属于基础题. 4. 如图所示，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件及图，利用向量的线性运算即可求出结果. 【详解】因为点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点， 如图，， 故选：A. 5. 已知向量，，，则t的值为（ ） A. B. 2 C. D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】 根据向量的坐标表示，以及向量垂直的坐标表示，列出方程求解，即可得出结果. 【详解】因为向量，， 所以，， 又， 所以，解得. 故选：C. 6. 中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由边角关系确定角的大小即可. 【详解】由题意，在中，则，所以， 因为，所以或，又，所以． 故选：A 7. 已知的三内角所对的边分别是，设向量，若，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用平面向量平行的条件得，再利用余弦定理可得边的关系，即可得解. 【详解】由题意，向量，且， 则，故， 整理得到， 故，故或， 即或，故的形状为等腰或直角三角形. 故选：D. 8. 在中，角的对边分别为，其面积，则边长c为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先由题中条件，结合三角形面积公式，求出和；再由求出角，进而可求出结果. 【详解】因为，又， 所以，即，因为为三角形内角，所以，又，所以； 由得，即，所以，即， 所以，因此，故，即 因为，所以. 故选：D 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.其中全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据向量模长的定义、向量的共线、垂直以及向量的定义即可逐一判断. 【详解】对于A，当，的长度相等，方向相同，则，A正确； 对于B，当且为非零向量时，的方向相同或相反，长度不一定相等，所以不能得到，B不正确； 对于C，若，则以为邻边的平行四边形为矩形，其对角线长相等，即，C正确； 对于D，若，则，则，不一定有， D不正确； 故选：AC. 10. 已知，是夹角为的单位向量，且，，则下列说法正确的是（ ）. A. B. 在方向上的投影向量为 C. D. 当时，与的夹角为锐角 【答案】AB 【解析】 【分析】先由单位向量的夹角求出 ，再分别利用向量模、投影向量及数量积与夹角的关系判断各选项． 【详解】因为 ， 均为单位向量，且夹角为 ，所以. 对于A，，故 ，A正确； 对于B， 在 方向上的投影向量为，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，， 当 时，， 但当时，，两向量同向共线，夹角为不是锐角，故D错误． 11. 中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，求出比例即可判断A选项；由余弦定理得，结合向量数量积即可判断B选项；由向量的线性运算得即可判断C选项；取中点，由求出最小值即可判断D选项. 【详解】 设，则，三式联立解得，对于A，，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，若，则，则， 即，即，则，，C正确； 对于D，若，则，取中点，连接， 则，显然当时，最小， 此时，则，则的最小值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知向量满足，，，，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】将中的移项平方，则可求解. 【详解】由得， 则， 又，，， 则， 解得. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为_________. 【答案】## 【解析】 【分析】在中，由余弦定理及题中条件可求得的值，进而求出的值，再利用正弦定理求解外接圆半径，即可求解. 【详解】在中，由及余弦定理可得： ， ∴. ，. 设外接圆半径为，则由正弦定理可知：，即. ∴外接圆面积为. 故答案为：. 14. 已知是边长为2的等边三角形,为平面内一点，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】建立直角坐标系,求出三角形各顶点的坐标,设出的坐标,运用向量坐标表示的加法和数量积运算的公式,化简,配方最后求出最小值. 【详解】建立如下图所示的直角坐标系, ， ,则有, 当,取得最小值. 故答案为： 【点睛】本题考查了数量积的最小值问题,应用平面向量坐标运算、配方法是解题的关键. 四、解答题：（本题共5小题，共77分） 15. 设向量与不共线. （1）若，，且与平行，求实数的值； （2）若，，，求证：，，三点共线. 【答案】（1） （2）证明：因为，，， 所以，所以. 所以与共线， 又因为有公共点，所以，，三点共线. 【解析】 【分析】（1）利用向量平行求待定系数； （2）证明，可得，，三点共线. 【小问1详解】 ，，则，. 因为与平行，所以有.解得. 【小问2详解】 略 16. 已知，，且与的夹角为60°. （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1）60； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积公式求解； （2）利用向量的平方等于向量模长的平方，求新向量的模长. 【小问1详解】 【小问2详解】 17. 在中，已知，，， （1）求角 （2）若角为锐角，求边； （3）求． 【答案】（1）或 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得，求出或，检验后得到答案； （2）求出，利用正弦和角公式求出，由正弦定理得到； （3）利用三角形面积公式得到答案. 【小问1详解】 由正弦定理得，即， 故，其中， 解得或，经检验，均满足要求； 【小问2详解】 角为锐角，则， 故， 其中 ， 由正弦定理得，即， 解得； 【小问3详解】 当时，由（2）知， ； 当时， ， ； 综上，或. 18. 平面四边形，点均在半径为2的圆上，且. （1）求的长； （2）若，，求的面积. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）设外接圆半径为，则由正弦定理可求得； （2）由及正弦定理可得，再根据余弦定理求得，，，从而计算三角形的面积. 【详解】解：（1）设外接圆半径为， 在中，， 由正弦定理得， 即； （2）在中，， 则由正弦定理可得， 又由余弦定理知， ，又，， 解得， 由余弦定理， 则， 的面积. 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的应用，考查了运算能力，属于中档题. 19. 如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为．已知在仿射坐标系下，． （1）求向量，的仿射坐标； （2）当时，求； （3）设，若对恒成立，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）向量的线性运算计算即可； （2）应用向量夹角公式计算即可； （3）先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 【小问1详解】 由已知得，所以的仿射坐标为， 同理，所以的仿射坐标为． 【小问2详解】 当时，，，， 所以， ， ， 所以． 【小问3详解】 ， ， ， 由得． 得对恒成立， 又．所以，得． 此时． 因为，，所以， 所以，所以， 所以的最大值为． 【点睛】方法点睛：先把恒成立转化为向量的数量积求出向量的模，再结合余弦函数的值域求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $