精品解析：山西省大同市浑源县第七中学校2024-2025学年高一下学期第四次月考数学试题

2024-2025学年第二学期高一年级第四次月考数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知是幂函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 3. 一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 4. 已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为（ ） A B. C. D. 7. 在中，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 8. 点是函数图象上的点，已知点，为坐标原点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ） A. 母线长是20 B. 表面积是 C. 高 D. 体积是 11. 下列说法正确的是（ ） A. 如果是第一象限的角，则是第四象限的角 B. 角与角终边重合 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D. 若是第二象限角，则点在第四象限 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为_________. 13. 甲、乙两人进行射击训练，他们中靶的概率分别为、，若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为______. 14. 正方体中，分别是中点，则与直线所成角的大小为______ ；与对角面所成角的正弦值是 __________． 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分） 15. 南宁三中强调学科阅读，为了解学生的学科阅读情况，计划对学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了100名学生进行检测，现将所得的成绩按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，并根据所得数据作出了如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）根据样本数据估计该校学生阅读素养成绩的75%分位数以及平均数． 16. ，的夹角为，，. （1）求； （2）若与互相垂直，求. 17. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，． （1）证明：平面PAD； （2）若为等边三角形，求点C到平面PBD的距离． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，，求AB边上的中线长. 19. 为了建设书香校园，营造良好读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率更大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期高一年级第四次月考数学试题 试题满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可. 【详解】“，”是存在量词命题， 其否定是全称量词命题， 即“，”. 故选：B. 2. 已知是幂函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数是幂函数求出参数，再求函数值即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得，则， 所以. 故选：D. 3. 一组数据2，3，5，x，7，4，6，9的众数是4，则这组数据的中位数是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由众数得，进一步由中位数的概念即可得解. 【详解】这组数据的众数4， ， 将数据从小到大排列为：2，3，4，4，5，6，7，9 则中位数为：4.5． 故选：B． 4. 已知复数z满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数模的意义、复数除法及共轭复数的意义求出，再确定对应点的位置. 【详解】依题意，，则， 所以复数对应点位于第一象限. 故选：A 5. 已知平面向量，且，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据模的坐标运算得，根据垂直关系可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】因为，所以，， 又因为，所以，则， 所以. 故选：C. 6. 已知圆锥的侧面面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆锥的底面周长，然后利用侧面积求出圆锥的母线，求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积． 【详解】根据题意，圆锥的底面面积为，设底面半径为，圆锥母线为， 则，，底面周长为， 又， ∴圆锥的母线为2，则圆锥的高为， 所以圆锥的体积． 故选：B． 7. 在中，，则角的大小为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】因为， 由正弦定理，即，所以， 又，所以，则. 故选：A 8. 点是函数图象上的点，已知点，为坐标原点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平面向量的坐标运算知，即需求动点到点的距离的平方的范围，作出函数的图像，数形结合可求解. 【详解】∵点是函数图象上点， ， 所以求的取值范围可以转化为求动点到点的距离的平方的范围， 作出函数的图像， 数形结合可知，当取时，有最小值为； 当取或时，有最大值为 ∴的取值范围为 故选： 【点睛】方法点睛：本题考查三角函数的图象与性质及平面向量数量积公式、二次函数配方法求最值，平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，根据已知条件选择对应公式，属于中档题. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 已知，则下列命题不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据不等式性质逐一进行判断即可. 【详解】当时，，故A不成立； 当时，若，则，故B不成立； 若，，则，即，故C成立； 若，，则，即，故D不成立. 故选：ABD. 10. 圆台的上、下底面半径分别是10和20，它的侧面展开图扇环的圆心角为，则圆台的（ ） A. 母线长是20 B. 表面积是 C. 高是 D. 体积是 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图所示，设圆台的上底面周长为，由已知求得母线长，即可求得高，再利用表面积和体积公式即可求得表面积和体积，从而得出答案. 【详解】解：如图所示， 设圆台的上底面周长为，因为扇环的圆心角为，所以，又，所以，同理，故圆台的母线，高， 体积， 表面积 故选：ABD． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 如果是第一象限的角，则是第四象限的角 B. 角与角终边重合 C. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为 D. 若是第二象限角，则点在第四象限 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用象限角的概念判断A；利用终边相同的角的特征判断B；求出扇形所在圆半径，再求出扇形面积判断C；利用三角形函数值的符号法则判断D. 【详解】对于A，是第一象限的角，即，则， 因此是第四象限的角，A正确； 对于B，由于，因此角与角终边重合，B正确； 对于C，由圆心角为的扇形弧长为，得该扇形弧所在圆半径为3，则该扇形面积为，C错误； 对于D，由是第二象限角，得，则点在第四象限，D正确. 故选：ABD 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的面积为_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，再画出平面图形，从而求出其面积. 【详解】因为，，所以， 由直观图可得如下平面图形，则，， 所以. 故答案为： 13. 甲、乙两人进行射击训练，他们中靶的概率分别为、，若两人同时独立射击，则恰有一人不中靶的概率为______. 【答案】## 【解析】 【分析】分析可知，甲中乙不中、甲不中乙中，结合独立事件和互斥事件的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】因为甲、乙两人进行射击训练，他们中靶的概率分别为、， 若两人同时独立射击，恰有一人不中靶，则甲中乙不中或甲不中乙中， 故所求事件的概率为. 故答案为：. 14. 正方体中，分别是的中点，则与直线所成角的大小为______ ；与对角面所成角的正弦值是 __________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，计算，，对角面的一个法向量为，计算得到答案. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，，，，故，. 故，故与直线所成角的大小为. 易知对角面的一个法向量为，设与对角面所成角为， 故. 故答案为：；. 【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 四、解答题（15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分） 15. 南宁三中强调学科阅读，为了解学生的学科阅读情况，计划对学生的阅读素养进行检测，在该校随机抽取了100名学生进行检测，现将所得的成绩按照[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]分成6组，并根据所得数据作出了如图所示的频率分布直方图． （1）求a的值； （2）根据样本数据估计该校学生阅读素养成绩的75%分位数以及平均数． 【答案】（1） （2）第分位数为，平均数． 【解析】 【分析】（1）长方形面积之和为1计算即可． （2）由（1）的结果，计算75%分位数以及平均数即可． 【小问1详解】 由图可知：， 解得． 【小问2详解】 因为， 所以75%分位数在第四组，设第75%分位数为x，所以有， 即，解得x＝77.5，所以第75%分位数为77.5． 平均数：． 16. ，的夹角为，，. （1）求； （2）若与互相垂直，求. 【答案】（1）7 （2）. 【解析】 【分析】（1）利用，展开后代入数量积公式求得答案； （2）由与互相垂直，得，展开后化为关于的方程求解. 【小问1详解】 ，的夹角为，，， . 故. 小问2详解】 若与互相垂直，则， 即. 所以，整理得， 即，解得. 17. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，． （1）证明：平面PAD； （2）若为等边三角形，求点C到平面PBD的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）根据梯形边长利用勾股定理可得，再利用面面垂直的性质定理可得结论； （2）利用面面垂直的性质可得三棱锥的高为，再利用等体积法计算即可求得点C到平面PBD的距离为. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为，所以，则． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面PAD． 【小问2详解】 在面PAD内过点P作,垂足为O，因为平面平面ABCD，且平面平面， 所以平面ABCD，如下图所示： 因为， 由（1）知平面PAD，由面PAD可得， 在中，，而， ． 设点C到平面PBD的距离为h， 由得，解得， 所以点C到平面PBD的距离为． 18. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角C的大小； （2）若，，求AB边上的中线长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换等知识求得. （2）利用余弦定理求得，利用向量法求得AB边上中线长. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得. 又因为，则，所以. 整理得，即. 因为，所以，所以，所以. 【小问2详解】 由余弦定理，且， 则有， 又，故. 设边上中线为CM，则， ，故边上中线长. 19. 为了建设书香校园，营造良好的读书氛围，学校开展“送书券”活动该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响.连胜两个游戏可以获得一张书券，连胜三个游戏可以获得两张书券.游戏规则如下表： 游戏一 游戏二 游戏三 箱子中球的 颜色和数量 大小质地完全相同的红球3个，白球2个 （红球编号为“1，2，3”，白球编号为“4，5”） 取球规则 取出一个球 有放回地依次取出两个球 不放回地依次取出两个球 获胜规则 取到白球获胜 取到两个白球获胜 编号之和为获胜 （1）分别求出游戏一，游戏二的获胜概率； （2）当时，求游戏三的获胜概率； （3）一名同学先玩了游戏一，试问为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券概率更大. 【答案】（1）游戏一获胜的概率为，游戏二获胜的概率为 （2） （3）的所有可能取值为5，6，7 【解析】 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （2）根据古典概型概率计算公式来求得正确答案. （3）根据相互独立事件、互斥事件（对立事件）求得先玩游戏三或先玩游戏二获得书券的概率，由此列不等式来求得的所有可能取值. 【小问1详解】 设事件“游戏一获胜”，“游戏二获胜”，“游戏三获胜”，游戏一中取出一个球的样本空间为，则， 因为，所以，.所以游戏一获胜的概率为. 游戏二中有放回地依次取出两个球的样本空间， 则，因为， 所以，所以，所以游戏二获胜的概率为. 【小问2详解】 游戏三中不放回地依次取出两个球的样本的个数为， 时，样本的个数为2，所以所求概率为； 【小问3详解】 设“先玩游戏二，获得书券”，“先玩游戏三，获得书券”， 则，且，，互斥，相互独立， 所以 又，且，，互斥， 所以 若要接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书券的概率大，则， 所以，即. 进行游戏三时，不放回地依次取出两个球的所有结果如下表： 第二次 第一次 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 当时，，舍去 当时，，满足题意， 因此的所有可能取值为. 【点睛】关键点睛：本题第3小问的解决关键是利用互斥事件与独立事件的概率公式求得先玩游戏二与先玩游戏三获得书券的概率，从而得到游戏三获胜的概率，由此得解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $