精品解析：山西大同市北京师范大学大同附属中学校2025～2026学年第二学期高一数学第六次学情巩固试题

北师大大同附中2025-2026学年第二学期高一年级 数学第六次学情巩固 考试时长：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置. 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 我市某所高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 5. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 6. 在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，P在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）. A. 存在点P，使得与异面 B. 三棱锥的体积与P点位置无关 C. 若P为中点，三棱锥的体积为 D. 若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知一组数据3，8，7，4，3，7，2，3，4，则（ ） A. 该组数据的众数为3 B. 该组数据的60%分位数是3 C. 该组数据中大于3的数的占比大于50% D. 去掉7和8后，该组数据的方差变大 10. 已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 11. 在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为等边三角形，则其布洛卡角 C. 若，则 D. 若，，则的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，则__________. 13. 如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，，，，则原图形的面积是_________． 14. 已知直三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的表面上，，，则此直棱柱的体积为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，． （1）求向量与的夹角的余弦值； （2）当k为何值时，与垂直？ 16. 如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积. 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，，，求． 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 19. 市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) （2）某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大大同附中2025-2026学年第二学期高一年级 数学第六次学情巩固 考试时长：120分钟 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上相应的位置. 2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上. 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 复数在复平面内对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以在复平面内对应点的坐标为． 2. 我市某所高中共有学生人，其中一、二、三年级的人数比为，为迎接戏曲进校园活动，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为240的样本，则应抽取一年级的人数为（ ） A. 50 B. 60 C. 70 D. 80 【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的知识求得正确答案. 【详解】应抽取一年级的人数为人. 故选：B 3. 已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】举反例可判断ABC；由线面垂直的性质定理可判断D. 【详解】对于A，若，，则，或，故A错误； 对于B，若，，则，或与相交，故B错误； 对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误； 对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 4. 如图，已知某频率分布直方图形成“右拖尾”形态，则下列结论正确的是（ ） A. 众数平均数中位数 B. 众数中位数平均数 C. 众数平均数中位数 D. 中位数平均数众数 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数，中位数，众数的概念结合图形分析判断. 【详解】由频率直方图可得，单峰不对称且“右拖尾”，最高峰偏左，众数最小， 平均数易受极端值的影响，与中位数相比，平均数总是在“拖尾”那边， 故平均数大于中位数，所以众数中位数平均数. 故选：B 5. 如图，在正三棱柱中，，则异面直线与所成角的余弦值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形的中位线做出异面直线所成角，然后利用余弦定理计算即可. 【详解】如图所示: 连接A1C,交AC1于D,取BC的中点E,连接AE,DE, 则DE//A1B,∴为异面直线A1B和AC1所成的角或其补角. 由题意，可设该正三棱柱的棱长为2，易得, 则AE=, ∴, ∴异面直线A1B和AC1所成的角的余弦值为， 故选：B. 6. 在四棱锥中，底面为平行四边形，E为线段上靠近A的三等分点，F为线段上一点，当平面时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行性质定理得出线线平行，再根据平行得出比例关系即可. 【详解】连接交于点，连接， 由平面，平面，平面平面， 所以， 因为底面为平行四边形，所以， 又，则，所以. 故选：D. 7. 如图，在正方形纸片上剪下一个扇形和一个直径为2的圆，扇形的圆心为，圆与和扇形的弧均相切，若该扇形和圆恰好可作为某圆锥的侧面和底面（接缝处忽略不计），则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为． 设扇形的半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为． 如图，设圆的圆心为，作于于，易知四边形为正方形， 点在上，， 所以，所以． 8. 如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点，P在线段上运动（包含两个端点），以下说法正确的是（ ）. A. 存在点P，使得与异面 B. 三棱锥的体积与P点位置无关 C. 若P为中点，三棱锥的体积为 D. 若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面为三角形 【答案】B 【解析】 【分析】证明与共面判断选项A；由，计算并判断选项BC；作出正确截面判断选项D. 【详解】正方体中，， 与都在平面内， 所以与不可能异面，A选项错误； 三棱锥，底面积， 棱锥的高，则， 由，所以三棱锥的体积为定值，与P点位置无关， B选项正确，C选项错误； 若P与重合，则过点M、N、P作正方体的截面，截面梯形，D选项错误. 故选：B. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9. 已知一组数据3，8，7，4，3，7，2，3，4，则（ ） A. 该组数据的众数为3 B. 该组数据的60%分位数是3 C. 该组数据中大于3的数的占比大于50% D. 去掉7和8后，该组数据的方差变大 【答案】AC 【解析】 【详解】将这组数据从小到大重新排列为2，3，3，3，4，4，7，7，8． 对于A，该组数据的众数为3，故A正确； 对于B，因为，故分位数是第6个数，即4，故B错误； 对于C，该组数据中共有9个数，大于3的数有4，4，7，7，8，所以该组数据中大于3的数的占比大于50%，故C正确； 对于D，原来的平均数是， 则， 去掉7和8后，平均数是， 则， 该组数据的方差变小，故D错误． 10. 已知向量，的夹角为 ，且，，则（ ） A. B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】先根据已知条件求出，再利用向量的模的计算公式分析判断选项A、B，利用向量垂直时数量积为0判断选项C，利用投影向量公式分析判断选项D． 【详解】向量，的夹角为 ，且，， ， 选项A：，， ，故A错误； 选项B：，故B正确； 选项C：， ，故C正确； 选项D：向量在向量上的投影向量为，故D错误． 故选：BC． 11. 在中，角的对边分别为，点在内，且满足，称点为的布洛卡点，角为的布洛卡角，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若为等边三角形，则其布洛卡角 C. 若，则 D. 若，，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】先利用三角形内角和与诱导公式，证明A选项；再结合等边三角形的对称性与正弦定理，求解B选项的布洛卡角；接着对、用正弦定理，结合正弦定理的边角关系推导出C选项的比例式；最后利用余弦定理和均值不等式分析D选项的最值，得出D错误． 【详解】对于A，因为，所以， 而，所以，即， 所以，A正确； 对于B，因为为等边三角形，， 所以，， 在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 所以，又，所以，，B正确； 对于C，在中，，即， 在中，，即， 所以，由正弦定理得， 因为，所以，即，C正确； 对于D，由，可得， 在中，由余弦定理得， 因为，所以， 因为，所以，当且仅当时等号成立， 所以， 所以的最小值为，D错误． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 已知复数满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由复数的四则运算以及模的计算公式即可得解. 【详解】，. 故答案为：. 13. 如图，直角梯形是一个水平放置的平面图形的斜二测画法直观图，已知，，，，，则原图形的面积是_________． 【答案】 【解析】 【分析】使用斜二测画法还原图形后使用梯形的面积公式求解. 【详解】由题可知，在原图形中，，，且，， 如图，所以原图形的面积为． 14. 已知直三棱柱的所有顶点都在表面积为的球的表面上，，，则此直棱柱的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设底面的外接圆的半径为，由正、余弦定理求得，进而求得外接球的半径为，结合已知可求得，即可求得直三棱柱的体积. 【详解】设， 如图所示，在中，，设底面的外接圆的半径为， 由余弦定理得，所以， 由正弦定理可得，所以， 设的外心为，的外心为，则外接球的球心为的中点， 所以外接球半径，所以外接球表面积为， 所以，解得， 所以此直棱柱的体积为. 故答案为：. 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，． （1）求向量与的夹角的余弦值； （2）当k为何值时，与垂直？ 【答案】（1） （2）． 【解析】 【小问1详解】 因为，， 所以， ， 设与的夹角为， 则． 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为与垂直， 所以，即， 解得． 16. 如图，某几何体的下部分是长､宽均为8，高为3的长方体，上部分是侧棱长都相等且高为3的四棱锥，求： （1）该几何体的体积； （2）该几何体的表面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）按照公式求出长方体和四棱锥的体积，求和即可；（2）先找到四棱锥侧面的高，然后可求出四棱锥的侧面积，继而求长方体的表面积，求和即可. 【详解】连接，交于点，取的中点，连接，， （1） ∴ （2）∵， ∴ 【点睛】易错点睛：求棱锥的表面积时要注意高为面的高，而不是棱锥的高. 17. 在中，角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，，，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以， 所以， 由正弦定理得， 则， 因为，所以， 所以， 又因为，所以，即， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以点在直线上． 因为，所以，即为边上的高． 由余弦定理可得， 所以． 由等面积法可得， 即，解得． 18. 如图，在四棱锥中，底面为梯形，其中，平面，且，点为棱的中点． （1）求证：； （2）求证：平面； （3）若为上的动点，则线段上是否存在点，使得平面？若存在，请确定点的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为平面，平面，且平面平面， 根据线面平行的性质定理，可得：. （2）取的中点，连接.如图： 因为是中点，所以是的中位线，得，且. 由题设，结合（1）中，可得 且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面， 根据线面平行的判定定理，可得：平面. （3）线段上存在点，当是中点时，平面.理由如下： 由，，可得且， 因此四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，所以平面. 结合（2）的结论平面，且，平面， 根据面面平行的判定定理，可得平面平面. 因为是上动点，平面， 根据面面平行的性质，可得平面. 因此，线段上存在点，当为中点时满足平面. 【解析】 【分析】（1）直接由线面平行的性质定理可得； （2）取的中点，构造平行四边形，再由线面平行的判定定理可得； （3）取的中点，由已知条件可得四边形是平行四边形，进而可得 平面，再结合（2）的结论及面面平行的判定定理可得平面，再由面面平行的性质可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 市有关部门为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成，这五组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）估计样本成绩的平均数及方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表) （2）某工作人员使用简单随机抽样从中抽取部分再研究，其中成绩的答卷有2份，成绩的答卷有3份，再从这5份中随机抽取2份进行详细分析，求从这5份答卷中取2份时，既有的答卷也有的答卷的概率． 【答案】（1）平均数为100，方差为104 （2） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数与方差的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据条件，利用古典概型求解即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图得， 平均数， 方差 . 【小问2详解】 记这组三份答卷的编号为这组两份答卷的编号为， 故从5份答卷中随机抽取2份，共10种情况，为： 设事件“既有的答卷也有的答卷” 则，共6种情况． 故, 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $