2.4 圆的方程-【考点突破+强化训练】2026年新高二数学暑假预习人教A版选择性必修第一册

2.4 圆的方程 知识点1：圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 【注意】(1)当圆心在原点(0，0)，半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． 知识点2：点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【注意】由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“＜”“＞”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解． 知识点3：圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 【注意】(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． (2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件． 考点一　由圆心(或半径)求圆的方程 考点二　求过已知三点的圆的方程 考点三　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 考点四　由圆的一般方程确定圆心和半径 考点五　判断点与圆的位置关系及其求参 考点六　圆的对称性的应用 考点七　定点到圆上点的最值(范围) 考点八　与圆有关的最值问题 考点一　由圆心(或半径)求圆的方程 1．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 【答案】 【详解】已知圆的圆心坐标为，且圆与轴相切， 由直线与圆相切的性质可知，圆的半径 等于圆心到切线 轴的距离， 圆心到 轴的距离为其横坐标的绝对值，即 . 根据圆的标准方程 （其中为圆心坐标， 为半径）. 将 代入，可得所求圆的方程为 . 2．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出线段的中垂线方程，再求出圆心坐标及半径即可. 【详解】线段的中点，直线的斜率为， 则线段的中垂线的斜率为，所以线段的中垂线方程为， 即，由，解得， 因此圆的圆心，半径， 所以圆的标准方程为. 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点，则以线段为直径的圆的圆心为，半径， 所以所求圆的方程为. 4．（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意设，由求出的值，即得圆心与半径，进而得到圆的方程. 【详解】依题意，可设， 由可得， 解得，故得圆心，半径为， 则所求圆的方程为. 故选：A. 5．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设圆心，根据结合平面内两点间的距离公式可得出关于的等式，解出的值，可得出圆心的坐标，进而可求出圆的半径，即可得出圆的方程. 【详解】根据题意设圆心，因为圆经过、两点，则， 所以，解得， 故圆心为，圆的半径为， 故圆的方程为. 故选：C. 6．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）根据条件求圆心和半径，再求圆的标准方程； （3）利用待定系数法，设圆的标准方程，再代入条件，即可求解. 【详解】（1）由条件可知， 所以圆的标准方程为. （2），所以半径， 圆心为， 所以圆的标准方程为； （3）设圆的标准方程为， 所以，解得：，，， 所以圆的标准方程为. 考点二　求过已知三点的圆的方程 7．（25-26高二上·全国·期末）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据中点坐标公式求出三角形三边中点坐标，再将中点坐标代入所设九点圆方程，联立方程组求解出方程系数，进而得到九点圆方程. 【详解】已知，，，由中点坐标公式可得： 中点，中点，中点， 设的九点圆方程为， 则，解得， 所以的九点圆方程为， 由圆心为，半径可得： 圆心，半径， 即． 8．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设圆的标准方程为，代入三点坐标解方程组可得答案. 【详解】设圆的标准方程为， 因为圆经过点，所以 ，即， 化简得, 解得，代入方程得, 则圆的标准方程为. 故选：A. 9．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知点，，. (1)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离. (2)求的外接圆方程； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点关于直线的对称点，再由点到直线的距离求解即可. （2）设外接圆的一般方程，代入点的坐标计算得解； 【详解】（1）设， 由，可知， 所以直线的方程为，即， 因为点与点关于直线的对称，所以，解得， 所以点坐标为， 所以，直线方程为，即， 所以点到直线的距离. （2）设的外接圆方程为， 则，解得，，， 所以的外接圆方程为. 10．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设所求圆的方程是.首先判断出是直角三角形，再分析出斜边的中点即为外接圆的圆心，斜边的一半即为外接圆的半径，求出圆心和半径，代入方程即可得解. 【详解】设所求圆的方程是. 已知的三个顶点分别为， 因为， 且，所以是直角三角形， 所以的斜边的中点，即为外接圆的圆心， 斜边的一半即为外接圆的半径，即， 所以的外接圆的方程为. 故选：D 考点三　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 11．（25-26高二上·天津·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将已知化为圆的标准方程进行求解即可. 【详解】将方程化简得， 要使得该方程表示圆，则，解得. 故选：C. 12．（25-26高二上·全国·期中）（多选）下列方程中，哪些表示一个圆？（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】对于方程表示圆，当且仅当，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于选项A：，则，不表示一个圆，表示一个点，即选项A错误； 对于选项B：，则，不表示一个圆，表示一个点，即选项B错误； 对于选项C：，则，表示一个圆（圆心为，半径为3），即选项C正确； 对于选项D：，则，表示一个圆（圆心为，半径为1），即选项D正确； 故选：CD． 13．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）方程表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到不等式，求出答案. 【详解】由题意可得，即，解得或. 故选：A 14．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的一般方程写成标准方程，再根据等号右边的式子大于0，即或求解. 【详解】原方程可化为，方程表示圆，则有，即. 故选：C. 考点四　由圆的一般方程确定圆心和半径 15．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【分析】根据题意，求得圆心的坐标，结合点到直线的距离公式，即可求解. 【详解】将圆，化为，可得圆心为， 圆心到直线的距离为． 16．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】C 【详解】圆的标准方程为，所以该圆圆心为，半径为， 圆关于直线对称，所以圆心在该直线上，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即时等号成立， 的最小值为4. 17．（25-26高二上·山东菏泽·期末）若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出圆心半径，由题意即可求解. 【详解】可化为：，故圆心为：，半径为，由题意得，解得. 故选：C 18．（25-26高二上·北京·期末）已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（    ） A． B． C．2 D．6 【答案】C 【分析】利用圆的一般方程及性质即可求解. 【详解】由圆，得圆的圆心坐标为， 因为圆被直线分成弧长相等的两部分， 所以直线过圆心，代入得，解得. 故选：C. 考点五　判断点与圆的位置关系及其求参 19．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 20．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 【答案】B 【分析】先找到圆心坐标及半径，然后根据点到圆心的距离大于半径时点在圆外计算即可. 【详解】点在圆外，即点到圆心的距离大于半径. 将圆方程化为标准形式得，圆心为，点 P 到圆心距离为 4， 故有，解得; 故选：B 21．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 22．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点与圆位置关系的坐标判断方法，逐项验证即可得结论. 【详解】由于，故点在圆上； 又，故点在圆外； 因为，故点在圆内； 又，故点在圆外； 综上，在圆内的是. 故选：C. 考点六　圆的对称性的应用 23．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 【答案】 【分析】圆上两点关于直线对称时该直线必过圆心，代入圆心坐标即可求解参数. 【详解】圆的圆心. 因为圆：上存在不同两点、关于直线对称， 所以圆心在直线上，故，解得. 24．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 【答案】9 【分析】由题意得直线过圆心，可得，再使用1的代换，即可求得的最小值. 【详解】易得圆心，半径， 由题意得直线 过圆心，则有， 故，当且仅当即时取等号， 故 的最小值是9， 故答案为：9. 25．（25-26高二下·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】利用圆的对称性及一般式求出圆心坐标，代入直线方程求参数即可. 【详解】由，即， 由题意可知圆心在直线上，代入得. 故选：C 26．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 考点七　定点到圆上点的最值(范围) 27．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定在上，再表示出，将转化为到点的距离，最后利用圆的性质求解即可. 【详解】设，则，而， 可得，而，，， 则，得到， 即表示到点的距离， 而由两点间距离公式得点到圆心的距离为， 得到的最大值为，故D正确. 28．（2026高三下·全国·专题练习）已知平面向量满足，且．若向量满足，则的最大值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由的垂直关系和模长可令坐标为，，再设，由数量积的坐标表示确定的轨迹方程，进而可求解. 【详解】因为，且，令，， 设， 由，代入坐标得： ， 整理配方得： ， 即点的轨迹是圆心为，半径的圆. 则是原点到圆上点的距离， 又原点到圆心的距离为： ， 所以圆上点到原点的最大距离为，因此的最大值为. 29．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 30．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 【答案】 【分析】根据方程确定圆心及半径，再利用定点到圆上的点的距离的范围即可求解． 【详解】可化为， 所以表示圆心为，半径为2的圆上的点. ， 所以的几何意义是圆上的点与的距离的平方减8， ， 所以， 所以． 考点八　与圆有关的最值问题 31．（25-26高二上·广东汕头·期末）若平面内两定点间的距离为4，动点满足，则的最大值是______． 【答案】 【分析】以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，设根据已知得出点的轨迹方程，然后表示出，根据所得表达式结合已知条件分析求解即可. 【详解】以线段所在直线为轴，线段的中点为坐标原点，线段的中垂线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示：       因为，所以，设， 由得：，两边平方化简得： ，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为 的圆， 如图所示：           此时，           所以， 又，则， 所以， 因为点在圆上运动， 所以要使有最大值，即点在点处， 此时，所以的最大值为：. 故答案为： 32．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 33．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3). (1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)求MQ的最大值和最小值； (3)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 【答案】(1)，的斜率为 (2)MQ的最大值为，最小值为 (3)的最大值为、最小值为 【分析】（1）将点的坐标代入圆的方程，解得，再根据两点间的距离公式求出，根据斜率公式求出直线PQ的斜率； （2）求出圆心的坐标和，再用加圆的半径得MQ的最大值，减圆的半径得MQ的最小值； （3）设，根据的几何意义得直线的方程，再根据圆心到直线的距离小于等于圆的半径列式可求出结果. 【详解】（1）因为点P(a，a＋1)在圆C上，所以， 即，解得，所以， 所以，的斜率为. （2）由得， 所以圆的圆心，半径， 所以， 所以， . （3）设，因为表示圆上任意一点与连线的斜率， 则直线的方程为，即， 由直线与圆有交点，可得， 化简得，解得， 所以的最大值为、最小值为. 34．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若是圆上任意一点，求的取值范围； (3)求的范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设圆心为，根据条件建立方程为，求出，即可求解； （2）将问题转化成与距离的平方，再利用圆的性质，即可求解； （3）利用圆的参数方程，，结合条件，利用辅助角公式得，即可求解. 【详解】（1）设圆心为，由题有，解得， 所以圆的标准方程为. （2）因为表示与距离的平方， 由（1）知，则， 所以，则， 所以的取值范围为. （3）令， 则，其中， 所以. 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 2．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设圆的标准方程为， 将，，代入圆的方程中可得，解得， 故圆的标准方程为 4．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】先由圆的对称性推出圆心在已知直线上，得到与的和为定值，再通过基本不等式求目标式的最小值. 【详解】若圆上存在两点关于某直线对称，则该直线为圆的对称轴，必过圆心. 已知圆的圆心为，将其代入直线方程， 可得. 而. 根据基本不等式，对正实数有， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立. 代入得，联立与， 解得，满足，等号可取，故的最小值为4. 5．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 6．（25-26高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程进行变形整理，解方程组即可求得结果. 【详解】圆的方程化为， 由得或， 故圆恒过定点． 故选：D． 7．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将圆的方程配成标准式，即可确定圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为． 故选：C． 8．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】依次求点到圆心的距离进行判断即可. 【详解】对A：因为，所以点在圆内； 对B：因为，所以点在圆内； 对C：因为，所以点在圆上； 对D：因为，所以点在圆外. 故选：AB 9．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AC 【分析】根据圆的标准方程得出圆心半径判断A，根据的范围判断B，应用两点间距离计算判断C，应用二次函数值域计算判断D. 【详解】对于A，由圆的方程，得圆心为，半径为，故A正确； 对于B，由，有， 所以的最大值为，故B错误； 对于C，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为， 所以圆上点到定点的距离的最大值为，故C正确； 对于D，由得， 所以，， 令，由在上单调递增，所以， 所以的最大值为，故D错误. 故选：AC. 10．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则的面积可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】BCD 【分析】求出圆心到直线的距离、，设到直线的距离为，则，最后根据求出范围，即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 直线分别与轴，轴交于两点， 所以， 所以， 设点到直线的距离为，则， 所以的面积.    故选：. 11．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为 C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为 【答案】ABD 【分析】设圆心坐标为，由题意可得，可求圆心判断A；利用两点间的距离公式求得半径可判断B；令，可得圆与轴的交点坐标判断C；求得圆心到的距离可求圆上一点到点距离的最大值判断D. 【详解】设圆心坐标为，由，得， 解得，故，故A正确； 所以，故圆的标准方程为， 故B正确； 令得，，故圆与轴的交点坐标为，故C错误； 圆心到点的距离为，故圆上一点到点距离的最大值为5+，故D正确. 故选：ABD. 12．（25-26高二·全国·课后作业）已知圆，为圆的一条直径，点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】将圆的方程化为标准方程，得到圆心的坐标，然后结合题意以及中点坐标公式即可求解. 【详解】由可得，所以圆心， 设，又因为，是圆的一条直径，则由中点坐标公式得，解得， 所以点的坐标为． 13．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 【答案】 【详解】由题意得，点在直线上， 因为原点到直线的距离为， 则圆心到原点的距离的最小值为， 则圆上任意一点到原点的距离的最小值为 14．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 【答案】 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程得，再根据两点式直线方程求解即可. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆心，又， 所以由两点式可得直线的方程为，即. 15．（2026高二下·上海·专题练习）已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】设原点为，是圆上任意一点，则， 因为圆心坐标为，，在圆内， 所以，，即， 因此． 16．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】求出圆心关于的对称点的坐标，再利用两点间线段最短及圆的性质求出最小值. 【详解】圆的圆心，半径， 设关于的对称点为，则，解得，即， ，当且仅当是线段与圆的交点时取等号， 而，当且仅当点是线段与直线的交点时取等号， 所以当点是线段与直线的交点，且是线段与圆的交点时，取得最小值. 故答案为：    17．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）阿波罗尼斯（约公元前262-公元前190年）证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 【答案】 【分析】由题意不妨设，由题意结合两点间距离公式即可求出点的轨迹是圆，当到的距离最大时，的面积最大，由此求解即可. 【详解】由题意得A，B间的距离为4，不妨设， 因为P，A，B不共线，故设， 因为，则，即， 整理得， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆除去与轴的交点， 当点到（轴）的距离最大为时，的面积最大， 此时. 18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 【答案】(1)； (2)周长；面积 (3)外接圆方程；内切圆方程 【分析】（1）先求出直线及其中垂线的斜率，再求出的中点坐标，即可根据点斜式求出直线方程； （2）根据两点间距离公式分别求出，即可得的周长，根据即可求出的面积； （3）设外接圆的圆心为，根据的中垂线与的中垂线的交点即为外接圆的圆心求出，再求出其半径，即可得外接圆方程；设的内切圆的圆心为，利用三角形的面积公式求出内切圆半径，再根据点到的距离等于，列出方程求出，即可得内切圆方程. 【详解】（1）    因为，所以， 所以直线的方程为，整理可得. 因为的中垂线和直线垂直，所以中垂线的斜率为， 又因为的中点，所以直线中垂线的方程为， 整理可得； （2）因为，， . 所以的周长为， 的面积为； （3）    设外接圆的圆心为，半径为. 由（1）知中垂线的方程为①， 又因为的中垂线方程为，将其代入①可得， 所以外接圆的圆心为. 其外接圆的半径， 所以的外接圆方程为.    设的内切圆的圆心为，半径为. 由（2）知的周长为20，面积为， 所以的面积 ，解得. 又因为点到的距离等于， 则，解得. 所以的内切圆的方程为. 19．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)求与圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设圆的一般方程将条件代入可得到方程组，解方程组即可；（2）根据点关于直线的对称关系求出对称圆的圆心，结合圆的标准方程即可求得. 【详解】（1）依题意，因为圆心在轴上，所以设圆的方程为， 因为圆经过两点，所以，解得， 所以圆的方程为，即. （2）由（1）知，圆的圆心为，半径为； 设关于直线对称的点为， 则的中点为，直线的斜率为； 因为点关于直线对称，所以， 即，解得，所以， 所以与圆关于直线对称的圆的方程为. 20．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 圆的方程 知识点1：圆的标准方程 确定圆的标准方程需要两个条件：圆心坐标与半径． 【注意】(1)当圆心在原点(0，0)，半径长r＝1时，圆的方程为x2＋y2＝1，称为单位圆． (2)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的． 知识点2：点与圆的位置关系 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，设d＝|PC|＝． 位置关系 d与r的大小 点P的坐标的特点 点在圆外 d>r (x0－a)2＋(y0－b)2>r2 点在圆上 d＝r (x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 点在圆内 d<r (x0－a)2＋(y0－b)2<r2 【注意】由点与圆的位置关系确定参数的范围时，可以根据点与圆的位置关系将方程中的等号变为“＜”“＞”或“＝”，还可以用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系来求解． 知识点3：圆的一般方程 1．圆的一般方程 当D2＋E2－4F>0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，此时方程表示以为圆心，为半径的圆． 2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形 条件 图形 D2＋E2－4F<0 不表示任何图形 D2＋E2－4F＝0 表示一个点 D2＋E2－4F>0 表示以为圆心，以为半径的圆 【注意】(1)一般地，二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是：A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0． (2)圆的一般方程中有三个系数，这说明确定一个圆需要三个独立条件． 考点一　由圆心(或半径)求圆的方程 考点二　求过已知三点的圆的方程 考点三　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 考点四　由圆的一般方程确定圆心和半径 考点五　判断点与圆的位置关系及其求参 考点六　圆的对称性的应用 考点七　定点到圆上点的最值(范围) 考点八　与圆有关的最值问题 考点一　由圆心(或半径)求圆的方程 1．（2026·黑龙江·模拟预测）与轴相切，且圆心坐标为的圆的方程为____________． 2．（25-26高二下·河南信阳·期末）已知圆经过点，，且圆心在直线上，则圆的方程为_________． 3．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，则以线段为直径的圆的方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·重庆·期末）已知圆经过原点和点，并且圆心在直线上，则圆的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·河北唐山·期末）已知圆经过、两点，圆心在直线上，则圆的方程为（　　） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·北京延庆·期末）根据下列条件，求圆的标准方程． (1)圆心在，且过点； (2)以，为直径的两个端点的圆； (3)圆心在直线上，且过和点． 考点二　求过已知三点的圆的方程 7．（25-26高二上·全国·期末）数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．在中，若，，，则的九点圆的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知圆经过点，则圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·辽宁沈阳·期末）已知点，，. (1)若点关于直线的对称点为，求点到直线的距离. (2)求的外接圆方程； 10．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知的三个顶点分别为，则的外接圆的方程为（   ） A． B． C． D． 考点三　二元二次方程表示的曲线与圆的关系 11．（25-26高二上·天津·阶段检测）方程表示圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·全国·期中）（多选）下列方程中，哪些表示一个圆？（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高二上·河南漯河·阶段检测）方程表示圆，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·江苏连云港·阶段检测）若方程表示一个圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点四　由圆的一般方程确定圆心和半径 15．（2026·山西忻州·模拟预测）圆的圆心到直线的距离为（  ） A． B．2 C． D．3 16．（2026·上海杨浦·模拟预测）圆关于直线对称，则的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D．8 17．（25-26高二上·山东菏泽·期末）若圆上所有的点都在轴左侧，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·北京·期末）已知圆被直线分成弧长相等的两部分，则（    ） A． B． C．2 D．6 考点五　判断点与圆的位置关系及其求参 19．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 20．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）若点在圆外，则实数的取值范围为（    ） A． B．（－10，6） C． D． 21．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知圆的方程为，则下列点中在圆内的是（   ） A． B． C． D． 考点六　圆的对称性的应用 23．（25-26高二下·上海青浦·期末）若圆：上存在不同两点、关于直线对称，则实数________． 24．（2026·四川巴中·一模）若直线是圆的一条对称轴，则的最小值是_____. 25．（25-26高二下·安徽铜陵·阶段检测）已知圆关于直线对称，则实数（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 26．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 考点七　定点到圆上点的最值(范围) 27．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 28．（2026高三下·全国·专题练习）已知平面向量满足，且．若向量满足，则的最大值为（   ） A． B． C．2 D．1 29．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 30．（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 考点八　与圆有关的最值问题 31．（25-26高二上·广东汕头·期末）若平面内两定点间的距离为4，动点满足，则的最大值是______． 32．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）（多选）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 33．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3). (1)若P(a，a＋1)在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； (2)求MQ的最大值和最小值； (3)若M(m，n)，求的最大值和最小值． 34．（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）已知半径为的圆的圆心在轴的正半轴上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若是圆上任意一点，求的取值范围； (3)求的范围. 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·贵州遵义·期中）已知圆C过点，，，则圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·江西宜春·阶段检测）已知圆上有两点关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B．3 C．4 D．8 5．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·湖北荆州·期末）圆恒过的定点为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知圆的方程为，则圆心坐标为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·贵州遵义·期末）（多选）已知点在圆的内部，则点的坐标可能为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·安徽·阶段检测）（多选）已知实数，满足圆的方程，则（   ） A．圆心为，半径为 B．的最大值为2 C．的最大值为 D．的最大值为 10．（25-26高二上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则的面积可以是（    ） A．7 B．8 C．9 D． 11．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知圆过点，，且圆心在轴上，则下列说法正确的是（   ） A．圆心的坐标为 B．圆的标准方程为 C．圆与轴的交点坐标为 D．圆上一点到点距离的最大值为 12．（25-26高二·全国·课后作业）已知圆，为圆的一条直径，点，则点的坐标为________． 13．（25-26高二下·四川德阳·期末）已知圆：关于直线对称，则圆上任意一点到原点的距离的最小值为__________．（请用数字作答） 14．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 15．（2026高二下·上海·专题练习）已知实数,满足方程，则的取值范围是______． 16．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为________． 17．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）阿波罗尼斯（约公元前262-公元前190年）证明过这样的一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为4，动点P满足，当P，A，B不共线时，面积的最大值是______． 18．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知为坐标原点． (1)求直线的方程，并求直线中垂线的方程； (2)求的周长与面积； (3)求的外接圆方程与内切圆方程． 19．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上. (1)求圆的方程； (2)求与圆关于直线对称的圆的方程. 20．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $