2.3.2～4 两点间、点到直线、两条平行线的距离公式-考点突破+强化训练】2026年新高二数学暑假预习人教A版选择性必修第一册

2.3.2~4 两点间、点到直线、两条平行线的距离公式 知识点1：两点间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为 ． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． 知识点2：点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 知识点3：两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝． 【注意】(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y分别对应的系数相等的情况． (2)如果两平行直线的方程中x，y的系数对应不同，必须先等价化为系数对应相同才能套用公式． 考点一　求平面两点间的距离 考点二　由距离求点的坐标 考点三　求点到直线的距离 考点四　已知点到直线距离求参数 考点五　求平行线间的距离 考点六　由距离求已知直线的平行线 考点七　求到两点距离相等的直线方程 考点八　由顶点坐标判断三角形的形状 考点九　直线围成图形的面积问题 考点十　距离新定义 考点一　求平面两点间的距离 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 2．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 【答案】1 【分析】根据两点间距离公式列出表达式，经整理并换元，令，可将问题转化为求函数（）的最小值. 【详解】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1， 故答案为：1 3．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 【答案】5 【分析】先求得中点的坐标，再根据两点之间距离公式计算即可. 【详解】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． 4．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 考点二　由距离求点的坐标 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】设点，利用两点间距离公式列出方程，即可得解. 【详解】设，则，整理得， 解得或.当时，；当时，， 所以点的坐标是或， 故选：BD. 6．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知，且，则________． 【答案】 【分析】根据题意，直接根据平面直角坐标系上两点的距离公式，即可求解. 【详解】因为且，所以，解得 故答案为： 7．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 【答案】或 【分析】根据题意设，再利用两点间的距离公式即可求出的值，从而得到点的坐标． 【详解】点在轴上，设， 点与点的距离等于13， ，解得或， 点的坐标为或， 故答案为：或． 8．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 【答案】(1). (2)直线的方程为或. 【分析】（1）由，，即可求出直线的斜率，由点斜式即可写出直线的方程； （2）设出点的坐标，由两点间的距离公式列出方程，解出的值，根据、点的坐标即可求出直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为， 所以直线的方程为：， 即直线的方程为：. （2）因为点E在直线上，直线的方程为：， 所以设的坐标为，，， ， 解得：或， 的坐标为或， 因为直线过点， 当直线的斜率不存在时，则， 当直线的斜率存在时，， 所以，化简可得. 直线的方程为或. 考点三　求点到直线的距离 9．（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 【答案】 【详解】点到直线的距离是. 10．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求A的坐标； (2)求点A到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求出直线的斜率与方程，再联立直线与中线的方程，求出点的坐标； （2）先设出中线上点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，再结合点在直线上求出参数，确定坐标与直线方程，最后用点到直线的距离公式计算结果. 【详解】（1），， 由得直线： 又在中线：上， 联立，解得 （2）在直线：上，设 是中点，， 在直线：上， ，解得 由、，得直线： 点到直线的距离：. 11．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 【答案】(1)， (2)5 【详解】（1）由，，为中点，可得， 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； 由两点式直线方程可得直线方程为：，整理得：； （2）由点到直线的距离公式可得点到直线的距离为：. 由两点间的距离公式可得，两点间距离： . 所以的面积. 12．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A．直线MN的倾斜角为 B．点到直线的距离为1 C．点在直线上 D．直线与直线MN平行 【答案】AB 【分析】A求出直线斜率，根据斜率和倾斜角的关系求出；B利用点到直线的距离公式；CD将点坐标代入直线中即可判断. 【详解】由题意得，直线的斜率为， 设直线MN的倾斜角为，则，得，故A正确； 点到直线的距离为，故B正确； 因为，所以点不在直线上，故C错误； 直线的斜率为1，与直线的斜率相等， 将点代入直线，有，说明点在该直线上， 因此，直线与直线为同一条直线（重合），而非平行，故D错误. 故选：AB 考点四　已知点到直线距离求参数 13．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 【答案】或 【分析】根据给定条件，按斜率存在与否分类，结合点到直线距离公式求解. 【详解】点到轴的距离为3，而轴过原点，则直线的方程可以为； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由点到的距离等于3，得，解得，直线的方程为， 所以直线的方程为或. 故答案为：或 14．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 【答案】或 【分析】利用点到直线距离公式计算可得结果. 【详解】因为点到直线的距离为1， 所以，解得或. 故答案为：或. 15．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 【答案】或 【分析】由点到直线的距离公式可得. 【详解】点到直线的距离为，所以. 解得，或. 故答案为:或. 16．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】设点的坐标为，根据点到直线的距离列方程求出的值即可． 【详解】设点的坐标为， 则点到直线的距离为， 解得或， 所以点的坐标为或． 故选：D． 考点五　求平行线间的距离 17．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 18．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 19．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 20．（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 考点六　由距离求已知直线的平行线 21．（25-26高一下·全国·期末）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设与直线平行的直线方程为，，然后由平行直线间的距离公式可得答案. 【详解】由题意，设与直线平行的直线方程为，， 由两平行直线间的距离公式可得，解得或， 故所求直线方程为或． 故选：AC 22．（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式：， 解得：或. 故答案为：6或-14 23．（25-26高二上·吉林·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 【答案】(1)或； (2)或. 【分析】（1）设出过交点的直线系方程为为，结合点的直线距离列方程求参数，即可得； （2）根据平行关系设直线为，利用点线距离列方程求参数，即可得. 【详解】（1）设经过两直线交点的直线系方程为，即， ∵点到的距离为3， ∴，即， ，或， 直线的方程为或； （2）设所求直线方程为， 所求直线到直线的距离为， ，所以或， 所求直线方程为或. 24．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设直线的方程为，由平行线间距离公式即可求解. 【详解】设直线的方程为， 则间的距离， 解得，或， 所以直线的方程为或. 故选：AB. 考点七　求到两点距离相等的直线方程 25．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1). (2)或. 【分析】（1）求出直线的斜率，进而求出直线的斜率及方程. （2）根据给定条件，求直线与边所在的直线平行或过边的中点的直线方程即可. 【详解】（1）由，，得直线的斜率为， 因为是边上的高线，所以直线的斜率为， 而，所以直线的方程为，即. （2）由点､到直线的距离相等，得直线与边所在的直线平行或过边的中点， ①当直线与直线平行时，由，，知直线的斜率为， 所以直线的斜率为，而直线过点， 所以直线的方程为，即； ②当直线过边的中点时，由，，得边的中点为， 又，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 26．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求出直线的斜率，则可求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线的方程； （2）由题意分直线与平行和直线通过的中点两种情况求解. 【详解】（1），， 边上的高所在直线的斜率为， 又边上的高所在直线为， 即为边上的高所在直线的方程. （2）∵点到直线的距离相等，∴直线与平行或过的中点. （i）当直线与平行，， ，即. （ii）当直线过的中点， ，，即. 综上，直线的方程为或. 27．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意结合点到直线的距离公式运算求解即可. 【详解】因为、两点到直线的距离相等， 则，即， 可得或，解得或. 故选：D. 28．（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，. (1)求边上的高的方程； (2)若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求直线的斜率，进而得，再根据点斜式方程求解即可； （2）分直线的斜率不存在与存在两种情况分别讨论求解即可; 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴边上的高的斜率为， ∴边上的高的方程为，即 （2）解：当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时两点到直线的距离相等，且等于，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， ∵到直线的距离相等， ∴，即，解得， ∴直线的方程为， 综上，直线的方程为或 考点八　由顶点坐标判断三角形的形状 29．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 【答案】等腰直角 【分析】解法一：先利用两点距离距离公式求出，，，再根据边长关系得，且，即可得是等腰直角三角形． 解法二：结合两点斜率公式及判断，利用两点距离公式求得，即可得是等腰直角三角形． 解法三：利用向量坐标运算判断和，即可得是等腰直角三角形． 【详解】方法一：如图， 因为，，，所以，且， 所以是等腰直角三角形． 解法二：因为，，所以， 所以． 又，， 所以，所以是等腰直角三角形． 解法三：，， 则，且， 所以且，所以是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角 30．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 【答案】(1) (2) 法一：由题设可知：直线的斜率为：， 直线的斜率为：， ， ， 所以是直角三角形. 法二：由题设可知：， ， ， ， ， 所以是直角三角形. 【分析】（1）由平行关系求得斜率，再由点斜式即可求解； （2）法一：由斜率关系即可求证；法二：由勾股定义即可求解. 【详解】（1）由题设可知：直线的斜率； ∴直线的方程为：， ∴直线的一般式方程为：. （2）略 31．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解. 【详解】由题意得， 所以， 所以，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 联立，解得，即， 则， 所以， 所以是以为直角顶点的等腰直角三角形. 故选：A． 32．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 【答案】(1)证明：由已知条件得， ,, 则, 所以△为直角三角形； (2) 【分析】（1）根据两点间距离公式求出,,的长度，可得，即证△为直角三角形； （2）边上的中线长为，求出中点的坐标，再根据点斜式求出边上的中线所在的直线方程. 【详解】（1）略 （2）设的中点坐标为，则边上的中线, 由中点坐标公式可得，，即的坐标为， 直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 考点九　直线围成图形的面积问题 33．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据点在的高线上，中点在直线上列方程得到点，根据点在边的中线上，垂直于边上的高线列方程得到点； （2）法一:根据点在上列方程，根据的面积得到到边的距离，然后利用点到直线的距离公式列方程，最后解方程即可； 法二：根据的面积得到到边的距离，然后设过与平行的直线的方程，最后与直线的方程联立即可； 法三：根据与的面积比值得到，然后利用向量求坐标即可. 【详解】（1） 设， 因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 所以解得，即的坐标为． 设，因为边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为， 联立方程组解得，即的坐标为． （2）法一：设(， 直线方程为 即， 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为,即 即或， 联立方程组，解得=（舍去）， 联立方程组，解得， 所以. 因为，，所以． 的方程为，即， 又因为的面积为， 所以到边的距离为，设过与平行的直线为， 所以，解得或（结合图形舍去） ， 直线方程为 即， 联立方程组 解得，所以. 因为，，所以． 因为直线方程为，即， 所以点到边的距离为，即边上的高为， 故的面积为， 因为的面积为， 所以 ，所以 ， 设，则，解得. 34．（25-26高二上·北京·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出边上的中点的坐标，即可求出，再由点斜式计算可得； （2）求出，即可求出所求直线方程； （3）首先求出所在直线方程，再求出点到的距离，以及，即可得解. 【详解】（1）因为，， 所以边上的中点，又，所以， 所以边上的中线所在的直线方程为，即； （2）因为， 所以过点且与直线平行的直线的方程为，即； （3）依题意直线的方程为，即， 所以点到的距离， 又， 所以. 35．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）求得直线恒过定点，即可得证； （2）通过直线过定点，设点斜式方程来求两坐标轴上的截距，再求面积，利用基本不等式求最小值，然后求出对应三角形的周长即可. 【详解】（1）直线的方程可以改写为， 令，所以直线过定点， 因为在第一象限，所以不论为何值，直线总经过第一象限； （2）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为，， 令，得；令，得， 所以的面积， 当且仅当，即时等号成立，此时面积最小， ，， 的周长为． 所以当面积最小时，的周长为． 36．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）求出线段的中点的坐标，求出线段的两点式方程，化为一般式方程即可； （2）求出直线的斜率，可求出边上的高所在直线的斜率，再利用点斜式方程可得出所求直线的方程； （3）求出直线的方程，即可求出点到直线的距离，再求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】（1）由题意可知线段的中点为， 所以边上的中线所在直线的方程为，即. （2）直线的斜率为，故边上的高所在直线的斜率为， 因此边上的高所在的直线的方程为，即. （3）直线的方程为，即， ， 点到直线的方程为， 因此，. 考点十　距离新定义 37．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”.又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（   ） A．，，则 B．O为坐标原点，动点R满足，则R的轨迹为直线 C．对任意三点A、B、C，都有 D．已知点和直线：，则 【答案】ACD 【分析】对于A：根据切比雪夫距离的定义直接运算即可；对于B：设，分析可得，且等号至少有一个成立，即可得结果；对于C：根据题意结合绝对值不等式的分析判断；对于D：设点可得，讨论可得距离，再由函数的性质，求得最小值即可. 【详解】对于选项A：若，，则， 因为，所以，故A正确； 对于选项B：设，若，则，且等号至少有一个成立，故轨迹不是直线，B错误； 对于选项C：设， 则 ， 同理可得， 所以，故C正确； 对于选项D：设为直线上一点， 则， 当，即时，则， 可知当时，取得最小值； 当，即或，则，无最小值， 综上可得：，故D正确； 故选：ACD. 38．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，， (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题中定义，结合两点间距离公式和平面向量夹角公式进行求解即可； （2）根据余弦距离的定义，绝对值的性质，结合分类讨论思想、平面向量夹角公式进行求解即可； （3）根据题中定义，结合平面向量夹角公式进行求解即可. 【详解】（1）已知，，则由题意可得欧几里得距离为； 曼哈顿距离为； 因为，， 所以， 则余弦距离为. （2）设，由题意得：， 由， 作出表示的图形，为如图所示的正方形， 其中，，，， 即点在正方形的边上运动，，， 结合图形，由可知， 当取最小值时，最大. 相应的有最大值.因此，点有如下两种可能： ①点为点时，，则：； ②点在线段上运动时，此时与方向相同，， 则. 因为，所以点在点时，有最大值，最大值为.        （3）设，则，， ， ， ，，即或. 联立，解得，， 联立，解得，， ，，，，则； ，则； ，则. 39．（25-26高二上·北京·阶段检测）曼哈顿距离（）是由十九世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点，它们之间的曼哈顿距离．已知点，点是直线上的动点，点是直线上的动点，其中．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线所过定点的求法和直线垂直关系判定可知，大致锁定两直线位置，并验证出可过点；根据曼哈顿距离的几何意义，结合直线位置关系可确定当过，即重合时，所求曼哈顿距离和取最小值，由此可得结果. 【详解】记直线，则， 由得：，恒过定点； 记直线，则， 由得：，恒过定点； ，； 若过点，则，解得：，与矛盾，不过点； 若过点，则，解得：，符合题意，可过点； 设曼哈顿距离，其中，则点到定点的曼哈顿距离为定值的轨迹是正方形，该正方形以为中心，其中一条对角线在轴上，另一条对角线平行于轴，且对角线长的一半为定值，如下图所示， ，，， ，可知轨迹为该正方形； 当正方形与相交于一点时，；当正方形与相交于一点时，， （当过，即重合时取等号）， 当过时，，此时，则， 的最小值为. 故选：A. 40．（25-26高二上·北京·期中）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点. (1)若点是平面上的点，试证明； (2)平面上是否存在点，同时满足①；②，若存在，请求出点C的轨迹方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) 因为， 所以， 则 ， 所以. (2)存在，点的轨迹方程为或. 【分析】（1）根据题目所给定义，以及绝对值的性质，证明不等式即可. （2）根据点的位置关系，逐一说明两个条件成立时点所在的位置，进而求出点C的轨迹方程. 【详解】（1）略 （2）当时，则，由条件②得， 即，解得， 由条件①得， 即，解得，此时点， 当时，则，由条件②得， 即，解得， 由条件①得， 即，解得，此时点， 当且时，不妨设， 当时，当条件①成立时， 即同时成立， 即同时成立，所以且， 再由条件②得，即， 此时点在函数上， 当时，由条件①成立得且，从而由条件②得， 此时点在函数上， 可知，当，时， 点在函数上， 当，时，点也在函数上， 综上所述，点的轨迹方程为或. 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 2．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据两点距离，以及点到直线的距离公式，列出三角形的面积，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB的方程为：，即. 所以 到直线 的距离，， 所以，代入得：. 化简得：，解得 或 . 故选：C 3．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 4．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 5．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 6．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【分析】由两点间距离公式即可求解. 【详解】由两点间距离公式可得. 故选：C 7．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知三顶点为、、，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】由向量的坐标表示有，，结合向量数量积的坐标运算，即可判断三角形的形状. 【详解】由已知，，， ∴，即， ∴是直角三角形. 故选：B. 8．（2026·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 9．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】借助点到直线的距离公式，分直线斜率存在于不存在进行讨论即可得. 【详解】若直线斜率不存在，则， 此时点到的距离为，点到的距离为，符合要求； 若直线斜率存在，设，即， 则有，化简得， 即，解得，即； 故的方程为或. 故选：D. 10．（25-26高三上·江苏南通·期中）（多选）设，点，，若，则直线AB的斜率可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由两点间距离公式、斜率公式即可求解. 【详解】设，点，，若，所以， 所以直线AB的斜率可能为或. 故选：AD. 11．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】BD 【分析】利用点到直线的距离公式为，再解方程即可求解. 【详解】由到直线距离相等可得 ， 即，分两种情况： ①，解得， 此时斜率为，直线斜率为，符合平行条件，距离相等； ②，解得， 此时中点为，代入直线得，即，符合条件； 所以和都满足题意. 12．（25-26高二上·广西河池·期末）（多选）已知直线，则（    ） A．l的倾斜角为 B．l在x轴上的截距为 C．原点到l的距离为 D．l与坐标轴围成的三角形的面积为 【答案】ACD 【分析】先把直线方程化为斜截式求出斜率和倾斜角，再分别计算它在轴上的截距、原点到直线的距离，以及与坐标轴围成的三角形面积，最后逐一判断选项的正确性. 【详解】选项A：直线可化为，斜率，因为且，所以倾斜角，A正确； 选项B：令，得，所以截距是，B错误； 选项C：原点到直线的距离公式：，C正确； 选项D：直线与轴交点，与轴交点，则，D正确. 故选：ACD 13．（2026·陕西商洛·三模）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 【答案】ABC 【详解】对于A，直线的斜率为，则其倾斜角为，故A正确； 对于B，直线的斜率为2，在轴，轴上的截距分别为， 故直线经过第一、二、三象限，故B正确； 对于C，直线与直线，即间的距离为 ，故C正确； 对于D，当直线的截距不为0时，设直线的方程为， 把点代入直线，得，所以直线方程为； 当截距为0时，设直线方程为，把点代入直线，得， 直线方程为，故D错误. 14．（25-26高二上·江苏·期末）（多选）已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 【答案】BCD 【分析】由两条直线垂直的性质、结合平行线间的距离公式、直线的点斜式方程、截距的定义以及逐一判断即可. 【详解】对于，直线的斜率为，若，则直线的斜率为， 则，所以不垂直，故错误； 对于，若，所以可得，则直线， 由两平行直线距离公式可得，故正确； 对于，可化为， 所以直线恒过，故正确； 对于，当直线与轴无截距，不满足条件， 当，在两坐标轴的截距相等，分别令， 可求出与轴截距为和轴截距，即 解之可得或，故正确. 故选： 15．（2026高二上·浙江温州·专题练习）（多选）若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（   ） A．7 B． C．13 D． 【答案】AD 【分析】先求出，再由两平行线间的距离公式求解． 【详解】因为两条平行直线与，所以，解得， 所以，而两平行直线间的距离是，则， 所以，得或，解得或. 故选：AD 16．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】/ 【分析】利用直线平行可求出的值，利用平行线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为，即， 故这两平行直线间的距离为. 17．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 【答案】/ 【分析】由点到直线的距离公式求解即可． 【详解】直线，即， 所以点到直线的距离． 故答案为：． 18．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)边上的垂直平分线所在直线的方程； (2)的面积． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）由点坐标得到中点坐标，通过求得直线斜率得到与直线垂直直线的斜率，然后由点斜式写出直线方程； （2）由（1）得到直线的直线方程，即可求得点到直线的距离，即可由三角形面积公式求得面积. 【详解】（1）设边上的垂直平分线所在直线， ∵，∴中点， 直线斜率，则， ∴，即. （2）由（1）可知，即， 则点到直线的距离， ， ∴. 19．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）借助两直线垂直性质计算即可得； （2）借助两直线平行性质计算可得，再利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】（1）由直线与直线垂直，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为； （2）由直线与直线平行，可得，解得， 将代入直线方程中，化简可得直线方程为， 设直线与直线间的距离为，由平行线间的距离公式可得： ， 即直线与直线间的距离为. 20．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）（1）若两条平行直线与之间的距离为，则字母C的值； （2）过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程； （3）已知直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求直线方程. 【答案】（1）或； （2）； （3）或. 【分析】（1）根据两直线平行的判定求出A，然后根据平行线间距离公式求出C； （2）求出两直线的交点，根据垂直求出待求直线的斜率，即可得出答案； （3）由题可知，直线的斜率必存在，所以根据点斜式设出直线方程，然后表示出其与两坐标轴交点坐标，然后列出面积公式，即可得出答案. 【详解】（1）因为两直线平行，所以，所以直线为 ，即， 然后根据两直线间的距离公式得出， 解得或； （2）联立， 所以直线与的交点为， 又待求直线与垂直，所以其斜率为， 所以待求直线的方程为； （3）由题可知，直线的斜率必存在且不为0， 所以设直线为， 令，得，所以直线与y轴的交点坐标为， 所以， 令，得，所以直线与x轴的交点坐标为， 所以， 所以 即或， 化简得或， 解得或， 所以答案为或. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3.2~4 两点间、点到直线、两条平行线的距离公式 知识点1：两点间的距离公式 1．点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)两点间的距离公式为 ． 2．原点O(0，0)与任一点P(x，y)间的距离|OP|＝． 知识点2：点到直线的距离 (1)定义：点到直线的距离，就是点到直线的垂线段的长度． (2)公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝． 知识点3：两条平行直线间的距离 (1)概念：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长． (2)公式：两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(A，B不同时为0，C1≠C2)之间的距离d＝． 【注意】(1)两条平行直线间的距离公式适用于两条直线的方程都是一般式，并且x，y分别对应的系数相等的情况． (2)如果两平行直线的方程中x，y的系数对应不同，必须先等价化为系数对应相同才能套用公式． 考点一　求平面两点间的距离 考点二　由距离求点的坐标 考点三　求点到直线的距离 考点四　已知点到直线距离求参数 考点五　求平行线间的距离 考点六　由距离求已知直线的平行线 考点七　求到两点距离相等的直线方程 考点八　由顶点坐标判断三角形的形状 考点九　直线围成图形的面积问题 考点十　距离新定义 考点一　求平面两点间的距离 1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 2．（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 3．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 4．（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 考点二　由距离求点的坐标 5．（25-26高二上·河南·阶段检测）（多选）已知为坐标原点，点在直线上，若，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·云南玉溪·期中）已知，且，则________． 7．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知点，P为x轴上的一点，且点P与点A的距离等于13，则点P的坐标为______． 8．（25-26高一下·北京顺义·阶段检测）已知三角形的顶点为，，. (1)求直线的方程； (2)若直线l过点B且与直线交于点E，，求直线l的方程. 考点三　求点到直线的距离 9．（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 10．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求A的坐标； (2)求点A到直线的距离． 11．（25-26高二下·四川南充·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，，为中点. (1)求中线和线段分别所在的直线方程； (2)求ABC的面积. 12．（25-26高二上·安徽蚌埠·期末）（多选）已知，则下列说法正确的是（   ） A．直线MN的倾斜角为 B．点到直线的距离为1 C．点在直线上 D．直线与直线MN平行 考点四　已知点到直线距离求参数 13．（25-26高二上·上海浦东新·期末）若直线过原点，且点到的距离等于3，则直线的方程为____. 14．（25-26高二上·海南·阶段检测）已知点到直线的距离为1，则____________. 15．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点到直线的距离为2，则m的值为________． 16．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知轴上一点到直线的距离等于3，则点的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 考点五　求平行线间的距离 17．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 18．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 20．（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 考点六　由距离求已知直线的平行线 21．（25-26高一下·全国·期末）（多选）下列直线与直线：平行，且与它的距离为2的是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则__________. 23．（25-26高二上·吉林·期中）求下列直线方程： (1)已知直线经过直线和的交点，且到的距离为3，求直线的方程； (2)求与直线平行且到距离为的直线方程. 24．（25-26高二上·辽宁朝阳·期中）（多选）已知直线满足，且间的距离为，若的方程为，则的方程为（    ） A． B． C． D． 考点七　求到两点距离相等的直线方程 25．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边上的高线所在直线的方程； (2)若直线过点，且点､到直线的距离相等，求直线的方程. 26．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知的三个顶点是. (1)求边上的高所在直线的方程； (2)若直线过点，且点到直线的距离相等，求直线的方程. 27．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知、两点到直线的距离相等，则的值为（ ） A． B． C． D．或 28．（25-26高二上·江西景德镇·期中）在中，. (1)求边上的高的方程； (2)若直线经过点，且到直线的距离相等，求直线的方程. 考点八　由顶点坐标判断三角形的形状 29．（25-26高二上·北京昌平·期中）已知的三个顶点，，，则的形状为______． 30．（25-26高二上·广西玉林·期中）已知点及点； (1)若直线经过点且，求直线的一般式方程； (2)求证：是直角三角形. 31．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）已知三条直线，，，设，，，则是（   ） A．以为直角顶点的等腰直角三角形 B．以为直角顶点的非等腰直角三角形 C．以为直角顶点的等腰直角三角形 D．等边三角形 32．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知△的三个顶点为，，. (1)求证：△为直角三角形； (2)求边上的中线长及中线所在的直线方程. 考点九　直线围成图形的面积问题 33．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求顶点的坐标； (2)若点为边上一点，且的面积为求点的坐标. 34．（25-26高二上·北京·期中）已知的三个顶点，，. (1)求边上的中线所在的直线方程； (2)求过点且与直线平行的直线的方程； (3)求的面积. 35．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线总经过第一象限； (2)直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 36．（25-26高一上·河南驻马店·开学考试）已知，、、，求： (1)边上的中线所在直线的方程； (2)边上的高所在的直线的方程； (3)三角形的面积. 考点十　距离新定义 37．（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）（多选）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”.又设点P及直线上任意一点Q，称的最小值为点P到直线的“切比雪夫距离”，记作，则下列命题中正确的是（   ） A．，，则 B．O为坐标原点，动点R满足，则R的轨迹为直线 C．对任意三点A、B、C，都有 D．已知点和直线：，则 38．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）人脸识别技术已融入我们日常生活，小区门禁刷脸即可开门，手机支付凭人脸验证完成交易，机场安检通过它实现旅客快速身份核验，让便捷与安全并存.它通过计算机分析人脸图像或视频，提取面部轮廓、五官间距等关键特征，在这一过程中，判别不同样本间的相似度是核心环节，其主要实现方式为距离测试，目前常用的测量方式主要有3种.设，，则欧几里得距离；曼哈顿距离；余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若点，，求，之间的欧几里得距离，曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，，求的最大值； (3)已知点，曲线，问曲线上是否存在点使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 39．（25-26高二上·北京·阶段检测）曼哈顿距离（）是由十九世纪赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是使用在几何度量空间的几何学用语，表示两个点在空间（或平面）直角坐标系中的“绝对轴距”总和．例如：在平面直角坐标系内有两个点，它们之间的曼哈顿距离．已知点，点是直线上的动点，点是直线上的动点，其中．则的最小值为（   ） A． B． C． D． 40．（25-26高二上·北京·期中）设是平面直角坐标系上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离为.对于平面上给定的不同的两点. (1)若点是平面上的点，试证明； (2)平面上是否存在点，同时满足①；②，若存在，请求出点C的轨迹方程；若不存在，请说明理由. 1．（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·四川成都·期末）以为顶点的的面积为10，则为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 3．（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 4．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 7．（25-26高一下·江苏盐城·阶段检测）已知三顶点为、、，则是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 8．（2026·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 9．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）直线经过点，且点到它的距离相等，则的方程为（   ） A． B． C．或 D．或 10．（25-26高三上·江苏南通·期中）（多选）设，点，，若，则直线AB的斜率可能为（ ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·浙江·开学考试）（多选）已知两点到直线的距离相等，则a的值可以为（   ） A． B．0 C． D．2 12．（25-26高二上·广西河池·期末）（多选）已知直线，则（    ） A．l的倾斜角为 B．l在x轴上的截距为 C．原点到l的距离为 D．l与坐标轴围成的三角形的面积为 13．（2026·陕西商洛·三模）（多选）下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角为 B．直线经过第一、二、三象限 C．直线与直线之间的距离是 D．过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为 14．（25-26高二上·江苏·期末）（多选）已知直线，，则下列说法正确的有（   ） A．若，则 B．若，则直线，之间的距离为 C．直线过定点 D．若直线在两坐标轴的截距相等，则或 15．（2026高二上·浙江温州·专题练习）（多选）若两条平行直线与之间的距离是，则的值可能为（   ） A．7 B． C．13 D． 16．（25-26高二下·上海徐汇·期中）两平行直线与间的距离为______． 17．（25-26高二上·上海·期末）点到直线上的距离为__________. 18．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）已知的三个顶点分别为，求： (1)边上的垂直平分线所在直线的方程； (2)的面积． 19．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知直线（其中）． (1)若直线与直线垂直，求直线的方程； (2)若直线与直线平行，求它们之间的距离． 20．（25-26高二上·天津武清·阶段检测）（1）若两条平行直线与之间的距离为，则字母C的值； （2）过两直线与的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程； （3）已知直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为1，求直线方程. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $