5.2 一元一次方程的解法 暑假预科讲义 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 5.2一元一次方程的解法 知识归纳与题型总结 考点01 合并同类项与系数化为1 1. 合并同类项 将一元一次方程中含有未知数的项与常数项分别合并，使方程转化为的形式，变形依据是合并同类项法则． 2. 系数化为1 方程两边同时除以未知数的系数，使一元一次方程变形为的形式，变形的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等．例如，解方程：，合并同类项，得，系数化为1，得． 考点02 移项法解一元一次方程 1. 移项 （1）把等式一边的某项变号后移到另一边，叫作移项． （2）移项的目的：使含有未知数的项与常数项分别位于方程的两边，以便为下一步合并同类项创造条件．移项的依据是等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等． （3）移项的方法：通常把方程右边的含未知数的项改变符号后移到方程左边，把方程左边的常数项改变符号后移到方程右边．但也不尽然，比如为使未知数的系数不出现负数，也可以把含未知数的项放在右边，常数项放在左边．例如：，移项，得，所以，即方程的解为． 2. 移项法解一元一次方程的步骤 （1）移项； （2）合并同类项； （3）系数化为1． 例如，解方程：，移项，得． 合并同类项，得．系数化为1，得． 考向01 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【例1】在方程中，，则的值是_________． 【答案】2 【详解】解：把代入原方程，可得， 解得． 【对点1】用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆． 如：☆． (1)求☆的值； (2)若☆☆，求的值； (3)若☆，☆（其中为有理数），试比较，的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解一元一次方程，有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）原式用已知的新定义计算即可得到结果； （2）已知等式利用已知新定义变形，得出关于的方程求解即可； （3）已知等式利用新定义表示出，，然后用作差法比较即可． 【详解】（1）解：☆． （2）解：☆ ☆ 解得． （3）解：由题意， ， ， ． 考点03 去括号与去分母 1. 去括号 （1）解含有括号的一元一次方程时，利用去括号法则去掉括号． （2）去括号是为了下一步能用移项法解方程，实质是分配律． （3）去括号各项的变化： ①如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来符号相同，例如：； ②如果括号外的因数是负数，去括号后要改变原括号内各项的符号，例如：； ③当括号前不是“”或“”时，去括号时，将括号外的因数连同前面的符号看成一个整体，按分配律乘括号内的每一项，再把积相加． （4）去括号解一元一次方程的步骤： ①去括号；②移项；③合并同类项；④系数化为1． 2. 去分母 （1）在含有分数系数的方程两边都乘同一个数（该数为各分母的最小公倍数），使方程中不含分母，这样的变化过程叫作去分母． （2）去分母的目的是将方程中的分数系数转化为整数，再利用去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程．去分母的依据是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． （3）对于含小数的一元一次方程，先将小数化为分数，再利用去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1解方程． 考向01 解一元一次方程（二）——去括号 【例1】解方程：． 【答案】 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【详解】解：去括号，得 ， 移项，得， 合并同类项，得 ， 系数化为，得． 考向02 解一元一次方程（三）——去分母 【例2】解方程时，去分母后正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据解一元一次方程的去分母步骤，去分母时需将方程两边同乘所有分母的最小公倍数，常数项也需要乘，本题分母为2和3，计算后即可得到结果． 【详解】解：∵方程的分母是和，最小公倍数为， ∴方程两边同时乘以去分母，得：． 【对点1】代数式与的值互为相反数，则x的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用相反数的性质，互为相反数的两个数和为，据此列出一元一次方程，求解方程即可得到的值. 【详解】解： 代数式与的值互为相反数， ， 去括号得 ， 合并同类项得 ， 移项得 ， 系数化为得 . 【对点2】将方程去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出两个分母的最小公倍数，再给方程左右两边每一项同时乘该最小公倍数，化简后对比选项得到结果． 【详解】解：∵原方程为，两个分母分别为和，二者的最小公倍数是， ∴给方程左右两边同时乘以去分母，得：， 化简得． 考点04 解一元一次方程的步骤 变形名称 具体做法 变形根据 易错点 示例 去分母 方程两边乘各分母的最 小公倍数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1)易漏乘不含分母的项； （2)分子是和、差的形式时，分子容易漏加括号 两边同乘12， 去括号 可按“小、中、大”的顺序去括号，也可灵活决定 （1）分配律； （2）去括号法则 （1）容易漏乘括号里面的项； （2）容易出现符号错误 移项 把含有未知数的项移到 方程的一边，常 数 项 移 到方 程 的另一边 等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 移项容易不变号 合并同类项 把方程化为的形式 合并同类项法则 系数相加时容易算错 系数化为1 方程两边除以未知数的系数 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等 （1）系数含字母时,容易不先判断系数是否为0而直接两边同时除以系数； （2）容易 把分子、分母颠倒 考向01 已知一元一次方程的解，求参数 【例1】已知方程和方程 有相同的解，那么的值是______． 【答案】 【分析】分别解出两方程的解，两解相等，就得到关于的方程，从而可以求出的值． 【详解】解：解方程得：， 解方程得：， ∵方程和方程有相同的解， ∴， 解得：． 考向02 一元一次方程解的关系 【例2】按要求解答问题： (1)解方程：； (2)若关于x的方程与的解之和为1，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）分别求出两个方程的解，再根据题意建立关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得； （2）解：解方程 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， 解方程得， ∵关于x的方程与的解之和为1， ∴， 解得． 【对点1】当x取任意一个有理数时，等式都成立，则的值为________． 【答案】/ 【分析】首先解方程得到，然后根据题意得到，，求出a，b后代入求解即可． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 根据题意得，， ∴， ∴． 【对点2】已知关于x的方程与的解互为相反数，求m的值以及两个方程的解． 【答案】，第一个方程的解为，第二个方程的解为 【分析】先解出两个方程的解，再根据两个方程的解互为相反数，列出关于m的一元一次方程，即可得出m的值，进一步即可得出两个方程的解． 【详解】解：解方程，得， 解方程，得． 又两个方程的解互为相反数， ， 两边同时乘得，， ， ， ， 当时，第一个方程的解为，第二个方程的解为． 答：，第一个方程的解为，第二个方程的解为． 考点05 解含有绝对值的方程 根据“”，将绝对值符号去掉，化为两个一元一次方程，再解这两个方程．例如，解方程：，去绝对值符号，得，即，解得． 考向01 绝对值方程 【例1】若，则___________． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义，绝对值等于正数的数有两个，这两个数互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：， ， 或 ，即 ． 【对点1】若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】由，可知，得出，把代入得：，即，然后分两种情况求出x的值，再求出y的值，进而可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴可化为， 把代入得：，即， 当时，，则即：，解得与不符，舍去； 当时，，则即：，解得，符合， 当时，则， ∴． 1、 选择题 1．若关于x的方程与方程的解相同，则m的值为（     ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】两个方程解相同，先求解不含参数的第二个方程，再将解代入第一个方程，即可求出的值． 【详解】解：解方程得， ∵两个方程的解相同， ∴将代入方程得， 解得． 2．现规定一种运算．若，则（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】正确理解新定义运算规则，将其转化为一元一次方程求解． 【详解】解：由题意得， 解得：． 3．下列解方程的变形过程正确的是（     ）． A．由移项得 B．由移项得 C．由去分母得 D．由去括号得 【答案】D 【分析】根据一元一次方程变形中的移项、去分母、去括号法则判断即可． 【详解】解：A、由，移项得，原变形错误； B、由，移项得，原变形错误； C、由，去分母时两边同乘10，得，原变形错误； D、由，去括号得，原变形正确． 4．若关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题利用换元思路，通过变形第一个方程，使两个方程结构一致，得到与的对应关系，结合已知的解即可求出的值． 【详解】解：∵关于的一元一次方程的解为 将方程变形，把改写为，把改写为， 代入原方程得 两边同时加，得 对比关于的方程， 可得 ∵ ∴． 5．已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两个方程结构的一致性，将第二个方程中的整体看作第一个方程中的，结合已知第一个方程的解即可求解． 【详解】解：观察关于的方程，其结构与已知关于的方程完全一致， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， 解得． 6．已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过整理变形将关于的方程转化为与已知方程相同的结构，利用已知方程的解换元求解． 【详解】解：已知关于的方程的解为， 整理已知方程得， ， ， 该式与整理后的已知方程形式完全相同， 因此可得， 解得． 7．已知是关于的一元一次方程，则的值为（     ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的次数为且一次项系数不为，列出条件求解即可得到的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， ∴的值为4． 8．数学课上，两位同学讨论关于x的方程（m，n为整数）的解的情况，对话如下： 甲同学：“这个方程有唯一解，且解为．” 乙同学：“我发现，当正整数m取最大值时， ；当正整数m取最小值时，” 给出下列三个结论：① ；②m的最小值是1；③满足条件的正整数m共有4个．根据甲、乙两人的对话，上述结论中，正确的是（     ） A．① B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】先整理原方程，结合一元一次方程有唯一解的条件，代入已知解得到m与n的关系，再逐一验证三个结论即可． 【详解】解：整理原方程，移项得：， ∵ 方程有唯一解， ∴ ，即 ， 将代入化简后的方程，得 ，整理得 ， 验证结论①：若 ，代入得 ，解得，与矛盾， ∴ ，①正确； 验证结论②：根据乙的描述，正整数取最小值时，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最小值为，不是 ， ∴ ②错误； 验证结论③：根据乙的描述，正整数取最大值时 ，将 代入 ，得 ，解得 ，即的最大值为 ， ∵ 是正整数，且 ， ∴ 满足条件的为 ，共个，③正确； 综上，正确结论为①③． 9．爱动脑筋的小青同学设计了一种“幻圆”游戏，将、、、、、、、分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，他已经将、、、这四个数填入了圆圈，对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（     ） 结论Ⅰ：的值为： 结论Ⅱ：的值为． A．Ⅰ对Ⅱ不对 B．Ⅰ不对Ⅱ对 C．Ⅰ和Ⅱ都对 D．Ⅰ和Ⅱ都不对 【答案】A 【分析】横、竖以及内外两圈上的个数字之和都相等，可得：，即可求出，所以、、可能是、、， 分情况讨论即可得到结果． 【详解】解：如下图所示，设两个空白位置的数分别为、， 根据题意可得：， 解得：， 、、可能是、、， 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，，，， 成立， ，； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，，，， 成立， ，； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 当、、时， 可得：，， ， 不成立； 综上所述，，或， Ⅰ对Ⅱ不对． 10．已知两个多项式，，设，，下列说法： ①若，则； ②若的值与的值无关，则； ③若关于的方程的解为正整数，则符合条件的整数有个． 其中正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】先根据多项式加减法则化简和，再逐个验证三个说法的正确性，即可求解． 【详解】解：∵，， 故， ， ， ； ， ， ， ； ①若，即， 解得；故①说法正确． ②， ， ； 若的值与的值无关，则含项的系数为， 即，， 解得，， ∴，故②说法正确． ③， ， ， 整理得， 故， ∴； ∵是正整数，是整数， 故的值可以是、、， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 符合条件的整数的值有个，故③说法正确． 综上，个说法都正确． 2、 填空题 11．若关于x的方程和有相同的解，则______． 【答案】8 【分析】先解不含参数的一元一次方程得到的值，再代入含参数的方程即可求出． 【详解】解：解方程， 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 两个方程有相同的解， 把代入，得． 12．已知，且，那么______． 【答案】4 【详解】设，则， ， 解得， ． 13．已知实数，满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据绝对值的意义可求出的值，进而求出的值，即可得解． 【详解】解：对于， 当时，原式可化为，解得； 当时，原式可化为，无解； 将代入，得 ， 解得； 当时，； 当时，； 综上所述，． 14．小海在计算时，误将“”看成了“”，所得结果是，那么的正确结果应是_____． 【答案】 【详解】解：小海在计算时，误将“”看成了“”，所得结果是， ， ， ． 15．规定：，，例如，．下列结论①若，，则：；②若，则；③若，则：；④能使成立的的值有2个．正确的有___________．（填写序号） 【答案】 ①③④ 【分析】根据题中的规定判断出各选项的正确与否即可． 【详解】解：①若，，则，①正确； ②若，则，解得，所以，②错误； ③若，则，，所以，③正确； ④若，则， 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得， 当时，，解得， 故x的值有2个，④正确． 故正确的有①③④． 3、 解答题 16．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ， ． 17．解方程． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】方程去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解； 方程去分母，去括号，移项合并，把系数化为，即可求出解． 【详解】（1）解：去括号得， 移项合并得， 解得； （2）解：去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得． 18．在学习解一元一次方程后，小张对一道一元一次方程的解答过程如下： 解方程：． 解：去分母，得第一步 去括号，得第二步 移项，得第三步 合并同类项，得第四步 系数化为1，得第五步 (1)第________步开始出现错误；（填序号） (2)写出正确求解过程． 【答案】(1)二 (2)解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 【分析】（1）由去括号法则验证即可得到第二步开始出现错误； （2）由一元一次方程的解法步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项及系数化为1求解即可． 【详解】（1）解：第二步中去括号符号错误， 故题目第二步开始出现错误； （2）略 19．【定义】 如果两个一元一次方程的解互为相反数，那么就称这两个方程互为“相反方程”． 例如：方程的解为，方程的解为， 所以与互为“相反方程”． 【应用】 (1)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，求的值； (2)若与都是关于的方程，且它们互为“相反方程”，则的值为__________． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）先求出方程的解，再根据“相反方程”的定义得到方程的解，代入即可求出的值； （2）将、看作常数，分别求出方程与的解，再根据“相反方程”的定义得到关于、的方程，即可求解． 【详解】（1）解：方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴方程的解为：， ∴，解得． （2）解：方程的解为：， 方程的解为：， ∵与互为“相反方程”， ∴， 化简得：， ∴． 20．如图，点M，N均在数轴上，点M所对应的数是，点N在点M的右边，且距M点4个单位长度，点P、Q是数轴上两个动点． (1)求出点N所对应的数； (2)当点P到点M、N的距离之和是5个单位长度时，求出此时点P所对应的数； (3)若点P、Q分别同时从点M、N出发，均沿数轴相向运动，运动时间为t，点P保持每秒运动2个单位长度，点Q保持每秒运动3个单位长度，点P到O立即折返，点Q到M立即折返，点P、Q分别折返到M、N时停止运动，直接写出P、Q距离为1时t的值． 【答案】(1)1 (2)点P所对应的数是或 (3)或或或 【分析】（1）根据题意可知数轴上右侧的数比左侧大，利用M对应的数加上两点距离即可得到N对应的数即可； （2）根据点P到点M、N的距离之和大于M、N的距离得到点在点、的两侧，分情况讨论：当点P在点M的左边或点P在点N的右边时，分别求出、的距离，从而求出点P所对应的数； （3）先分别确定P到达O点的时间、Q到达M点的时间，根据时间节点划分运动阶段，每个阶段分别用含t的式子表示P、Q对应的数，再根据两点距离为1列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解： ， 点N所对应的数是1； （2）解：点P到点M、N的距离之和是5个单位长度，， 点在点、的两侧， 分情况讨论： 如图，当点P在点M的左边时， ， 点P所对应的数是； 如图，当点P在点N的右边时， ， 点P所对应的数是， 综上所述，点P所对应的数是或； （3）解：根据题意得：点P到达O点所需时间为：，点Q到达M点所需时间为：， 则点P停止运动时需要的时间为，点Q停止运动时需要的时间为， 分情况讨论： ①当点Q未到达点M时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， 根据题意得：， 解得：或； ②当点Q从点M折返且点P未到达点O时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：（舍去）或（舍去）； ③当点P、Q都已折返时，即， 此时点P表示的数为、点Q表示的数为， ， 解得：或， 综上所述：当或或或时， P、Q距离为1． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $null