第21讲 一元一次方程的应用（10类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

第21讲 一元一次方程的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元一次方程的应用之古代问题 题型2 一元一次方程的应用之销售问题 题型3 一元一次方程的应用之方案问题 题型4 一元一次方程的应用之配套问题 题型5 一元一次方程的应用之工程问题 题型6 一元一次方程的应用之行程问题 题型7 一元一次方程的应用之数字问题 题型8 一元一次方程的应用之比赛问题 题型9 一元一次方程的应用之几何问题 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 实际问题、一元一次方程、等量关系、建模、行程问题、配套问题、检验。 1. 能根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世界的有效模型。 2. 掌握行程、工程、销售、配套、方案选择等常见实际问题的基本数量关系。 3. 能运用解一元一次方程的方法求解实际问题，并验证解的合理性。 4. 经历“审题—设未知数—找等量关系—列方程—求解—检验”的全过程，培养分析问题、解决问题的能力。 学习重点：分析实际问题中的数量关系，找等量关系列出一元一次方程，并正确求解。 学习难点：准确理解题意，找出隐含的等量关系（特别是行程中的相遇、追及问题，以及方案选择问题），以及对求得的解根据实际意义进行取舍。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次方程的应用 1.列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 【易错提醒】 列方程解应用题易错警示：审题设未知数，找等量关系。注意单位统一，解方程后检验是否符合实际（如人数、长度为正）。避免漏解或多解，答案要带单位。勿混淆“增加”与“增加到”。 即时即练1．列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 2．某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：    甲     乙 进价（元/件）    12     20 售价（元/件）    19     30 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 3．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 题型1 一元一次方程的应用之古代问题 【例1】（用一元一次方程解应用题） 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，求快马几天可以追上慢马． 【例2】元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 【技巧归纳】 用现代数学翻译古文：设未知数，根据“多、少、倍、半、相等”等词列方程。如“今有物不知其数，三三数之剩二”可列x=3a+2。注意单位换算（斤、两、尺）。解方程后，用古语或现代单位作答，检验是否符合题意。通常为一次方程。 【变式1-1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 【变式1-2】一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你2头羊，余下的给你妻子；老二，再给你3头羊，再余下的给你妻子；……”说完，老人就去世了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？ 题型2 一元一次方程的应用之销售问题 【例3】某文具店购进一批文创笔记本，用相同金额进货，第二批单价比第一批贵1元，数量少了5本．设第一批单价为x元． (1)用含x的代数式表示两批进货数量； (2)若第一批单价为4元，求两次一共购进笔记本多少本． 【例4】某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【技巧归纳】 关键公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，售价=标价×折扣。设进价、售价或折扣为x，根据利润关系列一次方程。注意“打几折”即乘0.几。单位统一。若含税费，利润=售价×(1-税率)-进价。解后检验合理性。 【变式2-1】为响应“乡村振兴·助农兴商”号召，某社区助农驿站第一次用元购进本地特色的甲、乙两种农产品进行线上线下销售，其中乙农产品的件数比甲农产品件数的倍多件，两种农产品的进价和售价如下表：（注：获利售价进价，农产品销售利润全部用于本地乡村公益建设） 农产品 甲（特色果蔬） 乙（手工杂粮） 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该助农驿站第一次购进甲、乙两种农产品各多少件？ (2)该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部售完后，所获利润可支持多少元的乡村公益建设？ (3)该助农驿站第二次以第一次的进价再次购进甲、乙两种农产品，其中甲农产品件数不变，乙农产品件数是第一次的倍；甲农产品按原售价销售，乙农产品因推出公益装，在原售价基础上进行打折销售，第二次全部售完后获得的总利润比第一次多元，求第二次乙产品是按原售价打几折销售？ 【变式2-2】某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90个，每个篮球售价为160元，比每个足球的售价多．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为． (1)每个足球的售价是多少元？ (2)采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个价格销售商城还有的利润．每个篮球的进价是多少元？ (3)为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：按原价购买，购物总费用打九折； 方案二：按原价购买，每买4个足球赠送1个篮球，不足4个足球不赠送； 方案三：按原价购买，购物超过2000元的部分每满300元减30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 题型3 一元一次方程的应用之方案问题 【例5】学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 (1)参观两个景点的学生各有多少名？ (2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 【例6】商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【技巧归纳】 将两种方案费用表示为含x的一次式，令相等得临界值。根据x的范围选择最优方案。若比较大小，列不等式。注意分类讨论：如x为整数、分段计费。实际背景如租车、电话套餐、购物优惠。画数轴或表格辅助决策。解后验证端点值。 【变式3-1】某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【变式3-2】刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 题型4 一元一次方程的应用之配套问题 【例7】某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ (2)若每副眼镜的成本为150元，该车间每天生产的眼镜的总成本为多少元？ 【例8】某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 【技巧归纳】 设需配套的某物数量为x，根据比例关系列方程。如螺栓与螺母1:2配套，设生产螺栓x个，则螺母2x个。注意总数限制（如总人数、总材料）。或设分配人数，则产量=人数×效率。用比例式或方程表示配套关系，解出后验证是否符合题中比例。 【变式4-1】六年级一班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个． (1)六年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式4-2】完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合而成，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决： (1)任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)任务二：某店家以每副80元的价格购进一批镜架，提高后标价．求每一副镜架的标价是多少？ (3)任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间按照标价售出了60副后打折销售，结果销售完这100副镜架后仍获利2560元，求剩余的镜架打几折出售？ 题型5 一元一次方程的应用之工程问题 【例9】解答下列问题： (1)师徒两人检修一条长的自来水管道，师傅每小时检修，徒弟每小时检修．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？ (2)师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要，徒弟单独完成需要．现两人合作，需要多少小时完成？ 【例10】师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成需要12小时．现在先由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时． (1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？ (2)完成任务后共得劳动报酬1200元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少元？ 【技巧归纳】 将总工作量看作1，效率=1/时间。合作效率=各效率之和。设未知时间，列方程：部分工作量之和=1。如甲单独x天，乙单独y天，合作t天：t/x + t/y = 1。注意剩余工作量：已完成+未完成=1。解后检验时间是否为正。 【变式5-1】某市新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，已知A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，此工程共用时20天．求A，B两个工程队各工作了多少天？ (1)若设A工程队工作了x天，则B工程队工作了 天（用含x的代数式表示）； (2)请按（1）中所设的未知数，列方程解此问题． 【变式5-2】某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000平方米路面改造．其中甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍，甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元． (1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数； (2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？ 题型6 一元一次方程的应用之行程问题 【例11】小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 【例12】A、B两地间相距，甲从A地出发匀速前往B地，甲的速度为4千米/时，乙的速度为3千米/时，甲出发30分钟后，乙从B地出发，沿同一条公路匀速前往A地，问：乙出发多长时间两人相遇？ 【技巧归纳】 基本公式：路程=速度×时间。相遇：相距距离=速度和×时间；追及：路程差=速度差×时间。设时间或速度为x，画线段图辅助。注意方向相向、同向，单位统一（小时/分钟）。若含往返，分段列方程。解后检验是否满足实际。 【变式6-1】甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 【变式6-2】已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 题型7 一元一次方程的应用之数字问题 【例13】一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，原两位数是 ． 【例14】一个三位数，已知十位数字是，个位数字是百位数字的倍．现将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是．设原三位数的百位数字是． (1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x的代数式表示） (2)列方程求解原三位数． 【技巧归纳】 设个位或十位数字为x，用10a+b表示两位数。根据数字关系（如调换位置、和、积）列方程。注意数位限制：首位不能为0，每位0-9。若设两位数为x，则十位=⌊x/10⌋。解后检验数字范围。也可表示三位数。方程组思想。 【变式7-1】将奇数至按照顺序排成下表： 记表示第行第个数，如表示第行第个数是． (1) ； (2)将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和能否等于．若能，求出个数中的最大数；若不能，请说明理由； (3)用、的式子表示 ； (4)若，求、的值． 【变式7-2】如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等． (1)前4个台阶上的数的和是多少？ (2)第5个台阶上的数x是多少？ (3)试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数． 题型8 一元一次方程的应用之比赛问题 【例15】下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 敬业 诚信 (1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？ (2)若某队比赛场数为场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【例16】某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【技巧归纳】 积分规则：胜场得分+平场得分+负场得分=总积分。设胜x场，平y场，负z场，根据总场数列x+y+z=N，再积分方程。通常已知总场数和积分，可消去一个未知数。注意胜负场数非负整数。解后检验是否合理。常见于循环赛。 【变式8-1】学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【变式8-2】2025湖北省全国百强县篮球联赛以独特的魅力，将竞技激情升华为地域文化的盛宴，让运动精神在城市血脉中流淌．截止到12月1日，湖北省全国百强县篮球联赛已经进行了12场比赛，下表是第12轮比赛结束后部分球队积分榜： 序号 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 1 潜江 12 11 1 23 2 汉川 12 10 2 22 3 枣阳 12 6 6 18 5 大冶 12 4 8 16 6 枝江 12 2 10 14 根据上表信息，解决下列问题： (1)若某市球队12场比赛全胜，可得24分，则联赛胜一场得____分，负一场得____分； (2)第12轮比赛结束后，天门队得了19分，求天门队胜场数和负场数； (3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的3倍吗？请通过计算说明理由． 题型9 一元一次方程的应用之几何问题 【例17】学校建花坛余下长的漂亮小围栏，经总务处同意，七年级（1）班同学准备在自己教室后的空地上一边靠墙、三边利用这些小围栏，建一个长方形的小花圃．已知墙面长，若要使花圃的长比宽多，求花圃的面积．（提示：注意题目中的条件“已知墙面长”的用意，应考虑有两种情形） 【例18】如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为． (1)填空：______cm，______cm（用含有x的代数式分别示）． (2)先用含有x的代数式表示出长方形的面积．并求当时，求长方形的面积． 【技巧归纳】 利用几何公式（面积、周长、角度）列方程。设未知边或角，根据图形性质（如内角和、勾股、相似）建立一次关系。注意单位一致。若为动点，设时间为t，用t表示线段长。解后检验边长>0，角度在范围内。画图标量。 【变式9-1】已知线段，点C在线段上，且 (1)求线段，的长； (2)点P是线段上的动点，线段的中点为M，设． ①请用含有m的代数式表示线段，的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 【变式9-2】如图：长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在上运动时，______． (2)当点在上运动时，时，求线段的长． (3)当时，求出的值． (4)当点在上运动时，连接、，直接写出的面积是时，的值． 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 【例19】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【例20】为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【技巧归纳】 阶梯计价：分段计算，每段单价不同。设用水/用电量为x，先判断所在区间，总费用=前段费用+本段费用。列方程时，若已知总费用，先假设x在某一阶梯，解出后验证是否在该区间内。注意每个阶梯的基数和单价。可用分段函数思想。 【变式10-1】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费，每月用电不超过180度时，按每度元计费；每月用电量超过180度但又不超过280度时，超过部分按每度元计费，每月用电超过280度的部分按每度元计费．收费标准如下表： 月用量 不超过180度 超过180度不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)如果小李家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为： 当时， ； 当时， ； 当时， ． (2)小李家6月份交电费138元，求小李家6月份用多少度电？ 【变式10-2】小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 一、单选题 1．某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 2．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 3．农历“三月三”即将来临，某传统文化小组计划做一批“绣球”，如果每人做个，那么可比计划多做个；如果每人做个，那么将比计划少做个，该文化小组计划做多少个“绣球”？若设该文化小组计划做个“绣球”，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 4．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么恰好空出一间房．设共有客人x人，根据题意可列出的方程是（     ） A． B． C．7x+7＝9（x﹣1） D．7x﹣7＝9（x+1） 5．如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 二、填空题 6．阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是∶．学校给每个班级发放根红色跳绳和根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______根． 7．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分． 8．把9个数放置到方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m的值为_________． 9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 10．如图，在长方形中，，．有一动点从点出发以的速度沿运动到点时停止．动点从点出发以的速度在线段上沿方向向点运动，，两点同时出发，当一点停止时另一个点同时停止运动，设运动的时间是．当________时，能使． 三、解答题 11．2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 12．烟台市政府决定修建一条高速公路，其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需要联合工作多少天？ 13．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 14．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 15．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 16．列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． (1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ (2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 17．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 譬如：某用户2月份用水，则应缴水费：(元)． (1)某用户3月用水应缴水费多少元？ (2)已知某用户4月份缴水费元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水(月份用水量超过5月份用水量)，共交水费元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？ 18．【方法指导】在学习绝对值时，老师通过绝对值的几何意义，拓展了数轴上任意两点之间的距离公式，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离为：． 【问题解决】如图，在数轴上，点A表示，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，线段的长为 ；线段的长为 ； (2)当为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ (3)在点Q出发后到达点B之前，求为何值时； (4)当t为何值时，P、Q两点间的距离 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 一元一次方程的应用 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 一元一次方程的应用之古代问题 题型2 一元一次方程的应用之销售问题 题型3 一元一次方程的应用之方案问题 题型4 一元一次方程的应用之配套问题 题型5 一元一次方程的应用之工程问题 题型6 一元一次方程的应用之行程问题 题型7 一元一次方程的应用之数字问题 题型8 一元一次方程的应用之比赛问题 题型9 一元一次方程的应用之几何问题 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 实际问题、一元一次方程、等量关系、建模、行程问题、配套问题、检验。 1. 能根据实际问题中的等量关系列出一元一次方程，体会方程是刻画现实世界的有效模型。 2. 掌握行程、工程、销售、配套、方案选择等常见实际问题的基本数量关系。 3. 能运用解一元一次方程的方法求解实际问题，并验证解的合理性。 4. 经历“审题—设未知数—找等量关系—列方程—求解—检验”的全过程，培养分析问题、解决问题的能力。 学习重点：分析实际问题中的数量关系，找等量关系列出一元一次方程，并正确求解。 学习难点：准确理解题意，找出隐含的等量关系（特别是行程中的相遇、追及问题，以及方案选择问题），以及对求得的解根据实际意义进行取舍。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一元一次方程的应用 1.列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 2.用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 【易错提醒】 列方程解应用题易错警示：审题设未知数，找等量关系。注意单位统一，解方程后检验是否符合实际（如人数、长度为正）。避免漏解或多解，答案要带单位。勿混淆“增加”与“增加到”。 即时即练1．列方程解决问题： 我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“林下牧童闹如簇，不知人数不知竹．每人六竿多十四，每人八竿少二竿．”其大意是：“牧童们在树下拿着竹竿高兴地玩，不知有多少人和竹竿，每人6竿，多14竿；每人8竿，少2竿．”求共有多少个牧童？ 【答案】8个 【详解】解：设有x个牧童， 依题意得：， 解得． 经检验，符合题意． 答：共有8个牧童． 2．某超市第一次用3100元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多15件，甲、乙两种商品的进价和售价如表：    甲     乙 进价（元/件）    12     20 售价（元/件）    19     30 (1)该超市第一次购进甲、乙两种商品各多少件？ (2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的4倍；甲商品按原价销售，乙商品销售一部分后出现滞销，于是超市决定将剩余的乙商品五折（售价的）促销，若在本次销售过程中超市共获利1850元，则以五折售出的乙商品有多少件？ 【答案】(1)超市第一次购进甲商品150件，乙商品65件 (2)以五折售出的乙商品有120件 【分析】（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，根据单价数量总价，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设五折的乙商品m件，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件， 由题意得： ， 解得， 则（件）， 答：超市第一次购进甲商品150件，乙商品65件； （2）解：设五折售出的乙商品有m件，则原价销售的乙商品的数量为件， 由题意得 ， 解得， 答：以五折售出的乙商品有120件． 3．为迎接新春佳节到来，某移动公司推出两款“5G套餐”，计费方式如下： 套餐类别 套餐一 套餐二 通话不超时且流量不超量 通话120分钟及以下，流量10及以下，各种费用月费共计60元． 通话200分钟及以下，流量18及以下，各种费用月费共计100元． 通话超时或上网超量 通话超时部分加收元/分；流量超量部分加收元/． 通话超时部分加收元/分：流量超量部分加收2元/． (1)若10月小宁通话时间为200分钟，上网流量为20，则按“套餐一”计费需要多少费用？ (2)若11月小宁参加了“套餐二”活动，已知上网流量为且费用共计128元，则该月小宁通话时间为多少分钟？ (3)若12月小宁的通话时间为250分钟，上网流量超过18，是否存在按套餐一和套餐二计费相等的情况？若存在，求出此时上网流量；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)按“套餐一”计费需要101元 (2)该月小宁通话时间为300分钟 (3)存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）利用按“套餐一”计费所需费用（通话时间）（上网流量），即可求出结论； （2）设该月小宁通话时间为x分钟，根据11月小宁按“套餐二”计费需付128元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为 ，根据按套餐一和套餐二计费相等，可列出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得： （元）； 答：按“套餐一”计费需要101元； （2）解：设该月小宁通话时间为分钟， 根据题意得：， 解得：； 答：该月小宁通话时间为300分钟； （3）解：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，设此时上网流量为， 根据题意得：， 解得：． 答：存在按套餐一和套餐二计费相等的情况，此时上网流量为24． 题型1 一元一次方程的应用之古代问题 【例1】（用一元一次方程解应用题） 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有这样的记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之”．其大意是：跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里．慢马先走天，求快马几天可以追上慢马． 【答案】快马天追上慢马 【分析】设快马天追上慢马，根据慢马先走天，追及时快马所行路程等于慢马所行总路程列出方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：设快马天追上慢马， ∵跑得快的马每天走里，跑得慢的马每天走里，慢马先走天， ∴， ∴ 解得： 答：快马20天追上慢马． 【例2】元朝著名数学家朱世杰的名著《四元玉鉴》中有一问题：“我有一壶酒，携着游春走．遇务（务，即酒肆，卖酒的地方）添一倍，逢店饮斗九（斗九即一斗九，也就是斗），店务经四处，没了壶中酒．借问此壶中，当元多少酒（即问原来应当有多少酒）”，请你用方程的方法，求出原来应当有多少酒？ 【答案】原来有酒斗． 【分析】设原来有酒斗，再根据题意列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设原来有酒斗，则 ， 解得：． 答：原来有酒斗． 【技巧归纳】 用现代数学翻译古文：设未知数，根据“多、少、倍、半、相等”等词列方程。如“今有物不知其数，三三数之剩二”可列x=3a+2。注意单位换算（斤、两、尺）。解方程后，用古语或现代单位作答，检验是否符合题意。通常为一次方程。 【变式1-1】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一．书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六．问人数、鸡价各几何？”译文：假设有几个人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱．问：有几个人共同出钱买鸡？鸡的价钱是多少？请你列一元一次方程解决这个问题． 【答案】 共有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱 【分析】本题考查了一元一次方程在实际问题中的应用，解题的关键是抓住“鸡的价钱不变”这一等量关系，通过两种不同的出钱方式列出方程． 设人数为未知数，根据“每人出9钱多11钱”和“每人出6钱少16钱”分别表示鸡价，令两式相等列方程求解；再将人数代入表达式求出鸡价． 【详解】解：设共有人共同出钱买鸡．， ， ， ． 鸡的价钱为：． 答：有9个人共同出钱买鸡，鸡的价钱是70钱． 【变式1-2】一位老牧羊人，所有的儿子都成了家．一天，病重的老人把儿子们叫到床前，说：“老大，给你2头羊，余下的给你妻子；老二，再给你3头羊，再余下的给你妻子；……”说完，老人就去世了．已知从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1头羊，最小儿子的妻子没有分到羊，而每个小家庭却分到相同多的羊．你知道老人共有多少头羊？ 【答案】老人一共有56头羊 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设老人一共有只羊，根据从老二开始，老人的每个儿子都比他的前一个哥哥多分1只羊，其妻子分得儿子拿走其份额外剩下羊的，每个小家庭却分到相同多的羊，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设老人一共有x只羊，根据题意得 解得， 答：老人一共有56头羊． 题型2 一元一次方程的应用之销售问题 【例3】某文具店购进一批文创笔记本，用相同金额进货，第二批单价比第一批贵1元，数量少了5本．设第一批单价为x元． (1)用含x的代数式表示两批进货数量； (2)若第一批单价为4元，求两次一共购进笔记本多少本． 【答案】(1)第一批：本；第二批：本 (2)一共45本 【分析】（1）设第一批单价为x元，则第二批单价为元，设第一批购进了本，则第二批购进了本，进一步即可得到答案； （2）设第一批购进了本，则第二批购进了本，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：设第一批单价为x元，则第二批单价为元，设第一批购进了本，则第二批购进了本， ∴， 解得：， ∴， ∴第一批进货数量为（本），则第二批进货数量为（本）. （2）解：∵第一批单价为4元， ∴第二批单价为5元， 设第一批购进了本，则第二批购进了本， ∴， 解得：， ∴， ∴两次一共购进笔记本本. 【例4】某工厂需要生产一批眼镜镜架，每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． (1)应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)某眼镜商店以每副80元的价格购进了100副镜架，提高后标价．在元旦假期期间，商店打七折售出了90副，若想在销售完这100副镜架后总获利，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿 (2)剩余的镜架应打九折出售 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打九折出售． 【技巧归纳】 关键公式：利润=售价-进价，利润率=利润/进价×100%，售价=标价×折扣。设进价、售价或折扣为x，根据利润关系列一次方程。注意“打几折”即乘0.几。单位统一。若含税费，利润=售价×(1-税率)-进价。解后检验合理性。 【变式2-1】为响应“乡村振兴·助农兴商”号召，某社区助农驿站第一次用元购进本地特色的甲、乙两种农产品进行线上线下销售，其中乙农产品的件数比甲农产品件数的倍多件，两种农产品的进价和售价如下表：（注：获利售价进价，农产品销售利润全部用于本地乡村公益建设） 农产品 甲（特色果蔬） 乙（手工杂粮） 进价（元/件） 售价（元/件） (1)该助农驿站第一次购进甲、乙两种农产品各多少件？ (2)该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部售完后，所获利润可支持多少元的乡村公益建设？ (3)该助农驿站第二次以第一次的进价再次购进甲、乙两种农产品，其中甲农产品件数不变，乙农产品件数是第一次的倍；甲农产品按原售价销售，乙农产品因推出公益装，在原售价基础上进行打折销售，第二次全部售完后获得的总利润比第一次多元，求第二次乙产品是按原售价打几折销售？ 【答案】(1)甲种农产品件、乙种农产品件 (2)元 (3)折 【分析】（1）设未知数，根据总进价列一元一次方程，进而求出两种农产品的购进数量； （2）根据“每件利润数量”分别计算两种农产品的利润，再求和得到总利润； （3）根据第二次的利润变化列方程，进而求出乙农产品的折扣． 【详解】（1）解：设第一次购进甲种农产品件，则购进乙种农产品件， 可得， 解得，则， 故该助农驿站第一次购进甲种农产品件、乙种农产品件． （2）解：（元）． 故该助农驿站将第一次购进的甲、乙两种农产品全部卖完后一共可获得利润元． （3）解：设第二次乙种农产品是按原价打折销售， 可得， 解得， 故第二次乙农产品是按原价打折销售． 【变式2-2】某校为迎接中考体育改革，准备在体育商城采购某种篮球和足球共90个，每个篮球售价为160元，比每个足球的售价多．学校采购这批篮球的个数与足球的个数之比为． (1)每个足球的售价是多少元？ (2)采购时恰逢年中促销，商家针对篮球的优惠政策是在原售价的基础上先打七五折，又打了九折，按这个价格销售商城还有的利润．每个篮球的进价是多少元？ (3)为鼓励学校开展丰富多彩的体育运动，商家给出了三种购物优惠政策，方案如下： 方案一：按原价购买，购物总费用打九折； 方案二：按原价购买，每买4个足球赠送1个篮球，不足4个足球不赠送； 方案三：按原价购买，购物超过2000元的部分每满300元减30元． 通过计算说明：为了节省费用，学校应该选择哪个方案购买？ 【答案】(1)100元 (2)90元 (3)学校应该选择方案二购买 【分析】（1）根据篮球售价与足球售价的百分比关系，列方程，求解足球售价； （2）第二问先计算两次打折后的篮球售价，再根据利润率关系列方程求解篮球进价； （3）第三问先根据总数量和比例求出篮球足球的个数，再分别计算三种优惠方案下的总费用，比较大小后得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每个足球的售价是元， 依题意，， 解得， 即每个足球的售价是元； （2）解：设每个篮球的进价是元， 则两次打折后篮球的实际售价：（元）； 根据题意得， 解得， ∴每个篮球的进价是90元． （3）解：∵总数量共90个，篮球与足球个数比为， 因此篮球个数为 （个）； 足球个数为（个）； 原价总费用为（元）， 方案一：总费用打九折，总费用为（元）； 方案二：40个足球可赠送篮球个数为（个）； 需要付费的篮球个数为 （个） 总费用为 （元） 方案三：超过2000元的部分为（元） ， ∴可满减33次，即满减总金额为（元） ∴总费用为 （元） ∵， ∴为了节省费用，学校应该选择方案二购买． 题型3 一元一次方程的应用之方案问题 【例5】学校本学期开展“红色烟台”为主题的研学活动，组织200名学生参观磁山“红色革命纪念馆”和烟台山“人民纪念碑”，每名学生只能到其中一个景点参加活动．学校共支付票款3600元，票价信息如下表： 地点 学生票价 磁山“红色革命纪念馆 20元/人 烟台山“人民纪念碑” 15元/人 (1)参观两个景点的学生各有多少名？ (2)若学生都去参观烟台山“人民纪念碑”，则能节省票款多少元？ 【答案】(1)参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名. (2)能节省票款600元. 【分析】（1）设参观其中一个景点的学生人数为，根据总人数表示出另一个景点的学生人数，再结合总票款列出一元一次方程，求解即可得到两个景点的参观人数； （2）计算出全部学生参观烟台山的总票款，用原总票款减去该费用，即可得到节省的票款． 【详解】（1）解：设参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有名，则参观烟台山“人民纪念碑”的学生有名， 根据题意列方程得： 解得：， （名） 答：参观磁山“红色革命纪念馆”的学生有120名，参观烟台山“人民纪念碑”的学生有80名； （2）解：全部学生参观烟台山“人民纪念碑”的总票款为 （元）， 节省票款为（元）， 答：能节省票款600元． 【例6】商店A型号笔记本电脑的售价是1000元/台，最近，该商店对A型号笔记本电脑举行促销活动，有两种优惠方案，方案一：每台按售价的九折销售：方案二：若购买量不超过5台，每台按售价销售；若购买量超过5台，则超过的部分每台按售价的八折销售．某公司一次性从友谊商店购买A型号笔记本电脑台． (1)当时，选择哪种方案可使该公司购买费用最少？最少费用是多少元？ (2)若该公司采购时发现，不论选哪种方案价格都一样，请问该公司买了几台电脑？ 【答案】(1)选方案一，最少费用为7200元 (2)10台 【分析】（1）根据两个方案的优惠政策，分别求出购买8台所需费用，比较后即可得出结论； （2）根据购买台时，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：设购买型号笔记本电脑台时的费用为元， 当时， 方案一：， 方案二：， ∵， 当时，应选择方案一，该公司购买费用最少，最少费用是7200元； （2）解：①若时： 方案一：；方案二：； 此时不相等； ②若时： 方案一：；方案二： 令 解得 答：该公司买了10台． 【技巧归纳】 将两种方案费用表示为含x的一次式，令相等得临界值。根据x的范围选择最优方案。若比较大小，列不等式。注意分类讨论：如x为整数、分段计费。实际背景如租车、电话套餐、购物优惠。画数轴或表格辅助决策。解后验证端点值。 【变式3-1】某商店有A、B两种型号的节能灯，店主统计了3天的产品销售情况，如表： 统计日期 售出A型节能灯个数 售出B型节能灯个数 总售价 6月15日 0 1 50 6月16日 1 2 200 6月17日 5 5 750 (1)根据上表数据可得B型节能灯的单价 ． (2)根据上表数据，求A型节能灯的单价． (3)若商家A、B两种型号的节能灯共售出15个，总售价为1300元．那么售出的两种型号的节能灯各多少个？ 【答案】(1)50元/个 (2)A型节能灯的单价为100元/个 (3)售出的A型号的节能灯有11件，B型号的节能灯有4件 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，观察表格数据先推出B型节能灯单价，设A型节能灯的单价，根据6月16销售情况列关于的方程，解出即可求出A型节能灯单价；设A和B型节能灯的件数和，根据题意，列关于的方程，即可求出两种型号节能灯各自的件数． 【详解】（1）解：6月15日的销售情况可知，售出0个A型节能灯，1个B型节能灯，总售价为50元， B型节能灯的单价为50元/个． （2）解：设A型节能灯的单价为元/个，根据6月16日的销售情况，售出1个A型节能灯，2个B型节能灯，总售价为200元， 可列方程得， 解得， A型节能灯的单价为100元/个． （3）解：设售出A型节能灯个，则售出B型节能灯个，根据题意，可列方程得 ， 解得， ． 售出的A型号的节能灯有11个，B型号的节能灯有4个． 【变式3-2】刘师傅购买了一辆某型号的新能源汽车，其电池满电量为千瓦时．目前有两种充电方案可供选择： 方案一：私家安装充电桩，费用为元，每千瓦时电费为元． 方案二：使用公共充电桩，无安装费用，每千瓦时电费（含服务费）为元． 已知新能源汽车充电时存在能量损耗，电池实际每增加千瓦时的电量，需充入千瓦时的电．假设电池的耗电量与行驶里程成正比，且电池从满电千瓦时行驶至千瓦时时，对应的行驶里程为千米． 请解答以下问题： (1)电池每次从千瓦时充至满电千瓦时，分别计算使用方案一和方案二，单次充电所需支付的电费． (2)请问该汽车的累计行驶里程为多少千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多？ 【答案】(1) 使用方案一单次电费为元，使用方案二单次电费为元. (2) 累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 【分析】（1）根据每千瓦时所需电费计算出所需费用； （2）设该汽车的累计行驶里程为千米时，根据两种充电方案的总费用相同列方程求解． 【详解】（1）解：使用方案一，单次电费为元， 使用方案二，单次电费为元； （2）解：设该汽车的累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多， 根据题意可得：， 解得：， 答：累计行驶里程为千米时，两种充电方案的总费用恰好一样多. 题型4 一元一次方程的应用之配套问题 【例7】某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该如何分配工人才能使每天生产的镜架和镜片恰好配套？ (2)若每副眼镜的成本为150元，该车间每天生产的眼镜的总成本为多少元？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)18000元 【分析】（1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据“一副镜架要配两个镜片”列方程求解； （2）根据题意列式求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：生产镜架10人，生产镜片12人． （2）解：由（1）可知，每天生产的镜架数量为（个）， 即每天生产120副眼镜， 故总成本为（元） 答：该车间每天生产的眼镜的总成本为18000元． 【例8】某车间每天能生产甲种零件180个或乙种零件60个，若2个甲种零件与1个乙种零件配成一套，那么要使50天内生产的两种零件恰好配套，应怎样安排生产甲、乙两种零件的天数？ 【思路分析】： (1)设安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天，那么x天共生产甲种零件 个，天共生产乙种零件 个；（用含x的代数式表示） (2)根据题意可知“甲种零件数是乙种零件数的2倍”即可列出方程求解．请同学们自己完成解答过程． 【答案】(1)； (2)安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 【详解】（1）解：安排生产甲种零件x天，则安排生产乙种零件天， 那么x天共生产甲种零件个，天共生产乙种零件个； （2）解：根据题意得， 解得， ， 答：安排生产甲种零件20天，则安排生产乙种零件30天． 【技巧归纳】 设需配套的某物数量为x，根据比例关系列方程。如螺栓与螺母1:2配套，设生产螺栓x个，则螺母2x个。注意总数限制（如总人数、总材料）。或设分配人数，则产量=人数×效率。用比例式或方程表示配套关系，解出后验证是否符合题中比例。 【变式4-1】六年级一班共有学生人，其中男生人数比女生人数多人，劳动课上，老师组织同学们自己动手设计制作便携式垃圾盒，每名学生一节课能做盒身个或盒底个． (1)六年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1) 男生人，女生人 (2) 名 【分析】（1）设出女生人数，则可表示出男生人数，根据“全班总人数为人”列出一元一次方程，求解即可得到男女生人数； （2）设出去支援女生的男生人数，则可表示出做盒身和做盒底的人数，根据配套要求“盒底总数量是盒身总数量的倍”列出一元一次方程，求解即可得到去支援的男生人数． 【详解】（1）解：设六年级一班有女生人，则男生有人， 根据题意得， 解得， ． 答：六年级一班有男生人，女生人； （2）解：设有名男生去支援女生，才能使盒身和盒底刚好配套，此时做盒身的总人数为人，做盒底的总人数为人， 根据题意得， 化简得， 整理得， 解得． 答：有名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【变式4-2】完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合而成，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有45名工人，平均每人每天生产100个镜框或160个镜腿． 任务解决： (1)任务一：应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ (2)任务二：某店家以每副80元的价格购进一批镜架，提高后标价．求每一副镜架的标价是多少？ (3)任务三：该店家购进了100副镜架，元旦假期期间按照标价售出了60副后打折销售，结果销售完这100副镜架后仍获利2560元，求剩余的镜架打几折出售？ 【答案】(1)安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿， (2)120元 (3)七 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据“提高后标价”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后仍获利2560元”进行列方程求解即可． 【详解】（1）解：设安排名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得， （名）， 答：安排20名工人生产镜框，25名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2）解：根据题意得：（元） 答：每一副镜架的标价是120元； （3）解：设剩余的镜架应打折出售， 根据题意得： 解得：， 答：剩余的镜架应打七折出售． 题型5 一元一次方程的应用之工程问题 【例9】解答下列问题： (1)师徒两人检修一条长的自来水管道，师傅每小时检修，徒弟每小时检修．现两人合作，多少时间可以完成整条管道的检修？ (2)师徒两人检修一条煤气管道，师傅单独完成需要，徒弟单独完成需要．现两人合作，需要多少小时完成？ 【答案】(1)小时 (2)小时 【分析】（1）已知管道具体总长度和两人每小时检修长度，直接列方程计算； （2）把总工作量看作单位1，先得到两人的工作效率，再列方程求解． 【详解】（1）解：设两人合作小时可以完成整条管道的检修． 根据题意，师傅小时检修()，徒弟小时检修()，总管道长， 列方程得 解得 答：两人合作（小时）可以完成整条管道的检修． （2）设两人合作需要小时完成，根据题意得 解得 答：两人合作需要6（小时）完成． 【例10】师徒两人检修一段煤气管道，若师傅单独完成需要8小时，徒弟单独完成需要12小时．现在先由徒弟单独检修若干小时后师徒两人合作完成，已知两人合作检修的时间比徒弟单独检修的时间少1.5小时． (1)求师徒两人合作检修的时间是多少小时？ (2)完成任务后共得劳动报酬1200元，若按每个人完成的工作量计算报酬，师傅和徒弟所得报酬分别为多少元？ 【答案】(1)师徒两人合作检修的时间为3小时 (2)师傅应分得的报酬为元；徒弟应分得报酬为元 【分析】（1）设师徒两人合作检修的时间小时，则徒弟单独检修的时间为小时，根据题意列出关于x的一元一次方程求解即可得出答案． （2）分别求出师傅和徒弟的报酬即可． 【详解】（1）解：设师徒两人合作检修的时间为小时，则徒弟单独检修的时间为小时， 依题意，得 ， 解这个方程，得， 当时，， 答：师徒两人合作检修的时间为3小时． （2）解：师傅应分得的报酬为：（元） 徒弟应分得报酬为：（元） 【技巧归纳】 将总工作量看作1，效率=1/时间。合作效率=各效率之和。设未知时间，列方程：部分工作量之和=1。如甲单独x天，乙单独y天，合作t天：t/x + t/y = 1。注意剩余工作量：已完成+未完成=1。解后检验时间是否为正。 【变式5-1】某市新区现有一段长为180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，已知A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，此工程共用时20天．求A，B两个工程队各工作了多少天？ (1)若设A工程队工作了x天，则B工程队工作了 天（用含x的代数式表示）； (2)请按（1）中所设的未知数，列方程解此问题． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由工程共用时20天，列出代数式即可； （2）根据180米的河堤整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，已知A工程队每天整治12米，B工程队每天整治8米，结合（1）所设的未知数与结果，列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵A工程队工作了x天，工程共用时20天， ∴B工程队工作了天． （2）解：由题意得：， ， ， ， ， ∴． 答：A工程队工作了5天，B工程队工作了15天． 【变式5-2】某市实施惠民工程，对老旧小区进行改造，甲、乙两个工程队参与某小区9000平方米路面改造．其中甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍，甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元． (1)若甲、乙两队合作若干天后，乙队又单独干5天，最终完成任务，求乙队完成此项工程的天数； (2)若甲、乙两队全程合作，完成该工程需付工程款多少钱？ 【答案】(1)20天 (2)万 【分析】（1）设乙队完成此项工程的天数为x天，可知甲队完成此项工程的天数为天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求解即可； （2）设甲，乙两队合作y天，根据“甲队每天完成200平方米，乙队每天完成的工程量是甲队的倍”列方程求出y的值，根据“甲队施工一天需付工程款万元，乙队施工一天需付工程款万元”计算即可． 【详解】（1）解：设乙队完成此项工程的天数为x天， 由题意可得：， 解得， 答：乙队完成此项工程的天数为20天； （2）解：设甲，乙两队合作y天， 由题意可得：， 解得， ∴（万）， 答：完成该工程需付工程款万． 题型6 一元一次方程的应用之行程问题 【例11】小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？ 【答案】经过分钟以后小明，小杰第一次相遇 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分钟以后小明，小杰第一次相遇，根据题意，列出方程，求出，即可求解． 【详解】解：设分钟以后小明，小杰第一次相遇， 由题意可得，， 解得， 答：经过分钟以后小明，小杰第一次相遇． 【例12】A、B两地间相距，甲从A地出发匀速前往B地，甲的速度为4千米/时，乙的速度为3千米/时，甲出发30分钟后，乙从B地出发，沿同一条公路匀速前往A地，问：乙出发多长时间两人相遇？ 【答案】4小时 【详解】解：设乙出发x小时后两人相遇，由题意得： ， 解得：； 答：乙出发4小时后两人相遇． 【技巧归纳】 基本公式：路程=速度×时间。相遇：相距距离=速度和×时间；追及：路程差=速度差×时间。设时间或速度为x，画线段图辅助。注意方向相向、同向，单位统一（小时/分钟）。若含往返，分段列方程。解后检验是否满足实际。 【变式6-1】甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为． (1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？ (2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？ (3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？ 【答案】(1)快车开出后两车相遇 (2)后两车相距 (3)后两车相距 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题的关键． （1）设快车开出后两车相遇，根据两车行驶路程和为，列出方程式即可解题； （2）设后两车相距，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为，列出方程式即可解题； （3）设后两车相距，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多，即可列出方程式，即可解题． 【详解】（1）解：设快车开出后两车相遇． ． 由题意，得， 解得． 答：快车开出后两车相遇． （2）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． （3）解：设后两车相距． 由题意，得， 解得． 答：后两车相距． 【变式6-2】已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______． (2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求： ①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？ 【答案】(1)，1 (2)①秒；②秒或秒 【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程． （1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点BB表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可； （2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点P的运动距离加上动点Q的运动距离等于A，B两点间的距离，列方程即可求解； ②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为6个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解∶∵数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14． ∴点B表示的数为， 当点P运动到的中点时，它所表示的数是， 故答案为∶，1； （2）解∶①点P和点Q运动t秒时，点P和点Q第一次相遇， 则， 解得， 即点P和点Q运动秒时，点P和点Q第一次相遇； ②设点P运动t秒 根据题意得： 当点P与点Q相遇前，点P与点Q距离6个单位长度时，则， 解得； 当点P与点Q相遇后，点P与点Q距离6个单位长度时，则， 解得， ∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度． 题型7 一元一次方程的应用之数字问题 【例13】一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，原两位数是 ． 【答案】63 【知识点】数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为， 根据题意得：， 解得：， ， 原两位数是63． 故答案为：63． 【例14】一个三位数，已知十位数字是，个位数字是百位数字的倍．现将这个三位数的个位数字与百位数字调换位置，所得的三位数与原三位数的和是．设原三位数的百位数字是． (1)原三位数可表示为______，调换位置后的三位数可表示为______．（用含x的代数式表示） (2)列方程求解原三位数． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用三位数的数位计数规则（百位十位个位），结合已知的个位与百位数字的倍数关系，分别写出原数和调换后数的代数式； （2）根据“两数之和为”的等量关系列一元一次方程，求出百位数字的值，再代入原数的代数式计算出原三位数即可． 【详解】（1）解：设原三位数的百位数字是，则原三位数的个位数字是，新三位数的百位数字是，个位数字是， ∴原三位数为； 调换位置后的三位数为； （2）解：根据题意，得， 解得， ∴， 答：原三位数是． 【技巧归纳】 设个位或十位数字为x，用10a+b表示两位数。根据数字关系（如调换位置、和、积）列方程。注意数位限制：首位不能为0，每位0-9。若设两位数为x，则十位=⌊x/10⌋。解后检验数字范围。也可表示三位数。方程组思想。 【变式7-1】将奇数至按照顺序排成下表： 记表示第行第个数，如表示第行第个数是． (1) ； (2)将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和能否等于．若能，求出个数中的最大数；若不能，请说明理由； (3)用、的式子表示 ； (4)若，求、的值． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3) (4)， 【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、列代数式 【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式， （1）根据题意可知表示第行第个数，每行都有个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值； （2）先判断，然后设个阴影格子中的数分别为、、、，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由； （3）根据表格中的数据和发现，可以用含、的代数式表示出． （4）根据题意，可以得到，然后、为整数，，即可得到、的值； 解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程． 【详解】（1）解：由题意可得， ， 故答案为：； （2）所覆盖的个数之和不能等于． 理由：设个阴影格子中的数分别为、、、， 由题意得：， 解得：， ∵为整数， ∴所覆盖的个数之和不能等于； （3）由题意可得， ， 故答案为：； （4）∵， ∴， ∴， ∵、为整数，， ∴，． 【变式7-2】如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等． (1)前4个台阶上的数的和是多少？ (2)第5个台阶上的数x是多少？ (3)试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数． 【答案】(1)3 (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、有理数加法运算、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了图形的变换规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上的数的和都相等得出台阶上的数字每4个一循环． （1）将前4个数字相加可得； （2）根据“相邻四个台阶上的数的和都相等”，列方程求解即可； （3）根据“台阶上的数是每4个一循环”求解可得，观察发现，由循环规律即可知道“1”所在的台阶数为． 【详解】（1）解：由题意，得． 故前4个台阶上的数的和是3． （2）由题意，得， 所以， 故第5个台阶上的数x是． （3）由题意知，台阶上的数每4个一循环，，，1，9，，，1，9，… 数“1”所在的台阶数为3，7，11，15，19. . .， 所以数“1”所在的台阶数为． 题型8 一元一次方程的应用之比赛问题 【例15】下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 敬业 诚信 (1)求胜一场积多少分？负一场积多少分？ (2)若某队比赛场数为场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【答案】(1) 胜一场积分，负一场积分 (2) 这支球队胜了场 【分析】（）因为两队比赛场数相同，胜场数和负场数、积分都有差异，所以可设胜一场积分，负一场积分，根据两队的胜场、负场和积分情况列二元一次方程组求解； （）因为已知胜场和负场的积分，且胜场总积分与负场总积分相等，比赛总场数为场，所以这支球队胜了场，则负了场，根据胜场积分等于负场积分列一元一次方程求解． 【详解】（1）解：设胜一场积分，负一场积分， 根据表格积分信息列二元一次方程组：， 两式相加化简得，即， 代入第一个方程：， 解得， ∴， ∴胜一场积分，负一场积分； （2）解：设这支球队胜了场，总场数为场，则负了场， 根据胜场总积分等于负场总积分列方程：， 整理得， 解得． 【例16】某电视台组织知识竞赛，共20道选择题，每题必答，如表记录了3个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 总得分 甲 20 0 100 乙 19 1 94 丙 14 6 64 (1)由表中的数据可知：答对1题得________分，答错1题得________分； (2)小婷得76分，她分别答对了几道题、答错了几道题？ (3)小明说他得了80分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5， (2)参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； (3)不可能，见解析 【分析】（1）从参赛者甲的得分可以求出答对1题的得分总分全答对的题数，再由乙同学的成绩就可以得出答错1题的得分； （2）设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分76分”建立方程求出其解即可； （3）假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题，根据“答对的得分加上答错的得分80分”建立方程求出其解即可判断． 【详解】（1）解：由题意，可得，答对1题的得分是：分， 答错1题的得分为：分； （2）解：设参赛者小婷答对了x道题，则答错了道题， 由题意，得， 解得， ， 答：参赛者小婷得76分，她答对了16道题，答错了4道题； （3）解：不可能．理由如下： 假设他得80分可能，设答对了道题，答错了道题， 由题意，得， 解得， ∵为整数，而不是整数， ∴参赛者小明说他得80分，是不可能的． 【技巧归纳】 积分规则：胜场得分+平场得分+负场得分=总积分。设胜x场，平y场，负z场，根据总场数列x+y+z=N，再积分方程。通常已知总场数和积分，可消去一个未知数。注意胜负场数非负整数。解后检验是否合理。常见于循环赛。 【变式8-1】学校开展“科技小达人”主题活动，活动分为“编程挑战”和“手工创作”两个项目，活动结束后根据两个项目的得分进行颁奖．评奖规则为： 奖项 获奖条件（满足多个条件时仅颁发最高奖） 金奖 两个项目得分之和不低于110分，且至少一个项目得分达到65分 银奖 两个项目得分之和不低于110分 参与奖 完成全部两个项目的活动 在正式计分前可以先体验一次．同学甲体验时，“编程挑战”与“手工创作”得分比为；正式计分中，“编程挑战”得分比体验时提高了9分，“手工创作”得分比体验时增加了，最终两项共得123分．请利用所学知识，为这个同学颁发合适的奖项，并说明理由． 【答案】解：给这个同学颁发金奖，理由如下： 设体验时编程挑战得分，手工创作得分，则正式计分时编程挑战得分，手工创作得分． 根据题意可列方程为：． 解得， ∴编程得（分）， 手工创作得（分）， ， ∴给这个同学颁发金奖， 答：给这个同学颁发金奖． 【分析】先设出体验时编程挑战得分，手工创作得分，利用两项共得123分求出x的值，即可计算得出编程得分与手工创作得分，根据获奖条件即可求解． 【变式8-2】2025湖北省全国百强县篮球联赛以独特的魅力，将竞技激情升华为地域文化的盛宴，让运动精神在城市血脉中流淌．截止到12月1日，湖北省全国百强县篮球联赛已经进行了12场比赛，下表是第12轮比赛结束后部分球队积分榜： 序号 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 1 潜江 12 11 1 23 2 汉川 12 10 2 22 3 枣阳 12 6 6 18 5 大冶 12 4 8 16 6 枝江 12 2 10 14 根据上表信息，解决下列问题： (1)若某市球队12场比赛全胜，可得24分，则联赛胜一场得____分，负一场得____分； (2)第12轮比赛结束后，天门队得了19分，求天门队胜场数和负场数； (3)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的3倍吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)2，1 (2)胜7场，负5场 (3)不能，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，读懂题意，列出方程是解题的关键． （1）由题意即可求解； （2）设天门队胜了x场，则负了场，根据题意得，然后解方程即可； （3）假设某队胜场数为x，则负场数为，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：由题意得，胜一场得 分；根据潜江队积分可得，负一场得 分 故答案为：2， 1； （2）解：设天门队胜了x场，则负了场，则 ， 解得： ∴天门队负了（场） （3）解：假设某队胜场数为x，则负场数为，则 ∵场数为整数， ∴不合实际． ∴某队胜场总积分不能等于它的负场总积分的3倍． 题型9 一元一次方程的应用之几何问题 【例17】学校建花坛余下长的漂亮小围栏，经总务处同意，七年级（1）班同学准备在自己教室后的空地上一边靠墙、三边利用这些小围栏，建一个长方形的小花圃．已知墙面长，若要使花圃的长比宽多，求花圃的面积．（提示：注意题目中的条件“已知墙面长”的用意，应考虑有两种情形） 【答案】或 【分析】设花圃的宽为米，则长为米，分类讨论：①当较长边（长）平行于墙面时，②当较短边（宽）平行于墙面时，逐项分析求解即可． 【详解】解：设花圃的宽为米，则长为米， ①当较长边（长）平行于墙面时， 此时围栏长度为， 解得， ∵长为米，符合墙面长度限制， ∴花圃的面积：； ②当较短边（宽）平行于墙面时， 此时围栏长度为：， 解得：， ∵长为米，符合墙面长度限制， ∴花圃的面积： 综上，花圃的面积是或． 【例18】如图，用三种大小不同的五个正方形和一个长方形（图中阴影部分）拼成长方形，已知，较小正方形的边长为． (1)填空：______cm，______cm（用含有x的代数式分别示）． (2)先用含有x的代数式表示出长方形的面积．并求当时，求长方形的面积． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）根据图中各正方形边长之间的关系即可直接列出代数式； （2）先根据图中各正方形边长之间的关系列出长方形的长和宽，进而表示出长方形的面积，然后求出x的值，再把x的值代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，； （2）解：由题意可得：长方形的长为，宽为， 长方形的面积， ∵，， ∴， ∴ 当时， 长方形的面积． 【技巧归纳】 利用几何公式（面积、周长、角度）列方程。设未知边或角，根据图形性质（如内角和、勾股、相似）建立一次关系。注意单位一致。若为动点，设时间为t，用t表示线段长。解后检验边长>0，角度在范围内。画图标量。 【变式9-1】已知线段，点C在线段上，且 (1)求线段，的长； (2)点P是线段上的动点，线段的中点为M，设． ①请用含有m的代数式表示线段，的长； ②若三个点M，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称M，P，C三点为“共谐点”，请直接写出使得M，P，C三点为“共谐点”的m的值． 【答案】(1)， (2)①当点P在线段上时，，；当点P在线段上时，，；②m的值为6或12 【分析】（1）根据线段的和差关系并结合求解即可； （2）①分当点P在线段上时和当点P在线段上两种情况分别计算即可； ②分情况列方程可得m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：①当点P在线段上时， ， ； 当点P在线段上时，如图， ， ； ②当点P在线段上时，则， ∴， 解得：， 当点P在线段上时，则， ∴， 解得：， 综上，m的值为6或12． 【变式9-2】如图：长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在上运动时，______． (2)当点在上运动时，时，求线段的长． (3)当时，求出的值． (4)当点在上运动时，连接、，直接写出的面积是时，的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4) 【分析】（1）根据题意，，则； （2）计算得，此时点与点重合，因此； （3）分类讨论，点在边上时，，，根据题意可列方程，解得或；当点在边上时，同样的方法计算出的值，并删去不符合题意的值即可； （4）先利用三角形面积计算出，再分类讨论，当点在点上方时，，可列方程，解得；当点在点下方时，，列方程，解得，舍去不符合题意的情况即可． 【详解】（1）解：∵长方形中，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，当点在上运动时， ∴， ∴； （2）解：∵长方形中，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动，当点在上运动时，， ∴点的运动路程为，（秒）， ∵同时点从点出发，以每秒的速度沿射线方向运动， ∴， ∵， ∴点与点重合， ∴； （3）解：∵长方形中，，，点从点出发，以每秒的速度沿方向运动， ∴点走完需要的时间为：（秒）；点走完需要的时间为： （秒）， ①当时，点在边上， ∴，， ∵， ∴，即， 解得或（与题设矛盾，舍去）； ②当时，点在边上， ∴， 同理可得，，即， 解得或（与题设矛盾，舍去）； 综上所述，的值为或； （4）解：∵点在上运动， ∴， ∴， ∵， ∴， ①当点在点上方时，如图， ∴， ∵， ∴， 解得； ②当点在点下方时，如图， ∴， 同理，， 解得， ∵， ∴不符合题意； 综上所述，． 题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题 【例19】某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档．例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算． 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 （含） 2.53 第二档 （含） 2.78 第三档 600以上 3.54 (1)李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ (2)赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】(1)1133.20元 (2)500立方米 【分析】（1）根据燃气缴费方式求解即可． （2）先计算600立方米用气量的总费用，然后再算出平均每立方米的费用，比较得出用气量不足600立方米，设赵刚家用气量为立方米，根据题意列出关于x的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：（元） 答：李强家需交燃气费1133.20元． （2）解：600立方米用气量的总费用：（元） 平均每立方米的费用：（元） ，因此用气量不足600立方米． 设赵刚家用气量为立方米． 答：赵刚家年用气量是500立方米． 【例20】为鼓励居民节约用水，某市居民生活用水推行每月阶梯水费收费制度，具体执行方案如下： 类别 每户每月用水量 阶梯价格/（元） 第一阶梯 小于或等于 a 第二阶梯 大于且小于或等于 4 第三阶梯 大于 5 该市某户居民2025年12月份的用水量为，缴纳水费18元． (1)表格中a的值为________． (2)若该户居民2026年1月份的用水量为，应缴纳水费多少元？ (3)若该户居民2026年2月份缴纳水费56元，求该户居民2月份的用水量． 【答案】(1)3 (2)39 (3)该户居民2月份的用水量为． 【分析】（1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据分段计算即可； （3）先判断得出用水量超过，进入第三阶梯，设该户居民2月份的用水量为，由三段缴水费和为56元即可列方程求解． 【详解】（1）解：（元）； （2）解：用水量属于第二阶梯(大于且小于或等于)，需分段计算： 第一阶梯：元， 第二阶梯：元， 总水费：元； （3）解：第一阶梯水费：元， 第二阶梯水费：元， 前两阶梯总水费：元， 因为，所以用水量超过，进入第三阶梯， 设该户居民2月份的用水量为， 根据题意，得， 解得． 答：该户居民2月份的用水量为． 【技巧归纳】 阶梯计价：分段计算，每段单价不同。设用水/用电量为x，先判断所在区间，总费用=前段费用+本段费用。列方程时，若已知总费用，先假设x在某一阶梯，解出后验证是否在该区间内。注意每个阶梯的基数和单价。可用分段函数思想。 【变式10-1】为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费，每月用电不超过180度时，按每度元计费；每月用电量超过180度但又不超过280度时，超过部分按每度元计费，每月用电超过280度的部分按每度元计费．收费标准如下表： 月用量 不超过180度 超过180度不超过280度的部分 超过280度的部分 收费标准（元/度） (1)如果小李家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为： 当时， ； 当时， ； 当时， ． (2)小李家6月份交电费138元，求小李家6月份用多少度电？ 【答案】(1) (2)260度 【分析】（1）根据题意，直接分段列出相应的函数关系式即可； （2）根据（1）的结论；由交电费138元可知在第二段，代入解析式可得用电量． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时， ． （2）解：当时，（元）； 当时，（元）； ， 故用电量处于第二段， 由时，得到， 解得：． 小李家6月份用电260度． 【变式10-2】小阳同学在查看家里的电费账单时发现账单上有“第一档电费，第二档电费，峰时段用电量、谷时段用电量、⋯⋯”等信息，引起了小阳同学的好奇．通过查询国家电网福建电力公司官网知道了电力公司对居民用电设定如下两种计费方式供居民选择： 计费方式一：“分档”计算电费（如表1），即按用电量先计算第一档，超过第一档的部分再计算第二档，依次类推，总电费等于各挡电费的总和； 计费方式二：“分档＋分时”计算电费（如表1、表2），总电费等于分档电费、峰时段增加的电费、谷时段减少的电费的总和． 居民用电分档 用电量（单位：度） 电价（单位：元/度） 第一档 不超过230 第二档 超过230且不超过420 第三档 超过420 表1 峰谷时段 电价差额（单位：元/度） 峰时段（） （每度电在各挡电价基础上加价元） 谷时段（次日） （每度电在各挡电价基础上降低元） 表2 (1)若小阳同学家选择计费方式一，1月份用电量为330度，求1月份应缴电费； (2)设小阳同学家某月的用电量为x度，，且峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，请用含x的式子表示两种计费方式应缴电费； (3)小阳同学家在2025年某月的电费为元，若采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，求该月峰时段的用电量是谷时段的几倍？ 【答案】(1)170元 (2)“分档”计算电费：，“分档+分时”计算电费： (3)倍 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意，分和两种情况“分档”计算电费分别列出代数式即可，由峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，根据“分档+分时”计算电费列出代数式即可； （3）根据电费为元，利用计费方式一确定用电量，设峰时段用电量为y，由采用计费方式一和计费方式二应缴电费相同，即峰时段增加的电费谷时段减少的电费，列出方程求解y的值，进而求出该月峰时段的用电量和谷时段的用电量，即可求出答案． 【详解】（1）解：由题意得： （元）， 答：1月份应缴电费170元； （2）解：， 当时，则“分档”计算电费：； 当时，则“分档”计算电费：， “分档”计算电费：， 峰时段用电量是谷时段用电量的4倍，则峰时段用电量是，谷时段用电量是， 当时，则“分档+分时”计算电费：； 当时，则“分档+分时”计算电费：， “分档+分时”计算电费：； （3）解：（元），（元），（元），， （度）， 小阳同学家在这个月的用电量为：（度）， 设峰时段用电量为y度，则谷时段的用电量为度， 由题意得：， 解得：， 则（度）， ， 答：该月峰时段的用电量是谷时段的倍． 一、单选题 1．某次“最强大脑”比赛，每个选手都需回答20道题，答对一题得7分，答错一题倒扣4分，王刚答完了全部道题，得了63分，他答对了（     ）道题． A．7 B．9 C．11 D．13 【答案】D 【分析】先设王刚答对了道题，再根据题意列方程，即可解答． 【详解】解：设王刚答对了道题，则答错了道题， 由题意得，， 解得，， 即他答对了道题． 2．《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空：二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别用含的式子表示两种乘车方案下的总人数，即可列出方程． 【详解】解：∵设共有辆车，总人数保持不变，且每人乘一车，剩余辆空车， ∴实际使用辆车， ∴总人数可表示为， ∵每人乘一车，剩余人步行， ∴总人数可表示为， ∴． 3．农历“三月三”即将来临，某传统文化小组计划做一批“绣球”，如果每人做个，那么可比计划多做个；如果每人做个，那么将比计划少做个，该文化小组计划做多少个“绣球”？若设该文化小组计划做个“绣球”，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】文化小组的人数不变，根据两种制作情况，用计划做的绣球总数表示出小组人数，即可列出方程． 【详解】解：设该文化小组计划做个“绣球”，小组人数固定不变， 根据题意得， 故选：A． 4．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗的后两句的意思是：如果每一间房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间房住9人，那么恰好空出一间房．设共有客人x人，根据题意可列出的方程是（     ） A． B． C．7x+7＝9（x﹣1） D．7x﹣7＝9（x+1） 【答案】A 【分析】利用房间总数不变的等量关系，用客人总数表示出两种住宿情况对应的房间数即可列出方程． 【详解】解：设共有客人人，两种情况下房间总数不变． ∵ 每间房住7人时，有7人无房可住， ∴此住满房间的人数为，可得房间总数为， ∵每间房住9人时，空出1间房， ∴实际使用房间数为，原房间总数比实际使用房间数多1，可得房间总数为． ∵ 房间总数不变， ∴． 5．如果一个矩形的内部可以用若干个正方形不重叠、无缝隙地铺满，就称其为“完美矩形”．下图中的“完美矩形”，其周长为26，则正方形的边长为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d，分别求得，，由“完美矩形”的周长得，列式计算即可求解． 【详解】解：设正方形a、b、c、d的边长分别为a、b、c、d， ∵“完美矩形”的周长为26， ∴， ∵， ∴，则， ∴，则， ∴， ∴， ∴正方形d的边长为5． 二、填空题 6．阳光小学购买了一批红色跳绳和蓝色跳绳，数量的比是∶．学校给每个班级发放根红色跳绳和根蓝色跳绳，结果蓝色跳绳刚好发完，红色跳绳还剩下根．学校买来红色跳绳______根，蓝色跳绳______根． 【答案】 288 1008 【分析】设学校共有个班级，根据发放规则分别表示出红色跳绳与蓝色跳绳的总数量，再结合两种跳绳的数量比列出一元一次方程，求解得到班级数后，即可计算两种跳绳的原有数量． 【详解】设学校共有个班级． 由题意得 红色跳绳总数量为，蓝色跳绳总数量为． 已知红色跳绳与蓝色跳绳数量比为，可得方程 ， 解得， ∴红色跳绳数量为根，蓝色跳绳数量为根． 7．四支排球队进行单循环比赛，即每两队都赛一场，且只赛一场．如果一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；如果比分是，则胜队得2分，负队得1分．比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，则第一名的得分是______分． 【答案】6 【分析】本题考查了一元一次方程应用题，先根据题意确定比赛场数和比赛总得分，设参数最低分数为，利用各队得分是四个连续自然数的和是总分列方程，求出，即可知道第一名的分数. 【详解】解：四支球队进行单循环比赛， 总比赛场为（场）． 一场比赛的比分是或，则胜队得3分，负队得0分；比分是，则胜队得2分，负队得1分, 每场比赛无论比分如何总得分均为3分， 所有比赛总得分为18分. 比赛的结果各队得分恰好是四个连续的自然数，设最低得分为x，则其他自然数分别为，，， ， ， 第一名得分是. 8．把9个数放置到方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数之和都相同，如此便形成了一个“九宫格”．它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”．如右图，“九宫格”中m的值为_________． 【答案】 【分析】根据九宫格任意一行任意一列及两条对角线上的数之和相等，先由含三个已知数的对角线求出相等的和，再计算出第一行第一列的数，最后利用对角线的和相等列方程求解． 【详解】解：由题意可知，右上到左下的对角线经过中心方格，三个数分别为，，，可得任意行、列、对角线的和为：， 设第一行第一列的数为， ∵第一列三个数的和为， ∴， 解得， 左上到右下的对角线三个数为，，，和为， ∴， 解得． 9．“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格．其每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个三阶幻方，则的值为___________． 【答案】 【分析】首先求出，然后根据题意求出，，然后代数求解即可． 【详解】解： ∵每行、每列、每条对角线上三个数字之和都相等， ∴ ∴3和x中间的数为 ∴ ∴． 故答案为：． 10．如图，在长方形中，，．有一动点从点出发以的速度沿运动到点时停止．动点从点出发以的速度在线段上沿方向向点运动，，两点同时出发，当一点停止时另一个点同时停止运动，设运动的时间是．当________时，能使． 【答案】 或或 【分析】分两种情况讨论：①当点在上时，利用直角三角形斜边大于直角边的性质判断无解；②当点在上时，用含的代数式表示和的长，根据列出绝对值方程求解，并检验的取值范围． 【详解】解：由题意得，点运动的总时间为，点运动的总时间为， 所以． 当时，点在上，点在上， 在中，． 因为，， 所以． 因为， 所以． 所以，即，不符合题意． 当时，点在上，点在上． 此时，两点都在线段上运动， 点运动的路程为，则，点运动的路程为，则． 因为， 所以． 所以． 由，得． 所以或． 即或． ①当时，或． 解得或． 因为， 所以舍去，符合题意． ②当时，或． 解得或． 因为， 所以和均符合题意． 综上所述，的值为或或． 三、解答题 11．2025年是新中国成立76周年，实验小学举行了以“礼赞新中国，放歌新时代”为主题的歌咏比赛．比赛分单人独唱和双人合唱，共有18组，30名学生参加比赛，单人独唱和双人合唱各有多少组？ 【答案】单人独唱6组；双人合唱12组 【详解】本题可通过设未知数，设双人合唱的组数为x组，因为总组数是18组，所以单人独唱的组数就是组，再根据单人独唱每组1人，双人合唱每组2人，以及总共有30名学生参加比赛这一条件，列出方程求解． 【分析】解：设双人合唱有x组，则单人独唱有组，根据人数关系可列方程： ， ， ， 将代入，可得单人独唱的组数为（组） 答：单人独唱有6组，双人合唱有12组． 12．烟台市政府决定修建一条高速公路，其中一段长为146米的山体隧道贯穿工程由甲、乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这3天共掘进26米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需要联合工作多少天？ 【答案】甲乙两个工程队还需联合工作10天． 【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进米，利用甲、乙两工程队3天共掘进26米列出方程，分别求得甲、乙工程队每天的工作量，再求出结果即可． 【详解】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进米， 由题意得， 解得， ， （天）， 答：甲乙两个工程队还需联合工作10天． 13．（列方程解应用题）七年级一班共有学生50人，其中男生人数比女生人数的2倍还少19人，劳技课上，老师组织同学们自己动手设计制作收纳盒，每名学生一节课能做盒身11个或盒底22个． (1)七年级一班有男生和女生各多少人？ (2)原计划女生负责做盒身，男生负责做盒底，每个盒身匹配2个盒底，那么这节课做出的盒身和盒底不能完全配套，最后决定男生去支援女生，问有多少男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 【答案】(1)男生27人，女生23人 (2)2名 【分析】（1）根据班级总人数和男生与女生的数量关系列一元一次方程求解即可； （2）根据配套要求，盒底数量是盒身数量的2倍，列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设七年级一班女生人数为人，则男生人数为 人， 根据题意，得 ， 解得， 则 ， 答：七年级一班有男生27人，女生23人； （2）解：设有名男生去支援女生，支援后，做盒身的人数为 人，做盒底的人数为 人， 盒身总数为 个，盒底总数为 个， 根据配套关系，得 ， 解得， 答：有2名男生去支援女生，才能使这节课制作的盒身和盒底刚好配套． 14．一水果店主分两批购进某一种水果．第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元．由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少． (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降销售，结果还是出现了的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值． 【答案】(1)第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． (2)30 【分析】（1）设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元，根据第二批数量比第一批少，列方程求解． （2）先根据（1）中的单价得出第一批的数量是120箱，且第一批无损耗则收入是4800元；第二批的数量90箱，但是出现了的损耗，即售出数量为购进数量的，则只能卖出72箱．售价下降，即售价为元．总收入减去总成本等于利润1716元，列方程求解． 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为元，则第二批每箱单价为元， 根据题意可得：，即， 解得：， 第二批单价：（元）， 答：第一批水果的单价是20元，第二批水果的单价是30元． （2）解：第一批水果的购买数量：（箱）， 第一批水果的无损耗收入：（元）， 第二批水果的购买数量：（箱）， 第二批水果的售出数量：（箱）， 成本：（元）， 根据题意可得：， 解得：， 答：的值是30． 15．如图，是某月的月历． (1)带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ (2)这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由． (3)在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 【答案】(1)带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍 (2)成立；理由如下： 假设中间数为，则上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是， (3)不能 【分析】（1）根据所给数据进行计算可得答案； （2）根据图上的数之间的关系可得：中间一个为上面的数是，下面的数是，前面一个是，后面一个是，然后再计算这五个数的和即可； （3）根据题意用未知数表示出框出个数，根据这个数的和为列出方程解答即可． 【详解】（1）解：     答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍． （2）略 （3）解：设中间数为． 答：在该月历上，是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数． 16．列方程解应用题： 某花店售卖金桔盆栽和花肥，已知一盆金桔盆栽售价28元，利润率为40%；花肥进价每包2元，一包花肥的利润率和一盆金桔盆栽的利润率相同．花店第一次进货总共花费720元，其中花肥的进货数量是金桔盆栽的2倍． (1)花店第一次进货购进了金桔盆栽多少盆？ (2)第一次进货商品全部售完后，商家进行第二次进货．为吸引更多顾客，花店推出促销活动：每卖出一盆金桔盆栽，免费赠送一包花肥，金桔盆栽售完后，剩余的花肥再进行单独售卖（第二次购进花肥数量大于金桔盆栽数量）．第二次进货对比第一次：金桔盆栽的进价降低了m元，进货数量增加了8盆，售价不变；花肥的进价不变，进货数量比第一次增加了2m包，售价不变．第二次售完获得的总利润比第一次多76.4元，求m的值． 【答案】(1)30 (2)3 【分析】（1）先根据金桔盆栽的售价和利润率求出金桔的进价，再设金桔进货数量为未知数，根据总进货花费列方程求解； （2）先求出花肥售价和第一次总利润，再根据题意表示出第二次的总利润，根据第二次总利润比第一次多76.4元列方程求解，验证条件后得到m的值． 【详解】（1）解：设金桔盆栽的进价为x元， 由题意得， 解得， 设花店第一次进货购进金桔盆栽y盆，则购进花肥包， 由题意得， 解得． 答：花店第一次进货购进了金桔盆栽30盆． （2）解：由（1）得第一次购进花肥数量为（包），花肥售价为（元）， 第一次总利润为（元）， 第二次金桔盆栽进货数量为（盆），进价为元，第二次花肥进货数量为包，进价为2元，每卖一盆金桔赠送一包花肥，因此免费赠送38包，单独售卖的花肥数量为（包）， 由题意得：， 整理得 ， 解得， 此时第二次花肥进货数量为，符合题意． 答：m的值为3． 17．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如下表： 用水量 单价 不超过的部分 2元/ 超过不超过的部分 4元/ 超出的部分 8元/ 譬如：某用户2月份用水，则应缴水费：(元)． (1)某用户3月用水应缴水费多少元？ (2)已知某用户4月份缴水费元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水(月份用水量超过5月份用水量)，共交水费元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)元； (2)； (3)5月份用水，6月份用水 【分析】（1）用水量超过，需分三段计算水费：不超过的部分、到的部分、超过的部分，将各段费用相加得到总水费． （2）先计算不同阶梯的费用上限，判断元对应的用水量区间，再设用水量为，根据阶梯计费规则列方程求解． （3）设5月份用水量为，则6月份为，结合6月份用水量超过5月份得，分三种情况讨论：①5月份用水量不超过；②5月份用水量在到之间；③5月份用水量超过，分别列方程求解后验证是否符合假设条件，舍去矛盾解． 【详解】（1）解：∵用户3月用水，根据阶梯收费标准分三段计算： 不超过的部分费用为(元)， 到的部分费用为(元)， 超过的部分费用为(元)， ∴总水费为(元)． 答：该用户3月应缴水费元． （2）解：当用水量为时，水费为(元)； 当用水量为时，水费为(元)． ∵用户4月缴水费元，， ∴该用户4月用水量在到之间． 设该用户4月用水量为，根据题意列方程：， 解得：． 答：该用户4月份的用水量为． （3）解：设5月份用水，则6月份用水， 分三种情况讨论： ①若，则， 5月份水费为元， 6月份水费为元， 根据总水费列方程：，解得， ，与假设矛盾，故该情况不成立． ②若，则， 5月份水费为元， 6月份水费为元， 根据总水费列方程：，解得． 此时6月份用水量为，满足题意，符合条件． ③若，则，不满足月份用水量超过5月份用水量． 答：该户居民5月份用水，6月份用水． 18．【方法指导】在学习绝对值时，老师通过绝对值的几何意义，拓展了数轴上任意两点之间的距离公式，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B两点之间的距离为：． 【问题解决】如图，在数轴上，点A表示，点B表示11，点C表示18．动点P从点A出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点Q从点C出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动．设运动时间为秒． (1)当时，线段的长为 ；线段的长为 ； (2)当为何值时，P、Q两点相遇？相遇点M所对应的数是多少？ (3)在点Q出发后到达点B之前，求为何值时； (4)当t为何值时，P、Q两点间的距离 【答案】(1)4，5 (2)当时，、两点相遇，相遇点所对应的数为11 (3)或 (4)或 【分析】（1）根据题意表示出点和点表示的数，进而求出时点和点表示的数，再根据两点距离计算公式即可； （2）根据题意表示出点和点表示的数，然后当、两点相遇时列出方程求解即可； （3）根据题意表示出，的长度，然后根据列方程求解即可； （4）首先表示出的长度，然后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：动点从点出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 点表示的数为，点表示的数为， 当时，点表示的数为，点表示的数为， ，． （2）解：动点从点出发沿数轴正方向以每秒3个单位长度的速度匀速运动；同时，动点从点出发，沿数轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动， 点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，， 解得， 相遇点所对应的数为， 当时，、两点相遇，相遇点所对应的数为11． （3）解：点表示的数为，点表示的数为， ，， 当时，， 解得或， 当点Q到达点B时，， 解得， ∴或都符合题意， 综上，或； （4）解：点表示的数为，点表示的数为， ， 当时，则， 解得或． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $