第26章 二次函数 单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦二次函数核心知识，通过基础概念辨析、图像性质应用及实际问题解决，全面检测学生对二次函数定义、图像、性质及应用的掌握，适配初中数学二次函数单元复习，突出数学建模与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、顶点坐标、对称轴、平移|基础概念辨析，如第1题区分二次函数与一次函数| |填空题|5/15|开口方向、解析式确定、抛物线与坐标轴交点|性质应用，如第3题根据形状与顶点求解析式| |解答题|6/75|实际问题建模（黄瓜藤、促销利润）、图像平移、综合几何|情境真实，如第5题华联促销利润问题，体现数学建模与应用意识|

第26章 二次函数 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列函数中，y是关于x的二次函数的是（　　） A．y＝x+1 B． C．y＝x（x﹣1） D．y＝（x﹣1）2﹣x2 2．（3分）二次函数y＝（x+2）2﹣1的顶点坐标是（　　） A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣2，1） 3．（3分）在平面直角坐标系中，若点M在抛物线y＝（x﹣3）2﹣4的对称轴上，则点M的坐标可能是（　　） A．（1，0） B．（3，5） C．（﹣3，﹣4） D．（0，﹣4） 4．（3分）抛物线y＝2x2向上平移1个单位后所得抛物线的函数表达式为（　　） A．y＝2（x﹣1）2 B．y＝2（x+1）2 C．y＝2x2﹣1 D．y＝2x2+1 5．（3分）已知二次函数y＝﹣2x2﹣12x+14，下列说法中不正确的是（　　） A．该二次函数的图象的开口向下 B．该二次函数图象的顶点坐标是（﹣3，14） C．该二次函数的图象与x轴的交点坐标是（﹣7，0）和（1，0） D．已知﹣3＜a＜0，且点（a﹣3，y1）和（a+3，y2）都在这个二次函数的图象上，则y1＞y2 6．（3分）用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x2+10x B．y＝x2﹣10x C．y＝﹣x2+20x D．y＝x2﹣20x 7．（3分）关于x的二次函数y＝kx2﹣3x﹣1的图象与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是（　　） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 8．（3分）公路上行驶的汽车，当遇到紧急情况时，司机急刹车，但由于惯性汽车要滑行才能停下来，若急刹车时汽车的行驶路程s（米）与时间t（秒）的函数关系式为s＝20t﹣5t2，则下列说法正确的是（　　） A．汽车可以滑行4秒后才停止 B．汽车滑行2秒时停止 C．滑行速度先变大后变小 D．滑行的最远距离是22米 9．（3分）在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b和二次函数y＝k（x﹣b）2的图象可能为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），其对称轴是x═1，且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间，结合图象给出下列结论： ①abc＜0； ②2a+b＝0； ③4a﹣2b+c＞0； ④对于任意实数m，总有am2+bm﹣a﹣b≥0； ⑤关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在﹣2和﹣1之间． 其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 1．（3分）如图，在同一平面直角坐标系中，作出二次函数①y＝3x2；②；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是　 　 ．（填序号） 2．（3分）已知点（b﹣2，y1），（b+2，c），（2b+6，y2）都在二次函数的图象上，则y1　 　 y2（填＞，＜，＝）． 3．（3分）一个二次函数的图象与抛物线y＝﹣3x2的形状相同、开口方向相反，且顶点为（﹣1，2），那么这个函数的解析式是 　 　 ． 4．（3分）如图，有一座抛物线拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m达到警戒水位时，水面CD的宽是10米，建立如图所示的平面直角坐标系，O为坐标原点，如果水位以0.2m/h的速度匀速上涨，那么达到警戒水位后，再过　 　 h水位达到桥拱最高点O． 5．（3分）若函数y＝ax2﹣4x+a﹣3的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 　 　 ． 三．解答题（共6小题，满分75分） 1．（12分）如图，点P（a，5）在抛物线上C：y＝﹣（x﹣5）2+9，且在抛物线的对称轴右侧． （1）写出抛物线的对称轴和最大值，并求a的值； （2）在坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点P及C的一段，分别记为P'，C'，平移该胶片，使C'所在抛物线对应的函数解析式恰为y＝﹣（x﹣4）2，直接写出点P'移动的最短路程为 　 　 ． 2．（12分）为了弘扬耕读文化，进一步引导学生树立正确的劳动价值观，提升劳动技能，某校搭建了一座劳动实践基地．基地中某一根黄瓜藤在钢圈的支撑下，其形状近似呈如图所示的抛物线形，黄瓜藤的藤根O和藤梢A均在地面上，点P处有一根黄瓜，以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，过点O且垂直于OA的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，经测量，OA＝6dm，点P到y轴的距离为1dm，到x轴的距离为． （1）求黄瓜藤所在抛物线的函数解析式； （2）矩形BCDE是钢圈的支架，，边BC在x轴上，顶点D，E均在抛物线上，求钢圈支架DE的长度． 3．（12分）如图，在▱ABCD中，点D的坐标是（0，8），以C为顶点的抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）经过x轴上的点A，B（A在B的左侧）． （1）求顶点C的坐标和抛物线表达式； （2）若抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式． 4．（12分）定义：在平面直角坐标系中，抛物线G上点P（x，y）的纵坐标y与其横坐标x的差y﹣x称为点P的“坐标差”，而抛物线G上所有点的“坐标差”中的最大值称为抛物线G的“特征值”． （1）抛物线y＝﹣x2+5x+3的“特征值”为 　 　 ． （2）若抛物线y＝﹣x2+bx﹣c（c≠0）的“特征值”为﹣1，点B（m，0）与点C分别是该抛物线与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“坐标差”相等． ①m＝　 　 （用含c的代数式表示）； ②求该抛物线的解析式． 5．（12分）华联商厦购进一批“红豆”牌儿童羽绒服，当每件售价为280元时，日销量为50件．为迎接“两节”到来，以尽快减少库存，商厦准备采取降价方式进行促销．经市场调查发现：若每件羽绒服的售价降低20元，则日销量增加10件，且每卖出一件羽绒服需支付厂家100元． （1）商厦欲获得9600元日利润，则每件羽绒服售价应定为多少？ （2）小明看到商家的促销方式后，想了一下，认为“商家日利润最大时，每日的销售额也最大”，你觉得小明的想法对吗？试说明理由． 6．（15分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线C：y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，点C、点D关于抛物线C，的对称轴对称． （1）求抛物线C，的函数表达式及点D的坐标； （2）将抛物线C，沿水平方向向右平移1个单位得到抛物线C1，C1与y轴交于点E，点D平移后的对应点为F，P为抛物线C，的对称轴上的动点．请问在抛物线C，上是否存在点Q，使得以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 一．选择题 1．【解答】解：A、y＝x+1是一次函数，不是二次函数， 故不符合题意； B、，右边不是整式，所以不是二次函数， 故不符合题意； C、y＝x（x﹣1）＝x2﹣x，是二次函数， 故符合题意； D、y＝（x﹣1）2﹣x2＝﹣2x+1，是一次函数，不是二次函数， 故不符合题意； 故选：C． 2．【解答】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1是顶点式， ∴顶点坐标为（﹣2，﹣1）， 故选：B． 3．【解答】解：∵y＝（x﹣3）2﹣4， ∴抛物线对称轴为x＝3， ∵点M在抛物线对称轴上， ∴点M的横坐标为3， 故选：B． 4．【解答】解：把抛物线y＝2x2向上平移1个单位，所得的新抛物线的函数表达式为y＝2x2+1， 故选：D． 5．【解答】解：A．∵a＝﹣2＜0， ∴图象开口向下， 故选项A正确，不符合题意； B．∵y＝﹣2x2﹣12x+14＝﹣2（x+3）2+32， ∴顶点坐标是（﹣3，32）， 故选项B错误，符合题意； C．当y＝0时，﹣2x2﹣12x+14＝0， 解得x1＝﹣7，x2＝1， ∴二次函数y＝﹣2x2﹣12x+14的图象与x轴的交点坐标是（﹣7，0）和（1，0）， 故选项C正确，不符合题意； D．∵将函数解析式化为顶点式可得： y＝﹣2x2﹣12x+14＝﹣2（x+3）2+32， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣3，当x＞﹣3时，y随着x的增大而减小， ∴点（a﹣3，y1）关于直线x＝﹣3的对称点为（﹣3﹣a，y1）， 当﹣3＜a＜0时，﹣3＜﹣3﹣a＜0，0＜a+3＜3， ∴﹣3＜﹣3﹣a＜a+3， ∴y1＞y2， 故选项D正确，不符合题意． 故选：B． 6．【解答】解：由题意得：矩形的周长为20米，一边长为x米， ∴矩形的另一边长为（10﹣x）米， ∴y＝（10﹣x）x ＝﹣x2+10x， 故选：A． 7．【解答】解：∵y＝kx2﹣3x﹣1， ∴k≠0， ∵二次函数y＝kx2﹣3x﹣1的图象与x轴有两个不同的交点， ∴△＝b2﹣4ac＝9+4k＞0， 解得k， 综上，k，且k≠0， 故选：D． 8．【解答】解：∵s＝20t﹣5t2＝﹣5（t2﹣4t+4）+20＝﹣5（t﹣2）2+20， ∴由于惯性汽车速度变小，汽车滑行2秒，到达最远距离为20米停止， 故选项A，C，D不合题意， 故选：B． 9．【解答】解：A、一次函数y＝kx+b的图象经过一二四象限，故k＜0，b＞0，由二次函数y＝k（x﹣b）2的图象可知k＜0，b＜0，此选项不符合题意； B、一次函数y＝kx+b的图象经过一二三象限，故k＞0，b＞0，由二次函数y＝k（x﹣b）2的图象可知k＜0，b＞0，此选项不符合题意； C、一次函数y＝kx+b的图象经过一二四象限，故k＜0，b＞0，由二次函数y＝k（x﹣b）2的图象可知k＞0，b＜0，此选项不符合题意； D、一次函数y＝kx+b的图象经过一二三象限，故k＞0，b＞0，由二次函数y＝k（x﹣b）2的图象可知k＞0，b＞0，此选项符合题意； 故选：D． 10．【解答】解：由图象可得， a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0， ∴①正确． ∵抛物线的对称轴为x＝1， ∴1， ∴2a+b＝0， ∴②正确； 当x＝﹣2时，函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0； ∴③错误， ∴当x＝1时，y＝a+b+c的值最大， ∴对于任意实数m，am2+bm+c≤a+b+c， ∴am2+bm﹣a﹣b≤0， ∴④错误； ∵对称轴是x═1，且与x轴的一个交点在（3，0）和（4，0）之间， ∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的另一个根在（﹣2，0）和（﹣1，0）之间， ∴⑤正确， 故选：B． 二．填空题 1．【解答】解：①y＝3x2，②yx2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1， ∵3＞1， ∴抛物线②yx2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄． 故答案为：①③②． 2．【解答】解：∵点（b+2，c）在二次函数图象上， 把点（b+2，c）代入二次函数， 得， 化简得b2+2＝0， 即b2＝4，b＝﹣2或b＝2， ∵ ∴ ， 当b＝2时，， 当b＝﹣2时，， ∴y2＞y1， 即y1＜y2， 故答案为：＜． 3．【解答】解：∵二次函数的图象与抛物线y＝﹣3x2的形状相同、开口方向相反， ∴a＝3， 设二次函数的解析式为y＝3（x﹣h）2+k， ∵顶点为（﹣1，2）， ∴这个函数的解析式是y＝3（x+1）2+2， 故答案为：y＝3（x+1）2+2． 4．【解答】解：设抛物线解析式为y＝ax2， 因为抛物线关于y轴对称，AB＝20，所以点B的横坐标为10， CD＝10米，所以D点横坐标为5， 设点B（10，n），点D（5，n+3）， ， 解得：， ∴抛物线解析式为yx2， 当x＝5时，y＝﹣1， 则t＝1÷0.2＝5， 故答案为：5． 5．【解答】解：当a＝0时，函数y＝﹣4x﹣3与坐标轴有两个交点； 当a≠0时，该函数为二次函数y＝ax2﹣4x+a﹣3， 当a﹣3＝0时，该函数为二次函数y＝3x2﹣4x，与坐标轴有两个交点，其中一个交点过原点； 当a﹣3≠0时，只要当y＝0时，0＝ax2﹣4x+a﹣3有一个实数根即可，此时二次函数y＝ax2﹣4x+a﹣3与x轴一个交点，与y轴一个交点， ∴（﹣4）2﹣4a（a﹣3）＝0， 解得a＝4或﹣1， 由上可得，a的值是﹣1或0或3或4， 故答案为：﹣1或0或或3或4． 三．解答题 1．【解答】解：（1）y＝﹣（x﹣5）2+9， 当x＝5时，y取最大值，最大值为9， ∴抛物线的对称轴为直线x＝5，最大值为9； ∵点P（a，5）在抛物线上， ∴﹣（a﹣5）2+9＝5， 解得a＝7或a＝3， ∵点P（a，5）在抛物线的对称轴右侧， ∴a＝7； （2）∵抛物线y＝﹣（x﹣5）2+9向左移动1个单位长度，再向下移动9个单位长度，所得抛物线的解析式为y＝﹣（x﹣4）2， ∴点P'移动的最短路程为：， 故答案为：． 2．【解答】解：（1）∵OA＝6dm， ∴A（6，0），抛物线的对称轴为直线x＝3． ∵点P到y轴的距离为1dm，到x轴的距离为 ∴ ∵抛物线经过坐标原点， ∴设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx（a≠0）． 将点代入， 得， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为． （2）当时，， 解得：x1＝2，x2＝4 ∵四边形BCDE是矩形， ∴DE＝BC＝4﹣2＝2dm． 3．【解答】解：（1）在y＝a（x﹣2）（x﹣6）中，令y＝0，则a（x﹣2）（x﹣6）＝0， 解得x＝2或x＝6， ∴A（2，0），B（6，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∵点D的坐标是（0，8）， ∴顶点C的坐标为（4，8）， 把C（4，8）代入y＝a（x﹣2）（x﹣6）得，8＝﹣4a，解得a＝﹣2， ∴y＝﹣2（x﹣2）（x﹣6）＝﹣2x2+16x﹣24； （2）∵y＝﹣2x2+16x﹣24＝﹣2（x﹣4）2+8， ∴设平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+8+k， 把（0，8）代入得8＝﹣32+8+k，解得k＝32， ∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+40， 即y＝﹣2x2+16x+8． 4．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+5x+3， ∴y﹣x＝﹣x2+5x+3﹣x＝﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7， ∴y﹣x的最大值是7， ∴抛物线y＝﹣x2+5x+3的“特征值”为7； 故答案为：7； （2）①由题知C（0，c）， ∵点B与点C的“坐标差”相等， ∴c﹣0＝0﹣m， ∴m＝﹣c， 故答案为：﹣c； ②由①知点B的坐标为（﹣c，0）， 将B点坐标代入抛物线解析式， 得﹣c2﹣bc+c＝0， ∴c＝1﹣b， ∵二次函数y＝﹣x2+bx+c（c≠0）的“特征值”为﹣1， ∴y﹣x＝﹣x2+（b﹣1）x+1﹣b的最大值为﹣1， ∴1， ∴b2﹣6b+9＝0， 解得：b＝3， ∴c＝1﹣3＝﹣2， ∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x﹣2． 5．【解答】解：（1）设售价定为x元 则由题意得（x﹣100）（5010）＝9600（2分） 整理得x2﹣480x+57200＝0， 解得x1＝260，x2＝220．（3分） ∵尽快减少库存， ∴x＝220． 答：每件羽绒服的售价应定为220元．（4分） （2）小明的想法不正确，理由如下： 设售价定为x元，每日的利润为y元，则 y＝（x﹣100）（5010）（x﹣240）2+9800， ∴x＝240元时，日利润最大，（5分） 而日销售额s＝x（5010）x2+190x（x﹣190）2+18050， 当x＝190时，日销售额s最大．（6分） ∴他的说法不对．（7分） 6．【解答】解；（1）∵抛物线C：y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点， 令y＝0得：ax2+bx﹣8＝0，其两根为：﹣2和4， ∴﹣2+4，﹣2×4， 解得：a＝1，b＝﹣2， ∴抛物线C的函数表达式：y＝x2﹣2x﹣8， ∵y＝x2﹣2x﹣8与y轴交于C点， ∴x＝0时，y＝﹣8，则C（0．﹣8）， ∵y＝x2﹣2x﹣8对称轴为x＝1，点C、点D关于抛物线y＝x2﹣2x﹣8的对称轴对称， ∴D（2，﹣8）； （2）根据已知将抛物线C：y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9沿水平方向向右平移1个单位得到抛物线C1， ∴抛物线C1：y＝（x﹣1﹣1）2﹣9＝（x﹣2）2﹣9即：C1：y＝（x﹣2）2﹣9， ∵C1：y＝（x﹣2）2﹣9与y轴交于点E， 则x＝0时，y＝﹣5， ∴E（0，﹣5）， ∵D（2，﹣8）向右平移1个单位后的对应点为F， ∴F（3，﹣8）， ∵P为抛物线C：y＝x2﹣2x﹣8的对称轴为直线x＝1上的动点， ∴设P（1，m）， ∵Q在抛物线C：y＝x2﹣2x﹣8上， 设Q（n，n2﹣2n﹣8）， 则E（0，﹣5），F（3，﹣8），P（1，m），Q（n，n2﹣2n﹣8）， 当以点E，F，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时有三种情况： 根据平行四边形的性质，两条对角线的交点也是两条对角线的中点， ①以PF、EF为邻边，此时PE、QF为对角线， 则PE的中点：（，）即（，）， 则QF的中点：（，）即（，）， ∴，， 解得：n＝﹣3，m＝4， 则Q（﹣3，0）； ②以PE、EF为邻边，此时QE、PF为对角线， 同理可得QE中点（，），PF中点（2，）， ∴2，， 解得：n＝4，m＝3， 则Q（4，0）； ③以PE、PF为邻边，此时FE、PQ为对角线， 同理可得0+3＝1+n，﹣5﹣8＝m+n2﹣2n﹣8， 解得：n＝2，m＝﹣5， 则Q（2，﹣8）， 综上所述：Q（﹣3，0），（4，0），（2，﹣8）． 学科网（北京）股份有限公司 $