15.1 图形的轴对称导学案--2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.1 图形的轴对称 1、 轴对称及其性质 1. 轴对称图形 观察下面的图形，发现它们有什么共同的特征？ 每一个图形沿某条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合 总结：如果一个平面沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴． 下面的图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴 2.成轴对称的图形 观察下图有什么特点？与轴对称图形有什么区别？ 特点：（1）都有两个图形；（2）两个图形全等； （3）沿直线折叠，直线两侧的图形能够完全重合． 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． · 成轴对称的图形和轴对称图形的区别和联系． 区别：轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后这个图形的两部分能完全重合，而两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴折叠后能够重合． 联系：（1）都是关于某条直线对称． （2）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． （3）如果把轴对称图形的两个部分看做两个图形，那么这两个图形成轴对称． · 轴对称的性质及成轴对称的图形的性质 例1. 如图，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN有什么关系？ （1）AA′，BB′和CC′与MN垂直． （2）MN还经过线段AA′、BB′和CC′的中点． 总结概念：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线． 成轴对称的图形的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．即对称点所连线段被对称轴垂直平分，对称轴垂直平分对称点所连线段． 例2. 如图是一个轴对称图形，你能发现什么结论？ 直线l垂直线段AA′、BB′，直线l平分线段AA′、BB′（或直线l是线段AA′，BB′的垂直平分线）． 得出轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 课堂练习 1．下图中的图形是轴对称图形吗？如果是轴对称图形，请作出它们的对称轴． 2.下面给出的每幅图形中的两个图案是轴对称的吗？如果是，试着找出它们的对称轴，并找出一对对称点． 练习1 1．如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够__________，这个图形就叫做轴对称图形. 2．如果两个图形沿着一条直线对折后能够完全重合，我们说这两个图形成_________，这条直线叫做________，两个图形中的对应点叫做_____________. 3．经过线段的_____，并且_________________的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 4．观察下列图形中的汽车商标图案，其中是轴对称图形的有（ ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．下列图形都是轴对称图形，它们分别有几条对称轴，是哪几条？ 6．观察下面两个图形是否是轴对称图形，如果是，画出它们的对称轴（有几条对称轴就画出几条，不要遗漏）． 2、 线段的垂直平分线 探究： 先作出线段AB，过AB中点作AB的垂直平分线l，在l上取P1，P2，P3…，连结AP1，BP1，AP2，BP2，AP3，BP3并用直尺量出长度，有何发现？ 总结： 性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 即AP1＝BP1，AP2＝BP2，AP3＝BP3… 证明过程：如下图，在△APC和△BPC中， ∵l⊥AB，∴∠PCA＝∠PCB． 又AC＝CB，PC＝PC，∴△APC≌△BPC（SAS）．∴PA＝PB． 符号语言表示为： ∵CA＝CB，l⊥AB，∴PA＝PB． 反之，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 证明过程： 已知：如图，PA＝PB．求证：点P在线段AB的垂直平分线上． 证明：过点P作线段AB的垂线PC，垂足为C． 则∠PCA＝∠PCB＝90°． 在Rt△PCA和Rt△PCB中，∵PA＝PB，PC＝PC， ∴Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴AC＝BC． 又PC⊥AB，∴点P在线段AB的垂直平分线上． 符号语言表示为： ∵PA＝PB，∴点P在AB的垂直平分线上． 例题精讲1 1．如图，在△ABC中，BC＝8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于______． 2．如图，AD⊥BC，BD＝DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB＋BD与DE有什么关系？ 3．如图，AB＝AC，MB＝MC．直线AM是线段BC的垂直平分线吗？ 检测1 1．三角形纸片上有一点P，量得PA＝3 cm，PB＝3 cm，则点P一定（ ）． A．是边AB的中点 B．在边AB的中线上 C．在边AB的高上 D．在边AB的垂直平分线上 2．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，则线段DE的长为__________． 3．如图，△ABC中，BC＝7，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G．求△AEG的周长． 4．如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于D，交BC于E，△ACD 的周长是14 cm，求AB和AC的长． · 系统学习作对称轴 例题精讲2 1．作出下列图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴一样吗？ 2．如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 3.如图，与图形A成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴． 练习2： 1．如图所示的虚线中，哪些是图形的对称轴？ 2.如下图，已知直线l和两点A、B，在直线l上求作一点P，使PA＝PB． 检测2 1．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（ ）． A．直角 B．线段 C．直角三角形 D．圆 2．如图，线段AB和A′B′关于直线MN对称，则AA′⊥___________，BB′⊥___________，OA=___________，OB=___________． 3．下图中的图形都是轴对称图形，请你试着画出它们的对称轴 答案： 课堂练习 1．第1，2，3，5个图形是轴对称图形；第4个图形不是轴对称图形．如图所示： 2．图（1）（3）（4）中的两个图案是轴对称的，图（2）不是． 练习1 1．完全重合．2．轴对称，对称轴，对称点．3．中点，垂直于这条线段． 4．B．5．五角星的对称轴有五条，分别是过中心和五个顶点的直线；脸谱有一条对称轴，是中间过鼻子，嘴巴的直线；正方形有四条对称轴，是过两组对边中点的直线和两条对角线所在的直线；最后一个图形有两条对称轴，一条是圆中线段所在的直线，另一条是圆中线段的垂直平分线．6．虚线为对称轴： 例题精讲1 1、8． 2、解：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AD是BC的垂直平分线．∴AB＝AC． ∵点C在AE的垂直平分线上，∴AC＝CE．∴AB＝AC＝CE． ∵AB＝CE，BD＝DC，∴AB＋BD＝CD＋CE．即AB＋BD＝DE． 3、解：∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线． ∵MB＝MC，∴点M在BC的垂直平分线上．∴直线AM是线段BC的垂直平分线． 检测1 1．D 2．6． 3．解：DE，GF分别是AB，AC的垂直平分线，∴BE＝AE，CG＝AG． ∴△AEG的周长＝AE＋EG＋AG＝BE＋EG＋CG＝BC＝7． 4．解：∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC． ∵AC＋AD＋CD＝14 cm，∴AC＋AD＋DB＝14，即AC＋AB＝14 cm． 又∵AB－AC＝2 cm，设AB＝x cm，AC＝y cm， 根据题意得解得即AB长8 cm，AC长6 cm． 例题精讲2 1． 2． 3．与图形A成轴对称的是B图形． 练习2 1、答：b，d，f是图形的对称 2、答：作出线段AB的垂直平分线l′，l′与直线l的交点即为P，使PA＝PB． 检测2 1．C．2．MN，MN，OA′，OB′． 3． 学科网（北京）股份有限公司 $