15.3.2 等边三角形 讲义 2026-2027学年人教版八年级数学上册

15.3 等边三角形 知识框架： · 性质和判定 · 含30°角的直角三角形的性质 1、 等边三角形的性质和判定 等边，顾名思义就是三条边都相等的三角形。所以， · 等边三角形是特殊的等腰三角形； · 性质特点： 从边的角度：三边都相等； 从角的角度：三个内角都相等且每个角都等于60°； 从对称性的角度：是轴对称图形、三线合一，且有三条对称轴． 1、对“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”做出证明 已知：△ABC是等边三角形．求证：∠A＝∠B＝∠C＝60°． 证明：∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC，BC＝AB． ∴∠A＝∠B，∠A＝∠C．∴∠A＝∠B＝∠C． ∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝60°．∴∠A＝∠B＝∠C＝60°． 2、 “三个角都相等的三角形是等边三角形”为真吗？并证明 已知：在△ABC中，∠A＝∠B＝∠C．求证：△ABC是等边三角形． 证明：∵∠A＝∠B，∠B＝∠C，∴BC＝AC，AC＝AB． ∴AB＝BC＝AC．∴△ABC是等边三角形． 得到等边三角形的判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形． 3、继续思考“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”为真吗？并证明 已知，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°． （1）求证：△ABC是等边三角形； （2）如果把∠A＝60°改为∠B＝60°或∠C＝60°，那么△ABC还是等边三角形吗？ 证明：（1）AB＝AC，∠A＝60°，所以∠B＝∠C＝60°，由“三个角都相等的三角形是等边三角形”可得证． （2）AB＝AC，当∠B＝60°或∠C＝60°时，都有∠B＝∠C＝60°，∠A＝60°．由“三个角都相等的三角形是等边三角形”也可得证． 得到等边三角形的判定2：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． · 总结等边三角形的判定方法： （1）三条边相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （3）有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 典例精析 例1 如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E．求证：△ADE是等边三角形． 证明：△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠B＝∠C． ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C． ∴∠A＝∠ADE＝∠AED．∴△ADE是等边三角形． 例2：如图，D为等边△ABC的AC边上一点，且BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，证明△ADE是等边三角形． 证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC． 又∵∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）． ∴AD＝AE，∠DAE＝∠BAC＝60°．∴△ADE是等边三角形． 课堂练习1 1．等边三角形的对称轴有（ ）． A．一条 B．二条 C．三条 D．九条 2．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角为60°，则这个三角形为（ ）． A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 3．下面给出几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．其中一定是等边三角形的有（ ）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 作业1 1．一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线，则对这个三角形最准确的判断是（ ）． A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 2．正△ABC的两条角平分线BD和CE交于点I，则∠BIC等于（ ）． A．60° B．90° C．120° D．150° 3．如图，D，E，F分别是等边△ABC各边上的点，且AD＝BE＝CF，则△DEF的形状是． A．等边三角形 B．腰和底边不相等的等腰三角形 C．直角三角形 D．不等边三角形 4．在△ABC中，∠A＝60°，要使△ABC是等边三角形，则需要添加一条件是______． 5．如果△ABC的∠A，∠B的外角平分线分别平行于BC，AC，则△ABC是________． 6．已知等边△ABC的面积是1，点P是平面上的一点，并且△PAB，△PBC，△PAC的面积相等，那么满足条件的点P共有________个，△PAB的面积是________． 7．如图所示，已知等边△ABC，D，E分别在BC，BA的延长线上，且BD＝AE．求证：CE＝DE． 检测1 1．下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）． A．①②③ B．①②④ C．①③ D．①②③④ 2．如图，△ABC是等边三角形，AB＝5 cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，则∠BAD＝________，∠ADF＝________，BD＝________，∠EDF＝________． 3．如图，点M，N分别在等边△ABC的边BC，AC上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q．求证：∠BQM＝60°． 4．如图，等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论． 2、 含30°角的直角三角形的性质 探究：将两个含30°角的三角尺如图摆放在一起，借助这个图形，找到Rt△ABC的直角边BC与斜边AB之间的数量关系 ∵△ABC与△ADC关于AC轴对称，∴AB＝AD． ∵∠B＝60°，∴△ABD是等边三角形． 又∵AC⊥BD，∴BC＝DC＝AB． 归纳总结： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 几何语言表示方法： ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，∴BC＝AB． 还有其他方法证明以上结论嘛？ 已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°．求证：BC＝AB． 方法一：在斜边AB上截取BD＝BC． ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°． ∴△BDC是等边三角形．∴BD＝DC＝BD，∠BDC＝60°． 又∵∠A＝30°，∠BDC＝∠A+∠ACD，∴∠ACD＝∠A＝30°． ∴AD＝CD．∴BC＝AD＝BD．∴BC＝AB． 方法二：在△ABC中，∠ACB＝90°∠BAC＝30°，则∠B＝60°． 延长BC至D，使CD＝BC，连接AD． ∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°． ∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC（SAS）．∴AB＝AD（全等三角形的对应边相等）． ∴△ABD是等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）． ∴BC＝BD＝AB． 例题解析 例1 如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4m，∠A＝30°，立柱BC，DE要多长？ 解：∵DE⊥AC，BC⊥AC，∠A＝30°， ∴BC＝AB，DE＝AD．∴BC＝×7.4＝3.7（m）． 又∵AD＝AB＝3.7（m），∴DE＝AD＝×3.7＝1.85（m）． 例2 如图，在直角三角形ABC中，∠B＝60°，∠ACB＝90°，O是AC的中点，过点O作AB的垂线交BC的延长线于点D，垂足为点E，求证：ED＝5EO． 证明：∵∠ACB＝90°＝∠AED，∠B＝60°， ∴∠A＝30°．∴AO＝2EO． ∵O为AC的中点，∴CO＝AO＝2EO． ∵∠AOE＝∠COD，∴∠D＝∠A＝30°．∴DO＝2CO＝4EO．∴ED＝5EO． 练习2 1．Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B＝30°，AD＝2cm，则AB的长度是（ ）． A．2 cm B．4 cm C．8 cm D．16 cm 2．如图，已知等边△ABC的周长为6，BD是AC边的中线，且BD＝，E为BC延长线上一点，CE＝CD，那么△BDE的周长为（ ）． A． B． C． D． 3．△ABC中，∠B＝∠C＝15°，AB＝2cm，CD⊥AB交BA的延长线于点D，则CD的长度是________． 4．等腰三角形的顶角为30°，腰长是4cm，则三角形的面积是________． 作业2 1． 如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）． A．6米 B．9米 C．12米 D．15米 2．如图，已知∠ABC＝60°，DA是BC的垂直平分线，BE平分∠ABD交AD于点E，连接CE．则下列结论：①BE＝AE；②BD＝AE；③AE＝2DE；④S△ABE＝S△CBE，其中正确的结论是（ ）．A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 3．等腰三角形一腰上的高等于这腰长的一半，则此三角形各角的度数为________． 4．如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝120°，AB的垂直平分线MN交AC于D， 求证：AD＝DC． 检测2 1．如图所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB于点D，若AD＝2，则AB＝__________． 2．如图，∠C＝90°，D是CA的延长线上一点，∠D＝15°，且AD＝AB，则BC＝__________AD． 3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，BC＝4.2 cm，则AD＝______． 4．如图，某船上午11时30分在A处观测岛B在东偏北30°，该船以10海里/时的速度向东航行到C处，再观测海岛在东偏北60°，且船距海岛40海里． （1）求船到达C点的时间； （2）若该船从C点继续向东航行，何时到达B岛正南的D处？ 答案 课堂练习1 1．C． 2．D． 3．B． 作业1 1．C． 2．C． 3．A． 4．∠B＝60°或AB＝AC或AC＝BC或AB＝BC等 5．等边三角形．6．1，． 7．证明：如下图，延长BD到F，使DF＝AB，连接EF． ∵△ABC为等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠BAC＝∠ACB＝60°． 又∵AE＝BD，∴BA＋AE＝BD＋DF，即BE＝BF． ∴△BEF是等边三角形．∴∠F＝∠B＝60°，EF＝BE． ∴△EDF≌△ECB．∴DE＝CE． 检测1 1．D．点拨：①②为判定定理，③每个外角都相等，则都是120°，所以每个内角都是60°，④一腰上的中线也是这条腰上的高，说明这条线段所在的直线是这条腰的垂直平分线，所以腰等于底，也是等边三角形，四个都成立，故选D． 2．答案：30°， 60°， 2.5 cm， 120°． 3．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠BCA＝60°． 在△ABM和△BCN中， ∴△ABM≌△BCN（SAS）．∴∠BAM＝∠CBN． ∴∠BQM＝∠BAM＋∠ABN＝∠CBN＋∠ABN＝∠ABC＝60°． 4．解：△APQ是等边三角形． 理由：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°． 在△ABP和△ACQ中， ∴△ABP≌△ACQ（SAS）．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ． ∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠CAP＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAC＝60°．∴△APQ是等边三角形． 练习2 1．C． 2．C． 3．1 cm． 4．4 cm²． 作业2 1．B．2．C． 3．解：在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于D，高BD分为在三角形内和不在三角形内两种情况，如下图． （1）当等腰三角形的顶点为锐角时，如图（1）． BD＝AB，则∠A＝30°． （2）当顶角为钝角时，如图（2），BD⊥AC，交CA的延长线于D，且BD＝AB． ∴∠BAD＝30°，∠BAC＝150°．∴∠ABC＝∠C＝（180°－150°）＝15°． 4．证明：如图，连接DB． ∵点D是AB的垂直平分线MN上一点，∴AD＝DB．∴∠A＝∠ABD． ∵BA＝BC，∠B＝120°，∴∠A＝∠C＝（180°－120°）＝30°． ∴∠ABD＝30°．又∵∠ABC＝120°，∴∠DBC＝120°－30°＝90°． ∴BD＝DC．∴AD＝DC． 检测2 1．8．点拨：由题意可知，在Rt△ACD和Rt△ABC中，∠ACD＝∠B＝30°， 所以AC＝2AD，AB＝2AC．所以AB＝4AD＝4×2＝8． 2．解析：∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠D＝15°．∴∠BAC＝30°． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BC＝AB＝AD． 3．1.4 cm 点拨：由已知可以推出∠B＝∠CAD＝∠C＝30°，AD＝DC，∠C＝30°，DA⊥BA于A，所以BD＝2AD．所以BC＝3DC＝3AD＝4.2（cm）．所以AD＝1.4 cm． 4．解：（1）∵∠A＝30°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＝30°．∴∠A＝∠ABC． ∴AC＝BC＝40（海里），40÷10＝4（小时）．答：船到达C点的时间是15时30分． （2）在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝×40＝20（海里），20÷10＝2（小时）． 答：该船在17时30分到达D处． 学科网（北京）股份有限公司 $