15.3.2 等边三角形 专题练习 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 以性质-判定-定理为逻辑主线，系统整合等边三角形核心知识与解题方法，通过分层例题培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质|表格填空+3例|三线合一性质应用、角度计算|从边、角、三线关系构建性质体系| |判定|表格填空+3例|定义判定、等角判定、含60°等腰判定|性质逆向推导形成判定方法链| |定理|1定理+5例|30°直角三角形边倍分关系|性质拓展应用，连接特殊三角形与实际问题|

性质 性质1 等边三角形的 都相等 性质2 等边三角形的 都相等，并且每一个角都等于 性质3 等边三角形每条边上的 、 、所对角 互相重合 （ 组“三线合一”） 1. 如图，已知为等边三角形，点在的延长线上，是上一点，且，是 上一点，且，则．∵ ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ． ， 故答案为： ． 【知识点】等腰三角形的性质-等边对等角 10 学科网（北京）股份有限公司 2. 如图， 是等边三角形， ， ． 求出 的每个内角度数． ， ， ． ∵ ， ∴ ∴ ， ， 解得 ． 【知识点】三角形内角和的应用 3. 如图，点、、在同一条直线上，与都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）． A. ≌ B. ≌ C. ≌ D. ≌ D ∵ 和 都是等边三角形， ∴ ∴即 ， ， ， ， ， ∴在 和 中 ， ∴ 故 ∴ ∵ ∴ ≌ 成立， ， ， ， ， 在 和 中 ， ∴ 故 ∵ ∴ ≌ 成立， ≌ ， ， ， 在 和 中 ， ∴ 故 ≌ 成立， ， 故选： ． 【知识点】等边三角形的手拉手模型 4. 如图所示，在等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（ ）． A. B. C. D. C ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 为等边三角形， ， ． ， ≌ （ ． ，即 ）． ． 为 的一个外角， ∴ 故选 ． ． 【知识点】等边三角形与全等 5. 如图，是等边三角形，，分别是，上的点，且，，相交于点 ，则的度数为（ ）． A. B. C. D. C ∵ 是等边三角形， ∴ 在 ， 和 ， 中， , ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ． 【知识点】等边三角形与全等 6. 如图，为等边三角形，且，与相交于点，则的度数（ ）． A. B. C. D. 大小无法确定 ∵ 为等边三角形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ≌， ∴ ， ， ∴ ． 7. 如图，在中， ，点在边上，，并与边交于点．如果 ，，那么的长为（ ）．B 【知识点】全等三角形的对应边与角；等边三角形的性质 A. B. C. D. B ∵等边 ， ， ， ． ， ∴ ∵ ∴ ∴ ． ， 【能力】推理论证能力 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】30°特殊角的性质应用 判定 判定1 利用定义来判定： 的三角形是等边三角形 判定2 的三角形是等边三角形 （或证明两个角都为） 判定3 有一个角是 的 三角形是等边三角形 1. 为等边三角形，，，分别在边，，上，且，则为 三角形． 等边 或 正 ∵ ∴ 又 ∴ ∴ ∴即 ≌ 为等边三角形， ， ， ， ≌ ， ， 为等边三角形． 故填等边． 【知识点】等边三角形的判定 2. 如图，在等边中，点，，，分别在边，，上，且，连接 ，，． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的度数． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴ 又∵ ∴ 可得： ∴ 为等边三角形， ， ， ． ， ≌ ． ≌ ， （ 2 ）由（ ）中全等关系可得： ， ∴ 为等边三角形，则 ． 【知识点】全等三角形的对应边与角；全等三角形的性质 3. 如图，是等边三角形，于点，于点，与相交于点，连接 ． （ 1 ）判断的形状，并证明． （ 2 ）若，求的长． （ 1 ） （ 2 ） ． 为等边三角形． （ 1 ）∵ ∴ ∵ 为等边三角形， ， 分别是 ， 中点， ， ， ， ∴ ∵ ∴ ． ， 为等边三角形． （ 2 ）由题意知： ， ∴在 ∴ ． 中，∵ ． ， 【知识点】等边三角形的判定 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 在中， ， 此性质适用的大前提“直角三角形”，所以无直角时，必须依据条件构造符合性质特征的直角三角形，才能根据角的大小，得到边的倍分关系． 1. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）． A. B. C. D. B ∴ 由题意得， 与地面 ． 的夹角为 ， 【知识点】30°特殊角的性质应用 2. 已知中， ，，，，的长为（ ）． A. B. C. D. A 【知识点】30°特殊角的性质应用 3. 如图，中，，，的垂直平分线交于，交于， ，则 ． 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理 4. 如图，在中， ，点在边上，，并与边交于点．如果 ，，那么等于（ ）． A D E B C A. B. C. D. B ∵在 中， ， ∴ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 为等边三角形． ． 中， ， ． ， 【知识点】30°特殊角的性质应用 【知识点】等边三角形的性质 5. 在中， ，，，是的边的高，则的面积为 （用含，的式子表示）． ∵ ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 是 ． 的边 的高， ． ． ． ． ∴ 的面积是 ， 【知识点】解直角三角形的综合应用 6. 如图所示，，，若为，则的长为 ． 在 和 中， ， ∴ ∴ ≌ ， ， ． 又∵ ∴ ∴ ∴ ， 是等边三角形． ． ． ， 【知识点】等边三角形的判定；等边三角形的性质 7. 如图，在中， ，，点在上，，，则的长度为 ． ∵ ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 是等腰直角三角形． ． ， ． ． 【知识点】直角三角形斜边中线性质以及应用 8. 如图所示， ，若，则 ． ， ， 作 于 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ， ． ， ． ， ． 【知识点】角分线性质定理 $ 性质 性质1 等边三角形的 都相等 性质2 等边三角形的 都相等，并且每一个角都等于 性质3 等边三角形每条边上的 、 、所对角 互相重合 （ 组“三线合一”） 1. 如图，是等边三角形内的一点，连接、、，以为边作，且 ，连接． （ 1 ）观察并猜想与之间的大小关系，并写出理由． （ 2 ）若，，，连接，试判断的形状，并说明理由． （ 1 ） （ 2 ） ；证明见解析． 为直角三角形；证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴在 为等边三角形， ， ， ． ， ，即 ． 和 中， 10 学科网（北京）股份有限公司 ∴ 为等边三角形， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 在 中， ∴ 为直角三角形． 2. 如图，以的两边、向外作等边三角形和等边三角形，连接、，相交于．， ∴ ∴ （ 2 ）∵ ≌ （ ）， ． ， ， ， 【能力】推理论证能力 【能力】运算能力 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】SAS 【知识点】勾股逆定理的应用 【知识点】勾股定理的逆定理 【知识点】等边三角形的性质 （ 1 ）试写出图中和相等的一条线段并说明你的理由． （ 2 ）写出和的夹角大小，若改变的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由． （ 1 ） （ 2 ） 与 相等． ，不会改变． （ 1 ） 与 相等． （ 2 ） ，不会改变． 证明：同（ ）可得， ≌ ． ∴， 又∵ ， ∴ ， ∵， ∴ ． 3. 如图，点，，在一条直线上，， 均为等边三角形，连接和，分别交 、于点 、，交于点，连接，．证明：∵ ∴ ∴即在 和 是等边三角形， ， ， ， ， 和 ． 中， ， ∴ ∴ ≌ ， ． 【知识点】等边三角形与全等 下列结论：①≌；②；③为等边三角形；④ 平分 ． 其中结论正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 D ∴ 方法一：∵ ， 、 为等边三角形， ， ， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴①正确； ∵ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴②正确； 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， 又 ， ∴ ． ∴ 为等边三角形， ∴③正确； 过 作 于 ， 于 ， ∵ ≌ ，∴ ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 平分 ， ∴④正确． 综上所述，正确的结论有 个． 方法二：∵ 、 为等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ， ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴①正确； ∵ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴②正确； 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， 又 ， ∴ 为等边三角形， ∴③正确； ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 、 、 、 四点共圆， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 平分 ， ∴④正确． 综上所述，正确的结论有 个． 【知识点】等边三角形的手拉手模型 4. 如图，已知，分别以和为边向外作等边和等边，连接、． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若所在直线垂直平分，求的大小． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ 和 为等边三角形， ∴ ， ， ， ∴ ，即 ， 在 和 中 ， ∴ ≌ ， ∴ ． （ 2 ）延长 交 于点 ， ∵ 为等边三角形， 为等边三角形， ∵ ∴ 垂直平分， ， ， ∴ ． 【能力】运算能力 【能力】推理论证能力 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 5. 已知为等边三角形，点为直线上一动点(点不与点，点重合)．以为边作等边三角形，连接． 图1 图2 （ 1 ）如图 ，当点在边 1 直接判断结论 上时． ＝ ＋ 是否成立（不需证明）． 2 求证： ≌ （ 2 ）如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间存在的数量关系，并写出证明过程． （ 1 ）1 成立． 2 证明见解析． （ 2 ） ，证明见解析． （ 1 ）1 成立． 2 在 和 中， ， ∴ ≌ （ 2 ） ≌ ∴ ．证明： ， ，故证： ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】SAS 【知识点】对应边 【知识点】等边三角形的性质 6. 阅读下列材料 下面是小明同学“作一个角等于的直角三角形”的尺规作图过程．． ），即 ． （三角形的内角和等于就是所求作的直角三角形． ）． （三角形的内角和等于 中， 图 ）． 是等边三角形（等边三角形定）． （等边三角形每个内角都等于 ． （等边对等角）． ∴ ∴ ∴ ∴在 ∴ ∴ ∴ 就是所求的直角三角形． 证明：连接 ． 由作图可知， ， ， ； 并延长，使得 ． 为圆心， 长为半径画弧， ； ，连接 两弧交于点 （2） 连接 （3） 连接 作法：如图 ， （1）分别以点 ，点 图 ． ， 已知：线段 （如图 ）． 求作： ，使 请你参考小明同学解决问题的方式，利用图再设计一种“作一个角等于的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据． 图 证明见解析． 作法：如图 ， （1）延长 至 ，使得 ； （2） 分别以点 ，点 为圆心， 长为半径画弧，两弧交于点 ； （3） 连接 ， ． 就是所求的直角三角形．证明：连接 ． 由作图可知， ， ， ∴ ∴ ∴ ∴ 是等边三角形（等边三角形定义）． 图 （等边三角形每个内角都等于 ）． 于点 （等边三角形一边上的中线与这边上的高相互重合）． 就是所求作的直角三角形． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 判定 判定1 利用定义来判定： 的三角形是等边三角形 判定2 的三角形是等边三角形 （或证明两个角都为） 判定3 有一个角是 的 三角形是等边三角形 1. 如图，点、、分别是等边各边上的点，且，． （ 1 ）求证：是等边三角形． （ 2 ）若，求等边的周长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴ ∵ 为等边三角形， ， ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ （ 2 ）∵ ∴ ∴ ∴ ≌ （ ）， ， ， ， 是等边三角形． ， ， ， ， 由（ ）得： ∴ ∴ ∴等边 ≌ ， ， ， 的周长为 ． 【知识点】等边三角形与全等 2. 如图，已知是等边三角形，、、分别是射线、、上一点，且 ，连接、、． （ 1 ）求证：． （ 2 ）试判断的形状，并简要说明理由． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 是一个等边三角形． （ 1 ）∵ ∴ 为等边三角形，且 ， ， ， ∴ 在 与 ， 中， ， ， ∴ ∴ ≌ （ ． ）， 3. 已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，，，得到为等边三角形．（ 2 ）同理可得： ∴ ≌ ， ≌ （ ）， ∴ 是一个等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定 （ 1 ）求证：≌ ． （ 2 ）求证：为等边三角形． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ ， ， ． ∵ ∴ 又∵ ∴ （ 2 ）由 ∵ 是等边三角形， ． ， ≌ ≌ ． ，得 ， ， 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， 同理可得 ． ∴ 是等边三角形． 【知识点】SSS 4. 如图，，点是的中点，平分，，垂足为． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若 ，试判断的形状，并说明理由． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 是等边三角形，理由见解析． （ 1 ） ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在 平分 ，点 是 的中点， ， ， ， ， ， ， 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ （ 2 ） ． 是等边三角形，理由如下：如图， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， ， ，点 是 的中点， ， ， 是等边三角形． 【知识点】等边三角形的判定 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 在中， ， 此性质适用的大前提“直角三角形”，所以无直角时，必须依据条件构造符合性质特征的直角三角形，才能根据角的大小，得到边的倍分关系． 1. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上， 、、均为等边三角形，若 ，则的边长 为 ． ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ 、 是等边三角形， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ∴ ， ， ， 以此类推： ． 故答案是： ． 【能力】推理论证能力 【知识点】等边三角形的性质 2. 如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线 上，、、……均为等边三角形，从左边第个等边三角形的边长记为 ，第个等边三角形的边长记为，以此类推，若 ，则 ， ． ; ∵ 是等边三角形， ∴ ， ． ∴ ． ∵ ， ∴ ． 又∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∴ ． ∵ 、 是等边三角形， ∴ ， ． ∵ ， ∴ ， ， ∴ ， ． ∴ ， ． ∴ ． ． ． 以此类推： ， ． 【知识点】等边三角形的性质 3. 如图，在中，， ，为的垂直平分线，交于点，交于点．求证：．证明见解析． 连接 ， 为 又 的垂直平分线， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】等腰三角形的性质-三线合一 4. 如图，是等边三角形，是中线，过点作于交边延长线于，，求的长． ∴ ， ， ∴ ． 在 中，， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 在 中，， ， ∴ ． 5. 如图，为等边三角形，，与相交于点，于点．． ∵ 为等边三角形， 【知识点】等边三角形的性质 【能力】推理论证能力 【能力】运算能力 （ 1 ）求证：． （ 2 ）若，，求的长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）：∵ ∴ 在 和 为等边三角形， ， 中， ， ， ∴ ∴ ≌ ． ， （ 2 ）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴在又∵ ∴ ≌ ， ， ， ， 中， ， ， ， ， ， 6. 如图，在等边中，点，，，分别在边，，上，且，连接 ． 【能力】推理论证能力 【知识点】全等三角形的对应边与角 【知识点】SAS 【知识点】等边三角形的性质 ，，． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的度数． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ∴ 又∵ ∴ 可得： ∴ 为等边三角形， ， ， ． ， ≌ ． ≌ ， （ 2 ）由（ ）中全等关系可得： ， ∴ 为等边三角形，则 ． 【知识点】全等三角形的对应边与角；全等三角形的性质 $ 性质 性质1 等边三角形的 都相等 性质2 等边三角形的 都相等，并且每一个角都等于 性质3 等边三角形每条边上的 、 、所对角 互相重合 （ 组“三线合一”） 1. 如图，已知为等边三角形，点在的延长线上，是上一点，且，是 上一点，且，则． 2. 如图，是等边三角形，，．求出的每个内角度数． 3. 如图，点、、在同一条直线上，与都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（ ）． 1 学科网（北京）股份有限公司 A. ≌ B. ≌ C. ≌ D. ≌ 4. 如图所示，在等边三角形中，，与相交于点，则的度数是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，是等边三角形，，分别是，上的点，且，，相交于点 ，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 如图，为等边三角形，且，与相交于点，则的度数（ ）． A. B. C. D. 大小无法确定 7. 如图，在中， ，点在边上，，并与边交于点．如果 ，，那么的长为（ ）． A. B. C. D. 判定 判定1 利用定义来判定： 的三角形是等边三角形 判定2 的三角形是等边三角形 （或证明两个角都为） 判定3 有一个角是 的 三角形是等边三角形 1. 为等边三角形，，，分别在边，，上，且，则为 三角形． 2. 如图，在等边中，点，，，分别在边，，上，且，连接 ，，． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的度数． 3. 如图，是等边三角形，于点，于点，与相交于点，连接 ． （ 1 ）判断的形状，并证明． （ 2 ）若，求的长． 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 在中， ， 此性质适用的大前提“直角三角形”，所以无直角时，必须依据条件构造符合性质特征的直角三角形，才能根据角的大小，得到边的倍分关系． 1. 如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图，其中，分别表示一楼、二楼地面的水平线，，的长是，则乘电梯从点到点上升的高度是（ ）． A. B. C. D. 2. 已知中， ，，，，的长为（ ）． A. B. C. D. 3. 如图，中，，，的垂直平分线交于，交于， ，则 ． 4. 如图，在中， ，点在边上，，并与边交于点．如果 ，，那么等于（ ）． A D E B C A. B. C. D. 5. 在中， ，，，是的边的高，则的面积为 （用含，的式子表示）． 6. 如图所示，，，若为，则的长为 ． 7. 如图，在中， ，，点在上，，，则的长度为 ． 8. 如图所示， ，若，则 ． ， ， $ 性质 性质1 等边三角形的 都相等 性质2 等边三角形的 都相等，并且每一个角都等于 性质3 等边三角形每条边上的 、 、所对角 互相重合 （ 组“三线合一”） 1. 如图，是等边三角形内的一点，连接、、，以为边作，且 ，连接． （ 1 ）观察并猜想 与 之间的大小关系，并写出理由． （ 2 ）若 ， ，，连接，试判断 的形状，并说明理由． 2. 如图，以的两边、向外作等边三角形和等边三角形，连接、，相交于． （ 1 ）试写出图中和相等的一条线段并说明你的理由． （ 2 ） 1 学科网（北京）股份有限公司 写出和的夹角大小，若改变的形状，这个夹角的度数会发生变化吗？请说明理由． 3. 如图，点，，在一条直线上，， 均为等边三角形，连接和，分别交 、于点 、，交于点，连接，． 下列结论：①≌；②；③为等边三角形；④ 平分 ． 其中结论正确的有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 4. 如图，已知，分别以和为边向外作等边和等边，连接、． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若所在直线垂直平分，求的大小． 5. 已知为等边三角形，点为直线上一动点(点不与点，点重合)．以为边作等边三角形，连接． 图1 图2 （ 1 ）如图，当点在边上时． 1 直接判断结论 ＝ ＋ 求证：≌2 是否成立（不需证明）． （ 2 ）如图，当点在边的延长线上时，其他条件不变，请写出，，之间存在的数量关系，并写出证明过程． 6. 阅读下列材料 下面是小明同学“作一个角等于的直角三角形”的尺规作图过程．． ），即 ． （三角形的内角和等于就是所求作的直角三角形． ）． （三角形的内角和等于 中， 图 ）． 是等边三角形（等边三角形定）． （等边三角形每个内角都等于 ． （等边对等角）． ∴ ∴ ∴ ∴在 ∴ ∴ ∴ 就是所求的直角三角形． 证明：连接 ． 由作图可知， ， ， ； 并延长，使得 ． 为圆心， 长为半径画弧， ； ，连接 两弧交于点 （2） 连接 （3） 连接 作法：如图 ， （1）分别以点 ，点 图 ． ， 已知：线段 （如图 ）． 求作： ，使 请你参考小明同学解决问题的方式，利用图再设计一种“作一个角等于的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据． 图 判定 判定1 利用定义来判定： 的三角形是等边三角形 判定2 的三角形是等边三角形 （或证明两个角都为） 判定3 有一个角是 的 三角形是等边三角形 1. 如图，点、、分别是等边各边上的点，且，． （ 1 ）求证： （ 2 ）若 是等边三角形． ，求等边 的周长． 2. 如图，已知 是等边三角形，、 ，连接、、 、分别是射线、、上一点，且 ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）试判断的形状，并简要说明理由． 3. 已知，如图，延长的各边，使得，，顺次连接，，，得到为等边三角形． （ 1 ）求证：≌ ． （ 2 ）求证：为等边三角形． 4. 如图，，点是的中点，平分，，垂足为． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若，试判断的形状，并说明理由． 定理 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 在中， ， 此性质适用的大前提“直角三角形”，所以无直角时，必须依据条件构造符合性质特征的直角三角形，才能根据角的大小，得到边的倍分关系． 1. 如图，已知：，点、、在射线上，点、、在射线上， 、、均为等边三角形，若 ，则的边长 为 ． 2. 如图，已知：，点、、……在射线上，点、、……在射线 上，、、……均为等边三角形，从左边第个等边三角形的边长记为 ，第个等边三角形的边长记为，以此类推，若 ，则 ， ． 3. 如图，在中，， ，为的垂直平分线，交于点，交于点．求证：． 4. 如图，是等边三角形，是中线，过点作于交边延长线于，，求的长． 5. 如图，为等边三角形，，与相交于点，于点． （ 1 ）求证：． （ 2 ）若，，求的长． 6. 如图，在等边中，点，，，分别在边，，上，且，连接 ，，． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求的度数． $