2.1.2 一元二次方程的解及其估算 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第二章 一元二次方程 2.1.2一元二次方程的解及其估算 2026年8月2日 北师大版九年级上册2.1.2 一元二次方程的解及其估算 同步练习题 本套习题适配北师大版九年级上册2.1第2课时《一元二次方程的解及其估算》，聚焦本节课两大核心知识点：一元二次方程解的定义、一元二次方程近似解的估算方法。重点考查将数值代入方程验证根、利用根的定义求参数的值、通过取值试值法估算方程解的取值范围，掌握“夹逼法”求解近似根的基本思路。习题梯度循序渐进，贴合课本基础题型，精准突破取值估算易错点，帮助学生理解方程根的意义，熟练掌握估算解题方法，适配课堂训练与课后巩固。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列数值中，是一元二次方程$$x^2-4=0$$的解的是（ ） A. x=1 B. x=2 C. x=3 D. x=4 2. 若x=1是方程$$x^2+ax+2=0$$的一个根，则a的值为（ ） A. -3 B. 3 C. -2 D. 2 3. 关于一元二次方程的解，下列说法正确的是（ ） A. 一元二次方程必有两个实数解 B. 能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解 C. 一元二次方程的解都是整数 D. 无理数不可能是方程的解 4. 已知方程$$x^2-6x+8=0$$，下列数值不是方程根的是（ ） A. 2 B. 4 C. 0 D. 均不正确 5. 用估算方法判断方程$$x^2-2x-1=0$$的一个正根的取值范围是（ ） A. 1～2之间 B. 2～3之间 C. 3～4之间 D. 4～5之间 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 使一元二次方程左右两边________的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫做方程的________。 7. 若x=2是方程$$x^2-mx+4=0$$的一个根，则m=________。 8. 估算一元二次方程近似解常用的方法是________法，通过不断缩小未知数取值范围确定近似根。 9. 已知当x=3时，$$x^2-5x+3=-3$$；x=4时，$$x^2-5x+3=-1$$；x=5时，$$x^2-5x+3=3$$，则方程$$x^2-5x+3=0$$的一个根在________之间。 10. 方程$$x^2=3x$$的两个根分别是x=0和________。 三、解答题（共60分） 11.（12分）检验下列各数是不是方程$$x^2-3x+2=0$$的解：（1）x=1 （2）x=2 （3）x=3 12.（12分）已知x=-1是一元二次方程$$2x^2+kx-1=0$$的一个根，求k的值。 13.（18分）利用夹逼法估算方程$$x^2-4x+1=0$$的正整数根取值范围，精确到个位。 14.（18分）已知一个矩形的长比宽多3，面积为10，设宽为x，列出一元二次方程，并通过试值估算宽的近似值（精确到0.1）。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：将x=2代入方程，左边=4-4=0=右边，是方程的解，其余数值代入均不成立。 2. A 解析：把x=1代入方程得1+a+2=0，解得a=-3。 3. B 解析：一元二次方程可能无实数解，解可以是整数、小数或无理数，A、C、D说法错误。 4. C 解析：将x=0代入方程，左边=8≠0，不是方程的根。 5. B 解析：x=2时，原式=-1；x=3时，原式=2，函数值由负变正，根在2～3之间。 二、填空题 6. 相等；根 解析：一元二次方程解的基础定义，是代入验证题型的核心依据。 7. 4 解析：将x=2代入方程得4-2m+4=0，化简计算得m=4。 8. 夹逼（试值） 解析：本课核心估算方法，通过取值、算值、判符号缩小根的范围。 9. 4～5 解析：x=4时原式为负，x=5时原式为正，根据夹逼法则，根在两数之间。 10. x=3 解析：移项因式分解得x(x-3)=0，解得x=0或x=3。 三、解答题 11. 解：（1）x=1时，左边=1-3+2=0=右边，是方程的解；（2）x=2时，左边=4-6+2=0=右边，是方程的解；（3）x=3时，左边=9-9+2=2≠0，不是方程的解。 12. 解：将x=-1代入方程得：2×(-1)²+k×(-1)-1=0，化简得2-k-1=0，解得k=1。 13. 解：设$$y=x^2-4x+1$$，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2；x=3时，y=-2；x=4时，y=1。函数值由正变负、再由负变正，可得方程两个正根分别在0～1、3～4之间，精确到个位，近似根为0和4。 14. 解：由题意列方程：$$x(x+3)=10$$，整理得$$x^2+3x-10=0$$。试值：x=2时，原式=0，故此方程精确根为2，宽的近似值为2.0cm。 （总字数：1112） 1. 理解方程的解的概念. 2. 经历对一元二次方程解的探索过程并理解其意义.(重点) 3. 会估算一元二次方程的解.（难点） 学习目标 问1：一元二次方程有哪些特点？ ① 只含有一个未知数； ②未知数的最高次数是 2； ③整式方程 问2：一元二次方程的一般形式是什么？ ax2 + bx + c = 0 (a，b，c 为常数， a ≠ 0) 幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m²的地毯(如图)，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同， 你能设法估计四周未铺地毯的条形区域的宽度x (单位：m) 吗? (8-2x)(5-2x)=18 8m 5m 思考：如何确定这个方程中 x 的值，即如何找到方程的解呢? 4 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解。 判断一个数是不是方程的解的方法：分别将这个数代入方程的两边并计算，若结果相等，则此数是方程的解，否则不是。 知识点1 一元二次方程的解 1.下列是方程 的根的是( ) C A.1 B. C. D.0 返回 考试考法 6 2.[陕西师大附中期中] 已知关于的方程 的一个根为 ，则实数 的值为____。 返回 考试考法 7 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (1)x可能小于0吗? x可能大于4吗?可能大于2.5吗? 都不可能。因为x表示四周未铺地毯的条形区域的宽度， 所以x不可能小于0。 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 18m² 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (1)x可能小于0吗? x可能大于4吗?可能大于2.5吗? 根据题意，知8-2x和5-2x分别表示地毯的长和宽， 所以8-2x>0，5-2x>0， 所以x<2.5， 所以x不可能大于4，也不可能大于2.5。 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 18m² 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (2)你能确定x的大致范围吗? 能。 由(1)分析，得x的大致范围是0<x<2.5。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 8m 5m x x x x (8-2x) (5-2x) 18m² 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (3)填写下表。 (4)你知道所求宽度 x (单位：m) 是多少吗? 因为所求宽度x的大致范围是0<x<2.5， 所以所求宽度是1m时，可使方程(8-2x)(5-2x)=18成立。 x 0.5 1 1.5 2 (8-2x)(5-2x) 28 18 10 4 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 问题 我们知道，x满足方程 (8-2x)(5-2x)=18。 (5) 还有其他求解方法吗? 还可以将18分解因数为6×3， 用8-2x=6和5-2x=3的方法求出其解为x=1。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 知识点2 一元二次方程的近似解 3.根据下表判断关于的方程的一个解 的范围 是( ) 4.6 4.5 4.4 4.3 0.3 1 C A. B. C. D. 返回 考试考法 13 4. 如图，将一张长为 ，宽为 的矩形纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方 形，剩余部分（阴影部分）可制成一个底面积是 的无盖长方体纸盒，求剪去的正方形的边长。 小华在做这道题时，设剪去的正方形的边长为 ， 列出关于的方程为，整理，得 。 他想知道剪去的正方形的边长到底是多少，下面是他的探索过程。#1.3 考试考法 14 第一步：#1.4 0 1 2 17 9 因此________ ________。 第二步：#1.5 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此________ ________。#1.5.2 考试考法 15 （1）请你帮助小华补全探索过程； [答案] 3; ; 1; 2; ; ; 1.6; 1.7 （2）通过以上探索，估计剪去的正方形的边长的整数部分是___，十分 位是___。 1 6 返回 考试考法 16 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 依题意可得： (x+6)²+7²=10²， 一般形式： x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 思考 (1)小明认为底端也滑动了1m， 他的说法正确吗?为什么? 不正确。 因为x=1不满足方程x²+12x-15=0， 所以他的说法不正确。 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 思考 (2)底端滑动的距离可能是2m吗?可能是3m吗?为什么? 不可能是2m，也不可能是3m。 因为x=2和x=3同样都不满足方程x²+12x-15=0，所以二者都不可能。 如图，一架长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端到地面的垂直距离为8m。如果梯子顶端下滑1m，梯子底端滑动x m。 x²+12x-15=0。 10 m 8 m 1 m x m 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 思考 (3)你能猜出滑动距离x(单位：m)的大致范围吗? x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 所以1<x<1.5。 x²+12x-15=0。 思考 (4) x的整数部分是几?十分位是几?为什么? 进一步计算： 所以1.1<x<1.2。 因此x的整数部分是1，十分位是1。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x²+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 你明白估算一元二次方程的解的想法吗? 通过两端不断逼近的方法估算一元二次方程的解。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x²+12x-15=0。 进一步计算： 所以1.1<x<1.2。 x 1.1 1.2 1.3 1.4 x²+12x-15 -0.59 0.84 2.29 3.76 x 0 0.5 1 1.5 2 x²+12x-15 -15 -8.75 -2 5.25 13 如果要把x的小数部分精确到百分位，应该怎么做呢? 在1.1和1.2之间再取值，并进行计算，计算结果最接近0的那个对应取值就是把x的小数部分精确到百分位的近似值。 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 估算一元二次方程ax²+bx+c=0的解(或近似解)： (1)先通过试值确定方程解的大致范围； (2)在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把m代入方程使得am²+bm+c<0，把n代入方程使得an²+bn+c>0，那么方程的解就在m与n之间。 (3)在m与n之间再取值，重复步骤(2)，可得到更加接近方程的解的数值。 “夹逼法” 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何。”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步? 设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为( ) A. x(60-x)=864 B. x(x-60)=864 C. x(60+x)=864 D. 2[x+(x+60)]=864 例1 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 A 5.已知关于的一元二次方程，若 ，则下 列各数中一定是该方程的根的是( ) A A.1 B. C.2 D.0 返回 考试考法 26 6.观察下列表格，一元二次方程 的一个近似解为 ( ) 4.67 4.61 4.56 4.51 4.46 4.41 D A. B. C. D. 返回 考试考法 27 在例1的条件下，试估算这块矩形田地的长比宽多多少步? 解：将方程x(60-x)=864转化为x²-60x+864=0。 因为30×30=900，900接近864， 所以x的值应该在30附近。 列表并计算： 由表格可知20<x<30，或30<x<40。 例2 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 20 30 40 x²-60x+864 64 -36 64 在例1的条件下，试估算这块矩形田地的长比宽多多少步? 进一步列表并计算： 所以当x=24或36时满足x²-60x+864=0， 所以x²-60x+864=0的解为x=24或x=36(不符合题意，舍去)。 所以矩形田地的宽为24步，长为60-24=36(步)。 因为36-24=12(步)， 所以这块矩形田地的长比宽多12步。 例2 知识点1 根据实际问题列一元二次方程并估算方程的解 x 21 22 23 24 25 … 35 36 37 38 39 x²-60x+864 45 28 13 0 -11 … -11 0 13 28 45 7.已知关于的一元二次方程，其中,, 是 的三边长，若是该方程的一个根，则 的形状为 ____________。 等腰三角形 返回 考试考法 30 8. 如果是方程 的一个根，那么代数式 的值为____。 18 返回 考试考法 31 9. 已知一个一元二次方程的一个根为 ，且常数项为0， 请写出一个满足要求的方程：_________________________。 （答案不唯一） 返回 考试考法 32 10.若是方程的一个根，求 的值。 解：由题意得， ， 所以且 ， 所以 。 所以 考试考法 33 。 返回 考试考法 一元二次方程 实际问题 从实际问题中抽象出一元二次方程模型 夹逼法 解的估算 课堂小结 谢谢观看 THANKS $