1.3.2 矩形的判定 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第一章 特殊平行四边形 1.3.2矩形的判定 2026年8月2日 北师大版九年级上册1.3.2 矩形的判定 同步练习题 本套习题适配北师大版九年级上册1.3第2课时《矩形的判定》，聚焦本节课三大核心判定定理：有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、三个角是直角的四边形是矩形。习题遵循由浅入深的梯度设计，涵盖基础选择、填空、证明解答题型，精准击破学生易混淆的判定误区，区分平行四边形与矩形的判定条件，夯实课堂所学，适配当堂检测与课后专项巩固。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件中，能判定平行四边形为矩形的是（ ） A. 邻边相等 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 对角相等 2. 任意四边形中，满足下列哪个条件可直接判定为矩形（ ） A. 四个角相等 B. 对角线互相平分 C. 对角线相等 D. 对边平行 3. 下列说法错误的是（ ） A. 有一个角是直角的平行四边形是矩形 B. 有三个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等且平分的四边形是矩形 4. 在平行四边形ABCD中，添加条件可使其变为矩形的是（ ） A. AB=BC B. AC⊥BD C. ∠ABC=90° D. AB∥CD 5. 对角线互相平分且相等的四边形是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 平行四边形 D. 正方形 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 有一个角是________的平行四边形是矩形。 7. 对角线________的平行四边形是矩形。 8. 有________个角是直角的四边形是矩形。 9. 平行四边形ABCD中，对角线AC=BD，则四边形ABCD是________。 10. 四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，则四边形ABCD是________。 三、解答证明题（共60分） 11.（12分）如图，在平行四边形ABCD中，∠A=90°。求证：四边形ABCD是矩形。 12.（12分）已知四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。求证：四边形ABCD是矩形。 13.（18分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD。 （1）求证：△ABC≌△DCB；（2）证明平行四边形ABCD为矩形。 14.（18分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AO=BO，求证：四边形ABCD是矩形。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：对角线相等的平行四边形是矩形；邻边相等、对角线垂直是菱形判定条件，对角相等是平行四边形固有性质。 2. A 解析：四边形四个角相等，内角和360°，则每个角均为90°，可判定为矩形；其余条件无法直接判定矩形。 3. C 解析：对角线相等但不平分的四边形不是矩形，必须是对角线相等的平行四边形才是矩形。 4. C 解析：有一个角为直角的平行四边形是矩形；A、B为菱形判定条件，D为平行四边形基本性质。 5. B 解析：对角线互相平分说明是平行四边形，再加对角线相等，可判定该四边形为矩形。 二、填空题 6. 直角 解析：矩形最基础的判定定理，适用于平行四边形的判定。 7. 相等 解析：是平行四边形判定为矩形的核心条件，区别于菱形判定。 8. 三 解析：四边形三个角为直角，第四个角必然为直角，可判定为矩形。 9. 矩形 解析：满足对角线相等的平行四边形是矩形的判定定理。 10. 矩形 解析：三个内角为直角，可直接判定任意四边形为矩形。 三、解答证明题 11. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”，可直接判定四边形ABCD为矩形。 12. 证明：∵四边形内角和为360°，∠A=∠B=∠C=90°，∴∠D=360°-270°=90°，四个角均为直角，故四边形ABCD是矩形。 13. 证明：（1）∵ABCD是平行四边形，∴AB=DC，又BC为公共边，AC=BD，∴△ABC≌△DCB（SSS）；（2）由全等得∠ABC=∠DCB，又平行四边形邻角互补，可得∠ABC=90°，故平行四边形ABCD为矩形。 14. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC=2AO，BD=2BO。又AO=BO，∴AC=BD，对角线相等的平行四边形是矩形，因此四边形ABCD是矩形。 （总字数：1112） 1. 经历矩形判定定理的猜想与证明过程，理解并掌握 矩形的判定定理；（重点） 2. 能应用矩形的判定解决简单的证明题和计算题.(难点) 学习目标 问题1 矩形的定义是什么？ 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. 问题2 矩形有哪些性质？ 矩形 边： 角： 对角线： 对边平行且相等 四个角都是直角 对角线互相平分且相等 类比菱形，矩形的定义也是判定矩形的一种方法。 知识点 矩形的判定 除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是矩形? A B C D 矩形的判定： 有一个角是直角的平行四边形是矩形。 几何语言： ∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=90°， ∴四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真命题吗? 知识点 矩形的判定 A B D C (有一个角是直角) A B D C (有二个角是直角) A B D C (有三个角是直角) 猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 验证猜想：有三个角是直角的四边形是矩形。 已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°。 求证：四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 A B C D 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°， ∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180°， ∴AD∥BC，AB∥CD。 ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵ ∠A=90°， ∴四边形ABCD是矩形（矩形的定义）。 矩形的判定定理1: 有三个角是直角的四边形是矩形。 几何语言： 在四边形ABCD中，∵∠A=∠B=∠C=90°， ∴ 四边形ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 ∠A=∠B=∠C=90° A B C D 矩形ABCD 四边形ABCD A B C D 知识点1 有一个角是直角的平行四边形是矩形 1.如图，要使 成为矩形，需添加的条件可 以是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 2.[教材P14“随堂练习”第1题变式] 如图，在四边形 中， ，是边的中点， 。求证：四边形 是矩形。 举一反三 10 证明：是边 的中点， ， 在和 中， ， 。 ， 举一反三 11 , ， 四边形 是平行四边形， 又 ， 四边形 是矩形。 返回 举一反三 知识点 矩形的判定 问题1 你能写出矩形性质定理的逆命题吗? 矩形性质定理：矩形的四个角都是直角。 逆命题：四个角是直角的四边形是矩形。 矩形性质定理：矩形的对角线相等。 逆命题：对角线相等的平行四边形是矩形。 它们都是真命题吗? 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化。 (1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化? 知识点 矩形的判定 当∠α 逐渐增大时，其中一条对角线逐渐变长，另一条对角线逐渐变短。 α α 下图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化. (2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想? 知识点 矩形的判定 当两条对角线长度相等时，平行四边形的四个角都变成直角。 猜想：对角线相等的平行四边形是矩形。 验证猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 已知：在□ABCD中，AC，DB是两条对角线，AC=DB。 求证：□ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 知识点 矩形的判定 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB = DC，AB∥DC。 又∵BC = CB，AC = DB， ∴ △ABC≌△DCB 。 ∴∠ABC = ∠DCB。 ∵AB∥DC， ∴∠ABC + ∠DCB = 180°。 ∴ ∠ABC =∠DCB = × 180°= 90°。 ∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）。 矩形的判定定理2: 对角线相等的平行四边形是矩形。 几何语言：∵在□ABCD中，AC=BD， ∴ □ABCD是矩形。 知识点 矩形的判定 AC=BD A B D C 矩形ABCD A B C D □ABCD 如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB = 4，求□ABCD的面积。 例1 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD。 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4。 ∴OA=OB=OC=OD=4。 ∴AC=BD=2OA=2×4=8。 ∴□ABCD是矩形（对角线相等的 平行四边形是矩形）。 知识点 矩形的判定 ∴∠ABC=90°（矩形的四个角是直角）。 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 ， ∴BC=。 ∴□ABCD的面积=AB·BC=4×=16 矩形的判定： 有三个角是 . 对角线 . 有一个角是 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D 直角 直角 相等 A B C D ∟ 矩形ABCD A B D C 矩形ABCD A B C D 矩形ABCD 知识点 矩形的判定 知识点2 有三个角是直角的四边形是矩形 3.在数学活动课上，老师让同学们判断一个由四根木条组成的四边形是 否为矩形，下面是一个学习小组拟定的方案，其中正确的方案是( ) A A.测量四边形的三个角是否为直角 B.测量四边形的两组对边是否分别相等 C.测量四边形的对角线是否互相平分 D.测量四边形的其中一组邻边是否相等 返回 举一反三 21 4.如图，是射线上的一点，,平分交于点 ， 平分,于点。求证：四边形 是矩形。 举一反三 22 证明：平分,平分 ， , 。 , , ，即 。 ,平分 , ， 。 , , 四边形 是矩形。 返回 举一反三 23 知识点3 对角线相等的平行四边形是矩形 5.如图，在中，对角线，相交于点。若 ，则当 的长为___时， 为矩形。 3 （第5题） 返回 举一反三 24 6.如图，的对角线，交于点， 是等边三角形， ，则 ( ) C （第6题） A. B. C. D.8 返回 举一反三 25 7.如图，在中，点，分别在边，上， ， 。请判断四边形 的形状，并说明理由。 举一反三 26 解：四边形 是矩形。 理由： 四边形 为平行四边形， ， 。 又 ， ，即 ， 四边形 为平行四边形。 又 ， 四边形 是矩形。 返回 举一反三 27 矩形的判定 定义法 角：有三个角是直角的四边形是矩形 有一个角是直角的平行四边形是矩形 对角线：对角线相等的平行四边形是矩形 定理 课堂小结 谢谢观看 THANKS $