1.4+正方形的性质与判定 第1课时 课件 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦正方形的定义与性质，通过“有一组邻边相等且一个角是直角的平行四边形”导入，结合几何画板动态演示平行四边形、矩形、菱形到正方形的转换关系，搭建从已有图形知识到新知的学习支架。 其亮点是以“思考·交流”引导学生自主探究正方形与矩形、菱形的关系，通过表格对比梳理性质培养几何直观，例题及变式注重全等推理与性质应用发展推理能力。帮助学生形成结构化知识，教师可高效开展探究式教学。

1.4 正方形的性质与判定 北师版九年级上册 第一章 特殊平行四边形 第1课时 正方形的性质 1 1. 探索并证明正方形的性质定理，了解它与菱形、矩形之间的关系。 2.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题，进一步发展几何直观和推理能力。 3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。 学习目标 2 正方形的定义： 有一组邻边相等，并且一个角是直角的平行四边形叫作正方形。 创设情境，导入新课 一个角是直角 平行四边形 距形 一组邻边相等 一个角是直角 一组邻边相等 菱形 正方形 几何画板.GSP 几何画板.GSP 【探究】正方形的性质 【思考·交流】 (1)正方形是菱形吗?正方形是矩形吗? (2)你认为正方形有哪些特殊的性质?与同伴进行交流. 探究与应用 正方形是特殊的平行四边形 它具有矩形与菱形的所有性质。 正方形是特殊的菱形 正方形是特殊的矩形 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:组织学生在小组内进行交流,对于问题(1)要让学生说一说判定的理由;对于(2)可引导学生从边、角、对角线三个方面进行总结归纳. 边 角 对角线 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 正方形的性质 你能证明吗？ 【探究】正方形的性质 （1）正方形是菱形吗？正方形是矩形吗？ （2）你认为正方形有哪些特殊的性质？与同伴进行交流。 正方形是特殊的平行四边形 探究新知，经历过程 思考·交流 它具有矩形与菱形的所有性质。 正方形是特殊的菱形 正方形是特殊的矩形 相关图形性质的关系 平行四边形的性质 对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分 菱形的性质 四条边相等 对角线互相垂直 四个角都是直角 对角线相等 矩形的性质 正方形的性质 探究与应用 【探究】 正方形的性质 已知:如图,在正方形ABCD中,∠BAD=90°,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O. 求证: (1)∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°, AB=AD=CD=BC, (2)AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 证明： (1)∵四边形ABCD是正方形， ∠B=90°， ∴AD//BC，AB//DC， ∠D=∠B=90°， ∴ ∠A+ ∠B =180°， ∠B + ∠C=180°， ∴ ∠A= ∠C=90°， ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°。 ∵四边形ABCD是正方形， ∴ AB=CD，AD=BC，又∵ AB= BC， ∴ AB =BC=CD=DA。 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:引导学生先证明正方形ABCD是矩形和菱形,然后再利用矩形和菱形的性质得出结论. 探究与应用 【探究】 正方形的性质 已知:如图,在正方形ABCD中,∠BAD=90°,AB=AD,对角线AC,BD相交于点O. 求证: (1)∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°, AB=AD=CD=BC, (2)AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 证明： (2)∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OC，OB=OD， 又∵AB=BC，∠ABC=90°， ∴ BO⊥AC，∠BAC=∠BCA=45°， ∴ AC⊥BD，∠AOB=90°。 ∴∠OBA=90°-∠OAB=90°-45°=45°， ∴∠OBA=∠BAC， ∴OA=OB， ∵AC=2AO，BD=2BO， ∴ AC=BD。 韵 (authorId_273335559) - 处理方式:引导学生先证明正方形ABCD是矩形和菱形,然后再利用矩形和菱形的性质得出结论. AB = BC = CD = DA ∴∠ABC =∠BCD =∠CDA =∠DAB = 90° AO = BO = CO = DO，AC⊥BD 几何语言： 定理 正方形的四个角都是直角，四条边相等。 定理 正方形的对角线相等并且互相垂直平分。 ∵四边形 ABCD 是正方形， 想一想 正方形有几条对称轴？ 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 正方形有 4 条对称轴. 定理1：正方形的四个角都是直角，四条边相等。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°， AB=BC=CD=AD。 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分。 几何语言：∵四边形ABCD是正方形， ∴AC=BD，AC⊥BD， OA=OB=OC=OD。 A B C D O A B C D 【探究】 正方形的性质 正方形的其他性质： 1.正方形的面积=边长的平方=对角线长乘积的一半; 2.正方形的每条对角线平分一组对角; 3.正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。 A B C D O 【探究】 正方形的性质 解：BE = DF， 且 BE⊥DF。理由如下： （1）∵四边形 ABCD 是正方形。 ∴BC = DC，∠BCE = 90°（正方形的四条边都 相等，四个角都是直角）。 ∴∠DCF = 180°-∠BCE = 180°- 90°= 90°。 ∴∠BCE =∠DCF。 又∵CE = CF。 ∴△BCE≌△DCF。∴BE = DF。 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，F 是 BC 延长线上的一点，且 CE = CF。BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由。 例1 如图，在正方形 ABCD 中，E 为边 CD 上一点，F 是 BC 延长线上的一点，且 CE = CF。BE 与 DF 之间有怎样的关系？请说明理由。 （2）延长 BE 交 DF 于点 M。 ∵△BCE ≌ △DCF。 ∴∠CBE = ∠CDF。 ∵∠DCF = 90°。 ∴∠CDF +∠F = 90°。 ∴∠CBE +∠F = 90°。 ∴∠BMF = 180°－（∠CBE + ∠F）= 180°－ 90°= 90°。 ∴BE ⊥ DF。 想一想 正方形有几条对称轴？ 正方形既是轴对称图形，又是中心对称图形. 正方形有 4 条对称轴. 【探究】 正方形的性质 【理解应用】 探究与应用 变式 1.如图,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连接CE,DF,CE与DF交于点O. 求证:(1)CE=DF;(2)CE⊥DF. 证明：（1）∵四边形ABCD为正方形， ∴AB=BC=DC，∠ABC=∠FCD=90°. ∵E是边AB的中点，F是边BC的中点， ∴BE=AB，FC=BC，∴BE=FC. 在△BEC和△CFD中，∵， ∴△BEC≌△CFD（SAS），∴EC=DF； （2）由（1）得：△BEC≌△CFD，∴∠FDC=∠BCE， ∵∠FCD=90°，∴∠DFC+∠FDC=90°， ∴∠DFC+∠BCE=90°，∴∠FOC=90°，∴CE⊥DF． 这是正方形中的“十字”结构，是基本图形 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (1)请在图中画一个菱形，使菱形的两个顶点分别与点 A，C 重合，并与同伴交流你的思考过程。 A B C D O 连接正方形的对角线 AC、BD。 作对角线 AC 的垂直平分线，在 AC 中取点 E，F，使 OE = OF 。 顺次连接 A、E、C、F 四点，四边形 AECF 即为所求菱形。 尝试·交流 如图，四边形 ABCD 是正方形。 (2)请在图中画一个矩形 EFGH，使矩形的四个顶点E，F，G，H 依次在正方形 ABCD 的边AB，BC，CD，DA上，并与同伴交流你的思考过程。 A B C D 在正方形的边 AB 上任取一点 E（不与端点重合）。 在边 BC 上取点 F，边 CD 上取点 G，边 DA 上取点 H，使得 AE = BF = CG = DH。 顺次连接 E、F、G、H 四点，四边形 EFGH 即为所求菱形。 【理解应用】 探究与应用 变式 2.如图,在正方形ABCD中,延长BC到点F,连接DF,过点B作BG⊥DF于点G,交CD于点E. 求证:CE=CF. 证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴BC=DC，∠BCD=90°，∴∠BCE=∠DCF=90°. 在Rt△BCE中，∠CBE+∠CEB=90°. ∵BG⊥DF，∴∠DGE=90°， 在Rt△DGE中，∠CDF+∠DEG=90°. 又∵∠CEB=∠DEG， ∴∠CBE=∠CDF. 在△BCE和△DCF中，， ∴△BCE≌△DCF（ASA），∴CE=CF． 探究与应用 【拓展提升】 如图 ,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O,MN∥AB,且分别与OA,OB相交于点M,N. 　　求证:(1)BM=CN;(2)BM⊥CN. 证明：（1）∵MN∥AB， ∴∠OMN=∠OAB，∠ONM=∠OBA. ∵四边形ABCD是正方形， ∴OA=OB，∴∠OAB=∠OBA. ∴∠OMN=∠ONM， ∴OM=ON. ∴AM=OA-OM=OB-ON=BN. 在△ABM和△BCN中，， ∴△ABM≌△BCN（SAS）， ∴BM=CN． （2）由△ABM≌△BCN得，∠ABM=∠BCN， 又∵∠ABM+∠CBM=90°， ∴∠BCN+∠CBM=90°，∴CN⊥BM． (1)的证明还有其他方法吗？ 课堂小结 这节课你们都学会了哪些知识？ 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫作正方形. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 【小结】 课堂小结与检测 1.四个角都是直角，四条边都相等 2.对角线相等且互相垂直平分 正方形的性质 性质 定义 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形 $