1.4.1 正方形的性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“正方形的性质”，通过“思考交流”提问正方形与菱形、矩形的关系导入，从矩形和菱形性质出发，经推理证明得出正方形边、角、对角线性质，构建知识支架。 其亮点是用探究式问题培养数学眼光，推理证明发展数学思维，例题与拓展题强化数学语言表达。如重叠面积问题引导学生观察图形变化，证明过程训练逻辑推理，课堂检测助教师及时反馈，提升学生应用能力与教师教学效率。

第1课时　 正方形的性质 第一章　特殊平行四边形 4 探究与应用 (1)正方形是菱形吗?正方形是矩形吗? (2)你认为正方形有哪些特殊的性质? 探究　正方形的性质 思考交流 解:(1)正方形是菱形,正方形是矩形. (2)正方形的四个角都是直角,四条边相等;正方形的对角线相等且互相垂直平分. (1)如图1-4-1,已知四边形ABCD是正方形. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA. 推理证明 图1-4-1 证明:(1)∵正方形ABCD既是矩形,又是菱形, ∴由矩形的性质知∠A=∠B=∠C=∠D=90°, 由菱形的性质知AB=BC=CD=DA. (2)如图1-4-2,在正方形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.求证: AC=BD,AC⊥BD,OA=OC,OB=OD. 图1-4-2 证明:(2)∵正方形ABCD是平行四边形, ∴OA=OC,OB=OD. ∵正方形ABCD既是矩形,又是菱形, ∴由矩形的性质知AC=BD, 由菱形的性质知AC⊥BD. 正方形的性质定理: 定理1:正方形的四个角都是　　　,四条边　　　;  定理2:正方形的对角线　　　且互相　　　　　.  直角 相等 概括新知 相等 垂直平分 (教材典题)如图1-4-3,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系?请说明理由. 应用一　利用正方形的性质进行计算和证明 例 解:BE=DF,且BE⊥DF.理由如下: (1)∵四边形ABCD是正方形, ∴BC=DC,∠BCE=90°(正方形的四条边相等,四个角都是直角). ∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF. 又∵CE=CF,∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF. 图1-4-3 (2)如图,延长BE,交DF于点M. ∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF. ∵∠DCF=90°, ∴∠CDF+∠F=90°. ∴∠CBE+∠F=90°. ∴∠BMF=90°. ∴BE⊥DF. 如图1-4-4,四边形ABCD是正方形. (1)若在图1-4-4中画一个菱形,使菱形的两个顶点分别与点A,C重合,则菱形的另外两个顶点需要满足什么条件? (2)若在图1-4-4中画一个矩形EFGH,使矩形的四个顶点E,F,G,H依次在正方形ABCD的边AB,BC,CD,AD上,则矩形EFGH的四个顶点需要满足什么条件? 应用二　在正方形中构造菱形和矩形 尝试交流 图1-4-4 略 【延伸拓展】 重叠面积问题 一位同学拿了两块透明的含45°角的三角尺△MNK,△ABC做了一个探究活动,将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处,设AC=BC=a. (1)如图1-4-5①,两个三角尺的重叠 部分为△ACM,则重叠部分的面积 为　　　　;  图1-4-5 解:(1)∵AC=BC=a,∠ACB=90°, ∴AB===a. ∵M是AB的中点,∴AM=a,CM⊥AB. ∵∠CAB=45°,∴AM=MC, ∴重叠部分的面积为=.故填. (2)将图①中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°,得到图②中的正方形,此时重叠部分的面积为　　　　;  图1-4-5 解:(2)由题意可得,重叠部分是正方形, 边长为BC=, ∴此时重叠部分的面积为×=. 故填. (3)如果将△MNK继续绕顶点M逆时针旋转到如图③所示,猜想此时重叠部分的面积是多少?并加以验证. 图1-4-5 解:(3)猜想此时重叠部分的面积是. 验证:如图,过点M分别作AC,BC的垂线MH,ME,垂足分别为H,E, ∴∠MHC=∠CEM=90°. ∵∠ACB=90°,∴四边形MHCE为矩形. ∵M是△ABC斜边AB的中点,AC=BC=a, ∴MH=BC=a,ME=AC=a,∴MH=ME,∴四边形MHCE为正方形. ∵∠NMK=∠HME=90°,∴∠NMH+∠NME=90°,∠EMG+∠NME=90°, ∴∠DMH=∠GME. 在△HMD和△EMG中, ∵∠DMH=∠GME,MH=ME,∠DHM=∠GEM,∴△HMD≌△EMG(ASA), ∴重叠部分的面积等于正方形CEMH的面积. ∵正方形CEMH的面积=ME·MH=×=, ∴重叠部分的面积是. 认真分析重叠部分在变化过程中所形成的图形,然后进行面积的计算. 细 琢磨 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是 (　　) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角 | 课堂检测 | B 2.如图1-4-6,在正方形ABCD中,点G在BC边上,连接AG,DE⊥AG于点E,BF⊥AG于点F,若BF=4,DE=9,则EF的长为(　　) A.5 B.8 C.12 D.2 图1-4-6 A 3.如图1-4-7,E是正方形ABCD的边BC的延长线上一点,若EC=AC,AE交CD于点F,则∠AFC=　　　°.  图1-4-7 112.5 4.如图1-4-8,在正方形ABCD中,E是边AB的中点,F是边BC的中点,连接CE,DF. 求证:CE=DF. 图1-4-8 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD,∠EBC=∠FCD=90°. ∵E,F分别是AB,BC的中点,∴BE=AB,CF=BC.∴BE=CF. 在△CEB和△DFC中,∵BC=CD,∠EBC=∠FCD,BE=CF, ∴△CEB≌△DFC.∴CE=DF. $