1.2.2 菱形的判定 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第一章 特殊平行四边形 1.2.2菱形的判定 2026年8月2日 北师大版九年级上册1.2.2 菱形的判定 同步练习题 本套习题适配北师大版九年级上册1.2第2课时《菱形的判定》，紧扣本节课三大核心判定方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、四条边相等的四边形是菱形。习题由基础到拔高，覆盖选择、填空、证明解答题型，精准贴合课堂重难点，适合课后巩固、当堂检测，帮助学生熟练区分菱形判定条件，规避易错知识点。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列条件中，能判定一个四边形是菱形的是（ ） A. 对角线互相平分的四边形 B. 对角线互相垂直的平行四边形 C. 对角线相等的四边形 D. 有一个角是直角的平行四边形 2. 平行四边形ABCD中，添加下列条件，能判定它为菱形的是（ ） A. ∠ABC=90° B. AC=BD C. AB=BC D. AB∥CD 3. 下列说法正确的是（ ） A. 四条边相等的四边形是菱形 B. 对角线垂直的四边形是菱形 C. 一组邻边相等的四边形是菱形 D. 对角线相等且垂直的四边形是菱形 4. 已知四边形ABCD的四条边AB=BC=CD=DA，则该四边形是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形（非菱形） 5. 不能判定平行四边形为菱形的条件是（ ） A. 对角线互相垂直 B. 邻边相等 C. 对角线平分一组对角 D. 对边相等 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 在平行四边形中，添加条件________可判定为菱形；任意四边形中，添加条件________可判定为菱形。 7. 若平行四边形ABCD的对角线AC⊥BD，则四边形ABCD是________。 8. 已知四边形四边长度依次为7、7、7、7，则该四边形的形状是________。 9. 平行四边形ABCD中，AB=5，BC=5，则此平行四边形为________。 10. 对角线互相垂直且互相平分的四边形是________。 三、解答证明题（共60分） 11.（12分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD。求证：四边形ABCD是菱形。 12.（12分）已知四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA。求证：四边形ABCD是菱形。 13.（18分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD。 （1）求证：△AOB≌△COB；（2）证明平行四边形ABCD为菱形。 14.（18分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，且AB=BC。求证：四边形ABCD是菱形。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. B 解析：对角线互相平分是平行四边形，A错误；对角线相等无法判定菱形，C错误；有直角的平行四边形是矩形，D错误；对角线垂直的平行四边形是菱形，B正确。 2. C 解析：邻边相等的平行四边形是菱形；A、B是矩形判定条件，D是平行四边形固有性质。 3. A 解析：四条边相等的四边形是菱形；对角线垂直但不平分的四边形不是菱形，B错误；普通四边形一组邻边相等不能判定菱形，C错误。 4. B 解析：四条边相等的四边形直接判定为菱形，无需满足直角条件。 5. D 解析：对边相等是所有平行四边形的基本性质，无法判定菱形。 二、填空题 6. 一组邻边相等（或对角线互相垂直）；四条边相等 解析：区分平行四边形和任意四边形的菱形判定条件，是本节课易错点。 7. 菱形 解析：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 8. 菱形 解析：四边相等的四边形为菱形。 9. 菱形 解析：平行四边形邻边相等，符合菱形判定定理。 10. 菱形 解析：对角线互相平分说明是平行四边形，再加对角线垂直，可判定为菱形。 三、解答证明题 11. 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD=BC。又∵AB=AD，∴AB=BC=CD=AD，四边相等，故平行四边形ABCD是菱形。 12. 证明：∵AB=CD，BC=AD，∴四边形ABCD是平行四边形。又∵AB=BC，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故此四边形为菱形。 13. 证明：（1）∵ABCD是平行四边形，∴AO=CO。又∵AC⊥BD，∠AOB=∠COB=90°，BO为公共边，∴△AOB≌△COB（SAS）；（2）由全等得AB=BC，邻边相等的平行四边形是菱形，得证。 14. 证明：∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形。又∵AB=BC，该平行四边形一组邻边相等，因此四边形ABCD是菱形。 （总字数：1118） 1. 经历菱形判定定理的探究过程，掌握菱形的判定 定理；（重点） 2. 会用这些菱形的判定方法进行有关的证明和计算. （难点） 3. 经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会 数形结合、转化等思想方法. 学习目标 根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形。除此之外，你认为还有什么条件可以判定一个四边形是菱形？ A B C O D 知识点 菱形的判定 问题1 由菱形的性质定理可知，如果一个四边形是菱形，那么它的四条边相等.反过来，四条边相等的四边形一定是菱形?为什么？ 一定是，因为四边相等意味着两组对边分别相等、邻边相等， 可先判定该四边形为平行四边形，然后根据菱形的定义判定该四边形为菱形. 你能证明一下吗？ 已知:如图，在四边形ABCD 中，AB=BC=CD=DA. 求证:四边形ABCD是菱形. A D C B 证明：∵AB=BC=CD=AD， ∴AB = CD，AD = BC， ∴四边形ABCD是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形). ∵ AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形(有一组邻边相等的平行四边形是菱形). 知识点 菱形的判定 知识点1 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.[西安模拟] 下列条件中，能判定 为菱形的是( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 6 2.如图，在中，， ，将线段 水平向右平移个单位长度得到线段 ，若四 边形为菱形，则 的值为( ) B A.1 B.2 C.3 D.4 返回 举一反三 7 3.如图，在中，，求证： 是菱形。 证明：在中， ， ， 又， ， , 是菱形。 返回 举一反三 8 菱形的对角线互相垂直. 逆命题:对角线互相垂直的平行四边形为菱形. 这个逆命题成立. 问题2 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 你能说明其中的道理吗？ 知识点 菱形的判定 因为对角线互相垂直，且平行四边形的对角线互相平分， 可得对角线互相垂直平分， 进而得到一组邻边相等， 根据菱形的定义可判定该平行四边形为菱形. 问题2 菱形的对角线具有怎样的性质?写出它的逆命题，这个逆命题成立吗? 知识点 菱形的判定 已知:如图，在□ ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AC⊥BD. 求证:□ ABCD是菱形. 证明:∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC. 又∵AC⊥BD， ∴直线BD是线段AC的垂直平分线， ∴BA＝BC， ∴□ ABCD是菱形(菱形的定义). 知识点 菱形的判定 定理：四边相等的四边形是菱形. 定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 知识点 菱形的判定 判定方法 图示 符号语言 定义法 边 （定理） 对角线（定理） 四边相等的四边形 是菱形. ∵AB=BC=CD=DA， ∴四边形ABCD是菱形 对角线互相垂直的 平行四边形是菱形 ∵四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD， ∴平行四边形ABCD是菱形. 有一组邻边相等的平行四边形是菱形. ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB=BC， ∴平行四边形ABCD是菱形. B A D C 知识点 菱形的判定 知识点1 菱形的判定 四条边都 . 对角线互相 . 有一组邻边 . A B C D □ABCD 四边形ABCD A B C D A B C D 菱形ABCD 相等 相等 垂直 A B C D 菱形ABCD A B C D 菱形ABCD 知识点3 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （第6题） 6.[湖南中考] 如图，在四边形 中，对角线 与互相垂直平分， ，则四边形 的周长为( ) C A.6 B.9 C.12 D.18 返回 举一反三 15 7. 如图，在四边形中，，于点 。 请添加一个条件：_______________________，使四边形 成为菱形。 （答案不唯一） （第7题） 返回 举一反三 16 问题1 (1)如图，已知线段a，请用尺规作菱形ABCD，使它的对角线AC=a. (1) 如图，作线段AC=a，分别以 A，C为圆心，以大于 AC 的长为半径作弧，两弧分别相交于点B，D，依次连接AB，BC，CD，DA. 四边形 ABCD即为所求作的菱形. B D a A C 知识点 菱形的判定 问题1 (2)满足(1)中条件的菱形唯一吗?如果不唯一，那么你认为添加怎样的条件，就可以使作出的菱形是唯一的? (2)不唯一， 给出菱形的边长且菱形的边长大于对角线AC的长度的一半即可作出唯一的菱形. B D A C a 知识点 菱形的判定 已知，如图，在□ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=，OA=2，OB=1. 求证：□ABCD是菱形. 例1 A B C D O 证明：在△AOB中， ∵AB=，OA=2，OB=1， ∴AB2=OA2+OB2， ∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角. ∴AC⊥BD. ∴□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）. 知识点 菱形的判定 知识点2 四边相等的四边形是菱形 4.如图，是等腰三角形，把它沿底边 所在直线翻折后，得到 ,则四边形 为____形，理由是________________________。 菱 四边相等的四边形是菱形 返回 举一反三 20 5.如图，在中，,,,分别是, , 边的中点，求证：四边形 是菱形。 证明：，，分别是,, 的中点， ，,, 。 , 。 四边形 是菱形。 返回 举一反三 21 8.如图，已知四边形 是平行四边形，其对角 线相交于点，,, 。 （1） 是直角三角形吗？请说明理由。 解： 是直角三角形，理由如下： 四边形 是平行四边形， 。 ， 是直角三角形。 举一反三 22 （2）求证：四边形 是菱形。 解：证明：由（1）知是直角三角形， ，即 ， 又 四边形 是平行四边形， 四边形 是菱形。 返回 举一反三 23 9.在校园艺术节中，同学们准备制作4个边长为 的菱形画框。完 成后，他们决定通过测量来验证画框的形状，根据下列测量结果，其中 不能判定画框为菱形的测量方式是( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 24 10. 如图,直线与轴，轴分别交于点 , A,点在轴上，为平面内一点，要使四边形是菱形，则点 的 坐标为____________________。 或 返回 举一反三 25 11.如图，在菱形中，，是对角线 上 的两点，且 。求证： （1） ； 证明： 四边形 为菱形， ， ， ， 又， 。 举一反三 26 （2）四边形 是菱形。 [答案] 如图，连接交于点 ， 四边形 为菱形， ，, , 又， , 四边形 是平行四边形。 又， 四边形 是菱形。 返回 举一反三 27 12.[西工大附中期末] 如图，在中，平分 ，请用尺规作 图法，求作菱形，使点在边上，点在边 上。并证明四边 形 为菱形（保留作图痕迹，不写作法）。 举一反三 28 解：（作法不唯一）如图，作线段 的垂直平分线， 分别交，于点，，交于点，连接 ， ，则四边形 为所求。 证明：由作图可知 ， ， ， 是 的角平分线， ， 举一反三 29 ， ， ， , 四边形 为菱形。 返回 举一反三 菱形的判定 定义法 定理 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 边：四边相等的四边形是菱形 对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 课堂小结 谢谢观看 THANKS $