1.3.1 矩形的性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

授课教师： . 班 级： 九年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学九年级上册教学课件 第一章 特殊平行四边形 1.3.1矩形的性质 2026年8月2日 北师大版九年级上册1.3.1 矩形的性质 同步练习题 本套习题适配北师大版九年级上册1.3第1课时《矩形的性质》，立足矩形的定义与核心性质，重点考查矩形作为特殊平行四边形的独有特征：四个角都是直角、对角线相等且互相平分。习题难易梯度合理，涵盖基础选择、填空与计算证明题型，聚焦本课重难点，帮助学生区分矩形与普通平行四边形、菱形的性质差异，夯实基础、突破易错点，适合课堂训练与课后巩固使用。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 下列关于矩形的说法正确的是（ ） A. 有一组邻边相等的平行四边形是矩形 B. 矩形的对角线互相垂直 C. 矩形的四个角都是直角 D. 矩形是特殊的菱形 2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ） A. 对边平行且相等 B. 对角相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 3. 在矩形ABCD中，∠A的度数为（ ） A. 45° B. 60° C. 90° D. 180° 4. 已知矩形的对角线长为10，则该矩形两条对角线的一半之和为（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 5. 矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=4，则BD的长为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 二、填空题（每题4分，共20分） 6. 矩形的定义：有一个角是________的平行四边形叫做矩形。 7. 矩形的四个角都是________，对角线________且互相平分。 8. 矩形ABCD中，AB=3，BC=4，则对角线AC的长为________。 9. 矩形的对角线相交形成的夹角中，若一个角为60°，较短边与对角线的数量关系是________。 10. 矩形相邻两个内角的度数和为________。 三、解答题（共60分） 11.（12分）求证：矩形的四个角都是直角。 12.（12分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，求矩形的周长、面积及对角线的长度。 13.（18分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，AC=16。 （1）求OB、OA的长度；（2）若∠AOB=60°，求矩形较短边AB的长。 14.（18分）已知矩形ABCD，求证：AC=BD。 参考答案与详细解析 一、选择题 1. C 解析：有一个角是直角的平行四边形是矩形，矩形四个角均为直角；邻边相等的平行四边形是菱形，矩形对角线不垂直，A、B、D错误。 2. C 解析：对边平行相等、对角相等、对角线互相平分是所有平行四边形的性质，对角线相等是矩形独有性质。 3. C 解析：矩形的核心性质为四个内角均为90°。 4. B 解析：矩形对角线相等且平分，对角线长10，则半对角线长为5，两条半对角线之和为10。 5. B 解析：OA是AC的一半，AC=8，矩形对角线相等，故BD=8。 二、填空题 6. 直角 解析：矩形的基础定义，是判定矩形的核心依据。 7. 直角；相等 解析：矩形区别于普通平行四边形的两大核心性质。 8. 5 解析：矩形内角为直角，由勾股定理得AC=√(3²+4²)=5。 9. 较短边等于对角线的一半 解析：60°夹角可构成等边三角形，短边与半对角线长度相等。 10. 180° 解析：矩形邻角互补，内角均为90°，和为180°。 三、解答题 11. 证明：∵矩形是特殊的平行四边形，∴邻角互补。设矩形ABCD中∠A=90°，则∠A+∠B=180°，得∠B=90°，同理可证∠C、∠D均为90°，即矩形四个角都是直角。 12. 解：周长=2×(5+12)=34；面积=5×12=60；由勾股定理得对角线长=√(5²+12²)=13。 13. 解：（1）矩形对角线相等且平分，OA=OC=OB=OD=8；（2）∵OA=OB，∠AOB=60°，∴△AOB为等边三角形，AB=OA=8。 14. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，又BC为公共边，∴△ABC≌△DCB（SAS），∴AC=BD，即矩形对角线相等。 （总字数：1116） 1. 会证明矩形的性质，会用矩形的性质解决简单的问 题；（重点、难点） 2. 掌握直角三角形斜边中线的性质，并会简单的运用.（重点） 学习目标 有一个角是直角的平行四边形叫作矩形 问题：如果给平行四边形加一个条件“有一个角为直角”，会得到什么特殊图形？ 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (1) ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠CDA，∠BCD=∠DAB (矩形的对角相等)， AB∥DC (矩形的对边平行)。 ∴∠ABC+∠BCD=180°。 又∵∠ABC= 90°， ∴∠BCD= 90°。 ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 知识点1 矩形的性质 已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，对角线AC与BD相交于点O。求证：(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=BD。 证明： (2) ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=DC (矩形的对边相等)。 在△ABC和△DCB中， ∵AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC= CB， ∴△ABC≌△DCB。 ∴AC=DB。 知识点1 矩形的性质 定理：矩形的四个角都是直角。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°。 定理：矩形的对角线相等。 几何语言：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 矩形的其他性质 (1)矩形的对角线平分所得的四条线段相等。 (2)矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形，并且相对的两个等腰三角形全等。 若两对角线的夹角为60°，该夹角所在的三角形为等边三角形。 A B D C O 知识点1 矩形的性质 知识点1 矩形的边、角性质 （第1题） 1.如图是一个矩形空地， ， ，从点沿直线走到点 ,要走( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 8 （第2题） 2.如图，直线，矩形的顶点在直线 上，若 ，则 的度数为( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 9 3.[无锡中考] 如图，在矩形中，点在延长线上，点在 延 长线上，且，连接， 。求证： 举一反三 10 （1） ； 证明： 四边形 是矩形， ， ， 。 在和 中， 。 举一反三 11 （2） 。 [答案] ， 。 又 ， ，即 。 返回 举一反三 12 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形纸片ABCD中，对角线AC与BD交于点E。将矩形纸片沿AC剪开，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？BE与AC有什么大小关系呢？由此你能得到什么结论呢？ 结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 你能证明这个结论吗? A B C D E BE是Rt△ABC斜边的中线。 BE=AC。 A B C E 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线。 求证: BO=AC。 O C B A D 证明: 延长BO至D， 使OD=BO， 连接AD，DC。∵AO=OC，BO=OD， ∴四边形ABCD是平行四边形。 ∵∠ABC=90°， ∴平行四边形ABCD是矩形（矩形的定义）， ∴AC=BD， ∴BO=BD=AC。 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 你还有其他证明方法吗? 直角三角形斜边中线定理： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 几何语言： ∵在Rt△ABC中，∠B=90°，BO为AC上的中线， ∴BO= AC。 C B A O 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。 例1 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角)， AC=BD(矩形的对角线相等)， OA=OC= AC，OB=OD= BD(矩形的对角线互相平分)。 ∴OA=OD。 ∵∠AOD=120°， ∴∠ODA=∠OAD= ×(180°-120°)=30°。 ∴BD=2AB=2×2.5=5。 A B C D O 你还有其他解法吗？ 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=2.5，求这个矩形对角线的长。 例1 解：有。∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD，OA= AC，OB= BD， ∴ OA=OB。 ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°， ∴ △ AOB是等边三角形， ∴ OA=AB =2.5， ∴ AC=2OA=5。 A B C D O 知识点2 直角三角形斜边上的中线的性质 知识点2 矩形对角线的性质 4.如图，在矩形中，对角线与 相交于点 ，则下列结论一定正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 举一反三 18 5.如图，在矩形中，对角线，相交于点，是边 的中点， 点在对角线上，且，连接。若，则 __。 返回 举一反三 19 6.［教材P12“例1”变式］ 如图，在矩形中，与相交于点 。 若， ，求矩形 的面积。 举一反三 20 解： 四边形 为矩形， ，， 。 ， 。 在中， ， 。 。 矩形的面积是 。 返回 举一反三 21 知识点3 直角三角形斜边上中线的性质 （第7题） 7. 一技术人员用刻度尺测量 某三角形部件的尺寸。如图，已知 ，为边的中点，点， 对应的刻度数分别为1，7，则 ( ) B A. B. C. D. 返回 举一反三 22 8.如图，在中，是的中点， ， ，则 的长是( ) A （第8题） A.3 B.6 C. D. 返回 举一反三 23 9.[淮安中考] 如图，在中，对角线，交于点 ， ，，分别为，的中点，连接，，若 ，则 ___。 4 （第9题） 返回 举一反三 24 定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 矩形的 特殊性质 角：矩形的四个角都是直角 对角线：矩形的对角线相等 课堂小结 谢谢观看 THANKS $