1.3.1 矩形的性质 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦矩形的性质及直角三角形斜边上的中线性质，通过类比菱形学习引导学生从边、角、对角线猜想矩形研究方向，搭建“特殊平行四边形—矩形性质—直角三角形中线性质”的知识支架。 其亮点在于以“观察猜想—推理证明—应用拓展”为主线，结合几何直观与推理能力，如通过矩形对角线相等的全等证明、剪开矩形探究直角三角形中线性质，培养学生数学思维。课堂小结梳理认知逻辑，检测题强化应用，助力学生深化理解，教师教学更具系统性。

第1课时　 矩形的性质 第一章　特殊平行四边形 3 探究与应用 矩形也是特殊的平行四边形,类比菱形的学习,你认为需要研究矩形的哪些问题?怎样研究呢? 探究一　矩形的性质 启发猜想 解:研究矩形的边、角、对角线的性质,借助矩形是特殊的平行四边形加以研究. 你认为矩形有哪些特殊的性质?你是怎样发现的?能证明这些性质吗? 尝试思考 解:矩形的四个角都是直角,对角线相等.通过观察发现的,能证明这些性质. 已知:如图1-3-1,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O. 求证:(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°; 推理证明 图1-3-1 证明:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等),AB∥DC(矩形的对边平行). ∴∠ABC+∠BCD=180°. 又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. (2)AC=DB. 图1-3-1 证明:(2)∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC(矩形的对边相等). 在△ABC和△DCB中, ∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB, ∴△ABC≌△DCB. ∴AC=DB. 矩形的角、边、对角线的性质 (1)角:各角相等,都是90°; (2)边:对边平行且相等,邻边互相垂直; (3)对角线:矩形的对角线互相平分且相等. 细 归纳 矩形的性质定理: 定理1:矩形的四个角都是　 　.  定理2:矩形的对角线　 　.  直角 相等 概括新知 如图1-3-2,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O. (1)若∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长; 应用一　利用矩形的性质进行计算或证明 例 1 解:(1)∵四边形ABCD是矩形, ∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),AC=BD(矩形的对角线相等), OA=OC=AC,OB=OD=BD(矩形的对角线互相平分).∴OA=OD. ∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD=(180°-120°)=30°. ∴BD=2AB=2×2.5=5. 图1-3-2 (2)若AC=2AB,求证:△AOB是等边三角形; 解:(2)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AC=BD(矩形的对角线相等), OA=AC,OB=BD(矩形的对角线互相平分). ∴OA=OB. ∵AC=2AB,∴OA=OB=AB. ∴△AOB是等边三角形. 图1-3-2 (3)若OA=4,∠ACB=30°,求BC的长. 解:(3)∵四边形ABCD是矩形, ∴OA=AC,∠ABC=90°.∴AC=2OA=8. 又∵∠ACB=30°,∴AB=AC=4. ∴BC===4. 图1-3-2 (1)因为矩形的四个角都是直角,所以通常将矩形问题转化为直角三角形问题,利用勾股定理等知识解决; (2)因为矩形的对角线把矩形分成四个小的等腰三角形,所以也常利用等腰三角形的相关知识解决有关问题. 细 琢磨 如图1-3-3①,在矩形纸片ABCD中,对角线AC与BD相交于点E.将矩形纸片沿AC剪开,得到如图②所示的图形,BE是Rt△ABC中一条怎样的线段?它与AC有什么大小关系?由此你能得到什么结论? 探究二　直角三角形斜边上的中线的性质 观察思考 图1-3-3 解:BE是Rt△ABC斜边上的中线,BE=AC. 结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 证明观察思考中得到的结论.(写出已知、求证,并进行证明) 推理证明 解:已知:如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BE为AC边上的中线. 求证:BE=AC. 证明:如图,过点A作AD∥BC,交BE的延长线于点D,连接CD. ∵AD∥BC,∴∠EAD=∠ECB. ∵E为AC的中点,∴AE=CE. 又∵∠AED=∠CEB, ∴△AED≌△CEB(ASA).∴BE=DE,AD=CB. ∵AD∥BC,∴四边形ABCD为平行四边形. 又∵∠ABC=90°,∴▱ABCD为矩形∴AC=BD.∴BE=BD=AC. 直角三角形斜边上的中线的性质定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的　　　.  一半 概括新知 如图1-3-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的中线. (1)若∠ACD=25°,则∠B的度数是　　 ;  (2)若CD=BC=2,则AC=　　　;  (3)若AC=8,BC=6,则△ACD的面积为　　　.  应用二　利用直角三角形斜边上的中线的性质解题 例 2 65° 图1-3-4 2 12 直角三角形斜边上的中线将直角三角形分成两个等腰三角形,且这两个等腰三角形的面积相等. 得 结论 【延伸拓展】 由中点构造直角三角形斜边上的中线 图1-3-5 已知:如图1-3-5,∠ABC=∠ADC=90°,M,N分别是AC,BD的中点. 求证:MN⊥BD. 证明:连接BM,DM. ∵∠ABC=∠ADC=90°,M是AC的中点, ∴BM=DM=AC. 又∵N是BD的中点,∴MN⊥BD. 若已知直角三角形斜边的中点,常连接中点与直角顶点,构成直角三角形斜边上的中线,借助中线的性质解题. 得 方法 课堂小结与检测 | 认知逻辑 | 1.如图1-3-6,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,D为斜边AB的中点,连接CD,则CD的长为 (　　) A.8 B.6 C.5 D.4 | 课堂检测 | C 图1-3-6 2.如图1-3-7,在矩形ABCD中,点E,F在对角线BD上,BE=DF. 求证:AE=CF. 图1-3-7 证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD,AB∥CD,∴∠ABE=∠CDF. 在△ABE和△CDF中, ∵AB=CD,∠ABE=∠CDF,BE=DF, ∴△ABE≌△CDF(SAS),∴AE=CF. 3.如图1-3-8,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AO,AD的中点,连接EF,若AB=6 cm,EF=2.5 cm,求矩形ABCD的周长. 图1-3-8 解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=90°,BD=AC,BO=OD. ∵E,F分别是AO,AD的中点,∴EF是△ADO的中位线. ∵EF=2.5 cm,∴OD=5 cm,∴BD=AC=10 cm. 在Rt△ABC中,∵AB=6 cm,∴BC===8(cm), ∴矩形ABCD的周长=2(AB+BC)=2×14=28(cm). $